2020-2021学年高中数学人教A版必修5第二章2.1 数列的概念与简单表示法2课时课件（共49张PPT）

第二章
数列
本 章 内 容
2.1 数列的概念与简单表示法
2.2 等差数列
2.3 等差数列的前 n 项和
2.4 等比数列
2.5 等比数列的前 n 项和
第二章 小结
2.1
数列的概念与简单表示法
第一课时
第一课时
第二课时
学习要点
1. 什么是数列? 什么是数列的项?
2. 什么是有穷数列? 什么是无穷数列? 什么是递增数列? 什么是递减数列?
3. 什么叫数列的通项公式?
【数列的概念与表示】
操作题: 请同学们写出下面的数:
(1) 某地赶集的日期是逢三、逢六、逢九, 按顺序写出一个月中的赶集日期;
(2) 从小到大的正偶数;
(3) 边长分别是 1, 2, 3, 4, 5 的正方形面积;
(4) 第一个数是 2, 以后每一个数是前一个数的一半;
(5) 2 与 (-3) 的 1 次方、2 次方、3 次方、4 次方、
… 的和;
(6) 本学期各周的天数;
(7) 第一、二个数都是 1, 以后的每一个数都等于前两个数的和.
3, 6, 9, 13, 16, 19, 23, 26, 29.
2, 4, 6, 8, 10, 12, ….
1, 4, 9, 16, 25.
-1, 13, -19, 97, ….
7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ….
按一定顺序排成的一列数叫做数列, 数列中的每一个数叫做这个数列的项, 排在第一位的数称为这个数列的第 1 项 (通常也叫首项), 排在第二位的叫第 2项, …, 排在第 n 位的叫第 n 项. 1, 2, 3, …, n 叫序号, 数列的每一项都与它的序号有关.
{bn}.
一个数列的一般形式可写成
a1，a2，a3， …，an， …
或 b1，b2，b3， …，bn， …
简记为
{an},
如: 从小到大的正偶数组成的数列 {an}:
2, 4, 6, 8, 10, 12, ….
a1=2, a2=4, …
项数有限的数列叫做有穷数列, 项数无限的数列叫做无穷数列.
如: 我们刚写出的一个月中的赶集日期:
3, 6, 9, 13, 16, 19, 23, 26, 29.
这是有穷数列.
从小到大的正偶数:
2, 4, 6, 8, 10, 12, ….
这是个无穷数列.
从第 2 项起, 每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列.
如上面的正偶数数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ….
从第 2 项起, 每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.
有些项大于它的前一项, 有些项小于它的前一项的数列叫摆动数列.
各项都相等的数列叫常数列.
如前面举到的后一个数是前一个数的一半组成
的数列:
如前面举到的本学期各周的天数:
7, 7, 7, 7, …
如前面举到的 2n+(-3)n:
-1, 13, -19, 97, ….
问题1. 同学们写出的七个数列, 它们的首项各是多少? 如果都用{an}的表示, 那么各数列的a4是多少?哪些是有穷数列, 哪些是无穷数列? 哪些是递增数列,哪些是递减数列? 哪些是常数列? 哪些是摆动数列?
(1) 3, 6, 9, 13, 16, 19, 23, 26, 29.
(2) 2, 4, 6, 8, 10, 12, ….
(3) 1, 4, 9, 16, 25.
(4)
(5) -1, 13, -19, 97, -211, ….
(6) 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7.
(7) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ….
a4=13.
a4=8.
a4=16.
a4=97.
a4=7.
a4=3.
(1)(3)(6)是有穷数列; (2)(4)(5)(7)是无穷数列.
(1)(2)(3)是递增数列; (4)是递减数列.
(6)是常数列; (5)是摆动数列.
练习: (课本28页“观察”)
下面的数列, 哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列?
(1) 全体自然数构成数列 0, 1, 2, 3, ….
(2) 1996~2002年某市普通高中生人数(单位:万人)构成数列
82, 93, 105, 119, 129, 130, 132.
(3) 无穷多个3构成数列 3, 3, 3, 3, ….
(4) 目前通用的人民币面额从大到小的顺序构成数列 (单位:元) 100, 50, 20, 10, 5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05, 0.02, 0.01.
(5) -1的 1次幂, 2次幂, 3次幂, 4次幂, …, 构成数列
-1, 1, -1, 1, ….
(6) 的精确到 1, 0.1, 0.01, 0.001, …, 的不足近似值与过剩近似值分别构成数列
1, 1.4, 1.41, 1.414, …;
2, 1.5, 1.42, 1.415, ….
递增数列
递增数列
常数列
递减数列
摆动数列
递增数列
递减数列
问题2. 观察下列两个数列, 它们的各项各有什么规律? 是否可以用序号来表示它们的各项?
(1) 1, 3, 5, 7, 9, …;
(2) 6, 12, 24, 48, 96, ….
第(1)个数列是正奇数数列, 设这个数列为{an},
各项用序号表示为:
a1=2?1-1,
a2=2?2-1,
a3=2?3-1,
a4=2?4-1,
……
an=2n-1.
第(2)个数列的规律是: 后一个数是前一个数的
2 倍,
a1=2?3,
设这个数列为{an},
a2=2a1
=2?2?3
a3=2a2
=2?(22?3)
=22?3,
=23?3,
……
an= 3?2n.
有些数列, 它的第 n 项 an 可用项数 n (n∈N+) 的函数来表示, 如数列
1，3，5，7，9， … an=2n-1;
2，5，10，17，26，… an=n2+1;
3，6，12，24，48， … an=3?2n-1;
0，1，0，1，0，1， …
象这样, 用正整数 n 的关系式来表示某个数列的第 n 项 an 的式子，叫做这个数列的通项公式.
数列也可以用列表和图象的方法表示, 它的图象是一系列孤立的点.
数列可看成是定义在正整数集合上的函数, 其通项公式就是函数的解析式.
例1. 写出下面数列的一个通项公式, 使它的前 4项分别是下列各数:
(1) 1,
(2) 2, 0, 2, 0.
问: 这两个通项公式还可以写成其它形式吗?
(1)
解:
符号正负相间, 且第一项是正, 可用
(-1)n+1表示符号;
分子恒为1, 分母是正整数.
则通项可写成
(2)
考虑 1+1=2, 1-1=0,
则数列即为 1+1, 1-1, 1+1, 1-1, …
则通项可写成
an=1+(-1)n+1.
an=1-(-1)n
例2. 如图的三角形称为谢宾斯基三角形. 在图中的四个三角形中, 着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项, 请写出这个数列的一个通项公式, 并在直角坐标系中画出它的图象.
(1)
(2)
(3)
(4)
解:
由图知
a1=1,
a2=3,
a3=9,
a4=27,
由此规律可得 an=3n-1.
其图象是指数函数图象
上的 4 个点.
n
an
o
1
2
3
4
1
3
9
27
·
·
·
·
练习: (课本31页)
第 1、4 题.
1. 根据下列通项公式填表
3(3+4n)
…
153
…
…
an
n
…
…
5
…
2
1
n
21
解:
∵an=3(3+4n),
则 a1=3(3+4?1)
=21,
a2=3(3+4?2)
=33,
a5=3(3+4?5)
=69,
an=3(3+4n)=153,
解得 n=12.
33
69
12
练习: (课本31页)
4. 数列的前 5 项分别是以下各数, 写出各数列的一个通项公式:
(1)
(2)
(3)
解:
(1)
数列的分母是正奇数,
则
(2)
奇数项为负,
则
4. 数列的前 5 项分别是以下各数, 写出各数列的一个通项公式:
(1)
(2)
(3)
解:
(3)
首项以后的每一项都是前一项的 倍,
a1=1,
……
【课时小结】
按一定顺序排成的一列数叫做数列.
数列中的每一个数叫做这个数列的项,
排在第 n 位的叫第 n 项, n 叫序号,
排在第一位的数称为第 1 项 (通常叫首项)
数列通常用 {an}, {bn} 等表示.
如 {an} 中的 a1, a2, …, an 等.
【课时小结】
项数无限的数列叫做无穷数列.
项数有限的数列叫做有穷数列.
每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列.
每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.
各项都相等的数列叫常数列.
大小无序的数列叫摆动数列.
【课时小结】
用正整数 n 的关系式来表示某个数列的第 n 项 an 的式子，叫做这个数列的通项公式.
数列的通项公式是关于正整数 n 的函数.
如: an=2n-1 (n?N+) 是关于 n 的一次函数,
数列 {an} 是一个正奇数数列.
(1) 学会归纳简单数列的通项公式;
要求:
(2) 能根据通项公式写出数列的项.
习题 2.1
A 组
第 1、 3、5 题.
习题 2.1
A 组
1. 分别写出下面的数列:
(1) 0~20之间的质数按从小到大的顺序构成的数列;
(2) 0~20之间的合数的正的平方根按从小到大的顺序构成的数列;
(3) 精确到 1, 10-1, 10-2, 10-3, …, 10-6 的不足近似值与过剩近似值分别构成的数列.
解:
(1)
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
(2)
(3)
1, 1.7, 1.73, 1.732, 1.7320, 1.73205, 1.732050.
2, 1.8, 1.74, 1.733, 1.7321, 1.73206, 1.732051.
3. 观察下面数列的特点, 用适当的数填空, 并写出各数列的一个通项公式:
(1) ( ), -4, 9, ( ), 25, ( ), 49;
(2) 1, ( ), 2, ( ),
1
-16
-36
解:
各项是一个平方数, 符号正负相间.
an=(-1)n+1n2.
(1)
(2)
各项是正整数的算术平方根.
5. 根据下面的图形及相应的点数, 在空格和括号中分别填上适当的图形和点数, 并写出点数构成的数列的一个通项公式.
1
6
11
1
4
7
3
8
15
( )
( )
( )
( )
( )
( )
16
21
10
13
24
35
an=5n-4.
an=3n-2.
an=(n+1)2-1.
2.1
数列的概念与简单表示法
第二课时
第一课时
第二课时
学习要点
1. 什么是数列的递推公式? 它与通项公式有什么区别?
问题3. 下面描述的两个数列有什么特点? 能写出它们相邻两项的关系吗?
(1) 第一个数是 2, 以后每一个数是前一个数减去3 的倒数;
(2) 第一、二个数都是 1, 以后的每一个数都等于前两个数的和.
当 n=1 时, a1=2,
当 n>1 时, an=
(1)
a1=2,
= -1,
……
问题3. 下面描述的两个数列有什么特点? 能写出它们相邻两项的关系吗?
(1) 第一个数是 2, 以后每一个数是前一个数减去1 的倒数;
(2) 第一、二个数都是 1, 以后的每一个数都等于前两个数的和.
(2)
当 n=1, 2 时, a1=a2=1,
当 n>2 时, an=
an-1+an-2.
a1=a2=1,
a3=a2+a1
=1+1=2,
a4=a3+a2
=2+1=3,
a5=a4+a3
=3+2=5,
a6=a5+a4
=5+3=8,
如果已知数列 {an} 的第 1 项 (或前几项), 且任一项 an 与它的前一项 an-1 (或前几项) 间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
递推公式也是数列的一种表示方法.
如以上问题中的两数列:
(1)
(2)
例3. 设数列 {an} 满足
写出这个数列的前 5 项.
解:
a1=1,
=2,
2. 已知数列{an}满足 a1=1, an= -1 (n>1), 写出它的前5项.
解:
a1=1,
=12-1
= 0,
=02-1
= -1,
=(-1)2-1
= 0,
=02-1
= -1.
练习: (课本31页)
问题4. 数列的递推公式是关于正整数 n 的函数吗? 如果给定一个数列的递推公式, 然后任给一个 n 的值, 是否能由公式直接算出第 n 项的值?
数列的递推公式与通项公式不同, 它不是关于 n 的函数, 它是一个数列相邻项的关系.
如果给定了数列的通项公式, 能直接算出第 n 项.
如果给定了数列的递推公式, 一般不能直接算出第 n 项, 需逐项递推.
如: 给出{an}的通项公式为 an=2n+1.
a10=2?10+1=21.
不能直接将 n=10 代入求得 a10.
若给出{an}的递推公式为
【斐波拉契数列】
1202年, 意大利数学家斐波拉契的兔子问题.
设一对兔子每月能生一对小兔子, 每对小兔子在它出生后第三个月里, 又能生一对小兔子. 如此计算, 由一对初生小兔子开始, 各月的兔子数如下表:
时间(月)
初生兔子(对)
成熟兔子(对)
兔子总数(对)
1
1
0
1
2
0
1
1
3
1
1
2
4
1
2
3
5
2
3
5
6
3
5
8
7
5
8
13
8
8
13
21
时间(月)
初生兔子(对)
成熟兔子(对)
兔子总数(对)
1
1
0
1
2
0
1
1
3
1
1
2
4
1
2
3
5
2
3
5
6
3
5
8
7
5
8
13
8
8
13
21
问题: (1) 分别写出初生兔子数列 {an}, 成熟兔子数列 {bn}, 兔子总数数列 {Fn} 的递推公式.
(2) {Fn} 与 {an} 、{bn} 有什么关系?
时间(月)
初生兔子(对)
成熟兔子(对)
兔子总数(对)
1
1
0
1
2
0
1
1
3
1
1
2
4
1
2
3
5
2
3
5
6
3
5
8
7
5
8
13
8
8
13
21
问题: (1) 分别写出初生兔子数列 {an}, 成熟兔子数列 {bn}, 兔子总数数列 {Fn} 的递推公式.
初生
兔子
a1=1,
a2=0,
an=an-1+an-2 (n≥3).
时间(月)
初生兔子(对)
成熟兔子(对)
兔子总数(对)
1
1
0
1
2
0
1
1
3
1
1
2
4
1
2
3
5
2
3
5
6
3
5
8
7
5
8
13
8
8
13
21
问题: (1) 分别写出初生兔子数列 {an}, 成熟兔子数列 {bn}, 兔子总数数列 {Fn} 的递推公式.
成熟
兔子
b1=0,
b2=1,
bn=bn-1+bn-2 (n≥3).
时间(月)
初生兔子(对)
成熟兔子(对)
兔子总数(对)
1
1
0
1
2
0
1
1
3
1
1
2
4
1
2
3
5
2
3
5
6
3
5
8
7
5
8
13
8
8
13
21
问题: (1) 分别写出初生兔子数列 {an}, 成熟兔子数列 {bn}, 兔子总数数列 {Fn} 的递推公式.
兔子
总数
F1=1,
F2=1,
Fn=Fn-1+Fn-2 (n≥3).
这样的数列称为 “斐波拉契数列”.
特点:
时间(月)
初生兔子(对)
成熟兔子(对)
兔子总数(对)
1
1
0
1
2
0
1
1
3
1
1
2
4
1
2
3
5
2
3
5
6
3
5
8
7
5
8
13
8
8
13
21
问题: (2) {Fn} 与 {an} 、{bn} 有什么关系?
Fn=an+bn.
【课时小结】
1. 递推数列
给出数列的首项或前两项, 以后的各项由它的前一项或前两项推出.
递推公式是相邻项的关系式.
2. 斐波拉契数列
斐波拉契数列是一个递推数列, 它的前两项都是 1, 以后各项都由前两项的和而得, 即
F1=1,
F2=1,
Fn=Fn-1+Fn-2 (n≥3).
习题 2.1
A 组
第 2、4、6 题.
B 组
第 1、2、3 题.
2. 根据下面数列{an}的通项公式, 写出它的前 5 项:
(1) (2) an=(-1)n+1(n2+1).
解:
(1)
=1,
a1=(-1)1+1(12+1)
=2,
a2=(-1)2+1(22+1)
= -5,
(2)
a3=(-1)3+1(32+1)
= 10,
a4=(-1)4+1(42+1)
= -17,
a5=(-1)5+1(52+1)
= 26.
习题 2.1
A 组
4. 写出下面数列{an}的前 5 项:
(1)
(2)
解:
(1)
a2=4a1+1
=3,
a3=4a2+1
=13,
= 4?3+1
a4=4a3+1
=53,
= 4?13+1
a5=4a4+1
=213.
= 4?53+1
4. 写出下面数列{an}的前 5 项:
(1)
(2)
解:
(2)
= 5,
= 5.
6. 分别写出三角形数构成的数列的第 5 项, 第 6项和第 7 项, 并写出它的一个递推公式.
解:
如图的三角形数中, 第 n 个三角形的方块数
比前一个三角形多 n 块.
第 4 项为10,
则第 5 项为 10+5=15,
第 6 项为 15+6=21,
第 7 项为 21+7=28.
递推公式为:
a1=1,
an= an-1+n (n>1).
B 组
1. 下图中的三个正方形块中, 着色正方形的个数依次构成一个数列的前 3 项. 请写出这个数列的前5项和数列的一个通项公式.
a1=1,
a2=8+1=9,
a3=8a2+1=73,
a4=8a3+1=585,
解:
a5=8a4+1=4681.
a2=8+1,
a3=8a2+1=82+8+1,
a4=8a3+1=83+82+8+1,
……,
an=8n-1+8n-2+8n-3+…+8+1
(此和后面学习)
2. 中国银行人民币活期存款年利率为 0.72%. 假设某人存入10万元人民币后, 既不加进存款也不取钱.如果不考虑利息税, 用 an 表示第 n 年到期时的存款余额, 求 a1, a2, a3 及 an.
解:
a1=10(1+0.72%)
a2=10(1+0.72%)2
a3=10(1+0.72%)3
an=10(1+0.72%)n.
=10.0072,
≈10.144518,
≈10.217559,
3. 已知数列 {an} 的第 1 项是 1, 第 2 项是 2, 以后各项由 an=an-1+an-2 (n>2) 给出.
(1) 写出这个数列的前 5 项;
(2) 利用上面的数列 {an}, 通过公式 构造
一个新的数列 {bn}, 试写出数列 {bn} 的前 5 项.
解:
(1)
a1=1,
a2=2,
a3=a2+a1
=2+1=3,
a4=a3+a2
=3+2=5,
a5=a4+a3
=5+3=8.
3. 已知数列 {an} 的第 1 项是 1, 第 2 项是 2, 以后各项由 an=an-1+an-2 (n>2) 给出.
(1) 写出这个数列的前 5 项;
(2) 利用上面的数列 {an}, 通过公式 构造
一个新的数列 {bn}, 试写出数列 {bn} 的前 5 项.
解:
(2)
=2,
=