2020-2021学年高中数学人教A版必修5第二章2.2 等差数列2课时课件（共50张PPT）

2.2 等差数列
等差数列的概念
与
通项公式
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操作题1. 请同学们写出以下数列:
(1) 从小到大能被 5 整除的正整数构成的数列;
(2) 某水库水位 18 m, 由于某种原因每天放水降低水位 2.5 m, 写出各天水位数构成的数列;
(3) 10000元本金存入银行, 年利率为 0.72%, 按单利计息, 5 年内各年的本利和构成的数列;
(4) 一架梯子有 11 步, 最长一步是 60 cm, 最短一步是 42 cm, 从大到小各步长构成的数列.
(1) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …
(2) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5, 3, 0.5.
(3) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360.
(4) 60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46, 44, 42.
问题1. 刚才写出的 4 个数列, 它们有什么共同的规律? 请你给有这种规律的数列设计一个名称.
(1) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …
(2) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5, 3, 0.5.
(3) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360.
(4) 60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46, 44, 42.
各数列中, 每一项与前一项的差都相等.
数列(1)中的这个差是 5,
数列(2)中的这个差是 -2.5,
数列(3)中的这个差是 72,
数列(4)中的这个差是 -2.
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示，即
在数列 {an} 中，若 an-an-1=d (d为常数，n≥2),则 {an} 是等差数列。
a2-a1 = a3-a2 = a4-a3 = … = an-an-1 =d.
问题2：(1)自然数列是等差数列吗? 如果是, 公差是多少?
(2) 从小到大排列的正奇数数列是等差数列吗? 如果是, 公差是多少?
(3) 函数 y= -2x+4 (x≥0)的图象上的整数点的 y 坐标构成的数列是等差数列吗? 如果是, 公差是多少?
(4) 相同的数排成一列是等差数列吗? 如果是, 公差是多少?
(1) 是等差数列, 首项为 0, 公差为 1.
(2) 是等差数列, 首项为 1, 公差为 2.
(3) 是等差数列, 首项为 4, 公差为-2.
(4) 是等差数列, 公差为0.
练习(补充). 判断下面各数列是否是等差数列, 如果是, 首项是多少? 公差是多少?
(1)
(2) 1, 0, -1;
(3) 通项公式为an=2n+1;
(4) an+1=an+2.
解:
不是等差数列,
(1)
∴数列不是等差数列.
练习(补充). 判断下面各数列是否是等差数列, 如果是, 首项是多少? 公差是多少?
(1)
(2) 1, 0, -1;
(3) 通项公式为an=2n+1;
(4) an+1=an+2.
解:
是等差数列,
(2)
∴数列是等差数列.
∵ 0-1 = (-1)-0 = -1,
练习(补充). 判断下面各数列是否是等差数列, 如果是, 首项是多少? 公差是多少?
(1)
(2) 1, 0, -1;
(3) 通项公式为an=2n+1;
(4) an+1=an+2.
解:
是等差数列,
(3)
∴数列是等差数列.
∵ an+1-an =
2(n+1)+1-(2n+1)
=2n+2+1-2n-1
=2,
2 为常数,
练习(补充). 判断下面各数列是否是等差数列, 如果是, 首项是多少? 公差是多少?
(1)
(2) 1, 0, -1;
(3) 通项公式为an=2n+1;
(4) an+1=an+2.
解:
是等差数列,
(4)
∴数列是等差数列.
an+1-an =2,
即数列从第二项起的任一项与前一项的差
原式变为
是常数 2,
例(习题2.2 A组第2题). 1682年, 英国天文学家哈雷发现一颗大彗星描绘的曲线和1531年, 1607年的彗星惊人地相似, 便大胆断定, 这是同一天体的三次出现, 并预言它将于76年后再度回归. 这就是著名的哈雷彗星, 它的回归周期大约是76年. 请你查找资料, 列出哈雷彗星的回归时间表, 并预测它在本世纪回归的时间.
1607年10月27日
1682年
1759年3月13日
1835年11月16日
1910年4月24日
1986年4月11日
本世纪回归的时间大约在2062~2063年.
查得哈雷彗星出现的年份如下:
1607+76=1683,
1607+2?76=1759,
1607+3?76=1835,
1607+4?76=1911,
1607+5?76=1987,
1607+6?76=2063,
问题3. 如果已知一个等差数列的首项 a1 和公差 d, 你能写出这个数列的 a2, a3, a4, an 吗?
a2=a1+d,
a3=a2+d
=a1+2d,
a4=a3+d
=a1+3d,
由上式猜测:
an=a1+(n-1)d.
实际由等差数列定义有
a2-a1=d,
a3-a2=d,
a4-a3=d,
……
an-an-1=d,
各式两边分别相加得
an-a1= (n-1)d,
an=a1+ (n-1)d.
已知等差数列的首项 a1 与公差 d, 则等差数列的通项公式为:
an=a1+(n-1)d
等差数列的通项公式中有 4 个元素, 其中只要知道任意 3 个元素, 就能求另一个元素.
例1. (1) 求等差数列 8, 5, 2, … 的第 20 项.
(2) -401是不是等差数列 -5, -9, -13, …的项?
如果是, 是第几项?
解:
(1)
由已知得 a1=8,
d=5-8= -3,
则 a20=a1+(20-1)d
=8+19(-3)
= -49.
即这个等差数列的第20项是-49.
例1. (1) 求等差数列 8, 5, 2, … 的第 20 项.
(2) -401是不是等差数列 -5, -9, -13, …的项?
如果是, 是第几项?
解:
(2)
假设-401是此数列的一项, 设其为 an,
等差数列 -5, -9, -13, …中,
a1= -5,
d= -9-(-5) = -4.
则 -401= -5+(n-1)(-4) 应有正整数解.
解关于 n 的方程得
n=100,
∴ -401是所给数列的项, 是第100项.
例(补充). 在等差数列{an}中, 已知 a5=10, a12=31, 求首项 a1与公差 d.
解:
由等差数列的通项公式得
a5=a1+4d,
a12=a1+11d,
?10=a1+4d,
?31=a1+11d,
解关于 a1 与 d 的方程组得
a1= -2,
d=3,
∴这个等差数列的首项 a1= -2, 公差 d=3.
练习(补充). 如果一个等差数列有11项, 它的首项是60, 末项是40, 则它的公差是多少?
解:
由题设知等差数列的 a1=60,
a11=40,
由通项公式得
a11=a1+(11-1)d,
即 40=60+10d,
解得 d=2,
∴ 这个数列的公差是 2.
1. 已知{an}是一个等差数列, 请在下表中填入适当的数.
a1
a3
a5
a7
d
-7
8
2
-6.5
解:
第一行数列,
a5=a1+4d,
即 8 = -7+4d,
第二行数列,
a3=a1+2d,
即 2=a1+2(-6.5),
?a1= 15,
?an= 15-6.5(n-1),
15
a5= 15-6.5(5-1)
= -11,
-11
a7= 15-6.5(7-1)
= -24.
-24
练习: (课本39页)
【课时小结】
1. 等差数列
从第 2 项起的每一项与它的前一项的差等于同一个常数.
这个常数叫做公差，用字母 d 表示.
2. 等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d.
an 是关于正整数 n 的一次函数.
等差数列通项公式是等差数列常用的运算公式.
即 an+1-an=d (n≥2).
习题 2.2
A 组
1. 在等差数列{an}中,
(1) 已知 a1=2, d=3, 求a10;
(2) 已知 a1=3, an=21, d=2, 求n;
(3) 已知 a1=12, a6=27, 求d;
(4) 已知 d= a7=8, 求a1.
解:
(1)
a10=a1+9d
=2+9?3
= 29.
习题 2.2
A 组
1. 在等差数列{an}中,
(1) 已知 a1=2, d=3, 求a10;
(2) 已知 a1=3, an=21, d=2, 求n;
(3) 已知 a1=12, a6=27, 求d;
(4) 已知 d= a7=8, 求a1.
解:
(2)
由 an=a1+(n-1)d 得
21=3+(n-1)?2,
解得 n=10.
习题 2.2
A 组
1. 在等差数列{an}中,
(1) 已知 a1=2, d=3, 求a10;
(2) 已知 a1=3, an=21, d=2, 求n;
(3) 已知 a1=12, a6=27, 求d;
(4) 已知 d= a7=8, 求a1.
解:
(3)
∵ a6=a1+(6-1)d,
得 27=12+(6-1)d,
解得 d=3.
习题 2.2
A 组
1. 在等差数列{an}中,
(1) 已知 a1=2, d=3, 求a10;
(2) 已知 a1=3, an=21, d=2, 求n;
(3) 已知 a1=12, a6=27, 求d;
(4) 已知 d= a7=8, 求a1.
解:
(4)
a7=a1+6d,
= 10.
得 a1=a7-6d
3. 如果三角形的三个内角的度数成等差数列, 那么中间的角是多少度?
解:
设三个角的度数为 A, B, C 成等差数列,
则 2B=A+C,
两边同加 B 得
3B=A+B+C
=180?,
于是得 B=60?.
即中间一个角的度数是60?.
等差数列的应用
等差中项
与
与
与
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问题1. 等差数列的应用较为广泛, 如: 能被 7 整除的三位正整数有多少个? 一部梯子有 15 级, 最下一级宽 61cm, 最上一级宽 40cm, 从下到上的第 10级宽是多少? 你能用等差数列知识解决这类问题吗?
被 7 整除的数依次构成等差数列, 公差为7.
被 7 整除的最小三位数是
105.
设这个等差数列为{an},
则 a1=105, d=7.
通项 an=a1+(n-1)d
=105+(n-1)?7
=7n+98,
解不等式 7n+98<1000,
得 n<128.86.
即能被 7 整除的三位正整数有128个.
问题1. 等差数列的应用较为广泛, 如: 能被 7 整除的三位正整数有多少个? 一部梯子有 15 级, 最下一级宽 61cm, 最上一级宽 40cm, 从下到上的第 10级宽是多少? 你能用等差数列知识解决这类问题吗?
同样, 梯子的各级宽依次构成等差数列.
设这个数列为{bn},
则 b1=61, b15=40.
由通项公式 b15=b1+(15-1)d 得
40=61+14d,
解得 d= -1.5.
则通项公式为 bn=61+(n-1)(-1.5)
= -1.5n+62.5.
于是得第 10 级宽为 a10= -1.5?10+62.5
=47.5(cm).
例2. 某市出租车的计价标准为 1.2元/km, 起步价为10元, 即最初的 4 km (不含 4 千米) 计费10元. 如果某人乘坐该市的出租车去往 14 km 处的目的地, 且一路畅通, 等候时间为 0, 需要支付多少车费?
解:
当出租车行程大于或等于 4 km 时, 每多
1 km 多收费 1.2元,
则从4 km 起的收费是一个首项
为 11.2, 公差为 1.2 的等差数列.
即 an= 11.2+(n-1)?1.2
= 1.2n+10,
出租车行至 14 km 时, n=14-4+1=11,
∴a11= 1.2?11+10
=23.2 (元),
答: 需要支付 23.20 元的车费.
例3. 已知数列{an}的通项公式为 an=pn+q, 其中 p, q 为常数, 那么这个数列一定是等差数列吗? 如果是, 其首项与公差各是多少?
∴{an}是等差数列, 其公差为 p,
解:
如果一个数列的通项公式是关于正整数 n 的一次函数形式, 则这个数列是等差数列, 公差是一次项系数.
由 an=pn+q 得
an-1=p(n-1)+q
=pn-p+q,
则 an-an-1=
(pn+q)-(pn-p+q)
= p,
∵p为常数,
首项 a1=p+q.
结论:
2. 体育场一角看台的座位是这样排列的: 第一排有15个座位, 从第二排起每排都比前一排多 2 个座位, 你能用 an 表示第 n 排的座位数吗? 第 10 排能坐多少人?
解:
各排的座位数构成等差数列,
a1=15, d=2,
an=a1+(n-1)d
=15+2(n-1)
=2n+13.
a10=2?10+13
=33.
答: 第10排能坐33人.
3. 等差数列{an}的首项为a, 公差为d; 等差数列{bn}的首项为 b, 公差为 e, 如果 cn=an+bn(n≥1), 且c1=4, c2=8, 求数列{cn}的通项公式.
解:
由题设得 an=a+(n-1)d,
bn=b+(n-1)e,
则 cn=an+bn =
a+(n-1)d + b+(n-1)e
于是 c1=a+b
c2=a+b+d+e
= 4,
= 8,
= a + b + (n-1)(d+e),
解得 e+d=4,
∴cn = 4+(n-1)?4
= 4n.
【等差中项】
问题2. 如果知道两个数 a, b, 且 a, A, b 成等差数列, 你能用 a, b 表示 A 吗?
如果三个数 a, A, b 成等差数列, 则中间一个数 A 叫做 a 与 b 的等差中项,
或 2A=a+b.
由等差数列定义得
A-a=b-A,
解 A 得
问题3. 在等差数列{an}中, a1 与 a3 的等差中项是哪一项? a3 与 a9 的等差中项是哪一项, 为什么? a10是哪些项的等差中项?
∵a1, a2, a3 成等差数列,
∴a1 与 a3 的等差中项是 a2.
a3 与 a9 的等差中项是 a6,
∵a3+a9=2a1+10d,
又 2a6=2(a1+5d)
=2a1+10d,
即 2a6=a3+a9,
∴ a3 与 a9 的等差中项是 a6.
a10 是 a9 与 a11、
a8 与 a12、
a7 与 a13、
a6 与 a14、
…… 的等差中项.
特点:
中项的下标等于
两项下标和的一半.
问题3：
结论:
在等差数列中,
例。等差数列{an}中, 已知 a1+a7=10,
求 的值.
解:
(1)
即 -1 与 2 的等差中项是
练习(补充)
(1) 求 -1 与 2 的等差中项;
(2) 在等差数列{an}中, 已知 a3+a7=12, 求 a5;
(3) 已知三个数成等差数列, 这三个数的和等于18,这三个数的平方和等于116, 求这三个数.
(2)
∵a5 是 a3 与 a7 的等差中项,
=6.
解:
(3)
练习(补充)
(1) 求 -1 与 2 的等差中项;
(2) 在等差数列{an}中, 已知 a3+a7=12, 求 a5;
(3) 已知三个数成等差数列, 这三个数的和等于18,这三个数的平方和等于116, 求这三个数.
三个数成等差数列, 则中间一个数是另外两
个数的等差中项,
设另外两个数为 a, b,
则中间一个
数为
由题设得方程组
①
②
由①得 a+b=12,
代入②得
a2-12a+32=0,
解得 a=4 或 a=8,
则所求三个数为:
4, 6, 8; 或 8, 6, 4.
【课时小结】
1. 等差数列的应用
(1) 判断问题是否符合等差数列条件;
(2) 建立等差数列模型, 找出或设定等差数列
的有关量;
(3) 根据等差数列通项公式进行运算;
(4) 用运算结果解释实际问题.
【课时小结】
2. 等差中项
如果三个数 a, A, b 成等差数列, 则中间一个数 A 叫做 a 与 b 的等差中项,
或 2A=a+b.
在等差数列中,
(2)若 m+n = p+q, 则 am+an = ap+aq.
练习: (课本39页)
第 4、5 题.
习题 2.2
A 组
第 4、5 题.
B 组
第 1、2 题.
4. 已知一个无穷等差数列 {an} 的首项为 a1, 公差为 d.
(1) 将数列中的前 m 项去掉, 其余各项组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项与公差分别是多少?
(2) 取出数列中的所有奇数项, 组成一个新的数列, 这个数列是等差数列吗? 若是, 它的首项与公差分别是多少?
(3) 如果取出数列中所有序号为 7 的倍数的项, 组成一个新的数列呢? 你能根据得到的结论作出一个猜想吗?
答: (1) 是等差数列, 它的首项是 am+1, 公差与原数列公差相同.
(2) 是等差数列, 它的首项是原数列首项a1, 公差是原数列公差的 2 倍, 即2d.
(3) 也是等差数列, 它的首项是原数列首项a7, 公差是原数列公差的 7 倍, 即7d.
将等差数列中相距 k 的项抽出所构成的数列也是等差数列, 这个数列的公差是原数列公差的 k 倍.
练习: (课本39页)
5. 已知{an}是等差数列.
(1) 2a5=a3+a7 是否成立? 2a5=a1+a9 呢? 为什么?
(2) 2an=an-1+an+1 (n>1) 是否成立? 据此你能得出什么结论?
2an=an-k+an+k (n>k>0) 是否成立? 你又能得出什么结论?
解:
(1)
∵a5 是 a3 与 a7 的等差中项,
∴2a5=a3+a7 =a1+a9 成立.
也是 a1 与 a9 的等差中项,
5. 已知{an}是等差数列.
(1) 2a5=a3+a7 是否成立? 2a5=a1+a9 呢? 为什么?
(2) 2an=an-1+an+1 (n>1) 是否成立? 据此你能得出什么结论?
2an=an-k+an+k (n>k>0) 是否成立? 你又能得出什么结论?
解:
(2)
∵2an=2[a1+(n-1)d]
=2a1+2(n-1)d,
又 an-1+an+1=a1+(n-1-1)d+[a1+(n+1-1)d]
=2a1+2(n-1)d,
得 2an=an-1+an+1 (n>1) 成立.
同理可证得 2an=an-k+an+k (n>k>0) 成立.
结论: 两个数之和等于其等差中项的2倍.
4. 在通常情况下, 从地面到10 km高空, 高度每增加 1 km, 气温就下降某一个固定数值. 如果 1 km 高度的气温是 8.5℃, 5 km 高度的气温是 -17.5℃, 求 2 km, 4 km, 8 km 高度的气温.
解:
由题设知每相差 1 km 高度的气温构成等差数列,
设公差为d, 设 1 km处的气温为a1, 则 a1=8.5,
∴an=8.5+(n-1)d (n≤10).
又 a5 = -17.5,
得 -17.5=8.5+4d,
解得 d = -6.
得通项公式为 an=8.5-6(n-1)
a2= -6?2+14.5
=2.5,
a4= -6?4+14.5
= -9.5,
a8= -6?8+14.5
= -33.5.
即 2 km 高度处的气温是2.5℃, 4 km 高度处的气温是 -9.5℃, 8 km 高度处的气温是 -33.5℃.
= -6n+14.5.
习题2.2 A组
5. 甲虫是行动最快的昆虫之一. 下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度.
时间/s
1
2
3
…
?
…
60
距离/cm
9.8
19.6
29.4
…
49
…
?
(1) 你能建立一个等差数列的模型, 表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗?
(2) 利用建立的模型计算, 甲虫 1 min 能爬多远?它爬行 49 cm 需要多长时间?
由表中前三项得 a1=9.8, d=9.8,
解:
(1)
an=9.8+9.8(n-1)
a60=9.8?60
当 an =49 时,
解得 n=5.
5
(2)
=588(cm).
588
= 9.8n.
得 9.8n =49,
B 组
1. 某地区1997年底沙漠面积为9?105 hm2. 地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况, 从1998年开始进行了连续 5 年的观测, 并在每年底将观测结果记录如下表:
观测年份
该地区沙漠面积比原有面积增加数/hm2
1998
2000
1999
4000
2000
6001
2001
7999
2002
10001
请根据上表所给的信息进行预测.
(1) 如果不采取任何措施, 到2010年底, 这个地区的沙漠面积将大约变成多少 hm2?
(2) 如果从2003年初开始, 采取植树造林等措施, 每年改造8000 hm2沙漠, 但沙漠面积仍按原有速度增加, 那么到哪一年年底, 这个地区的沙漠面积将小于 8?105 hm2?
1998
1999
2000
2001
2002
2000
4000
6001
7999
10001
(1) 如果不采取任何措施, 到2010年底, 这个地区的沙漠面积将大约变成多少 hm2?
(2) 如果从2003年初开始, 采取植树造林等措施, 每年改造8000 hm2沙漠, 但沙漠面积仍按原有速度增加, 那么到哪一年年底, 这个地区的沙漠面积将小于 8?105 hm2?
解:
表中数据基本上是每年增加2000 hm2,
各年沙漠面积可建立等差数列模型, 以2001年为首项,
即 a1=9?105+8000,
公差 d=2000,
则 an=9?105+8000+2000(n-1)
= 2000n+9?105+6000,
a10= 2000?10+9?105+6000
= 9.26?105.
(1)
答: 到2010年底, 这个地区的沙漠面积将大约变成了
9.26?105 hm2.
1998
1999
2000
2001
2002
2000
4000
6001
7999
10001
(1) 如果不采取任何措施, 到2010年底, 这个地区的沙漠面积将大约变成多少 hm2?
(2) 如果从2003年初开始, 采取植树造林等措施, 每年改造8000 hm2沙漠, 但沙漠面积仍按原有速度增加, 那么到哪一年年底, 这个地区的沙漠面积将小于 8?105 hm2?
解:
从2003年底开始, 每年只减少6000 hm2,
以2002年底为首项,
公差 d= -6000,
则 an=9?105+10000-6000(n-1)
= 9?105+16000 -6000n,
(2)
9?105+16000 -6000n<8?105,
解这个不等式得 n>19.3,
即20年后.
答: 要到2022年底, 这个地区的沙漠面积才小于 8?105 hm2.
2. 已知等差数列{an}的公差为 d, 求证:
证明:
∵am=a1+(m-1)d,
an=a1+(n-1)d,
两式相减得 am-an=(m-1)d-(n-1)d
=(m-n)d,
两边除以 m-n 即得