2020-2021学年高中数学人教A版必修5第二章2.3 等差数列的前n项和3课时课件（共85张PPT）

2.3
等差数列的前 n 项和
(第一课时)
问题1. 数列 3, 2, 1, 5, 7, 0, -2, 8, 10, -15, 16, 31, … 的前 3 项和是多少? 前10项和是多少?
一个数列从第 1 项加到第 n 项, 叫做这个数列的前 n 项和, 一般用 Sn 表示, 即
S3=a1+a2+a3.
S10=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10.
Sn=a1+a2+a3+…+an.
前3项和: 3+2+1=6,
前10项和: 3+2+1+5+7+0-2+8+10-15=19.
问题2. 200多年前, 德国数学家高斯在它10岁时计算 1+2+3+…+100 是这样算的: (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101?50, 由此启示, 如果知道等差数列的首项 a1 和末项 an, 请你思考如何写出它的前 n 项和 Sn.
∵ Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an.
又可写成 Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1.
两式相加得 2Sn=
(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
= (a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+…+(an+a1)
= n(a1+an)
等差数列中
若 m+n=p+q,
则 am+an=ap+aq.
等差数列前 n 项和:
将an用通项公式代换后, 公式变为:
请同学们比较, 这两个公式有什么不同? 各个公式在什么情况下用较方便?
两式相加得：
倒序相加法
问题3. 你能求出正整数数列的前 n 项和吗? 正偶数数列的前 n 项和呢? 正奇数数列呢?
(1) 正整数数列: 1, 2, 3, …, n, …
这个数列是等差数列, a1=1, an=n, d=1.
用第一个公式求和得
用第二个求和公式得
问题3. 你能求出正整数数列的前 n 项和吗? 正偶数数列的前 n 项和呢? 正奇数数列呢?
(2) 正偶数数列: 2, 4, 6, …, 2n, …
这个数列也是等差数列, a1=2, an=2n, d=2.
用第一个公式求和得
用第二个求和公式得
=n2+n.
=n2+n.
问题3. 你能求出正整数数列的前 n 项和吗? 正偶数数列的前 n 项和呢? 正奇数数列呢?
(3) 正奇数数列: 1, 3, 5, …, 2n-1, …
这个数列还是等差数列, a1=1, an=2n-1, d=2.
用第一个公式求和得
用第二个求和公式得
=n2.
=n2.
例1. 2000年11月14日都育部下发了《关于中小学实施 “校校通” 工程的通知》. 某市据此提出了实施 “校校通”工程的总目标: 从2001年起用10年的时间, 在全市中小学建成不同标准的校园网. 据测算, 2001年该市用于 “校校通” 工程的经费为500万元, 为了保证工程的顺利实施, 计划每年投入的资金都比上一年增加50万元, 那么从2001年起的未来10年内, 该市在 “校校通”工程中的总投入是多少?
解:
每年投入资金比上一年增加50万元, 是个定数,
则各年投入的资金构成等差数列,
a1=500, d=50.
要求10年的总和, 即此等差数列的前10项和,
用第二个公式:
= 7250(万元).
(答略)
例2. 已知一个等差数列{an}前10项的和是310, 前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列前n 项和的公式吗?
分析:
用通项公式写出所给两项可得 a1 与 d 的
解出 a1 与 d 即可用第二个求和公式.
方程组,
例2. 已知一个等差数列{an}前10项的和是310, 前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列前n 项和的公式吗?
解:
∵前10项的和是310,
①
又前20项的和是1220,
得
②
由①②组成方程组
解方程组得 a1=4, d=6.
则可写出前 n 项和公式:
=3n2+n.
1. 根据下列各题中的条件, 求相应的等差数列 {an}的前 n 项和 Sn.
(1) a1= -4, a8= -18, n=8;
(2) a1=14.5, d=0.7, an=32.
解:
(1)
∵n=8;
则 Sn = S8 =
= -88.
练习: (课本45页)
1. 根据下列各题中的条件, 求相应的等差数列 {an}的前 n 项和 Sn.
(1) a1= -4, a8= -18, n=8;
(2) a1=14.5, d=0.7, an=32.
解:
(2)
练习: (课本45页)
∵an=a1+(n-1)d,
即 32=14.5+0.7(n-1),
解得 n=26.
由第一个公式得
= 604.5.
由第二个公式得
= 604.5.
1. (3) 在三位正整数的集合中有多少个数是 5 的倍数? 求它们的和.
(4) 在正整数集合中有多少个三位数? 求它们的和.
解:
(3)
5 的倍数的数构成等差数列,
即 a1=100, an=995, d=5.
由通项公式得 995=100+5(n-1),
= 98550.
三位正整数中最小的一个5的倍数是100, 最大的
一个5的倍数是995,
解得 n=180.
答: 有180个5的倍数, 它们的和为98550.
习题2.3
A 组
1. (3) 在三位正整数的集合中有多少个数是 5 的倍数? 求它们的和.
(4) 在正整数集合中有多少个三位数? 求它们的和.
解:
(4)
999=100+(n-1)?1,
a1=100, an=999, d=1.
= 494550.
正整数中最小的一个三位数是100,
答: 有900个三位正整数, 它们的和为494550.
习题2.3
A 组
最大的是999, 它们成等差数列, 其中
由通项公式 an=a1+(n-1)d 得
解得 n=900.
【课时小结】
1. 数列的前 n 项和
一个数列从第 1 项加到第 n 项, 叫做这个数列的前 n 项和, 一般用 Sn 表示, 即
Sn=a1+a2+a3+…+an.
【课时小结】
2. 等差数列的前 n 项和公式的导出
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an.
又 Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1.
2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).
两式相加得
而 a2+an-1=a3+an-2=…=a1+an.
∴2Sn=n(a1+an).
得
用通项公式换 an 后得
【课时小结】
3. 等差数列的前 n 项和公式
已知首项、末项、项数, 求前 n 项和:
已知首项、项数、公差, 求前 n 项和:
【课时小结】
4. 等差数列的前 n 项和公式的几何意义
a1
an
n
梯形面积
a1
n
(n-1)d
平行四边形面积 + 三角形面积
2. 根据下列条件, 求相应的等差数列 {an} 的有关未知数:
(1) a1=20, an=54, Sn=999, 求 d 及 n;
(2) d= n=37, Sn=629, 求 a1 及 an;
(3) a1= d= Sn=-5, 求 n 及 an;
(4) d=2, n=15, an=-10, 求 a1 及 Sn.
解:
(1)
解得 n=27,
又由 an=a1+(n-1)d 得
54=20+(27-1)d,
解得
2. 根据下列条件, 求相应的等差数列 {an} 的有关未知数:
(1) a1=20, an=54, Sn=999, 求 d 及 n;
(2) d= n=37, Sn=629, 求 a1 及 an;
(3) a1= d= Sn=-5, 求 n 及 an;
(4) d=2, n=15, an=-10, 求 a1 及 Sn.
解:
(2)
解得 a1=11,
则 an=a1+(n-1)d
=23.
2. 根据下列条件, 求相应的等差数列 {an} 的有关未知数:
(1) a1=20, an=54, Sn=999, 求 d 及 n;
(2) d= n=37, Sn=629, 求 a1 及 an;
(3) a1= d= Sn=-5, 求 n 及 an;
(4) d=2, n=15, an=-10, 求 a1 及 Sn.
解:
(3)
解得 n=15,
则 an=a1+(n-1)d
2. 根据下列条件, 求相应的等差数列 {an} 的有关未知数:
(1) a1=20, an=54, Sn=999, 求 d 及 n;
(2) d= n=37, Sn=629, 求 a1 及 an;
(3) a1= d= Sn=-5, 求 n 及 an;
(4) d=2, n=15, an=-10, 求 a1 及 Sn.
解:
(4)
解得 a1= -38,
由 an=a1+(n-1)d 得
-10=a1+(15-1)?2,
则
= -360.
3. 为了参加冬季运动会的 5000 m 长跑比赛, 某同学给自己制定了 7 天的训练计划: 第 1 天跑 5000 m, 以后每天比前一天多跑 500 m. 这个同学 7 天一共将跑多长的距离?
解:
由题设知每天所跑的路程构成等差数列,
a1 = 5000, d = 500, n = 7,
7 天一共跑的距离为此数列的前7项和.
= 45500(m).
答: 这个同学 7 天一共将要跑 45.5 km 的距离.
4. 一个多边形的周长等于 158 cm, 所有各边的长成等差数列, 最大边的长等于 44 cm, 公差等于 3 cm, 求多边形的边数.
解:
设多边形的边数为 n.
各边长构成的等差数列中, Sn=158, an=44, d=3.
由等差数列前 n 项和公式得:
由等差数列通项公式得:
an=a1+(n-1)d,
?44=a1+3(n-1),
①
②
解①②组成的方程组得 n=4.
即这个多边形是 4 边形.
5. 在小于 100 的正整数中共有多少个数被 7 除余2? 这些数的和是多少?
解:
被 7 除余 2 的数为 7n+2,
其中 a1=2,
要使这样的数小于100, 则
7n+2<100,
解得 n<14,
当 n=0时也成立,
∴ 这样的数共有14个, 构成以7为公差的等差数列.
则这些数的和为:
= 665.
答: 这样的数有14项, 它们的和是665.
2.3
等差数列的前 n 项和
(第二课时)
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学习要点
1. 等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的什么函数? 它有最大值或最小值吗?
2. 已知任一数列的前 n 项和公式, 能写出它的通项公式吗?
3. 等差数列相邻 k 项的和组成什么数列?
4. 数列 的前 n 项和怎样求?
例3. 已知数列{an}的前 n 项和为 求这
个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗? 如果是,它的首项与公差分别是什么?
解:
结论:
任一数列 {an}, 如果已知 Sn, 可如下求通项 an:
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an,
Sn-1 = a1 + a2 + a3 + … + an-1,
Sn-Sn-1 =
an (n>1),
当 n=1 时, a1=S1.
检验求得的 an, 如果 n=1 时的结果等于 S1, 则所求的通项公式 n?N+; 若不等, a1=S1 要另外写上.
问题4. 等差数列的通项公式是关于 n 的什么函数? 前 n 项和公式呢? 反之是否成立?
等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d
= dn+a1-d.
是关于 n 的一次函数, 一次项系数为公差 d,
常数项是 a1-d.
反之, 如果一个数列的通项公式是关于 n 的一次
an=kn+b (k, b是常数),
函数, 如
则 an+1-an=
k(n+1)+b-(kn+b)
= k,
(常数)
∴{an}是等差数列.
问题4. 等差数列的通项公式是关于 n 的什么函数? 前 n 项和公式呢? 反之是否成立?
等差数列的前 n 项和公式
常数项为 0.
反之, 如果一个数列的前 n 项和公式是关于 n 的
Sn=pn2+qn+r (p, q, r是常数),
二次函数, 如
则 an=Sn-Sn-1=
pn2+qn+r-[p(n-1)2+q(n-1)+r]
= 2pn-p+q,
这是关于 n 的一次函数, 是等差数列.
是关于 n 的二次函数, 二次项系数是
一次项系数是
结论:
通项公式是关于 n 的一次函数,
等差数列中,
前 n 项和公式是关于 n 的二次函数.
反之:
如果一个数列的通项公式是关于 n 的一次函数,
则这个数列是等差数列.
如果一个数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次
函数, 则这个数列是等差数列.
例4. 已知等差数列
的前 n 项和为 Sn, 求使得 Sn 最大的序号 n 的值.
解:
此数列的公差为
则前 n 项和公式为:
二次函数中, 当 n = 时,
即得
但 n 应取正整数.
∴当 n=7 或 8 时, Sn 取得最大值 20 (如图).
函数取得最大值,
7
8
n
Sn
o
20
练习: (课本45页)
第 2 题.
练习(补充). 设 Sn 是公差为 d (d≠0) 的无穷等差数列 {an} 的前 n 项和, 则下列命题错误的是 ( )
(A) 若 d<0, 则数列 {Sn} 有最大项
(B) 若数列 {Sn} 有最大项, 则 d<0
(C) 若数列 {Sn} 是递增数列, 则对任意 n?N*, 均有 Sn>0
(D) 若对任意 n?N*, 均有 Sn>0, 则数列 {Sn} 是递增数列
2. 已知数列{an}的前 n 项的和为 求这个数列的通项公式.
解:
an = Sn-Sn-1
∴所求通项中 n≠1,
则数列的通项公式为
而
练习: (课本45页)
练习(补充). 设 Sn 是公差为 d (d≠0) 的无穷等差数列 {an} 的前 n 项和, 则下列命题错误的是 ( )
(A) 若 d<0, 则数列 {Sn} 有最大项
(B) 若数列 {Sn} 有最大项, 则 d<0
(C) 若数列 {Sn} 是递增数列, 则对任意 n?N*, 均有 Sn>0
(D) 若对任意 n?N*, 均有 Sn>0, 则数列 {Sn} 是递增数列
解:
Sn 是关于 n 的二次函数,
当 d<0, 其图象开口向下,
若对称轴 时,
取距 n0 最近的整数 n,
则第 n 项最大.
若对称轴 时,
最大项为首项.
n
Sn
O
(A)正确.
练习(补充). 设 Sn 是公差为 d (d≠0) 的无穷等差数列 {an} 的前 n 项和, 则下列命题错误的是 ( )
(A) 若 d<0, 则数列 {Sn} 有最大项
(B) 若数列 {Sn} 有最大项, 则 d<0
(C) 若数列 {Sn} 是递增数列, 则对任意 n?N*, 均有 Sn>0
(D) 若对任意 n?N*, 均有 Sn>0, 则数列 {Sn} 是递增数列
解:
Sn 是关于 n 的二次函数.
其图象开口必向下.
n
Sn
O
(B) 正确.
反之, 当 {Sn} 有最大项时,
则必有 d<0.
练习(补充). 设 Sn 是公差为 d (d≠0) 的无穷等差数列 {an} 的前 n 项和, 则下列命题错误的是 ( )
(A) 若 d<0, 则数列 {Sn} 有最大项
(B) 若数列 {Sn} 有最大项, 则 d<0
(C) 若数列 {Sn} 是递增数列, 则对任意 n?N*, 均有 Sn>0
(D) 若对任意 n?N*, 均有 Sn>0, 则数列 {Sn} 是递增数列
解:
Sn 是关于 n 的二次函数.
若 {Sn} 是递增数列,
则 Sn+1-Sn>0,
得 an+1>0.
但 S1=a1>0 不一定成立.
(C) 错.
C
练习(补充). 设 Sn 是公差为 d (d≠0) 的无穷等差数列 {an} 的前 n 项和, 则下列命题错误的是 ( )
(A) 若 d<0, 则数列 {Sn} 有最大项
(B) 若数列 {Sn} 有最大项, 则 d<0
(C) 若数列 {Sn} 是递增数列, 则对任意 n?N*, 均有 Sn>0
(D) 若对任意 n?N*, 均有 Sn>0, 则数列 {Sn} 是递增数列
解:
Sn 是关于 n 的二次函数.
若对任意 n?N*, 均有 Sn>0,
则 a1=S1>0, d>0.
∴ an=a1+(n-1)d>0.
∴ {Sn} 是递增数列.
(D) 对.
即 an=Sn-Sn-1>0.
C
习题 2.3
B 组
第 2、4 题.
2. 已知数列{an}是等差数列, Sn 是其前 n 项的和, 求证: S6, S12-S6, S18-S12 也成等差数列.
证明:
∵数列{an}是等差数列,
则设其前 n 项和为
2(S12-S6) =
=12a1+102d,
S6 + (S18-S12)
=12a1+102d,
即 2(S12-S6) = S6 + (S18-S12),
∴ S6, S12-S6, S18-S12 成等差数列.
等差数列 {an}中, 相邻 k 项的和也构成等差数列, 即
Sk, S2k-Sk, S3k-S2k, …, Snk-S(n-1)k, … (k?N*)
构成等差数列.
由等差数列前 n 项和公式求得
则 (S(n+1)k-Snk)-(Snk-S(n-1)k) =
k2d.
(常数)
即 {S(n+1)k-Snk} 成等差数列, 公差为 k2d.
研究一下, 能否找到求 Sn 的一个公式. 你能对这个问题作一些推广吗?
4. 数列 的前 n 项和
解:
用待定系数法将其通项拆项:
设
比较系数得
?A=1, B= -1,
∴通项拆项得
则 Sn =
研究一下, 能否找到求 Sn 的一个公式. 你能对这个问题作一些推广吗?
4. 数列 的前 n 项和
解:
用待定系数法将其通项拆项:
设
比较系数得
?A=1, B= -1,
∴通项拆项得
则 Sn =
通项 有什么特点?
如果一个数列的通项是分子为常数, 分母是相邻两数之积时, 可用裂项法求和.
如:
设
A+B=0,
2A+B=k.
解得 A=k, B= -k.
则 Sn=
【课时小结】
1. 等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数, 当 d<0 时和有最大值.
2. 已知任一数列的前 n 项和公式 Sn, 其前 n项和公式为
【课时小结】
3. 等差数列相邻 k 项的和也成等差数列, 公差为 k2d.
即 Sk, S2k-Sk, S3k-S2k, … 成等差数列.
4. 如果一个数列的通项是分子为常数, 分母是相邻两数之积时, 可用待定系数法裂项求和.
如:
练习: (课本45页)
习题 2.3
A 组
第 3 题.
第 6 题.
B 组
第 1、3 题.
3. 求集合 M = {m | m=2n-1, n?N*, 且m<60} 的元素个数, 并求这些元素的和.
解:
由不等式 2n-1<60 解得
∵ n?N*,
即 m 中的元素有30个,
(其实是30个正奇数)
这些元素按从小到大构成等差数列,
a1 = 1, d = 2,
这些元素的和为
= 900.
练习: (课本45页)
6. 有两个等差数列 2, 6, 10, …, 190 及 2, 8, 14, …, 200. 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列, 求这个新数列的各项之和.
解:
第一个数列的通项公式为
an=2+4(n-1)
=4n-2;
第二个数列的通项公式为
bn=2+6(n-1)
=6n-4.
两数列相等的项为:
4n1-2 = 6n2-4,
当 n2 取奇数时 n1 为整数,
∴ 新数列是第二个数列的奇数项,
也是等差数列,
设这个新数列为{cn}, 则 c1=2, d=12,
则 cn=2+12(n-1)
≤190
得 n=16.
∴新数列之和 Sn=
=1472.
<17,
习题 2.3
A 组
B 组
1. 一家冷饮厂每个月都要对一种大型冰激凌机进行维修. 维修人员发现, 维修费用与时间有下列关系: 第 n 个月花费维修费 2(n-1)+500元, 这种冰激凌机的售价为50万元, 使用 5 年后报废. 那么, 这台冰激凌机从投入使用到报废, 每天的平均消耗是多少(一年按365天计, 结果保留 3 位有效数字)?
解:
由2(n-1)+500知, 到第 n (n=1, 2, …, 60)个月
的维修费构成等差数列,
a1=500, d=2.
全部维修费的总和为
=33540.
平均每天消耗为
≈292(元),
答: 每天的平均消耗是292元.
3. 一支车队有 15 辆车, 某天依次出发执行运输任务, 第一辆车于下午 2 时出发, 第二辆车于下午 2时 10 分出发, 第三辆车于下午 2 时 20 分出发, 依此类推. 假设所有的司机都连续开车, 并都在下午 6 时停下来休息.
(1) 到下午 6 时, 最后一辆车行驶了多长时间?
(2) 如果每辆车的行驶速度都是 60 km/h, 这个车队当天一共行驶了多少 km?
解:
(1)
各车的出发时间成等差数列,
则各车的行驶时间也成等差数列, 设为{an},
则 a1=6-2=4 h
那么 a15=240-10(15-1)
d= -10 min.
=240 min,
=100(min).
答: 最后一辆车行驶了1小时40分钟.
3. 一支车队有 15 辆车, 某天依次出发执行运输任务, 第一辆车于下午 2 时出发, 第二辆车于下午 2时 10 分出发, 第三辆车于下午 2 时 20 分出发, 依此类推. 假设所有的司机都连续开车, 并都在下午 6 时停下来休息.
(1) 到下午 6 时, 最后一辆车行驶了多长时间?
(2) 如果每辆车的行驶速度都是 60 km/h, 这个车队当天一共行驶了多少 km?
解:
(2)
全部车辆行驶的总时间为:
60?42.5= 2550 (km),
=2550(min)
答: 这个车队当天一共行驶了2550 km.
=42.5 h.
复习与提高
复习与提高
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知识要点
1. 数列的基本概念
名称: {an}, {bn}, …
通项: an, bn, …
有穷数列, 无穷数列;
递增数列, 递减数列,
常数列, 摆动数列.
知识要点
2. 数列的通项公式
用正整数 n 表示第 n 项 an 的式子.
通项公式 an 是 n 的函数, 定义域为: n?N*.
(1) 对简单的数列能归纳它的通项公式;
(2) 根据通项公式能写出数列的项.
知识要点
3. 递推数列
给出数列的首项或前两项, 以后的各项由它的前一项或前两项推出.
递推公式是相邻项的关系式.
斐波拉契数列就是一个递推数列, 它的前两项都是 1, 以后各项都由前两项的和而得, 即
F1=1,
F2=1,
Fn=Fn-1+Fn-2 (n≥3).
知识要点
4. 数列的前 n 项和
一个数列从第 1 项加到第 n 项, 叫做这个数列的前 n 项和, 一般用 Sn 表示, 即
Sn=a1+a2+a3+…+an.
前 n 项和公式也是一个关于正整数 n 的函数.
由数列的前 n 项和公式可得这数列的通项公式:
知识要点
5. 等差数列
从第 2 项起的每一项与它的前一项的差等于同一个常数 d.
an=a1+(n-1)d.
an 是关于正整数 n 的一次函数.
即 an+1-an=d.
其通项公式为:
知识要点
6. 等差中项
如果三个数 a, A, b 成等差数列, 则中间一个数 A 叫做 a 与 b 的等差中项,
或 2A=a+b.
在等差数列中,
(2)若 m+n = p+q, 则 am+an = ap+aq.
知识要点
7. 等差数列前 n 项和
等差数列相邻 k 项的和也成等差数列, 公差为 k2d.
即 Sk, S2k-Sk, S3k-S2k, … 成等差数列.
等差数列前 n 项和公式是关于 n 的二次函数.
知识要点
8. 数列 的前 n 项和
裂项
例题选讲
例1. 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足: Sn+Sm=Sn+m, 且 a1=1, 那么 a10 等于 ( )
(A) 1 (B) 9 (C) 10 (D) 55
解:
a10=S10-S9
=S9+1-S9
=S9+S1-S9
=S1
=a1
=1.
A
的应用.
例2. 已知递增的等差数列 {an} 满足 a1=1, a3=a22-4. 则 an= .
解:
∵a3=a1+2d
a2=a1+d=1+d,
=1+2d,
∴1+2d=(1+d)2-4,
解得 d=±2.
而{an}是递增数列,
∴取 d=2.
则 an=1+2(n-1)
=2n-1.
2n-1
等差数列通项公式的应用. 递增时, d>0.
例3. Sn 是等差数列 {an} 的前 n 项和, 已知 S99=100, 则 a50= .
解:
∵a1+a99=2a50,
得
等差中项的应用.
例4. 在数列 {an} 中, a1=2, an+1=an+ln(1+ ), 则 an= ( )
(A) 2+lnn (B) 2+(n-1)lnn
(C) 2+nlnn (D) 1+n+lnn
解:
由 得
依次取 n=1, 2, …, n 得
……
等号两边分别相加得
an+1-a1=
=ln(n+1),
∴an+1=2+ln(n+1),
则 an=2+lnn.
A
逐项取值, 错位相消法.
例5. 在等差数列 {an} 中, a2+a3+a4=45, a8=25.
(1) 求数列 {an} 的通项公式;
(2) 对任意 m?N*, 将数列 {an} 中落入区间 (10m-1, 20m+1) 内的项的个数记为 bm, 求数列 {bm} 的前 m 项和 Sm.
解:
由 a2+a3+a4=45 得
3a1+6d=45,
由 a8=25 得
a1+7d=25.
①
②
由①②解得
a1=11, d=2.
(1)
∴{an}的通项公式为
an=11+(n-1)?2
=2n+9.
例5. 在等差数列 {an} 中, a2+a3+a4=45, a8=25.
(1) 求数列 {an} 的通项公式;
(2) 对任意 m?N*, 将数列 {an} 中落入区间 (10m-1, 20m+1) 内的项的个数记为 bm, 求数列 {bm} 的前 m 项和 Sm.
解:
(2)
10m-1即 10m-1<2n+9<20m+1,
得 5m-5∵(10m-4)-(5m-5)=5m+1,
∴在区间 (10m-1, 20m+1) 内的 an 有 5m (m?N*) 个.
即 bm=5m.
得 {bm} 为等差数列,
b1=5.
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(共 8 题)
练
习
题
练习
1. 已知数列 {an} 对任意的 p, q?N*, 满足ap+q=ap+aq, 且 a2= -6, 那么a10= ( )
(A) -165 (B) -33 (C) -30 (D) -21
2. 将全体正整数排成一个三角形数阵:
根据以上排列规律, 数阵中第 n (n≥3) 行的从左
至右的第 3 个数是 .
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
… … … … … …
3. 在等差数列 {an} 中, 已知 a4+a8=16, 则该数列的前 11 项和 S11= ( )
(A) 58 (B) 88 (C) 143 (D) 176
4. 设数列 {an}, {bn} 都是等差数列, 若a1+b1=7, a3+b3=21, 则 a5+b5= .
5. 设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 若 S9=72,则 a2+a4+a9= .
6. 设数列 {an} 中, a1=2, an+1=an+n+1, 则通项 an= .
7. 已知数列 {an} 中, a1=1, 前 n 项和
(1) 求 a2, a3;
(2) 求{an} 的通项公式.
8. 已知数列 {an} 的前 n 项和 且 Sn 的最大值为 8.
(1) 确定常数 k, 并求 an;
(2) 求数列 的前 n 项和 Tn.
1. 已知数列 {an} 对任意的 p, q?N*, 满足ap+q=ap+aq, 且 a2= -6, 那么 a10= ( )
(A) -165 (B) -33 (C) -30 (D) -21
解:
按 ap+q=ap+aq 递推:
a10=a2+8
=a2+a8
=a2+a2+6
=a2+a2+a6
=a2+a2+a2+4
=a2+a2+a2+a4
=a2+a2+a2+a2+2
=a2+a2+a2+a2+a2
= -30.
C
2. 将全体正整数排成一个三角形数阵:
根据以上排列规律, 数阵中第 n (n≥3) 行的从左至右的第 3 个数是 .
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
… … … … … …
分析:
前 n-1 行的数字个数之和再加上 3, 即为所求
的数字.
各行数字个数依次构成等差数列, 公差
d=1.
Sn-1+3=
3. 在等差数列 {an} 中, 已知 a4+a8=16, 则该数列的前 11 项和 S11= ( )
(A) 58 (B) 88 (C) 143 (D) 176
解:
在等差数列中 a1+a11=a4+a8
=16,
=88.
B
4. 设数列 {an}, {bn} 都是等差数列, 若a1+b1=7, a3+b3=21, 则 a5+b5= .
解:
a3+b3=a1+2da+b1+2db
=a1+b1+2(da+db),
∵a1+b1=7, a3+b3=21,
∴得 21=7+2(da+db),
解得 2(da+db) =14.
则 a5+b5 =
a3+2da+b3+2db
=a3+b3+2(da+db),
=21+14
=35.
35
5. 设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 若 S9=72,则 a2+a4+a9= .
解:
整理得 a1+4d=8.
a2+a4+a9 =
3a1+12d
=3(a1+4d)
=3?8
=24.
24
6. 设数列 {an} 中, a1=2, an+1=an+n+1, 则通项 an= .
解:
由 an+1=an+n+1 得
an+1-an=n+1.
n 依次取正整数得
a2-a1=1+1,
a3-a2=2+1,
a4-a3=3+1,
……
an+1-an=n+1.
等号两边分别相加得
an+1-a1=
2+3+4+…+(n+1)
则 an=
7. 已知数列 {an} 中, a1=1, 前 n 项和
(1) 求 a2, a3;
(2) 求{an} 的通项公式.
解:
(1)
a2=S2-a1
解得 a2=3.
同理
a3=S3-a2-a1
解得 a3=6.
7. 已知数列 {an} 中, a1=1, 前 n 项和
(1) 求 a2, a3;
(2) 求{an} 的通项公式.
解:
(2)
an=Sn-Sn-1
整理得
(n-1)an=(n+1)an-1,
n 依次取大于 1 的正整数得
……
等号两边分别相乘得
7. 已知数列 {an} 中, a1=1, 前 n 项和
(1) 求 a2, a3;
(2) 求{an} 的通项公式.
解:
(2)
an=Sn-Sn-1
整理得
(n-1)an=(n+1)an-1,
n 依次取大于 1 的正整数得
……
等号两边分别相乘得
得
8. 已知数列 {an} 的前 n 项和
且 Sn 的最大值为 8.
(1) 确定常数 k, 并求 an;
(2) 求数列 的前 n 项和 Tn.
解:
(1)
时, Sn 取得最大值.
即 n=k 时,
解得 k=4.
则
an=Sn-Sn-1
a1 满足 an.
8. 已知数列 {an} 的前 n 项和
且 Sn 的最大值为 8.
(1) 确定常数 k, 并求 an;
(2) 求数列 的前 n 项和 Tn.
解:
(2)
则 Tn =