2020-2021学年高中数学人教A版必修5第二章2.5 等比数列的前n项和3课时课件（共84张PPT）

等比数列的前n项和
2.5
等比数列的前n项和
分组求和及求和应用
复习与提高
课本中介绍了一个关于数列问题的传说
《国际象棋格上的麦粒》
国王为了奖励国际象棋的发明者， 问发明
者需要什么，发明者说: “请按如下的方法赏给
我麦粒： 在棋盘的第一格放 1 粒，第二格放 2
粒，第三格放 4 粒, 第四格放 8 粒，…… 如此 类推，每一格的麦粒数是前一格的 2 倍，直到把棋盘的64个格子全部放完。” 国王欣然答应，
结果……
（如下图）
国际象棋棋盘
128
256
512
1024
2048
4096
8192
16384
32768
65536
131072
64格麦粒的和为
=18446744073709551615
以每千粒40克算,共有 7378亿 吨重,目前世界年产小麦6亿吨, 国王给得起吗?
上面的全部麦粒数是一个等比数列的和.
如果知道等比数列的首项和公比, 怎样求前 n 项和呢? 请同学们看下面的问题.
问题 1. 等比数列的任一项乘以公比 q 后是一个什么数? 等比数列的前 n 项和 Sn 的各项乘以公比 q 后发生了什么样的变化? 与 Sn 进行怎样的计算会消掉许多项? 请同学们试试.
Sn=a1+a2+a3+a4+…+an-1+an,
qSn=qa1+qa2+qa3+qa4+…+qan-1+qan,
qSn=a2+a3+a4+a5+…+an+an+1,
①
②
①-②得
(1-q)Sn =
a1-an+1
= a1-a1qn
= a1(1-qn),
当 q≠1 时, 两边同除以 1-q 得
等比数列的前 n 项和公式:
当 n 较大时, qn 是一个高次式.
能否用首项, 末项以及 q 的一次式表示? 请同学们试试.
如: 棋盘上的麦粒数之和为
=18446744073709551615.
错位相减法
=18446744073709551615
例 1. 求下列等比数列前 8 项的和:
(1)
(2)
解:
(1)
由题设得
(2)
∵a9 = a1q8,
得
解得
练习: (课本58页)
1. 根据下列各题中的条件, 求相应的等比数列{an}的前 n 项和 Sn.
(1) a1=3, q=2, n=6;
(2)
解:
(1)
∵ a1=3, q=2, n=6,
∴Sn = S6
= 189.
(2)
由 得
2. 如果一个等比数列前 5 项和等于 10, 前 10 项和等于 50, 那么它前 15 项和等于多少?
解:
两式相除得
1+q5=5,
? q5=4.
代入第一式得
= 210.
2. 如果一个等比数列前 5 项和等于 10, 前 10 项和等于 50, 那么它前 15 项和等于多少?
解:
= 10+10q5
解得 q5=4.
= 210.
法二,
S10 = (a1+a2+…+a5)+(a6+a7+…+a10)
= (a1+a2+…+a5)+q5(a1+a2+…+a5)
= 50,
S15 = (a1+a2+…+a5)+(a6+a7+…+a10)+(a11+a12+…+a15)
= (a1+a2+…+a5)+q5(a1+a2+…+a5) )+q10(a1+a2+…+a5)
= 10+4?10+42?10
【课时小结】
1. 等比数列前 n 项和公式
q=1 时,
Sn=a1+a1+…+a1=na1.
【课时小结】
2. 等比数列前 n 项和公式的导出
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,
qSn=qa1+qa2+qa3+…+qan-1+qan
=a2+a3+a4+…+an+an+1,
得 (1-q)Sn = a1-an+1
= a1(1-qn),
习题 2.5
A 组
第 1、2、3 题.
B 组
第 1、2 题.
习题 2.5
A 组
1. 在等比数列{an}中:
(1) 已知 a1= -1, a4=64, 求 q 与 S4;
(2) 已知 a3 = S3 = 求 a1 与 q.
解:
(1)
由等比数列通项公式得
a4=a1p3
? -q3= 64,
? q = - 4.
= 51.
习题 2.5
A 组
1. 在等比数列{an}中:
(1) 已知 a1= -1, a4=64, 求 q 与 S4;
(2) 已知 a3 = S3 = 求 a1 与 q.
解:
(2)
由
由
①
②
将①代入②得 2q2-q-1=0,
或 q=1,
当 时, a1=6;
当 q=1 时, a1=
2. 某企业去年的产值是 138万元, 计划在今后 5 年内每年比上一年产值增长 10%, 这 5 年的总产值是多少?
解:
各年的增长率相同, 则各年产值成等比数列,
其中 a1=138(1+10%)
则 5 年的总产值为:
≈927(万元),
答: 这 5 年的总产值约为 927万元.
q=1+10%=1.1, n=5.
=151.8,
3. 如图, 画一个边长为 2 cm 的正方形, 再将这个正方形各边的中点相连得到第 2 个正方形, 依此类推, 这样一共画了 10 个正方形, 求:
(1) 第 10 个正方形的面积;
(2) 这 10 个正方形的面积的和.
解:
如图可得第二个正方形面积
是第一个正方形面积的
以后的每一个正方形面积都是
前一个正方形面积的
所以各正方形的面积成等比数列, 其中
a1=4, q =
(1)
a10 =
3. 如图, 画一个边长为 2 cm 的正方形, 再将这个正方形各边的中点相连得到第 2 个正方形, 依此类推, 这样一共画了 10 个正方形, 求:
(1) 第 10 个正方形的面积;
(2) 这 10 个正方形的面积的和.
解:
如图可得第二个正方形面积
是第一个正方形面积的
以后的每一个正方形面积都是
前一个正方形面积的
所以各正方形的面积成等比数列, 其中
a1=4, q =
(2)
B 组
1. 利用等比数列的前 n 项和的公式证明
其中 n?N*, a, b 是不为 0 的常数, 且 a≠b.
证明:
左边 =
= 右边,
∴等式成立.
2. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 求证 S7, S14-S7, S21-S14 也成等比数列.
证明:
∵ S14= (a1+a2+…+a7)+(a8+a9+…+a14)
= S72q14,
S7(S21-S14) = S7[S7(1+q7+q14)-S7(1+q7)]
= (a1+a2+…+a7)+q7(a1+a2+…+a7)
= S7(1+q7),
S21= (a1+a2+…+a14)+(a15+a16+…+a21)
= (a1+a2+…+a14)+q14(a1+a2+…+a7)
= S7(1+q7+q14).
则 (S14-S7)2 =[S7(1+q7)-S7]2
= S72q14,
即 (S14-S7)2 = S7(S21-S14),
∴ S7, S14-S7, S21-S14 成等比数列.
2. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 求证 S7, S14-S7, S21-S14 也成等比数列.
∵Sk=a1+a2+a3+…+ak.
S2k-Sk=ak+1+ak+2+ak+3+…+ak+k
=qk(a1+a2+a3+…+ak).
S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+a2k+3+…+a2k+k
=q2k(a1+a2+a3+…+ak).
……
相邻同 k 项的和依次成等比数列.
类推:
分组求和
求和应用
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学习要点
1. 我们学过哪些数列求和的形式? 怎样将这些求和形式用于较复杂的求和式中?
2. 数列求和怎样应用于解决实际问题?
问题1. 我们学习了等差数列和等比数列的前 n项和公式, 请问: 下面这个求和如何运算?
分析:
思考意向:
是否可构成等差数列和, 或
等比数列和?
发现:
将求和式重新组合, 可构成一个等差数
列与一个等比数列的和.
即: 原式=
问题1. 我们学习了等差数列和等比数列的前 n项和公式, 请问: 下面这个求和如何运算?
这是一个分组求和问题.
求和问题的主要思路:
(1) 向等差数列求和或等比数列求和转化.
(2) 向着已学过的求和模型转化:
① 等差数列前 n 项和公式导出模型;
② 等比数列前 n 项和公式导出模型;
③ 裂项求和模型.
例(补充1). 求和 (x≠0, x≠1, y≠1).
解:
原式 =
(x+x2+…+xn)+
例(补充2). 已知数列 {an} 的通项公式为 an=2n-3n+1, 求前n 项和 Sn.
解:
Sn=a1+a2+…+an
= (2-3+1)+(22-3?2+1)+…+(2n-3n+1)
= (2+22+…+2n)-3(1+2+…+n)+(1+1+…+1)
+ n
习题 2.5
A 组
4. 求和:
(1) (a-1)+(a2-2)+…+(an-n);
(2) (2-3?5-1)+(4-3?5-2)+…+(2n-3?5-n);
(3) 1+2x+3x2+…+nxn-1.
解:
(1)
原式 = (a+a2+…+an)-(1+2+…+n),
当 a = 1 时,
原式 = (1+1+…+1)-(1+2+…+n)
当 a ≠1 时,
原式 =
习题 2.5
A 组
4. 求和:
(1) (a-1)+(a2-2)+…+(an-n);
(2) (2-3?5-1)+(4-3?5-2)+…+(2n-3?5-n);
(3) 1+2x+3x2+…+nxn-1.
解:
(2)
原式 = (2+4+…+2n)
习题 2.5
A 组
4. 求和:
(1) (a-1)+(a2-2)+…+(an-n);
(2) (2-3?5-1)+(4-3?5-2)+…+(2n-3?5-n);
(3) 1+2x+3x2+…+nxn-1.
解:
(3)
原式 = 1+2+…+n
当 x = 1 时,
设 S = 1+2x+3x2+…+nxn-1,
两边同乘以 x 得,
当 x ≠0, 1 时,
当 x = 0 时,
原式 = 1;
x·S = x+2x2+3x3+…+nxn,
①
②
①-②得
S(1-x)
=1+x+x2+…+xn-1-nxn
则
【数列求和的应用】
数列求和在实际应用中也是较为广泛的.
其基本步骤是:
1. 对实际问题进行分析, 是否可选用某种数列模型进行描述;
2. 设置有关参数, 建立数列模型;
3. 应用数列知识进行有关运算;
4. 用运算结果解决实际问题.
例 2. 某商场今年销售计算机 5000台. 如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%, 那么从今年起, 大约几年可使总销售量达到 30000台 (结果保留到个位)?
分析:
相邻两年销售量关系:
=1.1 (常数).
适应模型:
各年销量成等比数列.
题设已知量:
今年销量5000台,
为首项 a1.
几年总销量30000台,
数列和 Sn.
所求问题:
年数 n.
例 2. 某商场今年销售计算机 5000台. 如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%, 那么从今年起, 大约几年可使总销售量达到 30000台 (结果保留到个位)?
解:
因为每年比上一年增加的百分比相同, 所以
各年的销售额成比数列, 其中
a1=5000,
q=1+10%
= 1.1.
设 n 年的总销售量达到 30000 台,
则
整理得 1.1n = 1.6.
两边取常用对数解得
≈5(年).
答: 大约 5 年可使总销售量达到 30000台.
【计算机程序中的求和】
例 3. 如图, 为了估计函数 y=9-x2 在第一象限的图象与 x 轴、y 轴围成的区域的面积 X, 把 x 轴上的区间[0, 3]分成 n 等份, 从各分点作 y 轴的平行线与函数图象相交, 再从各交点向左作 x 轴的平行线, 构成 (n-1)个矩形. 下面的程序用来计算这 (n-1)个矩形的面积的和 S. 阅读程序, 回答下列问题:
(1) 程序中的 AN、SUM 分别表示什么,
为什么?
(2) 请根据程序分别计算当 n = 6, 11, 16
时, 各个矩形的面积的和.
3
9
o
x
y
y=9-x2
X
SUN=0
k=1
INPUT N
WHILE k<=N-1
AN=(9-(k?3/N)^2)?3/N
SUM=SUM+AN
PRINT k, AN, SUM
k=k+1
WEND
END
【计算机程序中的求和】
阅读程序, 回答下列问题:
(1) 程序中的 AN、SUM 分别表示什么,
为什么?
(2) 请根据程序分别计算当 n = 6, 11, 16
时, 各个矩形的面积的和.
3
9
o
x
y
y=9-x2
X
SUN=0
k=1
INPUT N
WHILE k<=N-1
AN=(9-(k?3/N)^2)?3/N
SUM=SUM+AN
PRINT k, AN, SUM
k=k+1
WEND
END
阴影部份是 n-1个矩形,
解:
每个矩形的宽为
各高为
则各矩形的面积为
∴AN是第 k 个矩形的面积.
则SUM=SUM+AN是前k个矩形面积和.
(1)
【计算机程序中的求和】
阅读程序, 回答下列问题:
(1) 程序中的 AN、SUM 分别表示什么,
为什么?
(2) 请根据程序分别计算当 n = 6, 11, 16
时, 各个矩形的面积的和.
3
9
o
x
y
y=9-x2
X
SUN=0
k=1
INPUT N
WHILE k<=N-1
AN=(9-(k?3/N)^2)?3/N
SUM=SUM+AN
PRINT k, AN, SUM
k=k+1
WEND
END
当 n=6 时,
解:
=AN1+AN2+…+ANn-1
(2)
面积和SUM
【计算机程序中的求和】
阅读程序, 回答下列问题:
(1) 程序中的 AN、SUM 分别表示什么,
为什么?
(2) 请根据程序分别计算当 n = 6, 11, 16
时, 各个矩形的面积的和.
3
9
o
x
y
y=9-x2
X
SUN=0
k=1
INPUT N
WHILE k<=N-1
AN=(9-(k?3/N)^2)?3/N
SUM=SUM+AN
PRINT k, AN, SUM
k=k+1
WEND
END
当 n=11 时,
解:
=AN1+AN2+…+ANn-1
(2)
面积和SUM
【计算机程序中的求和】
阅读程序, 回答下列问题:
(1) 程序中的 AN、SUM 分别表示什么,
为什么?
(2) 请根据程序分别计算当 n = 6, 11, 16
时, 各个矩形的面积的和.
3
9
o
x
y
y=9-x2
X
SUN=0
k=1
INPUT N
WHILE k<=N-1
AN=(9-(k?3/N)^2)?3/N
SUM=SUM+AN
PRINT k, AN, SUM
k=k+1
WEND
END
当 n=16 时,
解:
=AN1+AN2+…+ANn-1
(2)
面积和SUM
3. 某市近 10 年的国内生产总值从2000亿元开始以10%的速度增长, 这个城市近 10 年的国内生产总值一共是多少?
解:
各年的递增率相同, 则各年产值成等比数列,
其中 a1=2000, q=1+10%=1.1, n=10.
10年的国内生产总值为:
≈31875(亿元),
答: 这个城市近 10 年的国内生产总值一共是约为31875 亿元.
练习: (课本58页)
【课时小结】
1. 分组求和
(1) 根据通项写出求和式;
(2) 对求和式整理分组;
(3) 对各组进行求和. (有时要注意讨论)
分组目标:
(1) 向等差数列求和或等比数列求和转化.
(2) 向着已学过的求和模型转化:
① 等比数列前 n 项和公式导出模型;
② 裂项求和模型.
【课时小结】
2. 数列求和的应用
(1) 对实际问题进行分析, 是否可选用某种数列模型进行描述;
(2) 设置有关参数, 建立数列模型;
(3) 应用数列知识进行有关运算;
(4) 用运算结果解决实际问题.
习题 2.5
A 组
第 5、6 题.
B 组
第 3、5 题.
5. 一个球从100 m 高处自由落下, 每次着地后又跳回到原高度的一半再落下.
(1) 当它第10次着地时, 经过的路程共是多少?
(2) 当它第几次着地时, 经过的路程共是293.75 m?
解:
(1)
如图,
每次下落的距离成等比数列,
共下落10次;
每次上升的距离也成等比数列,
共上升9次,
它们的公比都是 0.5.
设上升的首项 a1=50, 则总路程
S=100+2S9
≈299.61(m).
1次
2次
3次
100
答: 经过的总路程约为299.61米.
5. 一个球从100 m 高处自由落下, 每次着地后又跳回到原高度的一半再落下.
(1) 当它第10次着地时, 经过的路程共是多少?
(2) 当它第几次着地时, 经过的路程共是293.75 m?
解:
(2)
设第 n 次着地时, 总路程为293.75 m,
则有
解得 n = 6,
1次
2次
3次
100
答: 第6次着地时, 经过的总路程是293.75米.
整理得
= 64,
6. 已知Sn是等比数列{an}的前 n 项和, S3, S9, S6成等差数列, 求证: a2, a8, a5 成等差数列.
证明:
∵ S3, S9, S6成等差数列,
则有 2S9 = S3+S5,
即
得 2q9=q3+q6,
两边除以 q2 得
2q7=q+q4,
两边同乘以 a1 得
2a1q7=a1q+a1q4,
即得 2a8=a2+a5,
∴ a2, a8, a5 成等差数列.
问: a1, a7, a4 成等差数列吗?
还有哪三项会成等差数列?
①
将①式两边同除以或乘以 q 试试.
3. 资料表明, 2000年我国工业废弃垃圾达7.4?108 t, 每 t 占地 1 平方米, 环保部门每回收或处理 1 t 废旧物资, 相当于消灭 4 t 工业废弃垃圾. 如果环保部门2002年共回收处理了100 t 废旧物资, 且以后每年的回收量递增 20%.
(1) 2010年能回收多少 t 废旧物资?
(2) 从2002年到2010年底, 可节约土地多少 m2 (精确到 1 m2)?
解:
(1)
2002年回收了100 t, 且以后每年的回收
量递增 20%,
则从2002年起, 各年回收量成等比数列.
a1=100,
q=1+20%=1.2,
求 a9.
a9=100?1.28
≈430 (t),
答: 2010年大约能回收 430 t 废旧物资.
B 组
3. 资料表明, 2000年我国工业废弃垃圾达7.4?108 t, 每 t 占地 1 平方米, 环保部门每回收或处理 1 t 废旧物资, 相当于消灭 4 t 工业废弃垃圾. 如果环保部门2002年共回收处理了100 t 废旧物资, 且以后每年的回收量递增 20%.
(1) 2010年能回收多少 t 废旧物资?
(2) 从2002年到2010年底, 可节约土地多少 m2 (精确到 1 m2)?
解:
(2)
从2002年到2010 年, 共回收废旧物资
相当于处理的垃圾量为 4?2079.89
答: 可节约土地 8320平方米.
≈2079.89 (t)
= 8319.56(t),
B 组
5. 购房问题: 某家庭打算在2010年的年底花 40万元购一套商品房, 为此, 计划从2004年初开始, 每年年初存入一笔购房专用存款, 使这笔款到2010年底连本带息共有40万元. 如果每年的存款数额相同, 依年利息 2%并按复利计算, 问每年应该存入多少钱?
解:
设每年应存入 x 元,
2010年初存入的到年底的本利和为 a1, 以此倒推.
a1=1.02x,
a2=1.022x,
a3=1.023x,
……
a7=1.027x,
a1+a2+…+a7=400000,
即 (1.02+1.022+…+1.027)x=400000,
解得 x≈52749.79(元).
答: 每年应该存入52749.79元钱
4. 收集本地区有关教育储蓄的信息, 思考以下问题.
(1) 依教育储蓄的方式, 每月存50元, 连续存 3 年, 到期 (3年) 或 6 年时一次可支取本息共多少元?
(2) 依教育储蓄的方式, 每月存 a 元, 连续存 3 年, 到期 (3年) 或 6 年时一次可支取本息共多少元?
(3) 依教育储蓄的方式, 每月存50元, 连续存 3 年, 到期 (3年) 时一次可支取本息比同档次的 “零存整取” 多收益多少元?
(4) 欲在 3 年后一次支取教育储蓄本息合计 1 万元, 每月应存入多少元?
(5) 欲在 3 年后一次支取教育储蓄本息合计 a 万元, 每月应存入多少元?
(6) 依教育储蓄的方式, 原打算每月存100元, 连续存 6 年, 可是到 4 年时, 学生需要提前支取全部本息, 一次可支取本息共多少元?
(7) 依教育储蓄的方式, 原打算每月存 a 元, 连续存 6 年, 可是到 b 年时, 学生需要提前支取全部本息, 一次可支取本息共多少元?
(8) 不用教育储蓄的方式, 而用其他的储蓄形式, 以每月可存100元, 6 年后使用为例, 探讨以现行的利率标准可能的最大收益, 将得到的结果与教育储蓄比较.
B 组 (参考)
(1) 依教育储蓄的方式, 每月存50元, 连续存 3 年, 到期 (3年) 或 6 年时一次可支取本息共多少元?
教育储蓄属零存整取, 按整存整取的利率计,
解:
设三年期的年利率为2.52%, 月利率为0.21%,
每月固定存款, 免征利息税.
若每月固定存款 a 元, 连续存 n 个月, 月利率为 x,
其利息计算为
则 3 年到期本利和为
=1869.93(元).
如果存 6 年, 按 5 年期的利息算.
anx+a(n-1)x+a(n-2)x+…+ax
= ax[n+(n-1)+(n-2)+…+2+1]
(2) 依教育储蓄的方式, 每月存 a 元, 连续存 3 年, 到期 (3年) 或 6 年时一次可支取本息共多少元?
与(1)同理.
解:
若每月固定存款 a 元, 连续存 n 个月, 其利息
计算公式为
3 年为36个月, 按 3 年期的利率算, 本利和为:
6 年为72个月, 按 5 年期的利率算, 本利和为:
(3) 依教育储蓄的方式, 每月存50元, 连续存 3 年, 到期 (3年) 时一次可支取本息比同档次的 “零存整取” 多收益多少元?
解:
由(1)得教育储蓄方式 3 年可支取1869.93元.
若是零存整取, 按零存整取的利率算, 月利率为0.16%,
又要支付20%的利息税, 即
3 年到期本利和为
=1842.62 (元).
比教育储蓄少27.31元.
1869.93 =1842.62 =27.31(元),
(4) 欲在 3 年后一次支取教育储蓄本息合计 1 万元, 每月应存入多少元?
解:
按教育储蓄计算, 设每月应存入 x 元, 则
解得 x≈267.39(元)
答: 每月应存入267.39元.
(5) 欲在 3 年后一次支取教育储蓄本息合计 a 万元, 每月应存入多少元?
解:
按教育储蓄计算, 设每月应存入 x 元, 则
解得 x 即可.
(6) 依教育储蓄的方式, 原打算每月存100元, 连续存 6 年, 可是到 4 年时, 学生需要提前支取全部本息, 一次可支取本息共多少元?
(7) 依教育储蓄的方式, 原打算每月存 a 元, 连续存 6 年, 可是到 b 年时, 学生需要提前支取全部本息, 一次可支取本息共多少元?
提示:
教育储蓄只有 1 年期, 3 年期, 6 年期,
本金合计最高2万元.
提前支取的, 若能提供证明的, 按整存整取计
付利息;
若不能提供证明的, 按活期存款利率计付.
(8) 不用教育储蓄的方式, 而用其他的储蓄形式, 以每月可存100元, 6 年后使用为例, 探讨以现行的利率标准可能的最大收益, 将得到的结果与教育储蓄比较.
提示:
可与活期储蓄, 零存整取, 整存整取等
进行比较.
复习与提高
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知识要点
1. 等比数列
a2=a1·q, a3=a2·q, a4=a3·q, ……, an+1=an·q.
q 为公比.
通项公式:
an=a1qn-1.
关于正整数 n 的指数函数形式.
知识要点
2. 等比中项
若 a, G, b 成等比数列, 则 G 叫做 a 与 b 的等比中项, 即
G2=ab.
an 是 an-k 和 an+k (n>k>0)的等比中项.
若 2p=m+n, 则 ap2 = am·an.
若 p+q = m+n, 则 ap·aq = am·an.
知识要点
3. 等比数列的前 n 项和公式
(1) 导出:
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,
qSn=qa1+qa2+qa3+…+qan-1+qan
=a2+a3+a4+…+an+an+1,
得 (1-q)Sn = a1-an+1
= a1(1-qn),
(2) 公式:
Sk, S2k-Sk, S3k-S2k, … 成等比数列.
知识要点
4. 分组求和
(1) 写出求和式;
(2) 整理分组;
(3) 对各组进行求和. (有时要注意讨论)
分组目标:
① 等差数或等比数列和;
② 错位相减求和, (nan型);
③ 裂项求和
例题选讲
例1. 已知等比数列 {an} 为递增数列, 且 a52=a10, 2(an+an+2)=5an+1, 则数列 {an} 的通项公式 an = .
解:
由 a52=a10 得
a12q8=a1q9,
? a1=q.
则由 2(an+an+2)=5an+1 得
2(qn+qn+2)=5qn+1,
解得
∵ {an} 为递增数列,
∴q>1,
即 q=a1=2.
∴an=2?2n-1
=2n.
2n
(递增等比数列 q>1).
例2. 已知 {an} 为等比数列, 下面结论中正确的是 ( )
(A) a1+a3≥2a2 (B) a12+a32≥ 2a22
(C) 若 a1=a3, 则 a1=a2 (D) 若 a3>a1, 则 a4>a2
分析:
由通项公式找 a1, a2, a3 的关系.
a1+a3-2a2=a1(1+q2-2q)
=a1(1-q)2,
∵a1>0不确定,
所以 (A) 不成立.
(1)
a12+a32-2a22=a12(1+q4-2q2)
=a12(1-q2)2
∴a12+a32-2a22≥0,
则 (B) 成立.
(2)
≥0,
B
(求差可比较大小).
例3. 设等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 若
则 等于( )
(A) 2 (B) (C) (D) 3
解:
∵S3, S6-S3, S9-S6 成等比数列,
∴(S6-S3)2=S3(S9-S6),
由题设得
整理得
B
(等比数列相邻 k 项和也成等比数列)
例4. 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn=kcn-k (其中 c, k 为常数), 且 a2=4, a6=8a3.
(1) 求 an;
(2) 求数列 {nan} 的前 n 项和 Tn.
解:
(1)
a2=S2-S1
=(kc2-k)-(kc-k)
=kc2-kc
=4.
a6=S6-S5
=(kc6-k)-(kc5-k)
=kc6-kc5.
a3=S3-S2
=(kc3-k)-(kc2-k)
=kc3-kc2.
①
则 kc6-kc5= 8(kc3-kc2).
②
由①②解得 c=2, k=2.
则 Sn=2n+1-2.
an=Sn-Sn-1
=(2n+1-2)-(2n-2)
=2n.
(an=Sn-Sn-1).
例4. 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn=kcn-k (其中 c, k 为常数), 且 a2=4, a6=8a3.
(1) 求 an;
(2) 求数列 {nan} 的前 n 项和 Tn.
解:
(2)
由 (1) 的结果得 nan=n2n.
则 Tn=1?2+2?22+3?23+…+n2n.
两边同乘以 2 得
2Tn=1?22+2?23+3?24+…+n2n+1.
①
②
①-②得
-Tn=
= -2+2n+1-n2n+1.
∴Tn= 2n+1(n-1)+2.
(等比数列前 n 项和公式导出方法, 通项特点: nan).
2
+22
+23
+24
+…
+2n
-n2n+1
例5. 已知数列 {an}, {bn} 是各项均为正数的等比
数列, 设
(1) 数列 {cn} 是否为等比数列? 证明你的结论;
(2) 设数列 {lnan}, {lnbn} 的前 n 项和分别为 Sn,
Tn, 若 a1=2, 求数列 {cn} 的前 n 项和.
解
(1)
{cn}是等比数列.
证明:
设 an=a1qn-1, bn=b1pn-1 (a1, b1, p, q 为常数).
则
(常数).
得
∴{cn}是等比数列.
例5. 已知数列 {an}, {bn} 是各项均为正数的等比
数列, 设
(1) 数列 {cn} 是否为等比数列? 证明你的结论;
(2) 设数列 {lnan}, {lnbn} 的前 n 项和分别为 Sn,
Tn, 若 a1=2, 求数列 {cn} 的前 n 项和.
解
(2)
Sn=lna1+lna2+…+lnan
=ln(a1a2…an)
Tn=lnb1+lnb2+…+lnbn
=ln(b1b2…bn)
取 n=1 时, 解得
b1=8.
例5. 已知数列 {an}, {bn} 是各项均为正数的等比
数列, 设
(1) 数列 {cn} 是否为等比数列? 证明你的结论;
(2) 设数列 {lnan}, {lnbn} 的前 n 项和分别为 Sn,
Tn, 若 a1=2, 求数列 {cn} 的前 n 项和.
解
(2)
Sn=lna1+lna2+…+lnan
=ln(a1a2…an)
Tn=lnb1+lnb2+…+lnbn
=ln(b1b2…bn)
取 n=1 时, 解得
b1=8.
取 n=2, 3 时, 得 q, p 的方程组
解得 q=4, p=16.
则 cn=
=4n.
∴{cn}的前 n 项和为 Xn=
(对数运算,
取 n 的值解方程).
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(共 8 题)
练
习
题
练习:
1. 设 {an} 是任意等比数列, 它的前 n 项和, 前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X, Y, Z. 则下列等式中恒成立的是 ( )
(A) X+Z=2Y (B) Y(Y-X))=Z(Z-X) (C) Y2=XZ (D)Y(Y-X)=X(Z-X)
2. 已知 {an} 是首项为 1 的等比数列, Sn是{an}的前 n 项和, 且 9S3=S6, 则数列 的前 5 项和为 ( )
(A) (B) (C) (D)
3. 等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 若 S3+3S2=0, 则公比 q = .
4. 等比数列 {an} 的各项均为正数, 且 a2a4=2, bn=log2an, 则数列 {bn} 的前 5 项和 S5 = .
5. 等比数列 {an} 的公比 q>0, 已知 a2=1, an+2+an+1=6an, 则 {an} 的前 4 项和 S4= .
6. 已知 {an} 是公差不为零的等差数列, a1=1, 且 a1, a3, a9 成等比数列.
(1) 求数列 {an} 的通项公式; (2) 求数列 的前 n 项和 Sn.
7. 已知 {an} 是首项为 19, 公差为 -2 的等差数列, Sn 为 {an} 的前 n 项和.
(1) 求通项 an 及 Sn;
(2) 设 {bn-an} 是首项为 1, 公比为 3 的等比数列,求数列 {bn} 的通项公式及其前 n 项和 Tn.
8. 已知两个等比数列 {an}, {bn}, 满足 a1=a (a>0), b1-a1=1, b2-a2=2, b3-a3=3.
(1) 若 a1=1, 求数列 {an} 的通项公式; (2) 若数列 {an} 唯一, 求 a 的值.
1. 设 {an} 是任意等比数列, 它的前 n 项和, 前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X, Y, Z. 则下列等式中恒成立的是 ( )
(A) X+Z=2Y (B) Y(Y-X))=Z(Z-X)
(C) Y2=XZ (D)Y(Y-X)=X(Z-X)
解:
∵X, Y-X, Z-Y 成等比数列,
∴(Y-X)2=X(Z-Y),
得 Y2+X2-2XY=XZ-XY,
即 Y2+X2-XY-XZ=0,
展开(B)(D)选项得
(D)正确.
D
2. 已知 {an} 是首项为 1 的等比数列, Sn是{an}的前 n 项和, 且 9S3=S6, 则数列 的前 5 项和为 ( )
(A) (B) (C) (D)
解:
由 a1=1, 9S3=S6 得 q≠1, 且
解得 q=2.
则
是以首项为 1, 公比为 的等比数列.
则前 5 项和 T5 =
C
3. 等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 若 S3+3S2=0, 则公比 q = .
解:
由题设得 q≠1,
得 a1(1-q3)+3a1(1-q2)=0,
∵a1≠0,
∴(1-q3)+3(1-q2)=0,
(1-q)(1+q+q2+3+3q)=0,
q2+4q+4=0,
解得 q= -2.
-2
4. 等比数列 {an} 的各项均为正数, 且 a2a4=2, bn=log2an, 则数列 {bn} 的前 5 项和 S5 = .
解:
∵a3 是 a1 与 a5 和 a2 与 a4 的等比中项,
∴a32=a1a5=a2a4=2,
则
又 S5=log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5
=log2(a1a2a3a4a5)
5. 等比数列 {an} 的公比 q>0, 已知 a2=1, an+2+an+1=6an, 则 {an} 的前 4 项和 S4= .
解:
由 an+2+an+1=6an 得
anq2+anq=6an,
∵an≠0,
∴q2+q=6,
解得 q=-3(舍去), q=2.
又 a1q=a2=1,
则
6. 已知 {an} 是公差不为零的等差数列, a1=1, 且 a1, a3, a9 成等比数列.
(1) 求数列 {an} 的通项公式;
(2) 求数列 的前 n 项和 Sn.
解:
(1)
由题设得
(a1+2d)2=a1(a1+8d),
即 (1+2d)2=1+8d,
解得 d=1.
∴an=1+n-1=n.
即{an}的通项公式为 an=n.
6. 已知 {an} 是公差不为零的等差数列, a1=1, 且 a1, a3, a9 成等比数列.
(1) 求数列 {an} 的通项公式;
(2) 求数列 的前 n 项和 Sn.
解:
(2)
由(1)得
则 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列.
=2(2n-1).
7. 已知 {an} 是首项为 19, 公差为 -2 的等差数列, Sn 为 {an} 的前 n 项和.
(1) 求通项 an 及 Sn;
(2) 设 {bn-an} 是首项为 1, 公比为 3 的等比数列,求数列 {bn} 的通项公式及其前 n 项和 Tn.
解:
(1)
{an} 的通项 an=a1+(n-1)d
=19+(n-1)?(-2)
=21-2n.
=20n-n2.
7. 已知 {an} 是首项为 19, 公差为 -2 的等差数列, Sn 为 {an} 的前 n 项和.
(1) 求通项 an 及 Sn;
(2) 设 {bn-an} 是首项为 1, 公比为 3 的等比数列,求数列 {bn} 的通项公式及其前 n 项和 Tn.
解:
(2)
bn-an=bn-21+2n
=3n-1,
则{bn}的通项公式 bn=
3n-1-2n+21.
得 Tn =
(30-2?1+21)+(3-2?2+21)+(32-2?3+21)
+…+(3n-1-2n+21)
=(1+3+32+…+3n-1)
-2(1+2+3+…+n)
+21n
8. 已知两个等比数列 {an}, {bn}, 满足 a1=a (a>0), b1-a1=1, b2-a2=2, b3-a3=3.
(1) 若 a1=1, 求数列 {an} 的通项公式;
(2) 若数列 {an} 唯一, 求 a 的值.
解:
(1)
若 a1=1,
则 b1=2,
设 {an} 的公比为 q1, {bn} 的公比为 q2,
则 2q2-q1=2,
2q22-q12=3,
解得
∴{an} 的通项公式为
或
8. 已知两个等比数列 {an}, {bn}, 满足 a1=a (a>0), b1-a1=1, b2-a2=2, b3-a3=3.
(1) 若 a1=1, 求数列 {an} 的通项公式;
(2) 若数列 {an} 唯一, 求 a 的值.
解:
(2)
若 a1=a,
则 b1=a+1,
设 {an} 的公比为 q1, {bn} 的公比为 q2,
则 (a+1)q2-aq1=2,
(a+1)q22-aq12=3,
两式整理得关于q1的方程为
aq12-4aq1+3a-1=0.
△=(-4a)2-4a(3a-1)
①
方程①有两解, 则数列 {an} 不唯一.
=4a2+4a
>0,
∵q1 是公比, 若有一根为 0, 则{an}就只有一解.
即 3a-1=0,
得