天津市天津一中2012届高三入学摸底考试 理科数学试题

天津一中2011—2012学年高三数学摸底试卷(理科)
一、选择题：
1．是虚数单位，的值是
A． B． C． D．
2．某学校有高中学生900人，其中高一有400人，高二300人，高三200人，采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的学生人数为
A． 25、15、5 B． 20、15、10 C． 30、10、5 D．15、15、15
3．已知集合，则的充要条件是
A． B． C． D．
4． 要得到函数的图像，只需将函数图像上的所有点
A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A．2 B．1
C． D．
6．设是等差数列的前项和，若
A．2 B．－1 C．1 D．
7．如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是
A． B． C． D．
8．设，若是与的等比中项，则的最小值为　
A．8 B．4 C．1 D．
二、填空题：
9．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有 根棉花纤维的长度小于20mm。
10．以的直角边为直径作圆，圆与斜边交于，过作圆的切线与交于，若，，则=_____________
11．已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是
12． 在直角坐标系中，直线的参数方程为 （为参数），若以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为，则直线被曲线所截得的弦长为
13．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是
14．在中，为中线上一个动点，若，则的最小值是
三、解答题：
15．如图，圆的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为圆上一点，交于点，且
（1）求线段的长度
（2）若圆与圆内切，直线与圆切于点，
求线段的长度
16．在中，角所对应的边分别为,且，
（1）求角的大小
（2）若, 求的面积
17．设数列是公差大于0的等差数列，分别是方程的两个实根
（1）求数列的通项公式
（2）设，求数列的前项和
18．口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，二张标有数字3，第一次从口袋里任里任意抽取一张，放回口袋里后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为．
（1）为何值时，其发生的概率最大？说明理由；
（2）求随机变量的期望．
19．椭圆的离心率为，长轴的端点与短轴的端点间的距离为
（1）求椭圆的方程
（2）设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若△为直角三角形，求直线的斜率。
20．已知函数
（1）当时，求的极值
（2）当时，求的单调区间
（3）若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围。
参考答案
一、选择题
1．A 2．B 3．A 4．D 5．B 6．C 7．D 8．B
二、填空题
9．30 10．
11． 12．
13．[，2] 14．-2
三、解答题
15．解：
（1）∵∠AOC=∠P+∠PCO
∠EDC=∠P+∠PFD
∴∠PCO=∠PFD
∴△PFD∽△PCD
∴
∴PO PF=PC PD
PO PF=PB PA
PF=3
（2）OF=2-
PT2=PB PD=2×4
∴PT=
16．解：
17．解：（1）{an}公差d>0可知a3即
（2）bn=
两式相减：
18．解
（1）取值为2，3，4，5，6
19．解
椭圆方程为
(4k2+1)x2+32kx+60=0
△=(32k)2-240(1+4k2)>0
20．解
↘ 极小值 ↗