湖南省重点中学2020-2021学年高一下学期3月联考数学试题 扫描版含答案

湖 南 省 高 一 年 级 联 考
数 学 试 卷 参 考 答 案
!!’!因 为
"(!#"##""#$(!#"##)"#所 以
"$$($"#*+%!
#!,!若
-./"%%#则 !
#%"%!#&"$%为 钝 角 三 角 形
!若
&"$%为 钝 角 三 角 形 #则
"#$#%中 有 一 个 角 为 钝
角 #不 一 定 是
"#故 选
,!
"!, # # #
!由
&(’$(*&(#得
’#
(&#
*(#
$&(!又 由 余 弦 定 理 知 #’#
(&#
*(#
$#&(-./"#所 以
-./"(!#则
"(!
!
# "
&!0!因 为
%%’(12#%!#&(#%34 #
#!#((12
"%%#所 以
(%’%&!
5!6!因 为 正 六 边 形 的 边 长 为
78#所 以 面 积
)(79槡 "
9797(5&"8#
& 槡
7!6!因 为
’*&(#’&#所 以 !
*!
(##所 以
#’*7&($!
*!%$’*"&%(!*"&
*’
*" &*#"#当 且 仅 当
’ & ’ & ’ & ’ 槡
’(槡 "*!#&(槡 "*"时 取 等
!
# 7
)!0!当
*(!时 #+(!!"’(#!7#则
’(#!设 需 要 经 过
*个 月 该 植 物 在 水 域 中 的 面 积 达 到
#7%%8##则
#9!!"*
(
#7%%#则
*(1.:!!"!"%%(1:!"%%
(!* "
(!* "
#)!"##故 至 少 需 要 经 过 大 约
#)!"#个 月
!
1:!!" 1:!!" %!!!&(
4!0!设
,$#%的 最 小 正 周 期 为
-#则
-(#!
!若
!$! -
’ #即 #!
’!#解 得 "
!’ #则 $#%在 区 间 !# 上
! " # " ! # , &" !’
至 少 有 一 个 零 点
!若
% "
%!% #则 !! !# ! $!#!!!%#故 只 需 !!
*!
*!#结 合
%
# &"*
"!!*
"’)
" 7 " "*!*!!
" %!
" # " #
% #得
!综 上 # !
# "*!%
# !’
"
"*&("# "(##
;!’06!因 为
"#%#所 以 解 得
’正 确 (,$%%(#-./ *!(##则
-./ (!
!又
%% %!#
!$"*&($!# !&(!# " " # "
所 以
"(!#,错 误 ($#%(#-./$##*!%*!#令
##*!
(. #. !#解 得
#($!
*.!#. !#所 以 $#%图
" ,
" " ! +
7 # + ,
象 的 对 称 轴 方 程 为
#($!
*.!#. !#令
.(!#则
#(!#6正 确 (令
##*!
(!
*. #. !#解 得
#(!
7 # +
" " # ! +
!#
*.!#. !#令
.(!#则
#()!且 $)!%(!#故
0正 确
!
# +
!# ,
!#
!%!’,6!因 为
/<2$(/<2#"#所 以
/<2$(#/<2"-./"#&(#’-./"!又
’("#&(##所 以
-./"(!#/<2"(
"
#槡 ##/<2$(&槡 #
!又
& ’#所 以
-./$()#-./%($-./$"*$%($-./"-./$*/<2"/<2$(!
(-./"#
" ; %
; "
所 以
((’("#)&"$%(!
&(/<2"(!
9#9"9#槡 #
(##!故 选
’,6!
# # " 槡
!!!’06!由 题 可 知 #"--,/("--,0*0--,/("--,0*!
"--,$#"--,1("--,$*$--,1("--,$*!
"--,0#’#0正 确 ("--,/)"--,%$"--,1)"--,%(
# #
$"--,/$"--,1%)"--,%(1--,/)"--,%(!
$--,0)"--,%(%#6正 确 ("--,/)"--,1($!
"--,$*"--,0%)$"--,$*!
"--,0%(!
"--,$#
*
# # # #
5--, --, !--,# ! # &
"$)"0* "0 ( 9&*5
9&9&9!
*!
9&9&(#7#,错 误
!
& # # & # #
!#!’,!如 图 #画 出 函 数
+(,$#%的 图 象 可 知
$! !
%’*%#
=*&%!#!%(*=#则
$! # " %
&*(#(#!#且
$12&(12(#所 以
12&*12((12&((%#即
&((!!因 为
&((!#所 以
!湖 南 省 高 一 年 级 联 考 数 学 试 卷
"参 考 答 案
!第
!!!!!页
#共
"页
$% "#!$%"$"!&’"
书书书
’&((’+$$!#%’#’*&*((’*!
*( ’*# !!故 选
’,!
( # #
!"!$!#!因 为
!."#所 以
52*&9!5(%#解 得
2($!#!
!&!$###答 案 不 唯 一 #填 入 的 函 数 满 足 条 件 即 可
!
!5!;!$;槡 " 设 等 边 三 角 形
"$%的 边 长 为
’#则 !
’( #解 得
’("#所 以 该 勒 洛 三 角 形 的 面 积
)("9"
$#
# !
" !
#!
9!
9"9"槡 "
(;!$;槡 "
!
# # #
!7!!!因 为
,$#%是 奇 函 数 #所 以
,$#*#%(,$$#%($,$#%#所 以
,$#*&%(,$#%#故
,$#%是 以
&为 周 期 的
周 期 函 数 #则
,$#%#!%(,$&95%5*!%(,$!%($,$$!%($&$$!%#
$#’(!!
!)!解 *$!%原 式
(槡 #$!*!$$槡 #$!%*" … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
"分
(&!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
5分
$#%原 式
(1.:"#9&
1.#"*1#5*1& … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
)分
" : : :
(&
*# … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
;分
"
(!%
!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!%分
"
!4!解 *$!%因 为
!($"#!%#所 以
"!"( "#
槡 *!#
(槡 !%!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!分
设 向 量
!与
"的 夹 角 为
##则
!)$!*"%(!#
*!)"( #
"!"*"!""""-./# … … … … … … … … … … … …
#分
(!%*5槡 !%-./#(!5#解 得
-./ 槡 !%
#( !… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
&分
!%
又
#+&%#!’#所 以
/<2#(槡 !$-./#
#("槡 !%#故
>?2 (/<2#
("!… … … … … … … … … … … … … …
7分
!% #
-./#
$#%因 为 $$!$"%.$!*#"%#所 以 $$!$"%)$!*#"%($!#
*$#$$!%!)"$#"#
(%#… … … … … … … …
;分
即
!%$*5$#$$!%$5%(%#解 得
$(!!
! … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!#分
&
!;!$!%解 *由 题 可 知 #2#
*&2$&(!#解 得
2(!或
2($5!… … … … … … … … … … … … … … … … … … …
#分
若
2(!#则
,$#%(##在 区 间 $%#*+%上 单 调 递 增 #符 合 条 件 (… … … … … … … … … … … … … … … …
&分
若
2($5#则 $&
,$#%(# 在 区 间 $%#*+%上 单 调 递 减 #不 符 合 条 件
!… … … … … … … … … … … … … …
5分
故
,$#%(##
!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
7分
$#%证 明 *由 $!%可 知 #3$#%(##
*!7
!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
)分
#
任 取
#!###+$%##%#令
#!%###
则
3$#!%$3$##%(##
!*!7 #
#
#!$#$!7
($#!$##%&$#!*##%$!7’!… … … … … … … … … … … … … …
;分
## #!##
因 为
%%#!%##%##所 以
#!$##%%##!*##%&#!7
&# … … … … … … … … … … … … … … … … …
!!分
#!###
所 以 $#!$##%&$#!*##%$!7’ #即 $!% $#%#故 $%在 区 间 $#%上 单 调 递 减 … … … … 分
#!## #% 3# #3# 3# %# ! !#
#%!解 *$!%因 为
#($/<2##槡 "-./#%#$($槡 "-./###/<2#*槡 "-./#%#
所 以
,$#%(#)$(槡 "/<2#-./#*槡 "-./#$#/<2#*槡 "-./#% … … … … … … … … … … … … … … … …
#分
("槡 "/<2#-./#*"-./#
#
("槡 "
/<2##*"$!*-./##%… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
&分
# #
("/<2$##*!%*"
! … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
5分
7 #
故
,$#%的 最 小 正 周 期
-(#!
( ! … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
7分
# !
$#%由 题 可 知
3$#%("/<2&&$#*!%*!’*"
("/<2$&#*"!%*"… … … … … … … … … … … … … …
4分
" 7 # # #
!湖 南 省 高 一 年 级 联 考 数 学 试 卷
"参 考 答 案
!第
!!!!#页
#共
"页
$% "#!$%"$"!&’"
($"-./&#*"
!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
;分
#
令
$!*#.!*&#*#.!#.+!#… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!%分
解 得
$!
*.!
# .!#. !#… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!!分
& #* *
# +
故
3$#%的 单 调 递 减 区 间 为 &$!
*.!#.!’$. !%! … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!#分
& # # +
#!!解 *$!%因 为
’/<2%(槡 "
(-./"#
"
所 以
/<2"/<2%(槡 "
/<2%-./"!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
#分
"
又
/<2%/%#所 以
/<2"(槡 "
-./"#即
>?2"(槡 "
!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
&分
" "
又
"+$%#!%#所 以
"(!
!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
5分
7
$#%因 为
’(5#所 以 ’
( &
( (
(!%#… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
7分
/<2" /<2$ /<2%
所 以
#&$槡 "((#%/<2$$!%槡 "/<2%(#%/<2$!
*%%$!%"/<2% … … … … … … … … … … … … … … …
4分
7 槡
(!%-./%!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
;分
由 题 可 知 #% 5
+$%# %#则
!%-./% $$5"#!%%#… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!!分
7! + 槡
故
#&$槡 "(的 取 值 范 围 是 $$5槡 "#!%%!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!#分
##!解 *$!%当
2("时 #$#%(/<2#
#*!
/<2#$"#
# ,
# #
令
,$#%(%#即
/<2#
#*!
/<2#$"
(%#… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!分
# #
解 得
/<2#(!$/<2#($"舍 去 %!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
#分
#
所 以
#(!
*#. #. !!
# ! +
所 以 方 程
,$#%(%的 解 集 为 !#"#(!
*#. #. !"! … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
&分
# ! +
$#%由
,$#%(%得
/<2#
#*$#$2%/<2#$2(%#
即 $/<2#*!%2(/<2#
#*#/<2#!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
5分
因 为
# )
+&!#!’#所 以
/<2# &$!#!’#/<2#*! %#… … … … … … … … … … … … … … … … … … …
7分
" 7 +
# /
#
所 以
2(/<2#*#/<2# $ %#
(/<2#*! $!
!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
)分
/<2#*! /<2#*!
令
/<2#*!(*#* !
+& ##’#
#
#
所 以
2(*$!
(*$!
!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
4分
* *
令
3$*%(*$!#因 为 函 数
(*和
($!在 &!##’上 都 是 增 函 数 #
* + +
* #
所 以
3$*%在 &!##’上 是 增 函 数
!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!%分
#
又 ! "
3$ %($ #$#%("#
# #3
#
所 以
3$*%在 &!##’上 的 值 域 为 &$"#"’! … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!!分
# # #
所 以 实 数
2的 取 值 范 围 是 &$"#"’!… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
!#分
# #
!湖 南 省 高 一 年 级 联 考 数 学 试 卷
"参 考 答 案
!第
!!!!"页
#共
"页
$% "#!$%"$"!&’"