2020-2021学年福建省福州市鼓楼区文博中学九年级（下）开学数学试卷 word解析版

2020-2021学年福建省福州市鼓楼区文博中学九年级（下）开学数学试卷
一.单选题（本题共10小题）.
1．（5分）﹣3的绝对值的相反数是（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．
2．（5分）如图，这是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
4．（5分）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球
B．抛掷一枚普通正方体骰子所得的点数小于7
C．抛掷一枚普通硬币，正面朝上
D．从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张牌，恰好是方块
5．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么sinB的值是（　　）
A． B． C． D．3
6．（5分）如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　）
A．40° B．60° C．56° D．68°
7．（5分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（　　）
A．a﹣5＞b﹣5 B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞0
8．（5分）“双11”前，小明的妈妈花了120元钱在淘宝上购买了一批室内拖鞋，在“双11”大减价期间她发现同款的拖鞋单价每双降了5元，于是又花了100元钱购买了一批同款室内拖鞋，且比上次还多了2双．若设拖鞋原价每双为x元，则可以列出方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象在第三象限只有一个公共点，其横坐标为﹣1，则一次函数y＝bx+ac的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（5分）如图，已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD平分∠ABC，DH⊥AB于点H，DH＝，∠ABC＝120°，则AB+BC的值为（　　）
A． B． C．2 D．
二.填空题（本题共6小题）
11．（3分）人的血管首尾相连的长度大约可达96000千米，96000千米用科学记数法表示为　 　米．
12．（3分）多项式5mx2﹣20my2分解因式的结果是　 　．
13．（3分）小明用S2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x10﹣3）2]，计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10＝　 　．
14．（3分）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过弧AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．（3分）现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴对称．其中半圆交y轴于点E，直径AB＝2，OE＝2；两支抛物线的顶点分别为点A、点B．与x轴分别交于点C、点D；直线BC的解析式为：．则零件中BD这段曲线的解析式为　 　．
16．（3分）如图，已知点A是反比例函数y＝的图象在第一象限上的动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC使点C落在第二象限，且边BC交x轴于点D，若△ACD与△ABD的面积之比为1：2，则点C的坐标为　 　．
三.解答题（本题共7小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）解不等式组：并在数轴上表示它的解集．
18．（10分）先化简÷（﹣x﹣1），再从﹣2，﹣1，1，2中选取一个你喜爱的x值代入求值．
19．（10分）如图，点E是?ABCD对角线BD上的一点．
（1）请用尺规作图法，过点E作EG∥CD；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，在直线EG上截取EF＝CD且点F在点E的下方，连接AE、BF、CF，若∠ABE+∠BFC＝180°，求证：四边形ABFE是菱形
20．（12分）随着手机APP技术的迅猛发展，人们的沟通方式更便捷、多样．某校数学兴趣小组为了解某社区20～60岁居民最喜欢的沟通方式，针对给出的四种APP（A微信、BQQ、C钉钉、D其他）的使用情况，对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）参与问卷调查的总人数是　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）若小强和他爸爸要在各自的手机里安装A，B，C三种APP中的一种，用树状图或列表法求他俩选择同一种APP的概率．
21．（12分）为建设最美恩施，一旅游投资公司拟定在某景区用茶花和月季打造一片人工花海，经市场调查，购买3株茶花与4株月季的费用相同，购买5株茶花与4株月季共需160元．
（1）求茶花和月季的销售单价；
（2）该景区至少需要茶花月季共2200株，要求茶花比月季多400株，但订购两种花的总费用不超过50000元，该旅游投资公司怎样购买所需总费用最低，最低费用是多少．
22．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）当BC＝8，AC＝12时，求⊙O的半径．
23．（14分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；
（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C'于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值．
2020-2021学年福建省福州市鼓楼区文博中学九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一.单选题（本题共10小题）.
1．（5分）﹣3的绝对值的相反数是（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．
【分析】首先根据绝对值的含义和求法，可得：﹣3的绝对值是3；然后在3的前面加上﹣，求出﹣3的绝对值的相反数是多少即可．
【解答】解：﹣3的绝对值的相反数是：﹣|﹣3|＝﹣3．
故选：C．
2．（5分）如图，这是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看有三列，从左到右依次有1、1、2个正方形，图形如下：
故选：A．
3．（5分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
4．（5分）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球
B．抛掷一枚普通正方体骰子所得的点数小于7
C．抛掷一枚普通硬币，正面朝上
D．从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张牌，恰好是方块
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球是不可能事件；
B、抛掷一枚普通正方体骰子所得的点数小于7是必然事件；
C、抛掷一枚普通硬币，正面朝上是随机事件；
D、从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张牌，恰好是方块是随机事件；
故选：B．
5．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么sinB的值是（　　）
A． B． C． D．3
【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴cosA＝＝＝，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinB＝cosA＝．
故选：A．
6．（5分）如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　）
A．40° B．60° C．56° D．68°
【分析】接OC，由AO∥DC，得出∠ODC＝∠AOD＝68°，再由OD＝OC，得出∠ODC＝∠OCD＝68°，求得∠COD＝44°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得出∠B的度数即可．
【解答】解：如图，
连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC＝∠AOD＝68°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝68°，
∴∠COD＝44°，
∴∠AOC＝112°，
∴∠B＝∠AOC＝56°．
故选：C．
7．（5分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（　　）
A．a﹣5＞b﹣5 B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞0
【分析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．
【解答】解：由图可知，b＜0＜a，且|b|＜|a|，
∴a﹣5＞b﹣5，6a＞6b，﹣a＜﹣b，a﹣b＞0，
∴关系式不成立的是选项C．
故选：C．
8．（5分）“双11”前，小明的妈妈花了120元钱在淘宝上购买了一批室内拖鞋，在“双11”大减价期间她发现同款的拖鞋单价每双降了5元，于是又花了100元钱购买了一批同款室内拖鞋，且比上次还多了2双．若设拖鞋原价每双为x元，则可以列出方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设拖鞋原价每双为x元，则“双11”大减价期间该款拖鞋价格每双为（x﹣5）元，根据购买数量＝总价÷单价结合减价后购买的数量比原价时购买的数量多2双，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设拖鞋原价每双为x元，则“双11”大减价期间该款拖鞋价格每双为（x﹣5）元，
依题意，得：＝﹣2．
故选：D．
9．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象在第三象限只有一个公共点，其横坐标为﹣1，则一次函数y＝bx+ac的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象在第三象限有一个公共点，可得b＞0，根据交点横坐标为﹣1，可得a﹣b+c＝﹣b，可得a，c互为相反数，依此可得一次函数y＝bx+ac的图象．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象在第三象限有一个公共点，
∴b＞0，
∵交点横坐标为﹣1，
∴a﹣b+c＝﹣b，
∴a+c＝0，
∴ac＜0，
∴一次函数y＝bx+ac的图象经过第一、三、四象限．
故选：B．
10．（5分）如图，已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD平分∠ABC，DH⊥AB于点H，DH＝，∠ABC＝120°，则AB+BC的值为（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】延长BA到E，使AE＝BC，连接DE，如图，根据圆周角定理得到∠DAC＝∠DBC＝60°，∠DCA＝∠DBA＝60°，再判断△DAC为等边三角形得到DA＝DC，于是可证明△ADE≌△BCD，所以∠E＝∠DBC＝60°，接着判断△DBE为等边三角形，所以BH＝EH，然后计算出BH得到BE的长，从而得到AB+BC的长．
【解答】解：延长BA到E，使AE＝BC，连接DE，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝×120°＝60°，
∵∠DAC＝∠DBC＝60°，∠DCA＝∠DBA＝60°，
∴△DAC为等边三角形，
∴DA＝DC，
在△ADE和△BCD中，
，
∴△ADE≌△BCD（SAS），
∴∠E＝∠DBC＝60°，
而∠DBA＝60°，
∴△DBE为等边三角形，
∵DH⊥AB，
∴BH＝EH，
在Rt△BDH中，BH＝DH＝×＝1，
∴BE＝2BH＝2，
∴AB+BC＝2．
故选：C．
二.填空题（本题共6小题）
11．（3分）人的血管首尾相连的长度大约可达96000千米，96000千米用科学记数法表示为　9.6×107　米．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：96000千米＝96000000＝9.6×107（米）．
故答案为：9.6×107．
12．（3分）多项式5mx2﹣20my2分解因式的结果是　5m（x+2y）（x﹣2y）　．
【分析】直接提取公因式5m，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：5mx2﹣20my2
＝5m（x2﹣4y2）
＝5m（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：5m（x+2y）（x﹣2y）．
13．（3分）小明用S2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x10﹣3）2]，计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10＝　30　．
【分析】根据计算方差的公式能够确定数据的个数和平均数，从而求得所有数据的和．
【解答】解：∵S2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x10﹣3）2]，
∴平均数为3，共10个数据，
∴x1+x2+x3+…+x10＝10×3＝30，
故答案为：30．
14．（3分）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过弧AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为　﹣1　．
【分析】根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，连接OC，根据全等三角形的性质得到OD＝OE，得到矩形CDOE是正方形，根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，
∴四边形CDOE是矩形，
连接OC，
∵点C是弧AB的中点，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD＝OE，
∴矩形CDOE是正方形，
∵OC＝OA＝，
∴OE＝1，
∴图中阴影部分的面积＝﹣1×1＝﹣1，
故答案为﹣1．
15．（3分）现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴对称．其中半圆交y轴于点E，直径AB＝2，OE＝2；两支抛物线的顶点分别为点A、点B．与x轴分别交于点C、点D；直线BC的解析式为：．则零件中BD这段曲线的解析式为　　．
【分析】记AB与y轴的交点为F，根据图象关于y轴对称且直径AB＝2，OE＝2得出点B（1，1），由点B坐标求出直线BC解析式，据此得出点C坐标，继而得出点D坐标，将点D坐标代入右侧抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+1，求出a的值即可得出答案．
【解答】解：记AB与y轴的交点为F，
∵AB＝2，且半圆关于y轴对称，
∴FA＝FB＝FE＝1，
∵OE＝2，
∴OF＝1，
则右侧抛物线的顶点B坐标为（1，1），
将点B（1，1）代入y＝kx+得k+＝1，
解得k＝，
∴y＝x+，
当y＝0时，x+＝0，
解得x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
则D（3，0），
设右侧抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+1，
将点D（3，0）代入解析式得4a+1＝0，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣1）2+1（1≤x≤3）．
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+1（1≤x≤3）．
16．（3分）如图，已知点A是反比例函数y＝的图象在第一象限上的动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC使点C落在第二象限，且边BC交x轴于点D，若△ACD与△ABD的面积之比为1：2，则点C的坐标为　（﹣6，）　．
【分析】作CM⊥OD于M，AE⊥OD于E，作DF⊥AB于F，连接CO，根据等高的三角形的面积比等于底边的比，可得DB＝2CD，由△ABC是等边三角形，且AO＝BO可得CO⊥AB，CO＝AO＝BO，由DF∥CO可得OF＝OB，DF＝OB，根据△AOE∽△DOF 可得AE＝2OE，根据AE×OE＝2，可求A点坐标，再根据△CMO∽△AOE 可求C点坐标．
【解答】解：如图，作CM⊥OD于M，AE⊥OD于E，作DF⊥AB于F，连接CO，
根据题意得：AO＝BO
∵S△ACD：S△ADB＝1：2
∴CD：DB＝1：2即DB＝2CD
∵△ABC为等边三角形且AO＝BO
∴∠CBA＝60°，CO⊥AB且DF⊥AB
∴DF∥CO
∴，
∴DF＝CO，BF＝BO，即FO＝BO
∵∠CBA＝60°，CO⊥AB
∴CO＝BO，
∴DF＝BO
∵∠DOF＝∠AOE，∠DFO＝∠AEO＝90°
∴△DFO∽△AOE
∴，
∴AE＝2OE
∵点A是反比例函数y＝的图象在第一象限上的动点
∴AE×OE＝2，
∴AE＝2，OE＝1
∵∠COM+∠AOE＝90°，∠AOE+∠EAO＝90°
∴∠COM＝∠EAO，且∠CMO＝∠AEO＝90°
∴△COM∽△AOE
，
∴CM＝，MO＝6
且M在第二象限
∴C（﹣6，）
故答案为：（﹣6，）．
三.解答题（本题共7小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）解不等式组：并在数轴上表示它的解集．
【分析】分别解不等式，进而得出不等式组的解集，进而得出答案．
【解答】解：，
解①得：x＞﹣2，
解②得：x≤﹣1，
故不等式组的解集为：﹣2＜x≤﹣1，
在数轴上表示出不等式组的解集为：
．
18．（10分）先化简÷（﹣x﹣1），再从﹣2，﹣1，1，2中选取一个你喜爱的x值代入求值．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后从﹣2，﹣1，1，2中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷（﹣x﹣1）
＝÷
＝
＝
＝，
∵x﹣1≠0，（2+x）（2﹣x）≠0，
∴x≠1，x≠±2，
∴x＝﹣1，
当x＝﹣1时，原式＝＝3．
19．（10分）如图，点E是?ABCD对角线BD上的一点．
（1）请用尺规作图法，过点E作EG∥CD；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，在直线EG上截取EF＝CD且点F在点E的下方，连接AE、BF、CF，若∠ABE+∠BFC＝180°，求证：四边形ABFE是菱形
【分析】（1）利用尺规作∠BEG＝∠BDC即可．
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】（1）解：如图，直线EG即为所求．
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵EF∥CD，EF＝CD，
∴EF＝AB，EF∥AB，
∴四边形EFCD，四边形ABFE是平行四边形，
∴BD∥CF，
∴∠DBF+∠BFC＝180°，
∵∠ABE+∠BFC＝180°，
∴∠ABE＝∠DBF，
∵AB∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，
∴∠BEF＝∠EBF，
∴FE＝FB，
∴四边形ABFE是菱形．
20．（12分）随着手机APP技术的迅猛发展，人们的沟通方式更便捷、多样．某校数学兴趣小组为了解某社区20～60岁居民最喜欢的沟通方式，针对给出的四种APP（A微信、BQQ、C钉钉、D其他）的使用情况，对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）参与问卷调查的总人数是　500人　；
（2）补全条形统计图；
（3）若小强和他爸爸要在各自的手机里安装A，B，C三种APP中的一种，用树状图或列表法求他俩选择同一种APP的概率．
【分析】（1）根据A的人数÷其所占的比例＝参与问卷调查的总人数；
（2）求出C的人数﹣15，再将条形统计图补充完整即可；
（3）列表得出所有结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）（120+80）÷40%＝500（人），
即参与问卷调查的总人数为500人，
故答案为：500人；
（2）500×15%﹣15＝60（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）根据题意列表如下：
共有9个等可能的结果，其中小强和他爸爸选择同一种APP的情况有3种，
∴小强和他爸爸选择同一种APP的概率为＝．
21．（12分）为建设最美恩施，一旅游投资公司拟定在某景区用茶花和月季打造一片人工花海，经市场调查，购买3株茶花与4株月季的费用相同，购买5株茶花与4株月季共需160元．
（1）求茶花和月季的销售单价；
（2）该景区至少需要茶花月季共2200株，要求茶花比月季多400株，但订购两种花的总费用不超过50000元，该旅游投资公司怎样购买所需总费用最低，最低费用是多少．
【分析】（1）设茶花价格为x元/株，月季价格为y元/株，根据“购买3株茶花与4株月季的费用相同，购买5株茶花与4株月季共需160元”列方程组求解可得；
（2）设月季有m株，则茶花为（m+400）株，根据“至少需要茶花月季共2200株，要求茶花比月季多400株，但订购两种花的总费用不超过50000元”列不等式组求解，得出m的范围，即可确定购置方案；再列出购置总费用关于m的函数解析式，利用一次函数性质结合m的范围可得其最值情况．
【解答】解（1）设茶花价格为x元/株，月季价格为y元/株，
依题意得，
解方程组得；
即茶花价格为20元/株，月季价格为15元/株；
（2）设月季有m株，则茶花为（m+400）株，依据题意得，
，
解之得900≤m≤1200，
设总费用为W，W＝20×（m+400）+15m＝35m+8000，
∵k＝35＞0，
∴W随m的值的减小而减小，
m＝900时，W最小＝39500元，
2200﹣900＝1300（株），
答：该旅游投资公司购买900株月季，1300株茶花时所需总费用最低，最低费用是39500元．
22．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）当BC＝8，AC＝12时，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OM，如图1，先证明OM∥BC，再根据等腰三角形的性质判断AE⊥BC，则OM⊥AE，然后根据切线的判定定理得到AE为⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，利用等腰三角形的性质得到BE＝CE＝BC＝2，再证明△AOM∽△ABE，则利用相似比得到，然后解关于r的方程即可．
【解答】（1）证明：连接OM，如图1，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠OBM＝∠CBM，
∵OB＝OM，
∴∠OBM＝∠OMB，
∴∠CBM＝∠OMB，
∴OM∥BC，
∵AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵AB＝AC＝12，AE是∠BAC的平分线，
∴BE＝CE＝BC＝4，
∵OM∥BE，
∴△AOM∽△ABE，
∴，
即，解得r＝3，
即设⊙O的半径为3．
23．（14分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；
（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C'于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线C的解析式，把解析式化成顶点式，即可求得顶点G的坐标；
（2）根据待定系数法求得直线l为y＝﹣x﹣，直线OD为y＝（﹣m﹣4）x，由中心对称的性质可知E的横坐标为﹣m，令﹣x﹣＝（﹣m﹣4）x，解方程求得M的横坐标，由DE＝2EM，对称OE＝EM，即可得出＝，解方程即可求得m的值．
【解答】解：（1）∵抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，
∴，解得，
∴抛物线C的函数解析式为y＝﹣x2﹣4x，
∵y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，
∴顶点G的坐标为（﹣2，4）；
（2）∵直线l：y＝kx﹣经过点A，
∴0＝﹣4k﹣，解得k＝﹣，
∴直线l为y＝﹣x﹣，
将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′，则抛物线C′为y＝x2﹣4x，
∵D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），则E的横坐标为﹣m，
∴D（m，﹣m2﹣4m），
∴直线OD为y＝（﹣m﹣4）x，
令﹣x﹣＝（﹣m﹣4）x，
解得x＝，
∵DE＝2EM，
∴OE＝EM，
∴＝，
解得m＝﹣3或m＝﹣，
∵m＜﹣2，
∴m＝﹣3．