6.4.1平面几何中的向量方法-6.4.2向量在物理中的应用举例 课件（共44张PPT）2020-2021学年高一下学期人教A版（2019）必修第二册

6.4　平面向量的应用
6.4.1　平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
课标定位
素养阐释
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题.
2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
3.掌握利用向量方法解决平面几何问题的一般步骤.
4.提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
一、用向量方法解决平面几何问题
【问题思考】
1.想一想:向量可以解决哪些常见的平面几何问题?
提示:(1)解决有关夹角、长度等的计算或度量问题;(2)解决直线平行、垂直、三点共线、三线共点等位置关系的判断与证明问题.
2.填空:由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.
3.平面几何问题与平面向量之间的对应关系:
4.填空:
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
5.做一做:在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),
C(-2,-1),以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别是　　　　,　　　　. ?
二、向量在物理中的应用
【问题思考】
1.物理中的动量mv,功F·s是向量中的什么运算?
提示:m是标量,v是矢量,所以mv为数乘运算;F和s均为矢量,所以F·s为数量积运算.
2.填空:(1)物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是向量.
(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法.
3.利用向量方法解决物理问题的基本步骤:
①问题转化,即把物理问题转化为数学问题;
②建立模型,即建立以向量为载体的数学模型;
③求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等;
④回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题.
4.做一做:(1)已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于(　　)
A.(-1,-2) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(1,2)
(2)已知速度|v1|=10 m/s,|v2|=12 m/s,且v1与v2的夹角为60°,则v1与v2的合速度的大小是(　　)
A.2 m/s B.10 m/s
C.12 m/s D.
解析:(1)由已知F1+F2+F3+F4=0,
故F4=-(F1+F2+F3)=-[(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)]=-(-1,-2)=(1,2).
(2)∵|v|2=|v1+v2|2=|v1|2+2v1·v2+|v2|2
=100+2×10×12cos 60°+144=364,
答案:(1)D　(2)D
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(4)力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减.( √ )
(5)功是力F与位移s的数量积,即W=F·s.( √ )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 平面向量在几何证明中的应用
【例1】 如图所示,四边形ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线,试用向量证明:AC⊥BD.
证法二:如图,以BC所在直线为x轴,以B为原点建立平面直角坐标系,则B(0,0).
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤:
①选取基底;②用基底表示相关向量;③利用向量的线性运算或数量积找相应关系;④把几何问题向量化.
(2)向量的坐标运算法的四个步骤:
①建立适当的平面直角坐标系;②把相关向量坐标化;③用向量的坐标运算找相应关系;④把几何问题向量化.
探究二 平面向量在几何求值中的应用
【例2】 (1)已知边长为2的正六边形ABCDEF,连接BE,CE,点G是线段BE上靠近B的四等分点,连接GF,则 等于
(　　)



A.-6　　　 B.-9
C.6 D.9
1.用向量法求长度的策略
(1)利用图形特点选择基底,向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解.
(2)建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式:若a=(x,y),则
2.向量数量积、夹角的计算
利用向量或坐标表示出未知向量,代入相应的公式进行计算.
1.试用坐标法解本例(1).
答案:D
2.本例(3)中,条件不变,试问:在BC上是否存在点M,使得∠EAM=45°?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由.
探究三 平面向量在物理中的应用
分析:(1)用F1,F2表示F3,求|F3|.
(2)利用F1,F2,F3之间的关系求出F2·F3,利用夹角公式求解.
【例3】 设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,若|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为 ,如图所示.


(1)求F3的大小;
(2)设力F3,F2的夹角为θ,求θ的值.
用向量解决物理中相关问题的步骤
(1)转化:把物理问题转化成数学问题.
(2)建模:建立以向量为主体的数学模型.
(3)求解:求出数学模型的相关解.
(4)回归:回到物理现象中,用已经获取的数值去解释一些物理现象.
【变式训练2】 一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60 m,若纤绳与前进方向的夹角为 ,此人的拉力为50 N,则纤夫对船所做的功为　　　　　J.?
易 错 辨 析
未将物理问题转化为向量问题致误
【典例】 一条河宽为8 000 m,一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处,船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需时间为　　　　min. ?
错解:因为河宽为8 000 m,船速为20 km/h,所以船到达B处所需时间为
答案:24
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:错解中误将船在静水中的速度作为了船的实际速度导致错误.
正解:因为v实际=v船+v水=v1+v2,|v1|=20,|v2|=12,
答案:30
船行驶的实际速度是船在静水中的速度与水速的合成,因此应借助平行四边形法则或三角形法则求出其实际速度,再解决相关问题.
【变式训练】 河水的流速为2 m/s,一艘小船以10 m/s的速度向垂直于对岸的方向行驶,则小船在静水中的速度大小为
　　　　　.?
解析:设河水的流速为v1,小船在静水中的速度为v2,船的实际速度为v,则v=v1+v2,|v1|=2,|v|=10.
因为v⊥v1,所以v·v1=0,
随 堂 练 习
答案:B
答案:D
答案:B
4.已知力F=(2,3)作用在一物体上,使物体从A(2,0)移动到
B(-2,3),则F对物体所做的功为　　　　　J.?
解析:由题意知位移 ,
∴力F做的功为W=F·s=(2,3)·(-4,3)=2×(-4)+3×3=1.
答案:1
5.已知在?ABCD中,AC=BD,求证:四边形ABCD是矩形.