8.4.1　平面 学案

8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1　平面
课标解读
课标要求
核心素养
1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法.(难点)
2.掌握平面的基本性质及推论,能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.(重点)
1.通过对平面有关概念的学习,培养数学抽象、直观想象的核心素养.
2.通过平面基本性质的应用及空间点、直线、平面之间的位置关系的判断,培养逻辑推理、直观想象的核心素养.
望洞庭
作者:刘禹锡(唐)
湖光秋月两相和,潭面无风镜未磨.
遥望洞庭山水翠,白银盘里一青螺.
洞庭湖中的君山岛(青螺)给我们以点的印象,洞庭湖水给我们以平面的印象,那么,你知道平面的含义是什么吗?此节课我们将走进“平面”.
1.平面的概念
几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、平静的水面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是向四周①无限延展的.
拓展:平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个②平行四边形,它的锐角通常画成③45°,且横边长等于其邻边长的④2倍.如图1.
图1
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强立体感,通常把被遮挡部分画成⑤虚线或不画.如图2和图3.
　　　　　　图2　　　　　　　　　　图3
2.平面的表示法
上图1的平面可表示为⑥平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
3.平面的性质及推论
基本事实
文字语言
图形语言
符号语言
(数学语言)
基本事实1
过⑦不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.
简称不共线的三点确定一个平面
A,B,C三点不共线?存在唯一的平面α使A,B,C∈α
基本事实2
如果一条直线上的⑧两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内
A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?⑨l?α
续表
基本事实
文字语言
图形语言
符号语言
(数学语言)
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条⑩过该点的公共直线
P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l
　　推论1　经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面(图1).
推论2　经过两条相交直线,有且只有一个平面(图2).
推论3　经过两条平行直线,有且只有一个平面(图3).
探究一　文字语言、图形语言、符号语言的相互转化　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　(易错题)根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:
(1)A∈α,B?α;
(2)l?α,m?α,m∩α=A,A?l;
(3)P∈l,P?α,Q∈l,Q∈α.
1-1　用符号表示下列语句,并画出图形.
点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.
探究二　点、线共面问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例2　求证:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.
2-1　如图,已知a?α,b?α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ?α.
探究三　三点共线,线、面共点问题
　　例3　如图,已知平面α,β,且α∩β=l.设在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB?α,CD?β.求证:AB,CD,l共点(相交于一点).
　　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
1.有以下说法:
①平面是处处平的面;
②平面是无限延展的;
③平面的形状是平行四边形;
④一个平面的厚度可以是0.001
cm.
其中说法正确的个数为(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
2.下列空间图形画法错误的是(　　)
3.如图,根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.
(1)点P与直线AB;
(2)点C与直线AB;
(3)点M与平面AC;
(4)点A1与平面AC;
(5)直线AB与直线BC;
(6)直线AB与平面AC;
(7)平面A1B与平面AC.
4.如图,三个平面α,β,γ两两相交于三条直线,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直线a和b不平行.求证:a,b,c三条直线必过同一点.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如果点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在平面α内,则可以表示为(　　)
A.A?a,a?α,B∈α
B.A∈a,a?α,B∈α
C.A?a,a∈α,B?α
D.A∈a,a∈α,B∈α
2.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(　　)
A.平面MN
B.平面NQP
C.平面α
D.平面MNPQ
3.下列条件中能确定唯一一个平面的是(　　)
A.空间三个点
B.一个点和一条直线
C.无数个点
D.两条相交直线
4.设P表示一个点,a,b表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,给出下列四个命题,其中是真命题的有　　　　　　　.(填序号)?
①P∈a,P∈α?a?α;
②a∩b=P,b?β?a?β;
③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α;
④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b.
5.设平面α与平面β交于直线l,点A∈α,B∈α,且直线AB∩l=C,则直线AB∩β=　　　　.?
6.根据图,填入相应的符号:A　　　　平面ABC,A　　　　平面BCD,BD　　　平面ABC,平面ABC∩平面ACD=　　　.?
7.下列结论:
①三点确定一个平面;②梯形可以确定一个平面;③如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.
其中正确结论的个数为(　　)
A.4
B.3
C.2
D.1
8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　)
A.A,M,O三点共线
B.A,M,O,A1不共面
C.A,M,C,O不共面
D.B,B1,O,M共面
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