8.4.1　平面-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册练习 Word含解析

8.4.1　平面
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述正确的个数是(　　)
①A∈a，a?α?A?α；②A∈a，a∈α?A∈α；③A?a，a?α?A?α；④A∈a，a?α?A?α.
A．0
B．1　　　
C．2　　　
D．3
2．(多选题)下列命题中正确的是(　　)
A．三角形是平面图形
B．四边形是平面图形
C．四边相等的四边形是平面图形
D．圆是平面图形
3．两个平面若有三个公共点，则这两个平面(　　)
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
4．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是(　　)
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．A，B，C，D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
5．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为(　　)
A．0
B．1
C．0或1
D．1或3
二、填空题
6．设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M________l.
7．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条.
8．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面的交线可能有________条．
三、解答题
9．已知：A∈l，B∈l，C∈l，D?l，如图所示．
求证：直线AD，BD，CD共面．
10．求证：三棱台A1B1C1?ABC三条侧棱延长后相交于一点．
11．如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C?l，直线AD∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过(　　)
A．点A　　　　　
B．点B
C．点C，但不过点D
D．点C和点D
12．(多选题)如图，ABCD?A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1四点共面
C．A，O，C，M四点共面
D．B，B1，O，M四点共面
13．三个互不重合的平面把空间分成n部分，则n所有可能的值为________．
14.如图，已知在四面体A?BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且＝＝2.求证：直线EG，FH，AC相交于同一点．
15.已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线．
参考答案
1.A　[①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A?a，a?α，但A∈α；④不正确，“A?α”表述错误．]
2.AD　[根据，基本事实1可知AD正确，BC错误．故选AD．]
3.C　[若三点在同一条直线上，则这两个平面相交或重合，若三点不共线，则这两个平面重合．]
4.B　[两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面，选B．]
5.D　[当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面，选D．]
6.∈　[因为a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.]
7.5　[由题图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条．]
8.1或2或3　[当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．]
9.[证明]　因为D?l，所以l与D可以确定平面α，
因为A∈l，所以A∈α，
又D∈α，所以AD?α.同理，BD?α，CD?α，
所以AD，BD，CD在同一平面α内，
即它们共面．
10.[证明]　如图，延长AA1，BB1,
设AA1∩BB1＝P，
又BB1?平面BC1，
∴P∈平面BC1，AA1?平面AC1，
∴P∈平面AC1，
∴P为平面BC1和平面AC1的公共点，
又∵平面BC1∩平面AC1＝CC1，
∴P∈CC1，
即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P.
11.D　[A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C、D∈γ，且C、D∈β，故C，D在γ和β的交线上．]
12.ABC　[因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知ABC均正确．]
13.4,6,7或8　[若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；
若三个平面有两个平行，第三个平面与其他两个平面相交，则可将空间分成6部分；
若三个平面交于一线，则可将空间分成6部分；
若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分成7部分；
若三个平面两两相交且三条交线交于一点(如墙角三个墙面的关系)，则可将空间分成8部分．故n的所有可能值为4,6,7或8.]
14.[证明]　∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF∥BD，且EF＝BD．
又＝＝2，
∴GH∥BD，且GH＝BD，
∴EF∥GH，且EF>GH，
∴四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交．
设两腰EG，FH的延长线相交于一点P，
∵EG?平面ABC，FH?平面ACD，
∴P∈平面ABC，P∈平面ACD．
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴P∈AC，故直线EG，FH，AC相交于同一点．
15.[证明]　法一　∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC．
∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P，Q，R三点共线．
法二　∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，
又Q∈α，∴Q∈PR，
∴P，Q，R三点共线．