8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 学案

8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
课标解读
课标要求
核心素养
1.能判断空间两直线、直线与平面的位置关系.(重点)
2.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理,并能解决空间点线面的位置关系问题.(难点)
通过对空间点、直线、平面之间位置关系的学习,培养数学抽象、直观想象的核心素养.
天桥是路口或交通繁忙路线的上跨桥,如图.
问题1:如果将天桥与道路抽象成直线,那么天桥与道路的位置关系是什么?
问题2:天桥与道路之间存在夹角吗?
1.异面直线
(1)定义:把不同在任何一个平面内的两条直线叫做①异面直线.
(2)画法:(通常用平面衬托)
2.空间两条直线的位置关系
　
思考:若直线a?平面α,直线b?平面α,则直线a、b异面,对吗?
　　3.空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
(1)空间中直线与平面的位置关系:
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线在平面内
a?α
无数个
直线
不在
平面
内
直线与
平面平行
a∥α
0个
直线
与
平面
相交
直线
与平
面斜交
a∩α=A
1个
直线与
平面
垂直
a⊥α
1个
　　(2)空间中平面与平面的位置关系:
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两平面平行
α∥β
0个
两平面相交
α∩β=l
无数个
探究一　空间两直线的位置关系　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问:
(1)AM和CN是不是异面直线?请说明理由;
(2)D1B和CC1是不是异面直线?请说明理由.
1-1　如图所示的是一个正方体的平面展开图,则在正方体中,AB与CD的位置关系为(　　)
A.相交
B.平行
C.异面且垂直
D.异面但不垂直
探究二　空间线、面位置关系的判断　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　(1)(易错题)下列命题中,真命题的个数为(　　)
①若直线与平面没有公共点,则直线与平面平行;
②若直线在平面外,则直线与平面平行;
③若直线经过平面外的两点,则直线与平面平行;
④若直线既不在这个平面内又不与这个平面相交,则直线与平面平行.
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)下列结论正确的是(　　)
A.两个平面如果有公共点,那么这两个平面一定相交
B.两个平面的公共点一定共线
C.两个平面有3个公共点,则这两个平面一定重合
D.过空间内任意三点,一定有一个平面
2-1　(原创题)在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱B1B,AD的中点,则直线BF与平面ACE的位置关系是(　　)
A.平行
B.相交
C.异面
D.直线在平面内
2-2　有以下3个命题:
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点;
②直线l在平面α内,可以用“l∈α”表示;
③若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交,则α与β相交.
其中所有真命题的序号是　　　　　　　.?
探究三　空间点、线、面位置关系的证明
　　例3　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别是AB和AA1的中点.求证:E、C、D1、F四点共面.
　(变问法)若本例条件不变,如何证明“CE,D1F,DA三线交于一点”?
3-1　如图,在空间四边形ABCD中,点E,F分别是AB,AD的中点,点G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.
(1)求证:E,F,G,H四点共面;
(2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.
　　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
1.如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示GH,MN是异面直线的图形的序号为(　　)
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
2.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线的位置关系是(　　)
A.平行或异面
B.相交或异面
C.异面
D.相交
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是　　　　　　　;?
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是　　　　　　　;?
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是　　　　　　　;?
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是　　　　　　　.?
4.下列说法中正确的个数是　　　　　.?
①空间两条直线无公共点,则这两条直线平行;
②空间两条直线若不是异面直线,则必相交或平行;
③过平面外一点与平面内一点的连线,与平面内的任意一条直线均构成异面直线;
④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.
5.如图,在正方体ABCD-EFMN中,①BM与ED平行;②CN与BM是异面直线;③CN与BE是异面直线;④DN与BM是异面直线.
以上四个结论中,正确的序号是　　　　　.?
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列说法中正确的是(　　)
A.过三点确定一个平面
B.四边形是平面图形
C.三条直线两两相交则确定一个平面
D.两个相交平面把空间分成四个区域
2.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b(　　)
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
3.若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列说法正确的是(　　)
A.l与l1,l2都不相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l至少与l1,l2中的一条相交
4.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是(　　)
A.OB∥O1B1且方向相同
B.OB∥O1B1
C.OB与O1B1不平行
D.OB与O1B1不一定平行
5.如图所示,平面α∩平面β=l,点A∈α,B∈α,AB∩l=D,点C∈β,C?l,则平面ABC与平面β的交线是(　　)
A.直线AC
B.直线AB
C.直线CD
D.直线BC
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