6.4平面向量的应用 余弦定理 同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
中小学教育资源及组卷应用平台
余弦定理
一、单选题（共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.在
中，
，
，则
的面积的最大值为（??
）
A.?????????????????????????????????????????B.?1????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
2.在
中，若
，
，
，则边
的长为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?4
3.
的内角
的对边分别为
，若
，
，则
（???
）．
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
4.在
中，
，且
的面积为
，则
的长为（???
）．
A.?????????????????????????????????????????B.?2????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
5.
的三个内角
、
、
的对边分别是
、
、
，若
的面积是
，
，
，则
（?
?）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?8
6.在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，则C＝（
??）
A.?60°??????????????????????????????????B.?120°??????????????????????????????????C.?30°??????????????????????????????????D.?45°或135°
7.在
中，
的面积为S，
，
，且满足
，则该三角形的外接圆的半径R为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?2
8.
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，若
，则
的形状为（???
）
A.?直角三角形????????????????????B.?等腰三角形????????????????????C.?等边三角形????????????????????D.?等腰直角三角形
9.
的三边满足
，则
的最大内角为（???
）
A.?60°?????????????????????????????????????B.?90°?????????????????????????????????????C.?120°?????????????????????????????????????D.?150°
二、多选题（共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）
10.在
中，
，
，
，则角A的可能取值为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
11.在
中，D在线段
上，且
若
，则（???
）
A.??????????????????????????????????????????????B.?
的面积为8
C.?
的周长为
????????????????????????????????D.?
为钝角三角形
三、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
12.在
中，三个内角
、
、
的对边分别是
、
、
，若
，
，
，则
________.
13.已知
，
，
分别为
的三个内角
，
，
的对边，
，且
，
为
的重心，则
________
14.已知△
中，角
所对的边分别为
，
，
，且△
的面积为
，则
________；
________.
15.在
中.
.则
的面积等于________．
16.在
中内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，面积为
，且
，则
的值为________.
四、解答题（共5小题，满分50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
，且
．
（1）求
的值；
（2）若
的面积
，求
．
18.如图，在
中，
，
的角平分线交
于点
．
（1）求
的值；
（2）若
，求
的长．
19.在
中，内角
所对的边分别为
，且
.
（1）若
的面积S满足
，求
的值；
（2）若边
上的中线为
，求
长的最小值.
20.设
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
.
（Ⅰ）求角
；
（Ⅱ）若
，求角
，
.
21.在
中，角
，
，C所对的边分别为a，b，c，它的面积为
且满足
，
.
（1）求角
的大小；
（2）当
时，求
，
的值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
【解析】由余弦定理，
，
即
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，
所以
，
故答案为：D
【分析】根据余弦定理及面积公式即可求出答案。
2.【答案】
B
【解析】由题意可知：
，
故
或
，
其中A=0不成立，则
，
∵AB=2，AC=3，
∴由余弦定理得BC2=AB2+AC2?2AB×AC×cosA=19，
∴
.
故答案为：B.
【分析】
根据辅助角公式求出A的大小，利用余弦定理即可得到结论．
3.【答案】
C
【解析】由题意得，
，
∴
，
故答案为：C
【分析】利用余弦定理即可得出答案。
4.【答案】
D
【解析】由题意
，∴
，
由余弦定理是
，
．
故答案为：D．
【分析】首先根据题意解结合三角形的面积公式即可计算出AC的值，再由余弦定理代入数值即可求出BC的值。
5.【答案】
C
【解析】解：因为
的面积是
，
，
所以
，即
，解得
或
（舍去）
所以
所以
即
，解得
或
（舍去）
故答案为：C
【分析】首先由面积公式及
，即可求出
、
，再根据余弦定理计算可得；
6.【答案】
A
【解析】由余弦定理得：
，又C∈（0，π），所以C=60°，
故答案为：A。
【分析】利用已知条件结合余弦定理，从而结合角C的取值范围，从而求出角C的值。
7.【答案】
B
【解析】由
，
得
，
利用余弦定理得：
，
即
，
又
，
得
；由题意，因为
，
所以
．
由余弦定理得：
.
又因为
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
故答案为：B.
【分析】由三角形的面积公式和余弦公式可求得角
，
结合平面向量的数量积可求得
，
利用正弦定理可得出
，
再利用余玄定理可求得
，
进而利用正弦定理可求得R的值。
8.【答案】
B
【解析】因为
，所以
，
所以
，所以
，所以三角形是等腰三角形，
故答案为：B.
【分析】根据题意由已知条件结合余弦定理即可求出边之间的关系a=b从而得出三角形的形状。
?
9.【答案】
D
【解析】由余弦定理可得
，
，
，
因此
的最大内角为
.
故答案为：D.
【分析】由题意可得
的最大内角为角C，再利用余弦定理可得
，
进而得出C的值.
二、多选题
10.【答案】
A,D
【解析】由余弦定理，得
，
即
，解得
或
.
当
时，此时
为等腰三角形，
，所以
；
当
时，
，此时
为直角三角形，所以
.
故答案为：AD
【分析】由余弦定理得
，解得
或
，分别讨论即可.
11.【答案】
B,C,D
【解析】因为
,所以
,A不符合题意；
设
,则
,在
中,
,解得
,所以
,
所以
,B符合题意；
因为
,所以
,
在
中,
,解得
,
所以
,C符合题意；
因为
为最大边,所以
,即
为钝角,所以
为钝角三角形,D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】由同角的三角函数关系即可判断A；设
,则
,在
中,利用余弦定理求得a,即可求得
,进而求得
,即可判断B；在
中,利用余弦定理求得AC,进而判断C；由
为最大边,利用余弦定理求得
,即可判断D.
填空题
12.【答案】
【解析】在
中，
，
故答案为：
。
【分析】利用已知条件结合余弦定理，进而求出角A的余弦值。
13.【答案】
【解析】由余弦定理得
,∴
,
∵
，
，
将
代入得：
,
所以
，
设以
为邻边的平行四边形的另一个顶点为
,则
,
?,
故答案为：
【分析】
由已知利用余弦定理化简已知等式可得cosB的值，根据三角形重心的性质，余弦定理可求AD的值，进而即可求解AG的值。
14.【答案】
1；
【解析】因为
，
，且△
的面积为
，所以
，解得
1，
由余弦定理得
，解得
，
所以
，
故答案为：1；
.
【分析】由已知利用三角形的面积公式可求b的值，进而根据余弦定理可求a的值，可求?
的值。
15.【答案】
【解析】由余弦定理得
，即
，解得
（
舍去），
所以
．
故答案为：
．
【分析】由余弦定理求得
，然后由三角形面积得结论，
16.【答案】
【解析】根据题意得，
，
由余弦定理可得，
，
，
，
，
可得
.
，
.
故答案为：
.
【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理建立方程进行求解即可.
四、解答题
17.【答案】
（1）解：由已知和余弦定理得
，
所以
，由
得
；
（2）解：
，
所以
，因为
，所以
，
由余弦定理
，
所以
，又
，所以
，
所以
.
【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理，进而求出bc的值。
（2）利用已知条件结合三角形面积公式，再结合（1）中求出的bc的值，进而求出角A的正弦值，再利用大边对应大角结合已知条件
，
从而利用同角三角函数基本关系式，进而求出角A的余弦值，再利用余弦定理求出
，又因为
，再解方程组求出b,c的值，再结合余弦定理求出角B的余弦值。
18.【答案】
（1）解：∵
为
的角平分线，
∴
，即
，
∴
，
又∵
，∴
．
（2）解：由（1）知
，而
，
且
，
∴
，
∵
，∴
，
在
中，
，
在
中，
，
∴
，∴
．
【分析】
（1）结合题意通过AD为∠BAC的角平分线，得到sin∠BAD=sin∠CAD．通过三角形的面积的比转化求解即可．
（2）由(1)的结论即可得出在中，
，
在中，结合cos∠BAD=cos∠CAD，求解出AD=1即可．
19.【答案】
（1）解：因为
，
所以
，
.
，
，
又
，
.
（2）解：在
和
中，分别由余弦定理可得
，
，
，
整理得
，
，
即
，当且仅当
时，取等号，
即
长的最小值为
.
【分析】（1）利用余弦定理可得
，
再根据
?
，
求出角A，进而求出
?的；
（2）
由余弦定理可得??，??，求得?
?
，进而求得
?长的最小值。
20.【答案】
解：（Ⅰ）因为
，
所以
，
，
解得
，
因为
，所以
；
（Ⅱ）因为
，所以由余弦定理得
，
，
得
①，
又
，得
②，
将②代入①得：
，
即
，而
，解得
，
所以
，
故
，
得
是直角三角形，且角
是直角，
所以
，
.
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式化简已知等式可得
?，解方程可得
，结合
?
，可求A的值；
（2）由余弦定理得
，
可求
?的值，得
?①，
又??，得??②，
联立解得
??，
?，
可得
?，
再求出B，C的值。
21.【答案】
（1）解：由
，
得：
，
化简得
，∴
，
又
，∴
（2）解：由（1）及余弦定理得：
，
∴
，与
联立：
，
解之得：
或
【分析】（1）利用已知条件，结合三角形的面积，通过余弦定理，转化求解
的大小即可.（2）利用余弦定理结合
，求解即可.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)