6.4 平面向量的应用 正弦定理 同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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正弦定理
一、单选题（共11小题，每小题5分，共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知
的三个内角
的对边分别为
，且满足
，则
等于（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
2.若
的面积为
，且
为钝角，
的取值范围是（???
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
3.设
的内角
所对的边分别为
，若
，则
的形状为（???
）
A.?锐角三角形???????????????????????B.?直角三角形???????????????????????C.?钝角三角形???????????????????????D.?等腰三角形
4.已知
的三个内角
的对边分别为
.向量
，
，若
，则
（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
5.已知
中，
，那么满足条件的
（???
）
A.?有一个解??????????????????????????????B.?有两个解??????????????????????????????C.?不能确定??????????????????????????????D.?无解
6.在
中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（???
）
A.?
，
，
??????????????????????????????B.?
，
，
C.?
，
，
?????????????????????????????????D.?
，
，
7.已知
的内角
的对边分别为
，若
，则
等于（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
8.在
中，
，那么
（???
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.?
或
???????????????????????????????????D.?
9.设
的内角
所对的边分别为
，且
，已知
的面积为9，
，则
的值为（???
）
A.?6???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?9
10.在
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
，
，
，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????????????D.?
11.在
中，
，
，
，则
的值为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
二、多选题（共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）
12.在
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
，则下列结论正确的是（??
）
A.????????????????????????????????B.?
是钝角三角形
C.?
的最大内角是最小内角的2倍???????????????????D.?若
，则
外接圆半径为
13.已知
中，
，
，
，
在
上，
为
的角平分线，
为
中点下列结论正确的是（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.?
的面积为
C.?????????????????????????????????????D.?
在
的外接圆上，则
的最大值为
14.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（????
）
A.?
，有两解?????????????????????????B.?
，有两解
C.?
，无解???????????????????????????????D.?
，有一解
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
15.已知
中，
，则角A等于________.
16.在
中，
，
，点M在
上，且
，则
________，
________．
17.在锐角
中，
，
，则
的取值范围为________.
18.设
的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且
，则
的最大值为________.
四、解答题（共4小题，满分40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，
.
（1）求A；
（2）若
，且
边上的高为
，求
的面积.
20.已知在
中，
，
，
.
（1）求
；
（2）若
是钝角三角形，求
的面积.
21.在
中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足
．
（1）求角A的大小；
（2）若
，且
，求
的面积．
22.在①
，②
，③
这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．
在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
．已知
，
，满足______．
（1）请写出你的选择，并求出角
的值；
（2）在（1）的结论下，已知点
在线段
上，且
，求
长．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
【解析】由题,根据正弦定理可得
,
所以
,
因为在
中,
,所以
,
因为
,所以
,
故答案为：D
【分析】利用正弦定理化边为角可得
,则
,进而求解.
2.【答案】
D
【解析】∵
，
∴
，
，
?∴
，
∴
，又∵
为钝角，∴
，∴
，
，
由正弦定理得
，
故答案为：D．
【分析】由余弦定理和三角形面积可求得B，用正弦定理化
，再化为A的三角函数，由三角函数知识可得取值范围．
3.【答案】
B
【解析】∵
，
由正弦定理得：
，
∵
，∴
，
，故三角形为直角三角形，
故答案为：B.
【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得
的值进而求得A，判断出三角形的形状.
4.【答案】
B
【解析】由于
，所以
，即
，由正弦定理得
，
，
，
由于
，所以
，
所以
，
，
由于
，
所以
.
故答案为：B
【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，结合正弦定理进行化简，由此求得
的值，进而求得
的大小.
5.【答案】
B
【解析】由题可知：
，由
所以可知
有两个解
故答案为：B
【分析】通过比较
与
的大小关系，简单判断可得结果.
6.【答案】
A
【解析】
，解得
，
，故
，故有两解，A符合题意；
，解得
，
，故
，故有一解，B不符合题意；
，解得
，
，故
，故有一解，C不符合题意；
，解得
，无解，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据正弦定理依次判断每个选项的解的个数得到答案.
7.【答案】
D
【解析】因为
，故
.
故答案为：D.
【分析】利用正弦定理可求
的值.
8.【答案】
D
【解析】由正弦定理
得
，
因为
，∴
，所以
，从而
．
故答案为：D．
【分析】由正弦定理求C，然后再得A角．
9.【答案】
A
【解析】解：因为
，根据正弦定理把边化角得：
，
因为
，所以
，所以
，又因为
，
，所以
.因为
，
所以
，而
，
所以
，解得
.
故答案为：A.
【分析】把
通过边化角公式化为
，进而得
，再通过
，求得
，然后通过面积公式求得
即可.
10.【答案】
B
【解析】根据正弦定理可得
，
即
，解得
，
故答案为：B.
【分析】直接利用正弦定理，结合题中所给的条件即可得结果.
11.【答案】
B
【解析】
中，由正弦定理得
，
即
，
∴
，
∴
．
故答案为：B．
【分析】由正弦定理结合二倍角公式先求得
，再计算
的值即可．
二、多选题
12.【答案】
A,C,D
【解析】因为
所以可设：
（其中
），解得：
所以
，所以A符合题意；
由上可知：
边最大，所以三角形中
角最大，
又
，所以
角为锐角，所以B不符合题意；
由上可知：
边最小，所以三角形中
角最小，
又
，
所以
,所以
由三角形中C角最大且C角为锐角可得：
，
所以
，所以C符合题意；
由正弦定理得：
，又
所以
，解得：
，所以D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】由已知可设
，求得
，利用正弦定理可得A符合题意；利用余弦定理可得
，三角形中的最大C角为锐角，可得B不符合题意；利用余弦定理可得
，利用二倍角的余弦公式可得：
，即可判断C符合题意，利用正弦定理即可判断D符合题意；问题得解.
13.【答案】
A,C,D
【解析】解：在
中，由余弦定理得
，
因为
，所以
.
所以
，B不符合题意；
在
中，
，所以
，A符合题意；
因为
为
的角平分线，
由等面积法得
，
整理得
，解得
，C符合题意；
在
的外接圆上，如图
则
，
所以在
中，记
，
，由正弦定理得
，
，又
，
所以
，其中
，
又因为
，所以
的最大值为
，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】先由余弦定理算出
，再计算
面积，验证B选项，在
中，利用余弦定理求
验证A选项，用等面积法
，求
验证C选项，用正弦定理表示
，
，结合三角函数性质验证D选项.
14.【答案】
B,D
【解析】对A项，若
，由正弦定理可得
，解得
，则
，此时该三角形只有一解，A不符合题意；
对B项，若
，由正弦定理可得
，解得
根据大边对大角可得
，则
可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有2解，B符合题意；
对C项，若
，由正弦定理可得
，解得
，则三角形只有一解，C不符合题意；
对D项，若
，由正弦定理可得
，解得
，由
，则
为锐角，可得三角形有唯一解，D符合题意；
故答案为：BD
【分析】由正弦定理，结合大边对大角，三角形内角和定理，进行判断即可.
三、填空题
15.【答案】
30°
【解析】由正弦定理
，得
，又
，则
，所以
?。
【分析】利用已知条件结合正弦定理，求出角A的正弦值，再利用大边对应大角的性质，从而求出角A的值。
16.【答案】
；
【解析】如图所示
中，
，
，∴
，
∴
，
又∵
，∴
∴
由正弦定理
，
∴
.
故答案为：
；
.
【分析】根据
，展开可求值；根据正弦定理
，可求
.
17.【答案】
【解析】解：设AC=b,在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，∴π
2
＜3
A＜π且
0＜2A＜π
2
，故
π
6
＜A＜π
4
，故
＜cosA＜
，由正弦定理可得
1：
sinA
=b：sin2A
，∴b=2cosA，∴
＜b＜
,所以
的取值范围为
。
【分析】利用锐角的取值范围结合已知条件，再利用三角形中角的取值范围，从而求出角A的取值范围，从而结合余弦函数的图象，从而求出角A的余弦的取值范围，再利用正弦定理得出b=2cosA，再利用角A的余弦的取值范围，从而求出b的取值范围，从而求出边
的取值范围。
18.【答案】
【解析】解：∵
由正弦定理边角互化，
得
，
又∵?
，
∴?
，
∴?
∵?
当
或
时，等式不成立，
∴?
，
，
∴?
，
又∵?
，
∴?
，
当且仅当
，即
等号成立，
∴?
.
故答案为：
【分析】利用正弦定理将已知化为
，由三角形内角和定理将
用
代换，利用两角和的正弦公式展开整理可得
，再由同角三角函数关系得到
，代入
展开式消去
，结合基本不等式即可求出
的最大值．
四、解答题
19.【答案】
（1）解：由
得
，
由余弦定理得
，所以
，
由正弦定理得
，
是三角形内角，
，
所以
，又A为锐角，所以
（2）解：由（1）
，
，
所以
，即
，
，
，
【分析】（1）根据正弦、余弦定理求解即可；
（2）根据余弦定理及三角形面积公式即可求出。
20.【答案】
（1）解：在
中,
根据正弦定理得
，则
，
所以
（2）解：因为
，
所以
.
解得
或
.
当
时，
所以
为钝角，所以△
的面积
当
时，
.
此时
为锐角，不满足题意
所以△
的面积
【分析】（1）利用正弦定理
，简单计算可得结果.（2）利用余弦定理可得
或
，然后根据
是钝角三角形以及余弦定理进行验证可确定b，最后使用三角形面积公式，可得结果.
21.【答案】
（1）解：由正弦定理及已知得
，
所以
．所以
，
则
，因为
，所以
（2）解：由
可知，
，因为
，
所以
，则
，所以
，所以
．
又由
，所以
，解得
，
所以
【分析】(1)由正弦定理对已知式子进行边角互化可得
，结合余弦定理可求出
，进而可求出角A的大小.(2)由诱导公式及正弦定理，可得
，即可求出
，结合三角形的内角和定理可求出
，由正弦定理求得
，进而代入三角形的面积公式即可求解.
22.【答案】
（1）解：若选择条件①，得
，不符合题意：
若选择条件②，由余弦定理知
，化简得
，
所以
，不符合题意：
若选择条件③，由余弦定理得
，
所以
，所以
，
所以
，
因为
，所以
（2）解：由（1）知
，
因为
，所以
．
所以
．
在
中，因为
，
所以
．
【分析】（1）对每个条件逐个分析，得到条件③是符合要求的，之后利用余弦定理求得结果；（2）利用余弦定理求得
，利用同角三角函数关系式，求得
，之后应用正弦差角公式以及正弦定理求得结果.
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