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1.6完全平方公式（2）
时间90分钟
满分120分
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（2021?河南模拟）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5
B．（﹣2a）3＝﹣6a3
C．a3?a5＝a8
D．（a﹣2）2＝a2﹣4
2．（2020春?天宁区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A．（x﹣y）（x+y）
B．（2x﹣y）（x+y）
C．（x﹣y）（2x﹣y）
D．（x﹣y）（﹣x+y）
3．（2020秋?夏津县期末）下列运算正确的是（ ）
A．a2?a4＝a8
B．210+（﹣2）10＝211
C．（﹣1﹣3a）2＝1﹣6a+9a2
D．（﹣3x2y）3＝﹣9x6y3
4．（2020春?锡山区期中）若（5a+3b）2＝（5a﹣3b）2+A，则A等于（ ）
A．12ab
B．15ab
C．30ab
D．60ab
5．（2020秋?伊通县期末）已知a+b＝5，ab＝﹣2，则a2+b2的值为（ ）
A．21
B．23
C．25
D．29
6．（2020春?高新区校级月考）若a﹣b＝5，ab＝﹣6，则a2﹣3ab+b2的值为（ ）
A．13
B．19
C．25
D．31
7．（2020秋?奉贤区期末）若a＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212，在下列判断结果正确是（ ）
A．a＜b
B．a＝b
C．a＞b
D．无法判断
8．（2021春?南岗区校级月考）若ab＝6，a2+b2＝13，则a﹣b的值为（ ）
A．1
B．±1
C．﹣1
D．0
9．（2020春?奉化区期中）已知（m﹣2018）2+（m﹣2020）2＝34，则（m﹣2019）2的值为（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
10．（2020春?平阴县期末）若|x+y﹣5|+（xy﹣3）2＝0，则x2+y2的值为（ ）
A．19
B．31
C．27
D．23
二．填空题（每小题4分，共32分）
11．（2020春?邵东市期末）利用乘法公式计算：982＝
．
12．（2020春?杭州期末）计算：20202﹣4040×2019+20192＝
．
13．（2020秋?肇州县期末）若a+b＝5，ab＝3，则a2﹣ab+b2＝
．
14．（2021春?拱墅区校级月考）如果x2+2mx+25是一个完全平方式，那么m的值为
．
15．（2020秋?武都区期末）若（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝11，则a2+b2＝
．
16．（2020秋?禹城市期末）若的值是
．
17．（2020春?沙坪坝区期末）若x+y＝4，xy＝1，则x2+y2﹣2＝
．
18．观察下列各式及其展开式：
（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
…
根据其中的规律，请你猜想（a+b）7的展开式中第四项的系数是
三．解答题（共58分）
19．（12分）（2020春?兰州期末）利用整式乘法公式计算：
（1）2012；
（2）19992﹣1998×2000．
20．（8分）（2020秋?嘉定区期末）计算：2（a﹣b）2﹣（a+6b）（a﹣2b）．
21．（12分）（2020秋?西山区期末）先化简，再求值：（x﹣1）（x+1）+（2x﹣1）2﹣2x（2x﹣1），其中x＝4．
22．（12分）（2020秋?资中县期中）已知a+b＝3，ab＝1，求：
（1）a2+b2的值；
（2）a﹣b的值．
23．（14分）（2020秋?南关区校级期末）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于
；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：
方法一：
；
方法二：
；
（3）根据（2），直接写出（m﹣n）2，（m+n）2，mn这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：
对于任意的有理数x和y，若x+y＝9，xy＝18，求x﹣y的值．
1.6完全平方公式（2）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2021?河南模拟）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5
B．（﹣2a）3＝﹣6a3
C．a3?a5＝a8
D．（a﹣2）2＝a2﹣4
【解答】解：A、a2+a3，不是同类项，无法计算，故此选项错误；
B、（﹣2a）3＝﹣8a3，故此选项错误；
C、a3?a5＝a8，故此选项正确；
D、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故此选项错误；
故选：C．
2．（2020春?天宁区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A．（x﹣y）（x+y）
B．（2x﹣y）（x+y）
C．（x﹣y）（2x﹣y）
D．（x﹣y）（﹣x+y）
【解答】解：A、原式＝x2﹣y2，用了平方差公式，故此选项不符合题意；
B、原式＝2x2+xy﹣y2，用了多项式乘法法则，故此选项不符合题意；
C、原式＝2x2﹣3xy+y2，用了多项式乘法法则，故此选项不符合题意；
D、原式＝﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2，用了完全平方公式，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（2020秋?夏津县期末）下列运算正确的是（ ）
A．a2?a4＝a8
B．210+（﹣2）10＝211
C．（﹣1﹣3a）2＝1﹣6a+9a2
D．（﹣3x2y）3＝﹣9x6y3
【解答】解：A．a2?a4＝a6，故本选项不符合题意；
B．210+（﹣2）10
＝210+210
＝（1+1）×210
＝2×210
＝211，故本选项符合题意；
C．（﹣1﹣3a）2＝1+6a+9a2，故本选项不符合题意；
D．（﹣3x2y）3＝﹣27x6y3，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．（2020春?锡山区期中）若（5a+3b）2＝（5a﹣3b）2+A，则A等于（ ）
A．12ab
B．15ab
C．30ab
D．60ab
【解答】解：已知等式整理得：25a2+30ab+9b2＝25a2﹣30ab+9b2+A，
化简得：A＝60ab．
故选：D．
5．（2020秋?伊通县期末）已知a+b＝5，ab＝﹣2，则a2+b2的值为（ ）
A．21
B．23
C．25
D．29
【解答】解：∵a+b＝5，ab＝﹣2，
∴原式＝（a+b）2﹣2ab＝25+4＝29．
故选：D．
6．（2020春?高新区校级月考）若a﹣b＝5，ab＝﹣6，则a2﹣3ab+b2的值为（ ）
A．13
B．19
C．25
D．31
【解答】解：∵a﹣b＝5，ab＝﹣6，
∴a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）2﹣ab＝52﹣（﹣6）＝31，
故选：D．
7．（2020秋?奉贤区期末）若a＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212，在下列判断结果正确是（ ）
A．a＜b
B．a＝b
C．a＞b
D．无法判断
【解答】解：a＝2020×2021+1，
b＝20202﹣2020×2021+20212
＝（2020﹣2021）2+2020×2021
＝2020×2021+1，
故a＝b．
故选：B．
8．（2021春?南岗区校级月考）若ab＝6，a2+b2＝13，则a﹣b的值为（ ）
A．1
B．±1
C．﹣1
D．0
【解答】解：∵ab＝6，a2+b2＝13，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝13﹣2×6＝1，
∴（a﹣b）＝±1．
故选：B．
9．（2020春?奉化区期中）已知（m﹣2018）2+（m﹣2020）2＝34，则（m﹣2019）2的值为（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
【解答】解：∵（m﹣2018）2+（m﹣2020）2＝34，
∴[（m﹣2019）+1]2+[（m﹣2019）﹣1]2＝34，
∴（m﹣2019）2+2（m﹣2019）+1+（m﹣2019）2﹣2（m﹣2019）+1＝34，
∴2（m﹣2019）2＝32，
∴（m﹣2019）2＝16，
故选：D．
10．（2020春?平阴县期末）若|x+y﹣5|+（xy﹣3）2＝0，则x2+y2的值为（ ）
A．19
B．31
C．27
D．23
【解答】解：根据题意得，x+y﹣5＝0，xy﹣3＝0，
∴x+y＝5，xy＝3，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25，
∴x2+y2＝25﹣2×3＝25﹣6＝19．
故选：A．
二．填空题
11．（2020春?邵东市期末）利用乘法公式计算：982＝ 9604 ．
【解答】解：982
＝（100﹣2）2
＝1002﹣2×100×2+22
＝10000﹣400+4
＝9604．
故答案为：9604．
12．（2020春?杭州期末）计算：20202﹣4040×2019+20192＝ 1 ．
【解答】解：20202﹣4040×2019+20192
＝20202﹣2×2020×2019+20192
＝（2020﹣2019）2
＝12
＝1．
故答案为：1．
13．（2020秋?肇州县期末）若a+b＝5，ab＝3，则a2﹣ab+b2＝ 16 ．
【解答】解：∵a+b＝5，
∴a2+2ab+b2＝25，
∵ab＝3，
∴a2+b2＝19，
∴a2﹣ab+b2＝16．
故答案为：16．
14．（2021春?拱墅区校级月考）如果x2+2mx+25是一个完全平方式，那么m的值为 ±5 ．
【解答】解：∵x2+2mx+25＝x2+2mx+52，
∴2mx＝±2×5×x，
解得m＝±5．
故答案为：±5．
15．（2020秋?武都区期末）若（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝11，则a2+b2＝ 14 ．
【解答】解：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝17
①，
（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝11
②，
①+②得：2（a2+b2）＝28，
∴a2+b2＝14．
故答案为14．
16．（2020秋?禹城市期末）若的值是 11 ．
【解答】解：∵x﹣＝3，
∴（x﹣）2＝9，
即x2﹣2+＝9，
解得x2+＝9+2＝11．
故答案为：11．
17．（2020春?沙坪坝区期末）若x+y＝4，xy＝1，则x2+y2﹣2＝ 12 ．
【解答】解：∵x+y＝4，xy＝1，
∴x2+y2﹣2
＝（x+y）2﹣2xy﹣2
＝42﹣2×1﹣2
＝16﹣2﹣2
＝12．
故答案为：12．
18．观察下列各式及其展开式：
（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
…
根据其中的规律，请你猜想（a+b）7的展开式中第四项的系数是 35
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
依据规律可得到：
（a+b）5的系数为1，5，10，10，5，1，
（a+b）6的系数为1，6，15，20，15，6，1，
（a+b）7的系数为1，7，21，35，35，21，7，1．
所以（a+b）7的展开式中第四项的系数是35，
故答案为：35．
三．解答题
19．（2020春?兰州期末）利用整式乘法公式计算：
（1）2012；
（2）19992﹣1998×2000．
【解答】解：（1）原式＝（200+1）2
＝2002+2×200×1+12
＝40401；
（2）原式＝19992﹣（1999﹣1）（1999+1）
＝19992﹣19992+1
＝1．
20．（2020秋?嘉定区期末）计算：2（a﹣b）2﹣（a+6b）（a﹣2b）．
【解答】解：原式＝2（a2﹣2ab+b2）﹣（a2+4ab﹣12b2）
＝2a2﹣4ab+2b2﹣a2﹣4ab+12b2
＝a2﹣8ab+14b2．
21．（2020秋?西山区期末）先化简，再求值：（x﹣1）（x+1）+（2x﹣1）2﹣2x（2x﹣1），其中x＝4．
【解答】解：原式＝x2﹣1+4x2﹣4x+1﹣4x2+2x
＝x2﹣2x，
当x＝4时，原式＝16﹣2×4＝16﹣8＝8．
22．（2020秋?资中县期中）已知a+b＝3，ab＝1，求：
（1）a2+b2的值；
（2）a﹣b的值．
【解答】解：（1）∵a+b＝3，ab＝1，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
＝32﹣2×1＝7；
（2）∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝7﹣2＝5，
∴a﹣b＝±．
23．（2020秋?南关区校级期末）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于 m﹣n ；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：
方法一： （m﹣n）2 ；
方法二： （m+n）2﹣4mn ；
（3）根据（2），直接写出（m﹣n）2，（m+n）2，mn这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：
对于任意的有理数x和y，若x+y＝9，xy＝18，求x﹣y的值．
【解答】解：（1）图①被分割的四个小长方形的长为m，宽为n，拼成的图②整体是边长为m+n的正方形，中间是边长为m﹣n的小正方形，
故答案为：m﹣n；
（2）方法一：阴影部分是边长为m﹣n的正方形，因此面积为（m﹣n）2，
方法二：大正方形的面积减去四个长方形的面积，即（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；
（3）由（2）得，（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
答：（m﹣n）2，（m+n）2，mn这三个代数式之间的等量关系为（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（4）由（3）得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
所以（x﹣y）2＝92﹣4×18＝9，
因此x﹣y＝3或x﹣y＝﹣3，
答：x﹣y的值为3或﹣3．
跟踪测试12
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精品试卷·第
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1.6
完全平方公式（2）
北师大版
七年级下
新课导入
复习回顾
完全平方公式：
(a+b)2
=
a2
+
2ab
+
b2
(a-b)2
=
a2
-
2ab
+
b2
首平方，尾平方，
首尾两倍放中央，
符号与前一个样.
口诀：
合作探究
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗?
(a-b)2与(b-a)2相等吗?
(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?
合作探究
怎样计算1022,1972更简单呢？
（1）1022=（100+2）2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404
（2）1972=（200-3）2
=2002-2×200×3+32
=40000-1200+9
=
38809
精讲例题
例2（1）
计算：(1)
(x+3)2
-
x2
解:方法一：
利用完全平方公式
（1）(x+3)2-x2
=
x2＋6x+9-x2
=
6x+9
解:方法二：利用平方差公式
(x+3)2-x2
=(x+3+x)(x+3-x)
=(2x+3)×3
=6x+9
精讲例题
例2
(2)(a+b+3)(a+b-3)
解:
(2)(a+b+3)(a+b-3)
=(a+b)2?
32
=a2
+2ab+b2－9
温馨提示：将(a+b)看作一个整体，解题中渗透了整体的数学思想.
思考：如何变形利用平方差公式
(1)(a-b+3)(a-b+3)
(2)(a+b+3)(a-b-3)
(3)(a-b+3)(a+b-3)
做一做
有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们。来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块糖，……
(1)第一天有a个男孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
a2
(2)第二天有b个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
b2
(3)第三天这（a
+
b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(a+b)2
随堂练习
1.计算（1）
（2）
（3）
(4)(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)
课堂小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？?
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
完全平方公式
1.完全平方公式的使用：
在做题过程中一定要注意符号问题和
正确认识a，b表示的意义，它们可以
是数、也可以是单项式还可以是多项
式，所以要记得添括号。
课堂小结
解题之前应注意观察思考，选择不同的
方法会有不同的效果，要学会优化选择.
2.解题技巧：
1.完全平方公式的使用：
在做题过程中一定要注意符号问题和
正确认识a，b表示的意义，它们可以
是数、也可以是单项式还可以是多项
式，所以要记得添括号.
课堂小结
注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同．
结果不同：
完全平方公式的结果
是三项，
即
(a
?b)2＝a2
?2ab+b2;
平方差公式的结果
是两项，
即
(a+b)(a?b)＝a2?b2.
有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全
平方公式的条件，
即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算.
在解题过程中一是要准确确定a和b、对照公式原形的两边,
做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；二是乘积被平方时要注意添括号,
是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键.
课堂达标
1.6完全平方公式（2）
满分120分
课堂达标
一、选择题（每小题10分，共50分）
1
．（2020秋?昆明期末）下列计算正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2+b2
B．（-a2b）3=-a6b3
C．a6÷a2=a3
D．a2+a2=a4
解：A、（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项不合题意；
B、（-a2b）3=-a6b3，故本选项符合题意；
C、a6÷a2=a4，故本选项不合题意；
D、a2+a2=2a2，故本选项不合题意．
故选：B．
B
课堂达标
2
．（2019秋?天心区期末）若x+y=7，xy=10，则x2+xy+y2的值为（ ）
A．69
B．59
C．49
D．39
解：因为x+y=7，xy=10，
所以x2+xy+y2
=x2+2xy+y2-xy
=（x+y）2-xy
=49-10
=39．
故选：D．
D
课堂达标
3
．（2020秋?开福区校级期中）已知a+b=4，ab=2，则a2+b2=（ ）
A．8
B．10
C．12
D．16
C
解：∵a+b=4，ab=2，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=42-2×2=12，
故选：C．
课堂达标
4
．（2020春?曹县期末）计算（x-2）（2x+3）-（3x+1）2的结果中，x项的系数为（ ）
A．5
B．-5
C．7
D．-7
解：（x-2）（2x+3）-（3x+1）2
=2x2+3x-4x-6-9x2-6x-1
=-7x2-7x-7，
故选：D．
D
课堂达标
5
．（2020秋?海淀区校级月考）小淇将（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2020x-2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则a1-a2的值为（ ）
A．-1
B．-4039
C．4039
D．1
B
解：∵（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；
∴a1=20192，
∵（2020x-2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，
∴a2=20202，
∴a1-a2=20192-20202=（2019+2020）（2019-2020）=-4039，
故选：B．
课堂达标
二、填空题（每小题10分，共30分）
6.
（2020秋?怀安县期末）设（2a+3b）2=（2a-3b）2+A，则A=
．
解：∵（2a+3b）2=4a2+12ab+9b2，
（2a-3b）2=4a2-12ab+9b2，
∴（2a+3b）2=（2a-3b）2+24ab，
∴A=24ab，
故答案为：24ab．
24ab
课堂达标
7.
（2020春?曹县期末）计算（a-2b）2-2a（3a-4b）的结果
是
．
-5a2+4ab+4b2
解：（a-2b）2-2a（3a-4b）=a2-4ab+4b2-6a2+8ab=-5a2+4ab+4b2，
故答案为：-5a2+4ab+4b2．
课堂达标
8.
（2020?南安市校级自主招生）若（2020-a）（2019-a）=2021，则（2020-a）2+（a-2019）2=
．
解：设x=2020-a，y=2019-a，则xy=2021，
x-y=（2020-a）-（2019-a）=1
∴（2020-a）2+（a-2019）2
=x2+y2=（x-y）2+2xy=1+2×2021=4043
故答案为：4043．
4043
课堂达标
三、解答题（共40分）
9.
（20分)
（2020秋?汝阳县期中）用简便方法计算（结果用科学记数法表示）：
（1）0.259×220×259×643；
（2）20012-4002+1．
解：（1）原式=0.259×220×518×49
=（0.25×4）9×（2×5）18×22
=1×1018×4=4×1018；
（2）原式=20012-2×2001×1+1
=（2001-1）2
=20002
=4000000
=4×106．
课堂达标
10.（10分）
（2020秋?新都区月考）计算：
（2a+b）2[（a-b）2+2a（a-b）+a2]．
解：（2a+b）2[（a-b）2+2a（a-b）+a2]
=（2a+b）2（a2-2ab+b2+2a2-2ab+a2）
=（2a+b）2（4a2-4ab+b2）
=（2a+b）2（2a-b）2
=（4a2-b2）2
=16a4-8a2b2+b4．
课堂达标
11.（10分）
（2020?南关区校级四模）某学生化简a（a+1）-（a-2）2出现了错误，解答过程如下：
解：原式=a2+a-（a2-4a+4）（第一步）
=a2+a-a2-4a+4（第二步）
=-3a+4（第三步）
（1）该学生解答过程是从第
步开始出错，其错误原因是
；
（2）请你帮助他写出正确的简化过程．
解：（1）第二步在去括号时，-4a+4应变为4a-4．
故错误原因为去括号时没有变号．
（2）原式=a2+a-（a2-4a+4）=a2+a-a2+4a-4=5a-4．
作业布置
课本P26：T1
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
