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8.4
三元一次方程组的解法
同步练习
一、选择题
1．（2020秋?光明区期末）解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为
A．①②
B．①②
C．①③
D．②③
2．（2020春?文登区期中）设，则的值为
A．
B．
C．
D．
3．（2020春?义安区期末）若，，则的值为
A．0
B．
C．
D．
4．（2020?泰安二模）已知方程组，与的值之和等于2，则的值为（
）
A．4
B．
C．3
D．
5．（2020?龙沙区一模）甲乙丙三人做一项工作，三人每天的工作效率分别为、、，若甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，下列结论正确的是
A．甲的工作效率最高
B．丙的工作效率最高
C．
D．
6．某班元旦晚会需要购买甲、乙、丙三种装饰品，若购买甲3件，乙5件，丙1件，共需62元，若购甲4件，乙7件，丙1件共需77元．现在购买甲、乙、丙各一件，共需（
）元．
A．31
B．32
C．33
D．34
二、填空题
7．（2021春?天心区月考）三元一次方程组的解是
．
8．（2020秋?邛崃市期末）当时，代数式的值是5；当时，代数式的值是0；当时，代数式的值是；则当时，代数式的值是
．
9．（2020春?桥西区校级期中）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需
元．
10．（2020秋?鹿城区校级月考）如图，甲、乙、丙均为正方形，甲与乙的面积之和是丙面积的，甲内阴影部分的面积占甲面积的，乙内阴影部分面积占乙面积的，丙内阴影部分的面积占丙面积的，则甲、乙两个正方形面积的比为
．
三、解答题
11．（2020春?福山区期中）解方程组：（1）；
（2）；
（3）．
12．（2021?宁波模拟）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元．问购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需多少元？
13．（2020春?乐清市期末）为了推动我市消费市场快速回暖，加快消费水平复苏和振兴，市人民政府决定，举办“春暖瓯越温享生活”消费券多次投放活动，每期消费券共可减68元，共5张，其中型1张，型2张，型2张，如下表：
型
型
型
满168元减38元
满50元减10元
满20元减5元
在此次活动中，小明父母领到多期消费券．
（1）若小明妈妈用三种不同类型的消费券共减了199元，已知她用了3张型消费券，5张型的消费券，则用了
张型的消费券．
（2）若小明父母使用消费券共减了230元．
①若他们用12张三种不同类型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，请求出他们用这三种不同类型的消费券各多少张？
②若他们共领到6期消费券（部分未使用），用，，型中的两种不同类型的消费券消费，直接写出他们使用哪两种消费券各多少张．
14．（2020春?武昌区期末）在平面直角坐标系中，点，，
（1）若，则
；
（2）若，，满足．
①若点到轴的距离是它到轴距离的4倍，求点的坐标；
②点的横坐标为，且，的面积等于，求的值．
8.4
三元一次方程组的解法
同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020秋?光明区期末）解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为
A．①②
B．①②
C．①③
D．②③
【解析】解：解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为①②．
故选：．
2．（2020春?文登区期中）设，则的值为
A．
B．
C．
D．
【解析】解：设，得到，，，
则原式．
故选：．
3．（2020春?义安区期末）若，，则的值为
A．0
B．
C．
D．
【解析】解：，
由②①得，
所以原式．
故选：．
4．（2020?泰安二模）已知方程组，与的值之和等于2，则的值为（
）
A．4
B．
C．3
D．
【解析】解：，
①②得：，
把代入②得：，
又与的值之和等于2，所以，
解得：
故选：．
5．（2020?龙沙区一模）甲乙丙三人做一项工作，三人每天的工作效率分别为、、，若甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，下列结论正确的是
A．甲的工作效率最高
B．丙的工作效率最高
C．
D．
【解析】解：甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，
，
解得：，
，
故选：．
6．某班元旦晚会需要购买甲、乙、丙三种装饰品，若购买甲3件，乙5件，丙1件，共需62元，若购甲4件，乙7件，丙1件共需77元．现在购买甲、乙、丙各一件，共需（
）元．
A．31
B．32
C．33
D．34
【解析】解：设甲种装饰品元件，乙种装饰品元件，丙种装饰品元件，
依题意，得：，
①②，得：．
故选：．
二、填空题
7．（2021春?天心区月考）三元一次方程组的解是 ．
【解析】解：，
①②③得：，即④，
把①、②、③分别代入④得：，，，
则方程组的解为，
故答案为：．
8．（2020秋?邛崃市期末）当时，代数式的值是5；当时，代数式的值是0；当时，代数式的值是；则当时，代数式的值是 ．
【解析】解：根据题意，得
，
解得，
当时，代数式的值为：
．
故答案为：．
9．（2020春?桥西区校级期中）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需 5 元．
【解析】解：设铅笔的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需元．
则由题意得：
，
由②①得，④
由②①得，⑤
由⑤④③得，
解得：，
故答案为：5．
10．（2020秋?鹿城区校级月考）如图，甲、乙、丙均为正方形，甲与乙的面积之和是丙面积的，甲内阴影部分的面积占甲面积的，乙内阴影部分面积占乙面积的，丙内阴影部分的面积占丙面积的，则甲、乙两个正方形面积的比为 ．
【解析】解：设甲的面积为，乙的面积为，丙的面积为，
依题意得：，
由②可得：③，
将③代入①中得：，
，
．
故答案为：．
三、解答题
11．（2020春?福山区期中）解方程组：（1）；
（2）；
（3）．
【解析】解：（1），
②①，得，
将代入①得，，
所以原方程组的解为；
（2）原方程组可化为，
①②得，，
将代入①得，，
所以原方程组的解为；
（3），
②①得，④，
③①得，⑤，
⑤④得，，
将代入④，得，
将，代入①，得，
所以原方程组的解为．
12．（2021?宁波模拟）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元．问购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需多少元？
【解析】解：设铅笔的单价为元，作业本的单价为元，圆珠笔的单价为元，
依题意得：，
①②得：．
答：购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需5元．
13．（2020春?乐清市期末）为了推动我市消费市场快速回暖，加快消费水平复苏和振兴，市人民政府决定，举办“春暖瓯越温享生活”消费券多次投放活动，每期消费券共可减68元，共5张，其中型1张，型2张，型2张，如下表：
型
型
型
满168元减38元
满50元减10元
满20元减5元
在此次活动中，小明父母领到多期消费券．
（1）若小明妈妈用三种不同类型的消费券共减了199元，已知她用了3张型消费券，5张型的消费券，则用了
张型的消费券．
（2）若小明父母使用消费券共减了230元．
①若他们用12张三种不同类型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，请求出他们用这三种不同类型的消费券各多少张？
②若他们共领到6期消费券（部分未使用），用，，型中的两种不同类型的消费券消费，直接写出他们使用哪两种消费券各多少张．
【解析】解：（1）（张．
故用了7张型的消费券．
故答案为：7；
（2）①设型消费券张，型消费券张，型消费券张，依题意有
，
解得．
故型消费券5张，型消费券1张，型消费券6张；
②6期消费券有型6张，型12张，型12张，
（元，
（元，
型消费券5张，型消费券4张或型消费券5张，型消费券8张．
14．（2020春?武昌区期末）在平面直角坐标系中，点，，
（1）若，则
；
（2）若，，满足．
①若点到轴的距离是它到轴距离的4倍，求点的坐标；
②点的横坐标为，且，的面积等于，求的值．
【解析】解：（1）若，则．
故答案为：2或；
（2）若，，满足．
①依题意有，
解得，．
故点的坐标为或；
②，，满足，
①②得，
①②得，
，，
，
，
，
点的横坐标为，且，
，
，
点的横坐标为4，
的面积等于，
，即，
解得或，
的值为7或1．
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精品试卷·第
2
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（共
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人教版
七年级数学下册
8.4
三元一次方程组的解法
1.了解三元一次方程组的概念.能解简单的三元一次方程组，
进一步体会“消元”思想.
2.会利用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高分析问题、
解决问题的能力.
学习目标
（1）这是几元几次方程组？
（2）求解的思想是什么？
（3）用什么方法消元可以解这个方程？
解方程组：
①
②
消元
二元一次方程组
加减法或代入法
新课导入
也就是说：解二元一次方程组，用“消元”
的思想，通过加减法或代入法，把“二元”转化为“一元”，从而得解。
二元
一元
方程的解
加减法
代入法
思考：
该怎么解？
★
三元一次方程（组）的概念
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张？
知识讲解
问题1
题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？
未知量
1元纸币的数量
2元纸币的数量
5元纸币的数量
每一个未知量都用一个字母表示
x张
y张
z张
三个未知数（元）
等量关系
(1)1元纸币的数量+2元纸币的数量+5元纸币的数量=12
(2)三种纸币的总钱数=22
(3)1元纸币的数量=4倍的2元纸币的数量
用方程表示等量关系.
x+y+z=12.
?
x+2y+5z=22.
?
x=4y.
?
问题2
观察列出的三个方程，你有什么发现？
x+y+z=12.
?
x+2y+5z=22.
?
x=4y.
?
二元一次方程
三元一次方程
含两个未知数
未知数的次数都是1
含三个未知数
未知数的次数都是1
因为三种纸币的数量必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起.
x+y+z=12，
?
x+2y+5z=22，
?
x=4y.
?
在这个方程组中，含有三个未知数，每个方程中所含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
例1
下列方程组不是三元一次方程组的是
(
)
A.
B.
C.
D.
D
注意：
组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．
★
三元一次方程组的解法
怎样解三元一次方程组呢？
能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
x+y+z=12，
?
x+2y+5z=22，
?
x=4y.
?
例2
解方程组
x+y+z=12，
?
x+2y+5z=22，
?
x=4y.
?
解法1：代入消元法
把③分别代入①和
②得：
解这个方程组得：
组成方程组得：
所以，原方程组的解为：
把y=2代入③得：
解法2：加减消元法
①×5－②
得：
解这个方程组得：
①得：
由
组成方程组得：
所以，原方程组的解为：
③
③
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行
，把
转化为
，使解三元一次方程组转化为解
，进而再转化为解
.
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
例3
在等式
y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60.
求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c=
0，
①
4a＋2b＋c=3，
②
25a＋5b＋c=60.
③
②－①，
得
a＋b=1
④
③－①，得
4a＋b=10
⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
a＋b=1，
4a＋b=10.
a=3，
b=-2.
解这个方程组，得
把
代入①，得
a=3，
b=-2
c=-5,
a=3，
b=-2，
c=-5.
因此
即a,b,c的值分别为3，-2，5.
★
三元一次方程（组）的应用
例4
一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的
，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，得
解得
原三位数是368.
1.解三元一次方程组
解：
随堂训练
2.
解：
3.水果市场将120
吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
（1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8
200
元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，商场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1
辆），已知它们的总辆数为16
辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
三元一次方程组
三元一次方程组的概念
三元一次方程组的解法
三元一次方程组的应用
课堂小结
教材第106页：练习1、2题
课后作业
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