10.2 等腰三角形课件（共33张PPT）

第十章 三角形的有关证明
2 等腰三角形
知识点一 等腰三角形的性质定理
性质定理1
性质定理2
内容
应用格式
温馨提示
知识点一 等腰三角形的性质定理
性质定理1
性质定理2
内容
等腰三角形的两个底角相等简述为等边对等角
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合简述为三线合一
应用格式
在△ABC中，若AB＝AC，则∠B＝∠C
在△ABC中，若AB＝AC，AD⊥BC，则AD是BC边上的中线，且AD平分∠BAC
温馨提示
（1）“等边对等角”成立的前提条件是“在同一个三角形中”；
（2）对于三角形，只有等腰三角形才有“腰”及“底角”的概念；
（3）“三线合一”是等腰三角形具有的特殊性质，“三线”中若有“一线”成立，则其余“两线”都成立；
（4）等腰三角形是以顶角的平分线（底边上的中线、底边上的高）所在直线为对称轴的轴对称图形
例1 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，AD＝BD，AC＝DC，求△ABC三个内角的度数.


例1 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，AD＝BD，AC＝DC，求△ABC三个内角的度数.


解析 ∵AC＝DC，∴∠DAC＝∠ADC，
又∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C＝∠BAD，
设∠B＝x，则∠ADC＝∠B＋∠BAD＝2x，
∴∠DAC＝∠ADC＝2x，∴∠BAC＝∠DAC＋∠BAD＝3x，∴在△ABC中，∠B＋∠C＋∠BAC＝x＋x＋3x＝180°，解得x＝36°，
∴在△ABC中，∠BAC＝108°，∠B＝∠C＝36°.
知识点二 等腰三角形的判定定理
内容
应用格式
注意问题
等腰三角形的判定定理
知识点二 等腰三角形的判定定理
内容
应用格式
注意问题
等腰三角形的判定定理
有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称等角对等边
如图所示，在△ABC中∵∠B＝∠C，∴AB＝AC
（1）“等角对等边”的应用前提是相等的两个角必须在同一个三角形中；
（2）“等角对等边”是证明线段相等的一个常用定理
例2 如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，G是CA的延长线上一点，GE∥AD交AB于F，交BC于E，试判断△AGF的形状并加以证明.



例2 如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，G是CA的延长线上一点，GE∥AD交AB于F，交BC于E，试判断△AGF的形状并加以证明.



解析 △AGF是等腰三角形
证明:∵GE∥AD，∴∠G＝∠CAD，∠BAD＝∠GFA，
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠G＝∠GFA，∴AG＝AF，
∴△AGF是等腰三角形.
知识点三 等边三角形的判定定理
内容
应用格式
等边三角形的判定定理
注意问题
知识点三 等边三角形的判定定理
内容
应用格式
等边三角形的判定定理
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

如图所示，在△ABC中；∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形
注意问题
（1）应用该判定定理证明的前提是三角形是等腰三角形，且有一个角等于60°.
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.
（3）三条边都相等的三角形是等边三角形.
（4）等边三角形是特殊的等腰三角形，它有等腰三角形的所有性质，且三边相等，三个角相等，都等于60°
例3 如图所示，已知△ABC是等边三角形，D为AC上任意一点，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE.
求证:△ADE是等边三角形.
例3 如图所示，已知△ABC是等边三角形，D为AC上任意一点，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE.
求证:△ADE是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠DAE＝∠BAD＝60°，∴△ADE是等边三角形.
知识点四 含30°角的直角三角形的性质
内容
应用格式
注意问题
含30°角的直角三角形的性质
知识点四 含30°角的直角三角形的性质
例4 如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，求证:CD＝2AD.




证明 在△ABC中，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，
又∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，
在Rt△DAC中∵∠C＝30°，∴CD＝2AD.
例4 如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，求证:CD＝2AD.




知识点五 反证法
项目
内容
概念
一般步骤
温馨 提示
知识点五 反证法
项目
内容
概念
先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.反证法是一种重要的数学证明方法
一般步骤
（1）假设结论的反面是正确的；
（2）从假设出发，通过推理得出矛盾(与条件矛盾，与学过的定义、定理、公理矛盾，或自相矛盾)；
（3）说明假设不成立，从而得到原命题结论正确
温馨 提示
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定
例5 证明:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度.
例5 证明:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度.
证明 假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°，即都大于60°，那么，这个三角形的三个内角之和就会大于180°，这与定理“三角形的三个内角之和等于180°”相矛盾，故假设不成立，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度.
经典例题
题型一 全等三角形的判定和性质的综合运用
例1 如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且相交于O点.


（1）试说明△OBC是等腰三角形；
（2）连接OA，试判断直线OA与线段BC的关系，并说明理由.
（2）直线OA垂直平分线段BC.
理由:在△AOB和△AOC中，
∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠BAO＝∠CAO，∴AO平分∠BAC，
∴直线OA垂直平分线段BC（等腰三角形顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合）.
题型二 等边三角形的判定和性质的综合应用
例2 如图所示，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证:△DEF是等边三角形.
证明 ∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°.
∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，
∴∠DAB＝∠ACF＝∠CBE＝90°，
∴∠DBA＝∠FAC＝∠BCE＝30°，
∴∠D＝∠E＝∠F＝180°-90°-30°＝60°，
∴△DEF是等边三角形.
点拨
要证三角形是等边三角形，可先证明这个三角形是等腰三角形，再证明三角形中任一内角为60°，或直接证明三角形的三个角或三条边都相等.
易错易混
易错点 作等腰三角形的高时易出错
当等腰三角形的顶角为钝角时，腰上的高在三角形的外部，这一点容易被忽略而导致出错.
例 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是70°，则其底角为_________.
解析 ①如图1①∵∠ABD＝70°，∠BDA＝90°，


∴∠A＝20°，∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝（180°-20°）÷2＝80°.
②如图②，∵∠ABD＝70°，∠BDA＝90°，∴∠BAD＝20°，
∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝20°÷2＝10°.
故答案为80°或10°.
答案 80°或10°
易错分析
本题易忽略腰上的高在三角形外部时的情况，导致漏解而出错.