课题 锐角三角函数——正弦
一、教学目标
1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算
3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
二、教学重点、难点
重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．
难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
三、教学过程
（一）复习引入
操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片）
小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
你想知道小明怎样算出的吗？
师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度；
实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度。
这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法。
下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦
（二）实践探索
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
分析：
问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求AB
根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即
可得AB=2BC=70m.即需要准备70m长的水管
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90o，∠A=45o，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？
分析：在Rt△ABC 中，∠C=90o，由于∠A=45o，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得 ，故
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.
一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C` =90o，∠A=∠A`=α，那么与有什么关系
分析：由于∠C=∠C` =90o，∠A=∠A`=α，所以Rt△ABC∽Rt△A`B`C`，
，即
结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。
认识正弦
如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c。
师：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。记作sinA。
板书：sinA＝ （举例说明：若a=1,c=3,则sinA=）
注意：1、sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体；
2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF
3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。
提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？
（三）教学互动
例1如图,在中, ,求sin和sin的值.
解答按课本
（四）巩固再现
1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是﹙ ﹚
A． B． C． D．
2．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是( )
A． B．3 C． D．
四、布置作业
课题 锐角三角函数——余弦和正切
一、教学目标
1、使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．
2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．
二、教学重点、难点
重点：理解余弦、正切的概念
难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算
三、教学过程
（一）复习引入
1、口述正弦的定义
2、（1）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．
（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（ ）
A． B． C． D．
（二）实践探索
一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C` =90o，∠B=∠B`=α，那么有什么关系？
分析：由于∠C=∠C` =90o，∠B=∠B`=α，所以Rt△ABC∽Rt△，
，即 结论：在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦，记作cosB即，把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA,即，锐角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的锐角三角函数.
（三）教学互动
例2:如图,在中, ,BC=6,求cos和tan的值.
解:∵,∴又
例3:(1)如图(1), 在中，,,,求的度数.
(2)如图(2),已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍,求.
（四）巩固再现
1.?在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（?）
A．?B．?C．?D．
本题主要考查锐解三角函数的定义，同学们只要依据
2. 在中，∠C＝90°，如果那么的值为（?）
A．?B．?C．?D．
分析 本题主要考查锐解三角函数及三角变换知识。其思路是：依据条件
3、如图：P是∠的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4）， 则cos＝_____________.
4、P81 练习1、2、3
四、布置作业
P85 1
课题 锐角三角函数间的关系
一、教学目标
1、使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系．
2、使学生了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系
3、使学生了解正切与正弦、余弦的关系
4、使学生了解三角函数值随锐角的变化而变化的情况
二、教学重点、难点
重点：三个锐角三角函数间几个简单关系
难点：能独立根据三角函数的定义推导出三个锐角三角函数间几个简单关系
三、教学过程
（一）复习引入
叫学生结合直角三角形说出正弦、余弦、正切的定义
（二）实践探索
1、从定义可以看出与有什么关系？与呢？满足这种关系的与又是什么关系呢？
2、利用定义及勾股定理你还能发现与的关系吗？
3、再试试看与和存在特殊关系吗？经过教师引导学生探索之后总结出如下几种关系：
（1）若 那么=或=
（2）（3）
4、在正弦中它的值随锐角的增大而增大还是随锐角的增大而减少？为什么？余弦呢？正切呢？
通过一番讨论后得出：
（1）锐角的正弦值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)；
（2）锐角的余弦值随角度的增加(或减小)而减小(或增加)；
（3）锐角的正切值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)。
（三）教学互动 (1)判断题：
i 对于任意锐角α，都有0＜sinα＜1和0＜cosα＜1 （ ）
ii 对于任意锐角α1，α2，如果α1＜α2，那么cosα1＜cosα2 （ ）
iii 如果sinα1＜sinα2，那么锐角α1＜锐角α2I （ ）
iv 如果cosα1＜cosα2，那么锐角α1＞锐角α2 （ ）
（2）在Rt△ABC中，下列式子中不一定成立的是______
A．sinA＝sinB B．cosA＝sinB C．sinA＝cosB D．sin(A+B)＝sinC
（3）在
A．0°＜∠A≤30° B．30°＜∠A≤45°
C．45＜∠A≤60° D．60°＜∠A＜90°
四、布置作业
课题 30°、45°、60°角的三角函数值
一、教学目标
1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
二、教学重点、难点
重点：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
难点：30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程
三、教学过程
（一）复习引入
还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即，你还能推导出的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？
（二）实践探索
1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30° cos45° tan60°
归纳结果
30° 45° 60°
siaA
cosA
tanA
（三）教学互动
例 求下列各式的值：
（1） （2）
解 （1）原式=
（2）原式=
说明：本题主要考查特殊角的正弦余弦值，解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值。易错点因没有记准特殊角的正弦余弦值，造成计算错
例3:(1)如图(1), 在中，,,,求的度数.
(2)如图(2),已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍,求.
解: (1)在图(1)中, (2)在图(2)中.
（四）巩固再现
1、P82 例3
2、P83 练习
3、随机抽查学生对82页的表的记忆情况
四、布置作业
P85 3
课题 用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求锐角
一、教学目标
1、让学生熟识计算器一些功能键的使用
2、会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角
二、教学重点、难点
重点：运用计算器处理三角函数中的值或角的问题
难点：知道值求角的处理
三、教学过程
（一）复习引入
通过上课的学习我们知道，当锐角A是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？
我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。
（二）实践探索
1、用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值
利用求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需巡回指导）
sin37°24′ sin37°23′ cos21°28′ cos38°12′tan52°； tan36°20′； tan75°17′；
2.熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角.例如：sinA=0.9816.∠A＝?????? .
cosA＝0.8607，∠A＝???? ；tanA＝0.1890，∠A=???? ；tanA＝56.78，∠A＝???? .
3、强化
完成P84页的练习
四、布置作业
P85 4、5
课题 解直角三角形（一）
一、教育目标
1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
二、教学重点、难点
1．重点：直角三角形的解法．
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
三、教学步骤
(一)复习引入
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系
如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.
(2)三边之间关系
a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
（二）教学过程
1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．
2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．
3．例题
例 1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=，a=，解这个三角形．
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
解 ∵tanA===∴ ∴ ∴C=2b=
例2在Rt△ABC中， ∠B =35，b=20，解这个三角形．
引导学生思考分析完成后，让学生独立完成
在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书．
完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底
注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理或其它三角函数来计算，但计算出的值可能有些少差异，这都是正常的。
4．巩固练习 P91
说明：解直角三角形计算上比较繁锁，条件好的学校允许用计算器．但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程．要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯．
(四)总结与扩展
1．请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．
2．出示图表，请学生完成
a b c A B
1 √ √
2 √ √
3 √ b=a cotA √
4 √ b=a tanB √
5 √ √
6 a=b tanA √ √
7 a=b cotB √ √
8 a=c sinA b=c cosA √ √
9 a=c cosB b=c sinB √ √
10 不可求 不可求 不可求 √ √
注：上表中“√”表示已知。
四、布置作业
课题 解直角三角形（二）
一、教学目标
1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识
二、教学重点、难点
重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
难点：实际问题转化成数学模型
三、教学过程
（一）复习引入
1．直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答．
2、在中Rt△ABC中已知a=12 ,c=13 求角B应该用哪个关系？请计算出来。
（二）实践探索
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子
引导学生先把实际问题转化成数学模型然后分析提出的问题是数学模型中的什么量
在这个数学模型中可用学到的什么知识来求未知量？
几分钟后，让一个完成较好的同学示范。
（三）教学互动
例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置 这样的最远点与P点的距离是多少 (地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)
分析:从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点.如图,⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点. 弧PQ的长就是地面上P, Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出(即)解:在上图中，FQ是⊙O的切线，是直角三角形，
弧PQ的长为
由此可知，当飞船在p点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离
P点约2 009. 6 km.
（四）巩固再现P93 1,P96 1
四、布置作业P96 2,3
课题 解直角三角形（三）
一、教学目标
1、使学生了解什么是仰角和俯角
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题．
二、教学重点、难点
重点：用三角函数有关知识解决观测问题
难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
三、教学过程
（一）复习引入
平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？（三种，重叠、向上和向下）结合示意图给出仰角和俯角的概念
（二）教学互动
例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)
分析：在中，，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.
解:如图, ，,
答:这栋楼高约为277.1m.
（三）巩固再现
1、为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．
2、在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．
3、上午10时，我军驻某海岛上的观察所A发现海上有一艘敌军舰艇正从C处向海岛驶来，当时的俯角，经过5分钟后，舰艇到达D处，测得俯角。已知观察所A距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。
解：在直角三角形ABC和直角三角形ABD中，我们可以分别求出：
（米）（米）
（米）
舰艇的速度为（米/分）。设我军火力射程为米，现在需算出舰艇从D到E的时间（分钟）
我军在12.5分钟之后开始还击，也就是10时17分30秒。
4、小结：谈谈本节课你的收获是什么？
四、布置作业P101 7、8
课题 解直角三角形（四）
一、教学目标
1、使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
二、教学重点、难点
重点：用三角函数有关知识解决方位角问题
难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
三、教学过程
（一）复习引入
1、叫同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。
2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线
（二）教学互动
例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，解:如图, 在中,
在中, .,
因此.当海轮到达位于灯塔P的南偏东340方向时，它距离灯塔P大约130.23海里.海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)
（三）巩固再现
1、P95 1
2、上午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．
3、如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
四、布置作业
P97 7、9
课题 解直角三角形（五）
一、教学目标
1、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
3、培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．
二、教学重点、难点
重点：解决有关坡度的实际问题．
难点：理解坡度的有关术语．
三、教学过程
（一）复习引入
1．讲评作业：将作业中学生普遍出现问题之处作一讲评．
2．创设情境，导入新课．
例 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．
同学们因为你称他们为工程师而骄傲，满腔热情，但一见问题又手足失措，因为连题中的术语坡度、坡角等他们都不清楚．这时，教师应根据学生想学的心情，及时点拨．
（二）教学互动
通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义．
坡度与坡角
结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角． 引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？ 答：i＝＝tan 这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固．
练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______； ______，坡角______度．
为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问： (1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明． (2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明． 答：(1)
如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小，因为 tan＝，AB不变，tan随BC增大而减小（2）与(1)相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tanα 也随之增大，因为tan=不变时，tan随AB的增大而增大2．
讲授新课
引导学生回头分析引题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．
以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．
坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力．
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∴AE=3BE=3×23=69(m)．
FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．
因为斜坡AB的坡度i＝tan＝≈0.3333，
α≈18°26′ 答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．
其实这是旧人教版的一个例题，由于新版里这样的内容和题目并不少，但是对于题目里用的术语新版少提，基于学生的接受情况应插讲这一内容。
（三）巩固再现
1、P95 2
2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
四、布置作业
P97 8
课题 数学活动
一、教学目标
巩固所学的三角函数，学会制作和应用测倾器，能正确测量底部可以到达的物体高度．
培养学生动手实践能力，在实际操作中培养学生分析问题、解决问题的能力．
渗透数学来源于实践，又反过来作用于实际的辩证唯物主义观点，培养学生用数学的意义；培养学生独立思考、大胆创新的精神．
二、教学重点、难点
重点：培养学生解决实际问题的能力和用数学知识的意识．
难点：能根据实际需要进行测量．
三、教学过程
(一)复习引入
1．检查预习效果
(1)这节课我们将制作什么工具？
(2)测角仪有哪几个结构？并对照实物，请学生加以解释。
(3)测角仪测倾斜角的原理是什么？
通过对以上三个问题的解答，全体学生基本掌握测角仪测量倾斜角的原理，了解测角仪的结构；这样教师可把学生分组，制作测角仪．
2．在组长的带领下，全体学生积极配合，共同制作测角仪．
(1)用木板做一个半圆刻度盘，用量角器在上面画刻度，注意半圆盘上的刻度与量角器不同，它是90°～0°～90°．
(2)用手钻在圆心处打孔，并按上图用螺钉、螺母把它和一根长为130cm的木杆联在一起，这时，半圆盘就能绕着固定螺钉旋转(螺母不能固定得太紧或太松)．
(3)在圆心螺钉处悬挂一铅垂线，以标出铅直向下．
(4)在半圆盘的直径的两端钉两个标针，当木杆与地面垂直时，通过两标针及中心的视线是水平的，因为它与铅垂线互相垂直．
让学生把自制的测角仪与教师制好的测角仪对照，以帮学生加以改进．
(二)教学互动
1．测角仪的使用方法
学生亲自动手制作测角仪之后，有了成功的喜悦，很想亲自使用它进行测量．这时教师不妨请每组派代表在同一地点测出倾斜角．边测量边讲解：
(1)把测角仪插在远离被测目标处，使测角仪的木杆的中心线与铅垂线垂合，这时标针连线在水平位置．
注意：一定要注意铅垂线与木杆重合，否则说明
木杆不竖直，不能测量．
(2)转动半圆盘，使视线通过两标针，并且刚好落在目标物顶部B处．
注：“使目标物顶部B点落在视线上”指眼睛、两个标针与目标物顶点B点位于同一直线上，即四点共线．
(3)由图6-36知，∠BOE+∠AOE=90°，∠AOC+∠AOE=90°，由同角的余角相等知，倾角∠EOB等于铅垂线与零度线间的夹角∠AOC，刻度盘上读出∠AOC的度数，就是倾角∠EOB的度数．
在各组同学的重复测量后，比较结果会发现，结果可能差别较大，启发学生：
①哪组数据正确？
②怎样使结果更精确？
解释时强调，不同的数值都不一定与真实值相同，有的偏大，有的偏小，为了准确度高，可以采用求平均值法，降低误差．由于学生在做物理实验时常采用平均值法，因此对这一点不难理解．
2．测量底部可以到达的物体的高度
如图6-37，以测量旗杆AB的高度为例．请学生用自己制作的测角仪演示测旗杆高度的过程，并叙述方法：
①在测点D处安装测倾器，测出旗杆顶的倾角∠ACE=α．
注意，测点D与旗杆底B在同一水平面，否则，加大测量难度．
②量出仪器的高CD=EB=b．
③量出测点D到旗杆底B的水平距离BD=EC=a．
④由AE=a·tanα，得AB=AE+b=a·tanα+b．
测量时，不同同学的结果也各不相同，为了准确测量，需多次测量，求平均值．本实验共测三个元素——DC、α、BD，每测一次，应把数据填入表中．
实习报告如下，要求学生认真填写．
实习报告 ______年______月______日
题目 测量底部可以到达的旗杆高
测量目标 见上图6-37
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
BD的长
测角仪的高
倾斜角
解：
1米
10米
E
O
A
B
C
D
·
第 2 页 共 20 页第28章：锐角三角函数
一、基础知识
1.定义：如图在△ABC中，∠C为直角，
我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA；sinA=
把锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；
把锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA 。
把锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cosA。
2、三角函数值
（1）特殊角的三角函数值
角度三角函数 0° 30° 45° 60° 90°
sinA 0 1
cosA 1 0
tanA 0 1 不存在
（2）锐角三角函数值的性质。
锐角三角函数的大小比较：
在时，随着的增大，正弦值越来越大，而余弦值越来越小.
即：是增函数，减函数。
锐角三角函数值都是正数。
当角度在090间变化时:正弦、正切值随着角度的增大而增大；余弦、余切随着角度的增大而减小。
3、 同角、互余角的三角函数关系：
1、同角三角函数关系：.；；
2、互余锐角的三角函数关系：，。
解直角三角形:由直角三角形中除直角以外的两个已知元素（其中至少有一条边），求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型
已知条件 解法
一条边和一个锐角 斜边c和锐角A B=90°-A，a=csinA，b=ccosA，s=c2sinAcosA
直角边a和锐角A B=90°-A，b=acotA，，
两条边 两条直角边a和b ，由，求角A，B=90°-A，S=ab
直角边a和斜边c ，由，求 角A，B=90°-A，S=a
知识梳理：
二、精典例题
第一部分：锐角三角函数的运算
一、直角三角形中锐角的正弦、余弦的概念与表达式：
例1：如图所示，则。
[考点透视]本例主要是考查锐角三角函数的概念
[参考答案]sinD=，cosD=，sinE=，cosE=。
例2：在中，如果各边长度都扩大4倍，则锐角的正弦值和余弦值（）
（A）都没有变化 （B）都扩大4倍
（C）都缩小4倍 （D）不能确定
[考点透视]本例主要是考查锐角三角函数的定义和性质，通过计算可以知道正弦值和余弦值，只与直角三角形中锐角的大小有关。
[参考答案].故应选A.
例3：已知：为锐角，并且，则的值为 .
[考点透视]本例主要是考查锐角三角函数的定义。
[参考答案]
例4：（08年密云一模）6．正方形网格中，如图放置，则tan∠AOB的值为
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
[考点透视]本例主要是考查锐角三角函数的定义
[参考答案] D
例5：.某地有一居民楼,窗户朝南,窗户的高度为hm,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为a,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为 (如图1-15-23.小明想为自己家的窗户设计一个直角三角形遮阳篷BCD.要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光, 又能最大限制地使冬天温暖的阳光射入室内.小明查阅了有关资料,获得了所在地区∠α和∠β 的相应数据:∠α=24 °36′,∠β=73°30′,小明又得窗户的高AB=1.65m.若同时满足下面两个条件,(1) 当太阳光与地面的夹角为α时,要想使太阳光刚好全部射入室内;(2) 当太阳光与地面的夹角为β时,要想使太阳光刚好不射入室内,请你借助下面的图形(如图), 帮助小明算一算,遮阳篷BCD中,BC和CD的长各是多少 (精确到0.01m)
以下数据供计算中选用
sin24°36′=0.416 cos24°36′=0.909 tan24°36′=0.458 cot24°36′=2.184
sin73°30′=0.959 cos73°30′=0.284 tan73°30′=3.376 cot73°30′=0.296
[考点透视]本例主要是考查数形结合，构建直角三角形，再应用转化思想，使已知角得到转化，即可求得BC、CD的长
[参考答案] .解:在Rt△BCD中,tan∠CDB=,∠CDB=∠α, ∴BC=CD·tan∠CDB=CD·tanα.
在Rt△ACD中,tan∠CDA=,∠CDA=∠β, ∴AC=CD·tan∠CDA=CD·tanβ
∵AB=AC-BC=CD·tanβ-CD·tanα=CD(tanβ-tanα).
∴CD=≈0.57(m).
∴BC=CD·tan∠CDB≈0.57×0.458≈0.26(m).
答:BC的长约为0.26m,CD的长约为0.57m.
[说明]求解时应特别注意发挥数形结合的作用.
例6：已知2+是方程的一个根，求的值（为锐角）.
[考点透视]这是一道一元二次方程与三角函数相结合的综合题，应注意运用分析法、综合法，寻求解题途径．
[参考答案] 。
二、特殊角的正弦余弦值：
例7：求下列各式的值：
（1）； （2）.
[考点透视]本例主要是考查特殊角的三角函数值，注意sin90°=1。
[参考答案]（1），（2）-2
例8：（08年顺义一模）19．已知：如图，正方形中，点为边的中点，连结． 求和的值．
[考点透视]本例主要是考查角的三角函数值的定义及在四边形中应用。
解：过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴平分，
．
∴，．
∵是中点，
∴．…………………………1分
设，则，，．
在Rt△AEF中，，．……2分
∴．………………………………3分
∴，…………………………………………4分
．…………………………………………5分
三、解直角三角形
例9（08年平谷二模）19．如图，在某区某建筑物AC上，挂着“抗震救灾，众志成城”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为.再往条幅方向前行20米到达点E处，看条幅顶端B，测得仰角为，求宣传条幅BC的长.(小明的身高不计，结果精确到1米;可能用到的数据）
[考点透视]主要考察解直角三角形中仰角俯角的应用
解：19． 解：依题意∠F=30°，∠BEC=60°.∴∠FBE=∠BEC-∠F=60°-30°=30°.∴EF=EB=20.
在Rt△BEC中∵∠BCE=90°,∴sin∠BEC=.∴=sin60°×20=10.
答：宣传条幅BC的长约为17米.
例10一艘船向正东方先航行，上午10点在灯塔的西南方向k海里处，到下午2点时航行到灯塔的东偏南60°的方向，画出船的航行方位图，并求出船的航行速度．
[考点透视]主要考察解直角三角形中方向角的应用
解：如图，依题意，灯塔位于P点，船丛A 点向东航行，12点到达C点，
且有 PB⊥AC，A＝45°，∠BPC＝30°；
于是，在△ABP中，有
AB＝PB＝AP cos45°
＝k .
在△PBC中，又有
BC＝PB tan30°
＝k，
所以
AC＝.
可知船的航行速度为 ．
第二部分：锐角三角函数的应用
一、锐角三角函数的应用
例1 1．如图所示，设A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，正以每小时200km的速度沿北偏东60°的BF方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风的影响有多长时间？
(08年门头沟二模)18．如图，小明想测量塔BC的高度．他在楼底A处测得塔顶B的
仰角为；爬到楼顶D处测得大楼AD的高度为18米，同时测得
塔顶B的仰角为，求塔BC的高度．
[考点透视]主要考察解直角三角形中仰角俯角的应用
解: 设BE=x米．在Rt△BDE中，∵ ， ∴．∴ DE=．
∵ 四边形ACED是矩形，∴ AC=DE=，CE=AD=18．在Rt△ABC中，
∵ ， ∴∴ x=9．∴ BC=BE+CE=9+18=27(米)．
例2 （08年平谷一模）17．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29米，他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：，，）
[考点透视]主要考察解直角三角形中仰角俯角的应用
解：作交于,
则．……………………………………………………………………1分
在中，CD＝AC·tan∠CAB 2分
＝4×0.51＝2．04（米） 3分
所以小敏不会有碰头危险，姚明则会有碰头危险． 4分
二、综合问题
例3 （08年顺义二模）20．一座建于若干年前的水库大坝的横断面为梯形ABCD，如图所示，其中背水面为AB，现准备对大坝背水面进行整修，将坡角由45°改为30°，若测量得AB=20米，求整修后需占用地面的宽度BE的长．（精确到0.1米，参考数据：）
[考点透视]主要考察解直角三角形中坡度、坡脚、坡距的应用
解：过点A作AF⊥BC，垂足为F．在Rt△ABF中，∵∠ABF=45°，AB=20，∴．∴
．在Rt△AEF中，∠EAF=90°-∠E=90°-30°=60°．∴．∴（米）．
答：整修后需占用地面的宽度BE的长约为米．
例4 18. 已知：如图5，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=120°，AD=5，CD=6，tanB=3，
求：梯形ABCD的面积。
[考点透视]：解直角三角形在四边形中的应用，解此类问题通常是构建直角三角形，然后利用解直角三角形解答。
解：过D做DM⊥BC于M，过A做AN⊥BC于N则∠DMC=∠ANB=90°∴四边形ANMD为矩形
∴ AD=MN=5 ∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD， ∠ADC=120°∴∠DCB=60° AN=DM， 在Rt△CDM, ∠CDM=30°,CD=6∴ CM=3 , DM=3 在Rt△ABN, tanB=3=设AN=3k , BN=k∵DM=AN=3
∴k= ∴S梯形ABCD=
注：关于解直角三角形的实际应用，体现在生活中的方方面面，在此我们不再一一列举，关键是同学们掌握这种处理实际问题的思路，达到举一反三的效果，不管题目背景如何变化，但它万变不离其宗，只要我们有了这种方法，任何问题都可以迎刃而解．
三．适时训练
（一）精心选一选
1．（08年通州一模）7. 如图, AB是⊙O的直径, CD是弦, 且CD⊥AB, 若BC=8,
AC=6, 则sin∠ABD的值为
A. B. C. D.
2．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）
A．sinB= B．cosB= C．tanB= D．tanB=
3．点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（，） B．（-，） C．（-，-） D．（-，-）
4．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（ ）
A．6.9米 B．8.5米 C．10.3米 D．12.0米
5．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80°，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内（如 图6所示），那么挡光板AC的宽度应为（ ）
A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m C．m D．1.8cot80°m
6．如图,测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°, 沿着倾角为30°的山坡前进1 000m到达D处,在D处测得山顶B的仰角为60°, 则山的高BC大约是(精确到0.01)( ).
A.1 366.00m; B.1 482.12m; C.1 295.93m; D.1 508.21m
7．如图5所示，在300m高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°，则塔高CD为（ ）
A．200m B．180m C．150m D．100m
8、（08年西城二模）. 在中,,sinA=,则cosB=（ ）.
A. B. C. D.
9、（07年昌平一模）5.三角形在正方形网格中的位置如图所示，则cosa的值是（ ）
A. B. C. D.
10、（07年昌平二模）7．已知在中，、都是锐角，，则的度数是
Ａ．30° Ｂ．45° Ｃ．60° Ｄ．90°
11、（07年朝阳一模）7．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为
A． B． C． D．
12、.如图,测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度,选M点作为观测点,从M点测量山顶P的仰角(视线在水平线上方,与水平线所夹的角)为30°, 在比例尺为1:50 000的该地区等高线地形图上,量得这两点的图上距离为6cm, 则山顶P的海拔高度为( )
A.1 732m; B.1 982m; C.3 000m; D.3 250m
13（07年海淀二模）6.某资料中曾记载了一种计算地球与月球之间的距离的方法：
如图2，假设赤道上一点D在AB上，∠ACB为直角，可以测量
∠A的度数，则AB等于（ ）
A. B. C. D.
14（07年怀柔一模）7、根据右图中的信息，经过估算，下列数值与tanα值最接近的是
A、0.43 B、0.26 C、0.90 D、223
15（07年怀柔二模）7、一架飞机在800米的高度观察到底面上一导航灯的俯角为，则此时飞机与该导航灯的距离是
A、米 B、米 C、米 D、米
（二）细心填一填
16．(08年宣武一模)10、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10㎝，sinA=，则BC的长为 ㎝。答案：（8）
17．计算2sin30°-2cos60°+tan45°=________．答案：1
18．在△ABC中，若BC=，AB=，AC=3，则cosA=________．答案：
19．如图2所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（保留两个有效数字，≈1.41，≈1.73）答案： 17米
20．李小同叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植，需要修一个如图3所示的育苗棚，棚宽a=3m，棚顶与地面所成的角约为30°，长b=9m，则覆盖在顶上的塑料薄膜至少需________m2．答案：米
21（07年延庆二模）3. 在ΔABC中，∠A和∠B都是锐角，且，，则ΔABC三个角的大小关系是 。答案： ∠C>∠B>∠A
三、认真答一答
22．如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cos∠DAC.
(1)求证:AC=BD;
(2)若sinC=,BC=12,求AD的长.
答案.(1)证明:在Rt△ABD和Rt△ADC中, ∵tanB=,cos∠DAC=, 又tanB=cos∠DAC,
∴ =,∴AC=BD.
(2)解:在Rt△ADC中,由sinC=,可设AD=12k,则AC=13k,由勾股定理,得CD=5k,又由(1)知BD=AC=13k, ∴13k+5k=12,解得k=, ∴AD=8.
23．.已知,如图,A、B、C 三个村庄在一条东南走向的公路沿线上,AB=2km.在B村的正北方向有一个D村,测得∠DAB=45°,∠DCB=28°, 今将△ACD区域进行规划,除其中面积为0.5km2的水塘外,准备把剩余的一半作为绿化用地,试求绿化用地的面积.(结果精确到0.1km2,sin28°=0.469 5,cos28°=0.882 9, tan28°=0.531 7,cos28°=1.880 7)
答案:在Rt△ABD中,∵∠ABD=90°,∠DAB=45°, ∴∠ADB=45°,∴BD=AB=2km. 在Rt△BCD中, ∵cot∠BCD=,∠DCB=28°, ∴BC=BD.cot∠BCD=2cot28°≈3.75(km).
∴S△ACD=AC·BD≈5.76(km2). ∴S绿地≈2.6km2.答:绿化用地的面积约为2.6km2.
24．我市某区为提高某段海堤的防海潮能力,计划将长96m 的一堤段(原海堤的横断面如图中的梯形ABCD)的堤面加宽1.6m, 背水坡度由原来的1:1改成1:2,已知原背水坡长AD=8.0m,求完成这一工程所需的土方, 要求保留两个有效数字.(注:坡度=坡面与水平面夹角的正切值;提供数据:)
答案:如图,作EG⊥FB于G,DH⊥FB于H,记堤高为h,则EG=DH=h.
由tan∠DAH=1:1=1, 得∠DAH=45°.
∴h=DH=ADsin∠DAH=8sin45°=8×, ∴AH=DH=,
由tan∠F=EG:FG=1:2, 得FG=2EG=2h=,
∴FA=FH-AH=(FG+GH)-AH=(+ED)-=+1.6,
∴海堤断面增加的面积S梯形FADE=(ED+FA)·h≈6.4×1.41+16≈25.0(m2)
∴工程所需土方=96×S梯形FADE≈96×25.0=2 400=2.4×103(m3).
答:完成这工程约需土方2.4×103m3.
25（08年延庆一模）18．如图7，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠ACB=45°，翻折梯形ABCD，使点C重合于点A，折痕分别交边CD、BC于点F、E，若AD=3，BC=12，
求：（1）CE的长；（2）∠BAE的正切值．
答案：∵翻折梯形ABCD
∴∠ACE=∠EAC=45°，AE=EC
∴∠AEB=∠AEC=90° ……………1分
过D做DM⊥BC交BC于M，则∠DMB=90°
∴四边形AEMD为矩形
∴ AD=ME=3
∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD
∴∠ABC=∠DCB AE=DM， …………2分
在△ABE和△DMC ∠AEB=∠DMC =90°
AB=CD
AE=DM
∴ △ABE≌△DMC
∴BE=CM
∴BE=CM =(12-3)÷2=4.5 ……………………3分
∴CE=7.5 ……………………4分
在△BAE中，tan∠BAE=…………………5分
26（08年通州二模）22. （本小题满分4分） 一筑路工程需要测量某河段的宽度.如图①，一测量员在河边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得. （1）求所测之处的河宽（）；
（2）除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量河宽的方案，并在图②中画出图形.
22．（1）在中，，∴（米）
答案：所测之处的河宽约为248米（2）表述无误，从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识来解决问题的，只要正确即得满分.
27（09年海淀一模）19、如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.
答案（1）证明: 如图, 连接AO并延长交⊙O于点E, 连接BE, 则∠ABE=90°.
∴ ∠EAB+∠E=90°. ……………………1分
∵ ∠E =∠C, ∠C=∠BAD，
∴ ∠EAB+∠BAD =90°.
∴ AD是⊙O的切线. ……………………2分
（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.
∵ AE=2AO=6, AB=4,
∴ HYPERLINK "http://www./" . …………………………………………………3分
∵ ∠E=∠C=∠BAD, BD⊥AB,
∴ …………………………………………………4分
∴
∴ . …………………………………………………5分
28（08年昌平区二模）18．北京的6月绿树成荫花成海，周末小明约了几个同到户外活动．当他们来到一座小亭子时，一位同学提议测量一下小亭子的高度，大家很高兴．于是设计出了这样一个测量方案：小明在小亭子和一棵小树的正中间点A的位置，观测小亭子顶端B的仰角∠BAC＝60°，观测小树尖D的仰角∠DAE＝45°．已知小树高DE=2米．请你也参与到这个活动中来，帮他们求出小亭子高BC的长．(结果精确到0.1．，)
答案．解：根据题意得：∠C=∠E=90°.
在Rt△ADE中，∠DAE=45°，∠E=90°,
∴ ∠D=∠DAE=45°.
∵ DE=2,
∴ AE=DE=2. ………………………………………… 1分
∵ A为CE的中点,
∴ AC=AE=2. ……………………………………………… 2分
在Rt△ACB中，∠BAC=60°，∠C=90°,
∴. ………………………………… 3分
∴BC=. ………………………………………………… 4分
∴BC≈2×1.73≈3.5 .
答：小亭子高约为3.5米. ……………………………………… 5分
29．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是的中点，,垂足为点P.
（1）求证：PD是⊙O的切线.
得分
（2）若AC=6, cosA=，求PD的长.
答案.（1）证明：如图：连接 OD，AD.
∵D为弧BC的中点，
∴弧CD = 弧BD.
∴.
∵，
∴.
∴PA∥DO . ………………………………………………………1分
∵DP⊥AP，
∴∠P=90°.
∴∠ODP=∠P=90°.
即 OD⊥PD.
∵点D在⊙O上，
∴PD是⊙O的切线. ………………………………………………………2分
（2）连结CB交OD于点E.
∵AB为⊙O直径 ，
∴∠ACB =∠ECP=90°.
∵∠ODP=∠P=90°，
∴四边形PCED为矩形.
∴PD = CE，∠CED = 90°.…………………………………………………3分
∴OD⊥CB.
∴EB = CE. ……………………………………………………………4分
在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，
∴cosA = .
∵AC = 6 , cosA = ，
∴AB = 10 .
∴BC = 8 .
∴CE=PD= BC = 4. …………………………………………………………5分
得分
30．已知：如图，AB为⊙O的直径，AC、BC为弦，点P为 上 一点，AB=10，AC∶BC=3∶4．
（1）当点P与点C关于直线AB对称时（如图①），求PC长； （2）当点P为 的中点时（如图②），求PC长．
答案：(1)在⊙O中，如图①∵AB是直径， ∴∠ACB＝90゜．∵点P与点C关于AB对称, ∴PC⊥AB，且CD＝DP．∴由三角形面积得： ∵AB＝10，，∴由勾股定理求得AC＝6，BC＝8．∴CD＝ ．∴PC＝2CD＝．(2) 过点B作BE⊥PC于点E，连结PB由(1)得AC＝6，BC＝8．∵点P为 的中点，∴∠ACP＝∠BCP＝45°在Rt△BEC中，可求得CE＝BE＝ ∵∠A＝∠P，∠ACB＝∠BEC＝90°，tan∠P=an∠A．∴
．∴．∴PC＝CE＋EP＝．
31（08年大兴区一模）如图，某人在处测得电视塔尖点的仰角为，沿山坡向上走到处，测得点的仰角为，已知米，山坡坡度为（即）且点O、A、B在同一条直线上．求电视塔的高度以及此人所在位置点到OB的距离．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）.
答案．解：由题意知，，
过P作PE⊥OB于点E，
PF⊥CO于点F，………………………1分
∴∠FOE=∠OEP=∠PFO=90°
∴PFOE为矩形.
∴PF=OE，FO=PE.
在Rt△AOC中，AO=100，
∠CAO=60°，
∴CO=AO·tan60°=100（米）………………………………………………………………2分
∵tan∠PAB=
∴设PE=x,AE=2x. ………………………………………………………………………………3分
∴PF=OE=OA+AE=100+2x
PE=OF= x
∴FC=OC－OF=
在Rt△PCF中，由题意知∠CPF=45°，
∴FC=PF. …………………………………………………………………………………………4分
∴，
解得（米）.
答：电视塔OC高为米，点P到OB距离为米．……………………………………5分
32. 如图，⊙O的直径AB交弦CD于点M，且M是CD的中点.过点B作BE∥ CD，交AC的延长线于点E.连接BC．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）如果CD=6，tan∠BCD=，求⊙O的直径的长．
答案（1）证明：∵AB是⊙O的直径，M是CD的中点，
∴CD⊥AB. ……………………………………… 1分
∴∠AMC＝90°.
∵BE∥CD，
∴∠AMC＝∠ABE.
∴∠ABE＝90°，
即AB⊥BE.
又∵B是⊙O上的点，
∴BE是⊙O的切线. ………………………………………… 2分
（2）∵M是CD的中点，CD=6，
∴CM=CD=3.
在Rt△BCM中，
∵tan∠BCD==,
∴=,
∴BM=. …………………………………… 3分
又∵AB是⊙O的直径，
∠ACB＝90°.
∵CM⊥AB于M，
∴Rt△AMC∽Rt△CMB.
∴,
∴.
∴.
∴AM=6. …………………………………………… 4分
∴AB=AM+BM=6+=. ……………………………………… 5分
即：⊙O的直径的长为.
33（08年大兴区二模）17.如图,电线杆直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面和地面上，若与地面成角，，，，则电线杆的长为多少米？
答案 解：延长AD交地面于E，作DF⊥BE于F， ∵∠DCF=45°，又CD=4，∴CF=DF=， 由题意知AB⊥BC， ∴∠EDF=∠A=60°，∴∠DEF=30°∴EF=，BE=BC+CF+FE=.在Rt△ABE中，∠E=30°，所以AB=BEtan30°=（m）.∴电线杆AB的长为6米.
34（本题满分5分）如图， 是半⊙O的直径，弦与成30°的角，.
（1）求证：是半⊙O的切线；
（2）若，求AC的长.
答案．（1）连结OC ∵OA=OC，∠A=30°∴∠A=∠ACO=30°∴∠COD=60° 又∵AC=CD，∴∠A=∠D=30°.∴∠OCD=180°－60°－30°=90° ∴CD是半⊙O的切线（2）连结BC∵AB是直径，∴∠ACB=90° 在Rt△ABC中，∵cosA= AC=ABcosA=4×∴AC=
35（08年东城区二模）20. 如图，两镇相距60km，镇在镇的北偏东方向，在镇的北偏西方向． 镇周围20km的圆形区域内为文物保护区，有关部门规定，该区域内禁止修路．现计划修筑连接两镇的一条笔直的公路，试分析这条公路是否会经过该区域？
答案：作于，由题意知： ．在中，． 在中， =答：这条公路不经过该区域．
36. 如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、点E。过点D作DF⊥AC，垂足为点F.（1）判断DF与圆O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H。若等边△ABC的边长为4，求FH的长（结果保留根号）。
答案：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，tanB=，∠ACB=45，
AD=2，求DC的长.
过点A作AE⊥BC于E，AF∥DC,交BC于F. 在Rt△AEB中，∠AEB=90°, tanB= tanB=∴=设AE=4x, 则BE=3x∴ ∴x=1∴AE=4,BE=3
在Rt△AEC中, ∠AEC=90°,∠ACE=45°∴∠CAE=45°∴AE=EC=4AF∥DC ,AD∥BC
∴四边形ADCF为平行四边形∴AF=CD,CF=ADAD=2∴CF=2∴EF=CE-CF=4-2=2在Rt△AEF中, ∠AEF=90°,由勾股定理得AF=∴DC=.
37（08年房山区一模）在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条河的宽．如图所示，一学生在点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在北偏东的方向上，沿河岸向东前行20米到达B处，测得C在北偏东的方向上，
请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：）
答案：过点C作CD⊥AB于D．---------1分
设CD=x，
在Rt△BCD中,∠CBD=,
∴BD=CD=x.--------------------------2分
在Rt△ACD中,∠DAC=,
AD=AB+BD=20+x，CD=x
∵
∴-------------------------------------------------------------------------4分
∴
答：这条河的宽度约为30米．-------------------------------------------------5分
38（08年房山区一模）19．（本小题满分5分）
如图，△DEC内接于⊙O，AC经过圆心交于点B，且AC⊥DE，垂足为，连结AD、BE，若，∠BED=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）是否是等边三角形？请说明理由；
（3）若的半径，试求的长．
答案：（1）连接．---------------------------------------------------------1分
∵，
，
∵
∴∠A=
∴∠A+∠AOD=
∴∠ADO=
∴ AD是⊙O的切线．--------------------------------------------------------------2分
（2）是等边三角形．理由如下：
为的直径且．
．
．-----------------------------------------------------------------------------3分
是的直径，
，
，
，
是等边三角形．-------------------------------------------------------------4分
（3）的半径．
直径
∵△DCE是等边三角形，
∴∠EDC=
∴∠EBC=
在中，
，
---------------------------------------------------5分
39（08年丰台区一模）如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点处有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边（岸边看成是直线）向前跑50米到C点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑200米到离B点最近的D点，再跳入海中．若三名救生员同时从点出发，他们在岸边跑的速度都是5米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，∠BAD=45°，请你通过计算说明谁先到达营救地点．
答案：在△ABD中，，, ．
∴．………………………………分
．
在中，
∴．……………分
∴1号救生员到达B点所用的时间为
（秒）…………………………………分
2号救生员到达B点所用的时间为
（秒），
3号救生员到达B点所用的时间为
（秒）．……………………分
，
∴2号救生员先到达营救地点． …………………………分
40（07年昌平二模）18．某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量一棵银杏树AB的高，他们来到与银杏树在同一平地且相距18米的建筑物CD上的C处观察，测得银杏树顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°.
求银杏树AB的高（精确到1米）.（可供选用的数据：）.
答案：
BD=18，……………………1分
∴∠DCB=∠DBC=45o
∴CD =BD =18
∴四边形CDBM是正方形
∴CD=BM=CM=18……………………2分
在中
∴……………………3分
∴……………………4分
（米）……………………5分
答：银杏树高约28米.
41（07年昌平二模）24．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F .
（1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论；
（2）如图2，若连接EF，请探索线段BE、EF、FC之间的关系；
（3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“∠B=30°，AD⊥BC于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值.
答案： （1）结论：AF=BE，………………… 1分
连接AD
∵AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点
∴AD=BD=DC=BC ， ∠ADB=∠ADC=90°
∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°
∴∠3+∠5==90°
∵∠3+∠4==90°
∴∠5=∠4
∵ BD=AD
∴∠B=∠2
∴
∴BE=AF……………………3分
（2）由（1）BE=AF
又∵AB=AC
∴AE=CF
在中，
∴……………………6分
（3）（1）中的结论BE=AF不成立…………………………… 7分
∵∠B=30°，AD⊥BC于点D，∠BAC=90°
∴∠3+∠5==90°， ∠B+∠1==90°
∵∠3+∠4==90°，∠1+∠2==90°
∴∠B=∠2 ， ∠5=∠4
∴∽
∴……………………9分
42（09大兴二模）23．如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，但是点P不与点0、点A重合．连结CP， D点是线段AB上一点，连PD.
(1)求点B的坐标； (2)当点P运动到什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；
(3)当∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标.
答案：（1）作BQ⊥x轴于Q.∵四边形OABC是等腰梯形，∴∠BAQ=∠COA=60°在Rt△BQA中，BA=4，
∴BQ=AB·sin∠BAO=4×sin60°= AQ=AB·cos∠BAO=4×cos60°=2， ∴OQ=OA－AQ=7－2=5点B在第一象限内，∴点B的坐标为（5，）
（2）若△OCP为等腰三角形，∵∠COP=60°， ∴△OCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形 若△OCP为等边三角形，OP=OC=PC=4，且点P在x轴的正半轴上， ∴点P的坐标为（4，0） 若△OCP是顶角为120°的等腰三角形，则点P在x轴的负半轴上，且OP=OC=4∴点P的坐标为（－4，0）∴点P的坐标为（4，0）或（－4，0）
（3）∵∠CPA=∠OCP+∠COP 即∠CPD+∠DPA=∠COP+∠OCP 而∠CPD=∠OAB=∠COP=60°
∴∠OCP=∠DPA ∵∠COP=∠BAP∴△OCP∽△APD ∴ ∴OP·AP=OC·AD∵ ∴BD=AB=，AD=AB－BD=4－= ∵AP=OA－OP=7－OP ∴OP（7－OP）=4×
解得OP=1或6∴点P坐标为（1，0）或（6，0）
图24-1 图24-2 图24-3
43（09昌平二模）18．如图，点在半的直径的延长线上，，切半于点，连结.
（1）求的正弦值；
（2）若半的半径为，求的长度.
答案：（1）证明：如图，连接．
∵切半于点，
．…………………1分
∵，
．
在中，． 2分
（2）过点作于点，则． 3分
，
，
．
∵，
．
在中，，
． 4分
．
44、(8分)如图，已知MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区。取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°.已知MB=400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？
答案：不会穿过居民区。
过A作AH⊥MN于H，则∠ABH=45°，AH=BH
设AH=x，则BH=x，MH=x=x+400，∴x=200+200=546.1＞500∴不会穿过居民区。
45、(10分)如图，点A(tanα，0)，B(tanβ，0)在x轴的正半轴上，点A在点B的左边，α、β是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角；
(1)若二次函数y=－x2－kx+(2+2k－k2)的图象经过A、B两点，求它的解析式。
(2)点C在(1)中求出的二次函数的图象上吗 请说明理由。
A
B
O
N
P
A
B
C
二楼
一楼
4m
A
4m
4m
B
27°
C
图7
A
B
C
D
E
北
北
20
D
A
F
E
B
O
H
C
(第21题图)
A
B
C
D
E
O
F
图1
图2
图3齐河县第四中学
先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：2011.3
课题：28．1锐角三角函数（1） 执笔人： 靳立明 审 核 人：
目标导航：
【学习目标】
⑴: 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
⑵: 能根据正弦概念正确进行计算
【学习重点】
理解正弦（sinA）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．
【学习难点】
当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
【导学过程】
一、自学提纲：
1、如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m，求AB
2、如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m，求BC
二、合作交流：
问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
思考1：如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m，那么需要准备多长的水管？ ；
结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值
思考2：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边
的比值是一个定值吗？如果是，是多少？
结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值
三、教师点拨：
从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，
∠A=∠A′=a，那么有什么关系．你能解释一下吗？
结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比
正弦函数概念：
规定：在Rt△BC中，∠C=90，
∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c．
在Rt△BC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，
记作sinA，即sinA= =． sinA＝
例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°= ；
当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ．
四、学生展示：
例1 如图，在Rt△ABC中，
∠C=90°，求sinA和sinB的值．
随堂练习 （1）： 做课本第79页练习．
随堂练习 （2）：
1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是﹙ ﹚
A．
B．
C．
D．
2．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（ ）
A． B． C． D．
3． 在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是( )
A． B．3 C． D．
4．如图，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（ ）
A． B． C．
五、课堂小结：
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是 ．
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的 ，记作 ，
六、作业设置：
课本 第85页 习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分）
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
齐河县第四中学
先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：2011.3
课题：28．1锐角三角函数（2） 执笔人： 靳立明 审 核 人：
【学习目标】
⑴: 感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。
⑵:逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
重点：难点：
【学习重点】
理解余弦、正切的概念。
【学习难点】
熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。
【导学过程】
一、自学提纲：
1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。
已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（ ）
A． B． C． D．
3、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，
且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，
∠A的对边与斜边的比是 ，
现在我们要问：
∠A的邻边与斜边的比呢？
∠A的对边与邻边的比呢？
为什么？
二、合作交流：
探究：
一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C` =90o，∠B=∠B`=α，
那么与有什么关系？
三、教师点拨：
类似于正弦的情况，
如图在Rt△BC中，∠C=90°，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的．我们
把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA==；
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA==．
例如，当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°= ；
当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ．
（教师讲解并板书）：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．
例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，求cosA、tanB的值．
四、学生展示：
练习一：完成课本P81 练习1、2、3
练习二：
1.?在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（?）
A．?B．?C．?D．
本题主要考查锐解三角函数的定义，同学们只要依据
2. 在中，∠C＝90°，如果cos A=那么的值为（?）
A．?B．?C．?D．
分析 本题主要考查锐解三角函数及三角变换知识。其思路是：依据条件
3、如图：P是∠的边OA上一点，且P
点的坐标为（3，4），
则cosα＝_____________.
五、课堂小结：
在Rt△BC中，∠C=90°，我们把
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，
记作sinA，即sinA= =． sinA＝
把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，
记作 ，即
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，
记作 ，即
六、作业设置：
课本 第85页 习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与余弦、正切有关的部分）
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
齐河县第四中学
先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：2011.3
课题：28．1锐角三角函数（3） 执笔人： 靳立明 审 核 人： 【学习目标】
⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。
⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
【学习重点】
熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
【学习难点】
30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程
【导学过程】
一、自学提纲：
一个直角三角形中，
一个锐角正弦是怎么定义的？
一个锐角余弦是怎么定义的？
一个锐角正切是怎么定义的？
二、合作交流：
思考：
两块三角尺中有几个不同的锐角？
是多少度？
你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．
三、教师点拨：
归纳结果
30° 45° 60°
siaA
cosA
tanA
例3：求下列各式的值．
（1）cos260°+sin260°． （2）-tan45°．
例4：（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB=，BC=，求∠A的度数．
（2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a．
四、学生展示：
一、课本83页 第1 题
课本83页 第 2题
二、选择题．
1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AB=15，则AC的长是（ ）．
A．3 B．6 C．9 D．12
2．下列各式中不正确的是（ ）．
A．sin260°+cos260°=1 B．sin30°+cos30°=1
C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45°
3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）．
A．2 B． C． D．1
4．已知∠A为锐角，且cosA≤，那么（ ）
A．0°<∠A≤60°B．60°≤∠A<90° C．0°<∠A≤30°D．30°≤∠A<90°
5．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=，
cosB= eq \f(,2) ，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形 D．不能确定
6．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana的值为（ ）．
A． B． C． D．
7．当锐角a>60°时，cosa的值（ ）．
A．小于 B．大于 C．大于 eq \f(,2) D．大于1
8．在△ABC中，三边之比为a：b：c=1：：2，则sinA+tanA等于（ ）．
A．
9．已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC，若梯形的高是，则∠CAB等于（ ）
A．30° B．60° C．45° D．以上都不对
10．sin272°+sin218°的值是（ ）．
A．1 B．0 C． D． eq \f(,2)
11．若（tanA-3）2+│2cosB-│=0，则△ABC（ ）．
A．是直角三角形 B．是等边三角形
C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形
三、填空题．
12．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，则α+β=_______．
13．的值是_______．
14．已知，等腰△ABC的腰长为4，底为30°，则底边上的高为______，周长为______．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tanB= eq \f(,2) ，则cosA=________．
五、课堂小结：要牢记下表：
30° 45° 60°
siaA
cosA
tanA
六、作业设置：
课本 第85页 习题28．1复习巩固第3题
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
齐河县第四中学
先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：2011.3
课题：28．1锐角三角函数（4） 执笔人： 靳立明 审 核 人：
【学习目标】
让学生熟识计算器一些功能键的使用
【学习重点】
运用计算器处理三角函数中的值或角的问题
【学习难点】
知道值求角的处理
【导学过程】
求下列各式的值．
（1）sin30°·cos45°+cos60°; （2）2sin60°-2cos30°·sin45°
（3）; （4）-sin60°（1-sin30°）．
（5）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°+·tan30°
（6）+cos45°·cos30°
合作交流：
学生去完成课本83 84页
学生展示：
用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值
学生去完成课本83 86页的题目
自我反思：
本节课我的收获: 。
齐河县第四中学
先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：2011.3
课题：28．2解直角三角形（1） 执笔人： 靳立明 审 核 人：
【学习目标】
⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形
⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
【学习重点】
直角三角形的解法．
【学习难点】
三角函数在解直角三角形中的灵活运用
【导学过程】
一、自学提纲：
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系
如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.
(2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
a2 +b2 =c2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据．
二、合作交流：
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m的梯子，问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子
三、教师点拨：
例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=，
a=，解这个三角形．
例2在Rt△ABC中， ∠B =35o，b=20，解这个三角形．
四、学生展示：
完成课本91页练习
补充题
1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________其它所有元素的过程，即解直角三角形．
2、在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
3、 在△ABC中，∠C为直角，AC=6，的平分线AD=4，解此直角三角形。
4、Rt△ABC中，若sinA=，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．
5、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
6、在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值是（ ）
A． B． C．
五、课堂小结：
小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
六、作业设置：
课本 第96页 习题28．2复习巩固第1题、第2题．
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
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先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：2011.3
课题：28．2解直角三角形（2） 执笔人： 靳立明 审 核 人：
【学习目标】
⑴: 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
⑵: 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
⑶: 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识
【学习重点】
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
【学习难点】
实际问题转化成数学模型
【导学过程】
一、自学提纲：
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？
(1)勾股定理：
(2)锐角之间的关系：
(3)边角之间的关系：
tanA=
二、合作交流：
仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
三、教师点拨：
例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置 这样的最远点与P点的距离是多少 (地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)
例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)
四、学生展示：
一、课本93页 练习 第1 、2题
五、课堂小结：
六、作业设置：
课本 第96页 习题28．2复习巩固第3、4题
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
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先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：2011.3
课题：28．2解直角三角形（3） 执笔人： 靳立明 审 核 人：
【学习目标】
⑴: 使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角
⑵: 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
⑶: 巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
【学习重点】
用三角函数有关知识解决方位角问题
【学习难点】
学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
【导学过程】
一、自学提纲：
坡度与坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），
一般用i表示。即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？
这一关系在实际问题中经常用到。
二、教师点拨：
例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)
四、学生展示：
完成课本91页练习
补充练习
(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；
______，
坡角______度．
2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
五、课堂小结：
六、作业设置：
课本 第96页 习题28．2复习巩固第5、6、7题
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
齐河县第四中学
先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：2011.3
课题：锐角三角函数定义检测 执笔人： 靳立明 审 核 人：
学习要求
理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值．
课堂学习检测
一、填空题
1．如图所示，B、B′是∠MAN的AN边上的任意两点，BC⊥AM于C点，B′C′⊥AM于C′点，则△B'AC′∽______，从而，又可得
①______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比是一个______值；
②______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比也是一个______；
③______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比还是一个______．
第1题图
2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
第2题图
①＝______， ＝______；
②＝______， ＝______；
③＝______， ＝______．
3．因为对于锐角 的每一个确定的值，sin 、cos 、tan 分别都有____________与它______，所以sin 、cos 、tan 都是____________．又称为 的____________．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝1，b＝3，则c＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．
6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，若a＝16，c＝30，则b＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinC＝______，cosC＝______，tanC＝______．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则∠B＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．
二、解答题
8．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．
求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．
9．已知Rt△ABC中，求AC、AB和cosB．
综合、运用、诊断
10．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．
DE∶AE＝1∶2．
求：sinB、cosB、tanB．
11．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，
求：AB及OC的长．
12．已知：⊙O中，OC⊥AB于C点，AB＝16cm，
(1)求⊙O的半径OA的长及弦心距OC；
(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．
13．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，
(1)求AB边上的高CD；
(2)求△ABC的面积S；
(3)求tanB．
14．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．
拓展、探究、思考
15．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，按要求填空：
(1)
∴______；
(2)
∴b＝______，c＝______；
(3)
∴a＝______，b＝______；
(4)∴______，______；
(5) ∴______，______；
(6)∵3，∴______，______．
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先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：2011.3
课题：特殊锐角三角函数定义检测 执笔人： 靳立明 审 核 人：
学习要求
1．掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角．
2．初步了解锐角三角函数的一些性质．
课堂学习检测
一、填空题
1．填表．
锐角 30° 45° 60°
sin
cos
tan
二、解答题
2．求下列各式的值．
(1)
(2)tan30°－sin60°·sin30°
(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°
(4)
3．求适合下列条件的锐角 ．
(1) (2)
(3) (4)
4．用计算器求三角函数值(精确到0.001)．
(1)sin23°＝______； (2)tan54°53′40″＝______．
5．用计算器求锐角 (精确到1″)．
(1)若cos ＝0.6536，则 ＝______；
(2)若tan(2 ＋10°31′7″)＝1.7515，则 ＝______．
综合、运用、诊断
6．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，
求此菱形的周长．
7．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．
求：sin∠ACB的值．
8．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D点，使AD＝AB．求：
(1)∠D及∠DBC；
(2)tanD及tan∠DBC；
(3)请用类似的方法，求tan22.5°．
9．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求：
(1)∠BAD；
(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．
10．已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，，求：sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．
拓展、探究、思考
11．已知：如图，∠AOB＝90°，AO＝OB，C、D是上的两点，∠AOD＞∠AOC，求证：
(1)0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；
(2)1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；
(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；
(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．
12．已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF＞∠AOE．
(1)求证：tan∠AOF＞tan∠AOE；
(2)锐角的21世纪教育网值随角度的增大而______．
13．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：
(1)sin2A＋cos2A＝1；
(2)
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先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：2011.3
课题：解直角三角形(一)检测 执笔人： 靳立明 审 核 人：
学习要求
理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型．
课堂学习检测
一、填空题
1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，
第1题图
①三边之间的等量关系：
__________________________________．
②两锐角之间的关系：
__________________________________．
③边与角之间的关系：
______； _______；
_____； ______．
④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．
第④小题图
在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．
CD2＝_________；AC2＝_________；
BC2＝_________；AC·BC＝_________．
⑤直角三角形的主要线段(如图所示)．
第⑤小题图
直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________．
若r是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆半径，则r＝_________＝_________．
⑥直角三角形的面积公式．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
S△ABC＝_________．(答案不唯一)
2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_________(其中至少_________)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知一边和一个锐角(_________和一个锐角或_________和一个锐角)
3．填写下表：
已知条件 解法
一条边和 斜边c和锐角∠A ∠B＝______，a＝______，b＝______
一个锐角 直角边a和锐角∠A ∠B＝______，b＝______，c＝______
两条边 两条直角边a和b c＝______，由______求∠A，∠B＝______
直角边a和斜边c b＝______，由______求∠A，∠B＝______
二、解答题
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°．
(1)已知：a＝35，，求∠A、∠B，b；
(2)已知：，，求∠A、∠B，c；
(3)已知：，，求a、b；
(4)已知：求a、c；
(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面积求a、b、c及∠B．
综合、运用、诊断
5．已知：如图，在半径为R的⊙O中，∠AOB＝2 ，OC⊥AB于C点．
(1)求弦AB的长及弦心距；
(2)求⊙O的内接正n边形的边长an及边心距rn．
6．如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB、BC两段)，其中CC′＝
BB′＝3.2m．结合图中所给的信息，求两段楼梯AB与BC的长度之和(结果保留到0.1m)．(参考数据：sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82)
7．如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点为C，求AC的长度(精确到1cm)．
拓展、探究、思考
8．如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天太阳光与水平面的夹角为30°．
(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米 (保留根号)
(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD＝21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层
9．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地多少距离
10．已知：如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米 (保留整数)
、
齐河县第四中学
先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：2011.3
课题：解直角三角形(二)检测 执笔人： 靳立明 审 核 人：学习要求
能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形．
课堂学习检测
1．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．
求AB及BC的长．
2．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．
3．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．
求AB及BC的长．
4．已知：如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6cm．求AD的长．
综合、运用、诊断
5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．
6．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少 (精确到0.1海里，)
7．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离，求点B到地面的垂直距离BC．
8．已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC＝20m，斜坡坡面上的影长CD＝8m，太阳光线AD与水平地面成26°角，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度(精确到1m)．
9．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400m，到达一个景点B，再由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C，如果在山顶C处观测到景点B的俯角为60°．求山高CD(精确到0.01米)．
10．已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m长的竹竿，测得竹竿影长为1m，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m．问路灯高度为多少米
11．已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m，到达目的地C点．求
(1)A、C两地之间的距离；
(2)确定目的地C在营地A的什么方向
12．已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m的河堤．大堤高5m，坝顶宽4m，迎水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m，背水坡坡度改为1∶1.5．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石
年级 班级 姓名_________________
装 订 线
年级 班级 姓名_________________
装 订 线
E
O
A
B
C
D
·
年级 班级 姓名_________________
装 订 线
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1九年级数学（下册）
第二十八章“锐角三角函数”教材分析
本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念）以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。
本章重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号 sin A、cos A、tan A表示函数等，学生过去没有接触过，所以对学生来讲有一定难度。至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。
一、教科书内容与课程学习目标
（一）本章知识结构框图
本章知识的展开顺序如下所示：
（二）教科书内容
本章内容分为两节。第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用。
在28.1节 “锐角三角函数”中，教科书先研究了正弦函数，然后在正弦函数的基础上给出余弦函数和正切函数的概念。对于正弦函数，教科书首先设置了一个实际问题，把这个实际问题抽象成数学问题，就是在直角三角形中，已知一个锐角和这个锐角的对边求斜边的问题。由于这个锐角是一个特殊的30°角，所以可以利用“在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半” 这个结论来解决这个问题。接下去教科书又提出问题：如果30°角所对的边的长度发生改变，那么斜边的长变为多少？解决这个的问题仍然需要利用上述结论。这样就能够使学生体会到“无论直角三角形的大小如何，30°角所对的边与斜边的比总是一个常数”。这里体现了函数的对应思想，即30°角对应数值。接下去，教科书又设置一个“思考”栏目，让学生进一步探讨在直角三角形中，45°角所对的边与斜边的比有什么特点。利用勾股定理就可以发现这个比值也是一个常数。这样就使学生认识到“无论直角三角形的大小如何，45°角所对的边与斜边的比总是一个常数”。通过探讨上面这两个特殊的直角三角形，能够使学生感受到在直角三角形中，如果一个锐角的度数分别是30°和45°，那么它们所对的边与斜边的比都是常数。这里体现了函数的思想，也为引出正弦函数的概念作了铺垫。有了上面这样的感受，会使学生自然地想到，在直角三角形中，一个锐角取其他一定的度数时，它的对边与斜边的比是否也是常数的问题。这样教科书就进入对一般情况的讨论。对于这个问题，教科书设置了一个“探究”栏目，让学生探究对于两个大小不等的直角三角形，如果有一个锐角对应相等，那么这两个相等的锐角所对的直角边与斜边的比是否相等，利用相似三角形对应边成比例这个结论就可以得到“在直角三角形中，当锐角的度数一定时，不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是一个固定值”。由此引出正弦函数的概念。这样引出正弦函数的概念，能够使学生充分感受到函数的思想，即在直角三角形中，对一个锐角的每一个确定的值，sin A都有唯一确定的值与它对应。在引出正弦函数的概念之后，教科书在一个“探究”栏目中，类比正弦的概念，从边与边的比的角度提出一个开放性问题：在直角三角形中，当一个锐角确定时，这个角的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？提出这个问题的目的是要引出对余弦函数和正切函数的讨论。由于教科书比较详细地讨论了正弦函数的概念，所以对余弦函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式，具体的讨论由学生类比正弦函数自己完成。在余弦函数和正切函数的概念给出之后，教科书在边注中分析了锐角三角函数的角与数值之间的对应关系，突出了函数的思想。一些特殊角的三角函数值是经常用到的，教科书借助于学生熟悉的两种三角尺研究了30°、45°、60°角的正弦、余弦和正切值，并以例题的形式介绍了已知锐角三角函数值求锐角的问题，当然这时所要求出的角都是30°、45°和60°这些特殊角。教科书把求特殊角的三角函数值和已知特殊角的三角函数值求角这两个相反方向的问题安排在一起，目的是体现锐角三角函数中角与函数值之间的对应关系。本节最后，教科书介绍了如何使用计算器求非特殊角的三角函数值以及如何根据三角函数值求对应的角等内容。由于不同的计算器操作步骤有所不同，教科书只就常见的情况进行介绍。
28.2节“解直角三角形”是在第一节“锐角三角函数”的基础上研究解直角三角形的方法及其在实际中的应用。本节开始，教科书设计了一个实际背景，其中包括两个实际问题，这两个实际问题抽象成数学问题分别是已知直角三角形的一个锐角和斜边求这个角的对边与已知直角三角形的一条直角边和斜边求这两个边的夹角的问题。解决这两个问题需要用到28.1节学习的有关正弦函数和余弦函数的内容。这两个问题实际上属于求解直角三角形的问题，设计这个实际问题的目的是要引出解直角三角形的内容。因此，教科书借助于这个实际问题背景，设计了一个“探究”栏目，要求学生探讨在直角三角形中，根据两个已知条件（其中至少有一个是边）求解直角三角形，最后教科书归纳给出求解直角三角形常用的反映三边关系的勾股定理，反映锐角之间关系的互余关系，以及反映边角之间关系的锐角三角函数关系。这样，教科书就结合实际问题背景，探讨了解直角三角形的内容。接下去，教科书又结合四个实际问题介绍了解直角三角形的理论在实际中的应用。第一个实际问题是章前引言中提到的确定比萨斜塔倾斜程度的问题。这个问题实际上是已知直角三角形的斜边和一个锐角的对边，求这个锐角的问题。这要用到正弦函数。第二个问题是确定“神舟”五号变轨后，所能看到地面的最大距离。这个问题实际上是已知直角三角形的斜边和一个锐角的邻边，求这个锐角的问题。这要用到余弦函数。第三个问题是确定楼房高度的问题。这个问题抽象成数学问题是已知直角三角形的一个锐角和它的邻边，求这个角的对边。这要用到正切函数。第四个实际问题是在航海中确定轮船距离灯塔的距离。解决这个问题需要反复利用正弦函数。本节最后，教科书采用将测量大坝的高度与测量山的高度相对比的方式，直观形象地介绍了“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的微积分的基本思想。
（三）课程学习目标
对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求。
1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sin A、cos A、tan A表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角。
2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角。
3.理解直角三角形中边与边的关系、角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题。
4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想；通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受。
二、本章编写特点
（一）加强与实际的联系
本章主要包括锐角三角函数和解直角三角形两大块内容。这两大块内容是紧密联系的。锐角三角函数是解直角三角形的基础，解直角三角形的理论又为解决一些实际问题提供了强有力的工具。解直角三角形为锐角三角函数提供了与实际紧密联系的沃土。因此本章编写时，加强了锐角三角函数与解直角三角形两大块内容与实际的联系。例如，在章前引言中利用确定山坡上所铺设的水管的长度问题引出正弦函数；结合使用梯子攀登墙面问题引出解直角三角形的概念和方法；等等。再有，教科书利用背景丰富有趣的四个实际问题，从不同的角度展示了解直角三角形在实际中的广泛应用。教科书这样将锐角三角函数和解直角三角形的内容与实际问题紧密联系，形成“你中有我，我中有你”的格局，一方面可以让学生体会锐角三角函数和解直角三角形的理论来源于实际，是实际的需要，另一方面也让学生看到它们在解决实际问题中所起的作用，感受由实际问题抽象出数学问题，通过解决数学问题得到数学问题的答案，再回到实际问题的这种实践—理论—实践的认识过程。这个认识过程符合人的认知规律，有利于调动学生学习数学的积极性，丰富有趣的实际问题也能够激发学生的学习兴趣。
（二）加大学生的思维空间，发展学生的思维能力
本章编写时一方面继续保持原有的通过设置“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”等栏目来扩大学生探索交流的空间，发展学生的思维能力。同时结合本章内容的特点，又考虑到学生的年龄特征（学习本章内容的学生已经是九年级），对于本章的一些结论，教科书采用了先设置一些探究性活动栏目，然后直接给出结论的做法，而将数学结论的探索过程完全留给学生，不像前两个年级那样，将这些探究过程通过填空或留白等方式引导学生进行探究。例如，教科书在详细研究了正弦函数，给出正弦函数的概念之后，设置了一个“探究”栏目，并提出问题：“在直角三角形中，当一个锐角确定时，它的对边与斜边的比就随之确定，那么，此时其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？”接下去，教科书直接给出了余弦函数和正切函数的概念，而将“邻边与斜边的比、对边与邻边的比也分别是确定的”这个结论的探究过程完全留给学生自己完成。再如，对于30°、45°、60°这几个特殊角的三角函数值，教科书也是首先设置一个“思考”栏目，在栏目中提出问题“两块三角尺中有几个不同的锐角，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值”，然后教科书用一个表格直接给出了这几个特殊角的三角函数值，而将这些角的三角函数值的求解过程留给学生完成。这样的一种编写方式就为学生提供了更加广阔的探索空间，开阔思路，发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式。
（三）揭示数学内容的本质
本章的一个教学目标是使学生理解锐角三角函数的概念，这个概念与学生以前所学的一次函数、反比例函数和二次函数有所不同，它反映的不是数值与数值的对应关系，而是角度与数值之间的对应关系，学生初次接触这种对应关系，理解起来有一定困难，而这种对应关系对学生深刻理解函数的概念又有很大帮助，因此，教科书针对这种情况，加强了对锐角三角函数所反映的角度与数值之间的对应关系的刻画。例如，对于正弦函数，教科书首先研究了在直角三角形中，30°和45°的锐角所对的边与斜边的比分别是常数和，然后就一般情况进行研究，并得出结论：当一个锐角的度数一定时，这个角的对边与斜边的比也是一个常数，这样就突出了锐角与比值的对应关系，即对于每一个锐角，都有一个比值与之对应，从而给出正弦函数的定义。同样，教科书在阐述余弦函数和正切函数时也突出了锐角与“邻边与斜边的比值”之间的对应关系以及锐角与“对边和邻边的比值”之间的对应关系，并在边注进一步强调了这种函数关系：对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是A的函数。同样地，cos A，tan A也是A的函数。这样，就可以让学生对变量的性质以及变量之间的对应关系有更深刻的认识，加深对函数概念的理解。
微积分的思想在数学中占有重要的地位，其基本思想是“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”，这个基本思想是很朴素的，是可以在初等数学中得到反映的。教科书在本章最后，结合解直角三角形的内容，采用与测量大坝的高度和测量山的高度相对比的方式，直观形象地介绍了在确定山的高度时，如何将山坡“化整为零”，如何将山坡的长度“化曲为直、以直代曲”，又如何将每一部分的高度“积零为整”。这样编写的目的是要体现微积分的基本思想，让学生通过直观形象的例子对微积分的基本思想有一个初步的认识。综上所述，本章编写时注意突出数学内容的本质，强调数学思想方法，这有助于提高学生的数学素养。
三、几个值得关注的问题
（一）注意加强知识间的纵向联系
第27章“相似”为本章研究锐角三角函数打下了基础，因为利用“相似三角形的对应边成比例”可以解释锐角三角函数定义的合理性。例如，教科书在研究正弦函数的概念时，利用了“在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半”，得出了“在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于”。事实上，在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么这样的直角三角形都相似。因此，不管这样的三角形的大小如何，它们的对应边都成比例。这也就是说，对于sin 30°=，虽然教科书是从两个特殊的直角三角形（30°的对边分别是70和50）归纳得到的，但这个结论是可以从三角形相似的角度来解释的。同样，对于45°也有类似的情况。当然，教科书利用相似三角形的有关结论解释了在一般情形中正弦定义的合理性。因此，锐角三角函数的内容与相似三角形是密切联系的，教学中要注意加强两者之间的联系。
全等三角形的有关理论对理解本章内容有积极的作用。例如，在研究解直角三角形时，教科书通过探索得到结论：事实上，在直角三角形的六个元素中，除了直角，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就确定下来了。这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素。这个结论的获得实际上利用了直角三角形全等的有关理论，因为对于两个直角三角形，如果已知两个元素对应相等，并且其中有一个元素是边，那么这两个直角三角形就全等，也就是已知一个直角三角形的除直角外的两个元素，其中至少有一个是边，这个三角形就确定下来。所以就可以利用这两个元素求出其余的元素。因此，利用三角形全等的理论，有利于理解解直角三角形的相关内容。教学中要注意加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移。
另外，本章所研究的锐角三角函数反映了锐角与数值之间的函数关系，这虽然与一次函数、反比例函数以及二次函数所反映的数值与数值之间的对应关系有所不同，但它们都反映了变量之间的对应关系，本质上是一致的。教学时，要注意让学生体会这些不同函数之间的共同特征，更好地理解函数的概念。
（二）注意数形结合，自然体现数与形之间的联系
数形结合是重要的数学思想和数学方法，本章内容又是数形结合的很理想的材料。例如，对于锐角三角函数的概念，教科书是利用学生对直角三角形的认识（在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半，45°的直角三角形是等腰直角三角形）以及相似三角形的有关知识引入的，结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质。再比如，解直角三角形在实际中有着广泛的作用，在将这些实际问题抽象成数学问题并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角等的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决。因此在本章教学时，要注意加强数形结合，在引入概念、推理论述、化简计算、解决实际问题时，都要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、角之间的关系，加深对直角三角形本质的理解。
四、课时安排
本章教学时间约需12课时，具体分配如下：
28.1 锐角三角函数 约6课时
28.2 解直角三角形 约4课时
数学活动
小结 约2课时
附：本章课堂教学设计6课时
陈新智
2011年5月28日
教学流程图 创设情境，导入新课 展示学习目标 自学方法指导学生自学，教师巡视 检查自学效果当堂训练课堂小结
教学设计评价
课 堂 教 学 设 计
课题：28.1锐角三角函数（1） ——正弦 授课时数： 1
日期： 设 计 人： 陈新智
设计要素 设 计 内 容
教学内容分析 教科书首先设置了一个实际问题，把这个实际问题抽象成数学问题，通过思考、探究，得到“在直角三角形中，当锐角的度数一定时，不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是一个固定值”。由此引出正弦函数的概念。
教学目标 知识与技能 1、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实，从而理解正弦的概念。 2、能根据正弦概念正确进行计算
过程与方法 通过思考和探究，让学生发现“这个角的对边与斜边的比是一个固定值”的过程。
情感态度价值观 引导学生通过探索数量的比值关系，发现规律，从而培养学习数学的兴趣。
学情分析 学生初次接触“正弦”的概念，是很难理解的，注意加强对数量关系的比较、分析。
教学分析 教学重点 理解正弦（sinA）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值
教学难点 难点 当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
解决办法 结合图形，从实际例子入手，引导学生仔细观察、比较、分析，总结规律。
教学策略 谈话，讨论，交流，仔细比较，认真分析
教学资源 教材 教师教学用书 中学教材全解 与教材配套的练习册
板书设计 28.1锐角三角函数（1） ——正弦 一、讨论交流：结论：①直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 ②直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 ③在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比 二、正弦函数概念：规定：在Rt△ABC中，∠C=90，∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c．在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= =． sinA＝
教学环节 教师活动 学生活动 教学媒体使用预期效果
导入新课 阅读教材73页引言部分，导入新知识。
揭示学习目标 教师口述学习目标
学生自学 教师巡视，个别指导 学生阅读教材第74至76页内容
检测、反馈 （1）教师问，①74页思考？ ②75页思考？ ③75页探究？（回顾三角形相似的判断方法） （2）师生归纳：正弦函数概念（3）教师强调解题的书写格式 （1）学生一边思考，一边回答。（2）请一名学生板书75页探究的依据。（3）请两名学生板演例1
当堂训练 1、77页练习2、在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是( )A． B．3 C． D．
全课小结 在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是 ． 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的 ，记作 ，
教学流程图
教学设计评价
课 堂 教 学 设 计
课题：28．1锐角三角函数（2）——余弦、正切 授课时数： 1
日期： 设 计 人： 陈新智
设计要素 设 计 内 容
教学内容分析 余弦、正切仍然是直角三角形的边角关系，学习了正弦概念，余弦、正切的概念是容易掌握的。在此基础上得出锐角三角函数的概念。
教学目标 知识与技能 1、感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。2、能根据余弦、正切的概念，正确进行计算
过程与方法 逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
情感态度价值观 引导学生结合图形，探索数量关系，培养学习数学的兴趣，进一步领会数形结合的思想方法。
学情分析 在第一课时的基础上，学生对锐角三角函数有了一定的认识，学习余弦、正切的概念，问题不会大。
教学分析 教学重点 理解余弦、正切的概念
教学难点 难点 熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。
解决办法 数形结合，理解概念，总结规律
教学策略 仔细观察、认真比较
教学资源 教材 教师教学用书 中学教材全解 与教材配套的练习册
板书设计 28.1锐角三角函数（2） ——余弦、正切一、正弦的概念：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝二、余弦、正切在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA==；把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA==．三、锐角三角函数我们把锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．四、计算
教学环节 教师活动 学生活动 教学媒体使用预期效果
导入新课 1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？2、在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比是 ，现在我们要问：∠A的邻边与斜边的比呢？∠A的对边与邻边的比呢？ 讨论，回答
揭示学习目标 教师口述学习目标
学生自学 教师巡视，个别指导 学生阅读教材第77至78页内容
检查自学效果 类似于正弦的情况，教师问，学生答：如图在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的．我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA==；把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA==．例如，当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°= ；当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ． （教师讲解并板书）：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．
当堂训练 教材78页练习1.2.3.
课堂小结 本节课的收获 学生回答，相互补充
布置作业 练习册对应的作业
教学流程图
教学设计评价
课 堂 教 学 设 计
课题：28．1锐角三角函数（3）——特殊角的三角函数值 授课时数：1
日期： 设计人： 陈新智
设计要素 设 计 内 容
教学内容分析 本节内容借助于学生熟悉的两种三角尺研究了30°、45°、60°角的正弦、余弦和正切值，并以例题的形式介绍了已知锐角三角函数值求锐角的问题，当然这时所要求出的角都是30°、45°和60°这些特殊角。
教学目标 知识与技能 熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数。
过程与方法 逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
情感态度价值观 引导学生结合图形，探索数量关系，培养学习数学的兴趣，进一步领会数形结合的思想方法。
学情分析 只要能够正确理解正弦、余弦、正切的概念，结合图形，写出特殊角的三角函数，就能求出每一个特殊角的三角函数值。
教学分析 教学重点 熟记30°、45°、60°角的三角函数值
教学难点 难点 由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数
解决办法 结合图形，写出特殊角的三角函数，理解30°、45°、60°角的三角函数值的由来。
教学策略 讨论，交流，仔细比较，认真分析
教学资源 教材 教师教学用书 中学教材全解 与教材配套的练习册
板书设计 特殊角的三角函数值1、什么叫做∠A的锐角三角函数？2、如图，sin30°=cos30°=tan30°= 同理可以得到3、特殊角的三角函数值可列表如下： 角度α三角函数值函数名称30°45°60°sinαcosαtgα1ctgα1
教学环节 教师活动 学生活动 教学媒体使用预期效果
揭示学习目标 教师口述学习目标
学生自学 教师巡视，个别指导 1、学生思考并讨论教材第79的“探究”2、熟记30°、45°、60°角的三角函数值3、学习例3和例4（注意书写格式）
检查自学效果 1、教师提问，学生回答或板书2、指导学生进一步探究：（1）互余两角的三角函数之间的关系： sin(90°-α)=cosα， cos(90°-α)=sinα（2）平方关系：sin2α+cos2α=1 1、根据两幅三角板的边与边的关系，写出30°、45°、60°角的三角函数值。2、根据表格中的三角函数值，说出对应的角的度数。（相互提问、交流）
当堂训练 教材80页得练习 指名板演，全班齐练
课堂小结 学生归纳，相互补充
布置作业
教学设计评价
课 堂 教 学 设 计
课题：28．1锐角三角函数（4）——运用计算器求锐角的三角函数值和
由三角函数值来求角 授课时数： 1
日期： 设计人： 陈新智
要素 设 计 内 容
内容 借助计算器求非特殊锐角的三角函数值和由三角函数值来求角的度数
教学目标 知识与技能 让学生熟识计算器一些功能键的使用，会用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角
过程与方法 通过计算器的熟练应用，学习数学知识，培养数学能力。
情感态度价值观 培养学生的动手能力和学习数学的兴趣。
学情分析 由于学生对计算器的操作比较熟悉，所以学习本节内容不成问题。
教学分析 教学重点 运用计算器处理三角函数中的值或角的问题
教学难点 难点 已知三角函数值来求角的度数
解决办法 明确概念，不断探索、尝试。
教学策略 尝试和探究贯穿课堂全过程，重视引导、指导和讲解。
教学资源 教材 教师教学用书 中学教材全解 与教材配套的练习册
板书设计 用计算器求锐角的三角函数值1、计算：（1）sin30°·cos45°+cos60°; （2）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°+·tan30°2、用计算器求三角函数值：（1）sin18° （2）tan30°36‘ （3）cos55°3、根据三角函数值求角的度数：（1）已知sinA=0.5018，求∠A的度数；（2）已知cos B=0.6252，求∠B的度数。4、注意计算器功能键的使用
教学环节 教师活动 学生活动 教学媒体使用预期效果
导入新课 今天我们学习借助计算器求非特殊锐角的三角函数值和由三角函数值来求角的度数。
揭示学习目标 教师口述学习目标
指导学生自学 注意计算器功能键的使用。 学生自学教材第80、81页的内容。
学生自学 教师巡视，个别督查
检查自学效果 指名做黑板上的试题，全班齐练。
学生归纳更正
当堂训练 教材第81页练习题
课堂小结 借助计算器求非特殊锐角的三角函数值的注意事项是什么？ 学生回答，相互补充。
教学设计评价
课 堂 教 学 设 计
课题：28．2解直角三角形（1） 授课时数： 1
日期： 设计人： 陈新智
设计要素 设 计 内 容
教学内容分析 教科书借助于实际问题背景，设计了一个“探究”栏目，要求学生探讨在直角三角形中，根据两个已知条件（其中至少有一个是边）求解直角三角形，最后教科书归纳给出求解直角三角形常用的反映三边关系的勾股定理，反映锐角之间关系的互余关系，以及反映边角之间关系的锐角三角函数关系
教学目标 知识与技能 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形
过程与方法 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
情感态度价值观 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
学情分析 本节内容比较抽象，学生学习会有一定的困难，关键是理解直角三角形中边角之间关系的锐角三角函数关系。
教学分析 教学重点 直角三角形的解法．
教学难点 难点 三角函数在解直角三角形中的灵活运用
解决办法 通过猜测、比较、验证，突破重难点
教学策略 谈话，讨论，交流，比较，分析
教学资源 教材 教师教学用书 中学教材全解 与教材配套的练习册
板书设计 解直角三角形1、什么叫解直角三角形？2、直角三角形ABC中，各元素之间的关系：(1)三边之间关系 ： a2 +b2 =c2 (勾股定理) （2)锐角之间关系： ∠A+∠B=90°．(3)边角之间关系：
教学环节 教师活动 学生活动 教学媒体使用预期效果
导入新课 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？今天我们来学习解直角三角形的问题。
揭示学习目标 教师口述学习目标
学生自学 教师巡视，个别督查 学生阅读教材85页至86页内容
检查自学效果 按照板书内容提问 学生回答，相互补充
当堂训练 教师督促巡视，批改先做完的学生作业 1、学生板书例1、例22、教材87页练习
课堂小结 小结“已知一边一角，如何解直角三角形？” 学生归纳本节课的收获
教学设计评价
课 堂 教 学 设 计
课题：28．2解直角三角形（2） 授课时数： 1
日期： 设计人： 陈新智
设计要素 设 计 内 容
教学内容分析 通过确定“神舟”五号变轨后，所能看到地面的最大距离，这一实际问题，来探索直角三角形中边与角的关系，即解直角三角形的应用。
教学目标 知识与技能 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
过程与方法 通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用， 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
情感态度价值观 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识
学情分析 本节内容的难点是实际问题转化成数学模型，学生学习是有一定难度的。
教学分析 教学重点 将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
教学难点 难点 实际问题转化成数学模型
解决办法 通过观察、比较及数形结合的思想方法突破重难点
教学策略 动手操作，比较，归纳
教学资源 教材 教师教学用书 中学教材全解 与教材配套的练习册
板书设计 解直角三角形（2）1、解直角三角形指什么？ 2、解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理理： (2)锐角之间的关系： (3)边角之间的关系：3、什么是仰角、俯角？4、例题
教学环节 教师活动 学生活动 教学媒体使用预期效果
揭示学习目标 教师口述学习目标 学生认真听，用心记
学生自学 出示自学提纲 按板书提示进行预习，教材87、88页.
检查自学效果 指名板书，相互补充
当堂训练 督促巡视，批改先做完的学生作业 教材89页练习，指名板演，全班齐练
课堂小结 本节课我的收获: 先由学生归纳，教师再补充。
布置作业
教学设计评价
听歌曲，介绍作者
展示学习目标及任务
小黑板
学习方法指导
小黑板
巡视，适当点拨
检测自学效果，指导学生更正并运用
出示检测题
激情总结
放音乐，板书课题
了解学习任务
理解识记学习方法
根据自学提示，自主合作探究
判断他人结论，更正、补充并说明理由
完成检测
小黑板
课后完成作业
_
斜边
c
_
对边
a
_
邻边b
_
C
_
B
_
A
_
斜边
c
_
对边
a
_
邻边b
_
C
_
B
_
A
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21【锐角三角函数全章教案】
锐角三角函数（第一课时）
教学三维目标：
一.知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
二.能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。
三.情感目标：提高学生对几何图形美的认识。
教材分析：
1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念
2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA、cosA、tanA表示正弦，余弦，正切
教学程序：
一．探究活动
1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。
2．归纳三角函数定义。
siaA=,cosA=,tanA=
3例1.求如图所示的Rt⊿ABC中的siaA,cosA,tanA的值。
4.学生练习P21练习1，2，3
二．探究活动二
1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60°
归纳结果
30° 45° 60°
siaA
cosA
tanA
2. 求下列各式的值
（1）sia 30°+cos30°（2）sia 45°-cos30°(3)+ta60°-tan30°
三．拓展提高P82例4.（略）
如图在⊿ABC中,∠A=30°,tanB=,AC=2,求AB
四．小结
五．作业课本p85－86 2,3,6,7,8,10
解直角三角形应用（一）
一．教学三维目标
(一)知识目标
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
(二)能力训练点
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：直角三角形的解法．
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．
三、教学过程
(一)知识回顾
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系 sinA= cosA= tanA=
(2)三边之间关系
a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
（二） 探究活动
1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．
2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．
3．例题评析
例 1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= a=，解这个三角形．
例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 20 =35，解这个三角形（精确到0.1）．
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．
例 3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
(三) 巩固练习
在△ABC中，∠C为直角，AC=6，的平分线AD=4，解此直角三角形。
解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．
(四)总结与扩展
请学生小结：1在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素． 2解决问题要结合图形。
四、布置作业
．p96 第1，2题
解直三角形应用（二）
一．教学三维目标
(一)、知识目标
使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
(二)、能力目标
逐步培养分析问题、解决问题的能力．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
三、教学过程
（一）回忆知识
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？
(1)勾股定理：a2+b2=c2
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系： tanA=
（二）新授概念
1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．
2．例1
如图(6-16)，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B距离(精确到1米)
解：在Rt△ABC中sinB= AB===4221(米)
答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．
例2.2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）
分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。将问题放到直角三角形FOQ中解决。
．
解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角形知识来解决，在此之前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重请学生画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么)，会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角α得出Rt△ABC中的∠ABC，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．
例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA=
来解决的两个实际问题即已知和斜边，
求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．
（三）．巩固练习
1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m）
2．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)
教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：
（1）．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．
（2）．请学生结合图形独立完成。
3 如图6-19，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．
此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD．
设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．
练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度为1.72米，求树高(精确到0.01米)．
要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它．
(四)总结与扩展
请学生总结：本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题．
四、布置作业
1．课本p96 第 3，.4，.6题
解直三角形应用（三）
（一）教学三维目标
(一)知识目标
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．
二、教学重点、难点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
三、教学过程
1．导入新课
上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决．
2．例题分析
例1．如图6-21，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A-26°，
求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米)．
分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？
由题意知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=26°，AC=5米，可利用解Rt△ABC的方法求出BC和AB．
学生在把实际问题转化为数学问题后，大部分学生可自行完成
例题小结：求出中柱BC的长为2.44米后，我们也可以利用正弦计算上弦AB的长。
如果在引导学生讨论后小结，效果会更好，不仅使学生掌握选何关系式，更重要的是知道为什么选这个关系式，以培养学生分析问题、解决问题的能力及计算能力，形成良好的学习习惯．
另外，本题是把解等腰三角形的问题转化为直角三角形的问题，渗透了转化的数学思想．
例2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南东34方向上的B处。这时，海轮所在的B
处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)？
引导学生根据示意图，说明本题已知什么，求什么，利用哪个三角形来求解，用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便？
3巩固练习
为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，
已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．
首先请学生结合题意画几何图形，并把实际问题转化为数学问题．
Rt△ACD中，∠D=Rt∠，∠ACD=52°，CD=BE=15米，CE=DB=1.72米，求AB？
(三)总结与扩展
请学生总结：通过学习两个例题，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切或余切解直角三角形，从而把问题解决．
本课涉及到一种重要教学思想：转化思想．
四、布置作业
1．某一时刻，太阳光线与地平面的夹角为78°，此时测得烟囱的影长为5米，求烟囱的高(精确到0.1米)．
2．如图6-24，在高出地平面50米的小山上有一塔AB，在地面D测得塔顶A和塔基B的仰面分别为50°和45°，求塔高．
3．在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．
解直三角形应用（四）
一．教学三维目标
(一)知识目标致
使学生懂得什么是横断面图，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
培养学生用数学的意识；渗透转化思想；渗透数学来源于实践又作用于实践的观点．
二、教学重点、难点
1．重点：把等腰梯形转化为解直角三角形问题；
2．难点：如何添作适当的辅助线．
三、教学过程
1．出示已准备的泥燕尾槽，让学生有感视印象，将其横向垂直于燕尾槽的平面切割，得横截面，请学生通过观察，认识到这是一个等腰梯形，并结合图形，向学生介绍一些专用术语，使学生知道，图中燕尾角对应哪一个角，外口、内口和深度对应哪一条线段．这一介绍，使学生对本节课内容很感兴趣，激发了学生的学习热情．
2．例题
例 燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是55°，外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC(精确到1mm)．
分析：(1)引导学生将上述问题转化为数学问题；等腰梯形ABCD中，上底AD=180mm，高AE=70mm，∠B=55°，求下底BC．
(2)让学生展开讨论，因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割为直角三角形，从而利用解直角三角形的知识来求解．学生对这一转化有所了解．因此，学生经互相讨论，完全可以解决这一问题．
例题小结：遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题．
3．巩固练习
如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米)．
分析：(1)请学生审题：因为电线杆与地面应是垂直的，那么图6-27中△ACD是直角三角形．其中CD=5m，∠CAD=60°，求AD、AC的长．
(2)学生运用已有知识独立解决此题．教师巡视之后讲评．
(三)小结
请学生作小结，教师补充．
本节课教学内容仍是解直角三角形，但问题已是处理一些实际应用题，在这些问题中，有较多的专业术语，关键是要分清每一术语是指哪个元素，再看是否放在同一直角三角形中，这时要灵活，必要时还要作辅助线，再把问题放在直角三角形中解决．在用三角函数时，要正确判断边角关系．
四、布置作业
1．如图6-28，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB， DE⊥AB于E，
AB=8, DE=4, cosA=, 求CD的长.2．教材课本习题P96第6，7，8题
解直三角形应用（五）
一．教学三维目标
(一)知识目标明
巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度角和有关角度的问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．
(三)德育目标
培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：能熟练运用有关三角函数知识．
2．难点：解决实际问题．
3．疑点：株距指相邻两树间的水平距离，学生往往理解为相邻两树间的距离而造成错误．
三、教学过程
1．探究活动一
教师出示投影片，出示例题．
例1 如图6-29，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．
分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．
2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图6-29(2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．
3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．
教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．
2．探究活动二
例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？
这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题．
由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E在一条直线上。
学生观察图形，不难发现，∠E=90°，这样此题就转化为解直角三角形的问题了，全班学生应该能独立准确地完成．
解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角．
∴∠BED=∠ABD-∠D=90°．
∴DE=BD·cosD
=520×0.6428=334.256≈334.3(m)．
答：开挖点E离D334.3米，正好能使A、C、E成一直线，
提到角度问题，初一教材曾提到过方向角，但应用较少．因此本节课很有必要补充一道涉及方向角的实际应用问题，出示投影片．
练习P95 练习1，2。
补充题：正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．
学生虽然在初一接触过方向角，但应用很少，所以学生在解决这个问题时，可能出现不会画图，无法将实际问题转化为几何问题的情况．因此教师在学生独自尝试之后应加以引导：
(1)确定小岛O点；(2)画出10时船的位置A；(3)小船在A点向南偏东60°航行，到达O的正东方向位置在哪？设为B；(4)结合图形引导学生加以分析，可以解决这一问题．
此题的解答过程非常简单，对于程度较好的班级可以口答，以节省时间补充一道有关方向角的应用问题，达到熟练程度．对于程度一般的班级可以不必再补充，只需理解前三例即可．
补充题：如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
如果时间允许，教师可组织学生探讨此题，以加深对方向角的运用．同时，学生对这种问题也非常感兴趣，教师可通过此题创设良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣．
若时间不够，此题可作为思考题请学生课后思考．
(三)小结与扩展
教师请学生总结：在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案。
四、布置作业
课本习题P97 9，10
解直三角形应用
一、
(一)知识教学点
巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
(三)德育目标
培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：解决有关坡度的实际问题．
2．难点：理解坡度的有关术语．
3．疑点：对于坡度i表示成1∶m的形式学生易疏忽，教学中应着重强调，引起学生的重视．
三、教学过程
1．创设情境，导入新课．
例 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．
同学们因为你称他们为工程师而骄傲，满腔热情，但一见问题又手足失措，因为连题中的术语坡度、坡角等他们都不清楚．这时，教师应根据学生想学的心情，及时点拨．
通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义．
介绍概念
坡度与坡角
结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h和水
平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝，
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？
答：i＝＝tan
这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固．
练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______； ______，坡角______度．
为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问：
(1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明．
(2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明．
答：(1)
如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小，
因为 tan＝，AB不变，tan随BC增大而减小
(2)
与(1)相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tanα
也随之增大，因为tan=不变时，tan随AB的增大而增大
2．讲授新课
引导学生分析例题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．
以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．
坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力．
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∴AE=3BE=3×23=69(m)．
FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．
因为斜坡AB的坡度i＝tan＝≈0.3333，查表得
α≈18°26′
答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．
3．巩固练习
(1)教材P124. 2
由于坡度问题计算较为复杂，因此要求全体学生要熟练掌握，可能基础较好的学生会很快做完，教师可再给布置一题．
(2)利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
分析：1．引导学生将实际问题转化为数学问题．
2．要求S等腰梯形ABCD，首先要求出AD，如何利用条件求AD？
3．土方数=S·l
∴AE=1.5×0.6=0.9(米)．
∵等腰梯形ABCD，
∴FD=AE=0.9(米)．
∴AD=2×0.9+0.5=2.3(米)．
总土方数=截面积×渠长 =0.8×100=80(米3)．
答：横断面ABCD面积为0.8平方米，修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为80立方米．
(四)总结与扩展
引导学生回忆前述例题，进行总结，以培养学生的概括能力．
1．弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题．
2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题．
3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错．
4．按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位．
四、布置作业
1．看教材，培养看书习惯，作本章小结．
2．课本习题P96第5，8题
A
B
C
F
O
P
Q
P
A
B
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