10.3 直角三角形课件（共30张PPT）

第十章 三角形的有关证明
3 直角三角形
知识点一 勾股定理
内容
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注意问题
勾股定理
知识点一 勾股定理
内容
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注意问题
勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方

如图所示，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2
“直角三角形”是应用勾股定理的前提条件，如果已知条件中没有直角三角形，要想利用勾股定理，必须先构造直角三角形.应用勾股定理时，要注意确定哪条边是直角三角形的最长边，也就是斜边，在Rt△ABC中，斜边不一定是c，当∠A＝90°时，a2＝b2＋c2，当∠B＝90°时，b2＝a2＋c2.注意公式的变形由a2＋b2＝c2，可得a2＝c2-b2，b2＝c2-a2
例1 如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9.
（1）求BC的长；
（2）求△ABC的面积.



知识点二 勾股定理的逆定理
内容
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注意问题
勾股定理的逆定理
温馨提示
知识点二 勾股定理的逆定理
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注意问题
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
如图所示，在△ABC中，∵a2＋b2＝c2，∴∠C＝90°
应用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形时，首先找出最长边，然后计算较短两边的平方和并与最长边的平方进行比较，看它们是否相等，若相等，则三角形是直角三角形，否则，就不是直角三角形
温馨提示
到目前为止，判定直角三角形的方法有:①说明三角形中有一个角为直角；②说明三角形中有两边互相垂直；③勾股定理的逆定理
知识点三 互逆命题与互逆定理
内容
特别说明
互逆命题
互逆定理
温馨提示
知识点三 互逆命题与互逆定理
内容
特别说明
互逆命题
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题
任何命题都有逆命题，真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题不一定是假命题
互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理
一个定理，不一定有定理逆定理
温馨提示
写原命题的逆命题时，最好先将原命题改写成“如果…那么…”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论，再根据改写后的命题写出原命题的逆命题
例3 命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是________________________________.
例3 命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是________________________________.
解析 因为“直角三角形两锐角互余”的条件是“一个三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，所以逆命题是“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”.
例3 命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是________________________________.
解析 因为“直角三角形两锐角互余”的条件是“一个三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，所以逆命题是“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”.
答案 有两个锐角互余的三角形是直角三角形
知识点四 “斜边、直角边”（或“HL”）
内容
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图形表示
“斜边、直角边”（或“HL”）
知识详解
知识点四 “斜边、直角边”（或“HL”）
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“斜边、直角边”（或“HL”）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）
在Rt△ABC和Rt△A′B＇C′中（∠C与∠C′为直角）
∵
∴Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇（HL）

知识详解
（1）“HL”是判定两个直角三角形全等特有的定理，应用此定理时要注意:①要保证两个三角形是直角三角形；②斜边相等；③任意一条直角边对应相等.
（2）一般三角形全等的判定方法对判定两个直角三角形全等全部适用，也就是说判定两个直角三角形全等共有5种方法，即“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”
例4 如图所示，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.求证:△ABE≌△CBF.



例4 如图所示，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.求证:△ABE≌△CBF.



证明 ∠ABC＝90°，∴∠CBF＝90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）.
经典例题
题型一 勾股定理的应用
例1 如图所示，一竖直的木杆在离地面6尺高的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端A的8尺处木杆折断之前有多高？


题型一 勾股定理的应用
例1 如图所示，一竖直的木杆在离地面6尺高的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端A的8尺处木杆折断之前有多高？


解析 ∵易知△ABC是直角三角形，∴BC＝ ，
∵AB＝6尺，AC＝8尺，∴BC＝ ＝10（尺），
∴木杆折断之前的高度＝AB＋BC＝6＋10＝16（尺）.
题型一 勾股定理的应用
例1 如图所示，一竖直的木杆在离地面6尺高的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端A的8尺处木杆折断之前有多高？


解析 ∵易知△ABC是直角三角形，∴BC＝ ，
∵AB＝6尺，AC＝8尺，∴BC＝ ＝10（尺），
∴木杆折断之前的高度＝AB＋BC＝6＋10＝16（尺）.
点拨 利用勾股定理解决实际问题时，首先根据题意构造直角三角形，再运用勾股定理计算边长有时需设适当的未知数列方程解决.
题型二 勾股定理的逆定理的应用
例2 如图所示，从帐篷支撑杆AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷，若绳子的长度为5.5米，固定点C到帐篷支撑杆底部B的距离是4.5米，现有一根高为3.2米的竹竿，它能否做帐篷的支撑杆？请说明理由.

题型二 勾股定理的逆定理的应用
解析 不能.理由如下:
∵在△ABC中，AC＝5.5米，BC＝4.5米，
∴AC2＝30.25，BC2＝20.25.
∵3.22＝10.24，30.25≠20.25＋10.24，
∴一根高为3.2米的竹竿不能做帐篷的支撑杆.
题型二 勾股定理的逆定理的应用
解析 不能.理由如下:
∵在△ABC中，AC＝5.5米，BC＝4.5米，
∴AC2＝30.25，BC2＝20.25.
∵3.22＝10.24，30.25≠20.25＋10.24，
∴一根高为3.2米的竹竿不能做帐篷的支撑杆.
点拨
知道三角形的三边，判断三角形是不是直角三角形，用勾股定理的逆定理判断即可.
易错易混
易错点 在直角三角形中，不确定第三边是直角边还是斜边时，没有分类讨论而致错
在直角三角形中，已知两边的长可求第三边，但是当没有说明已知的两边是直角三角形的直角边还是斜边时，要注意分类讨论.
例 三角形两边的长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三边的长是__________.