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JJ版七年级下
阶段核心类型
平行线中作辅助线的九种常见类型
第七章
相交线
与平行线
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B
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1．如图，∠E＝∠B＋∠D，猜想AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由．
【点拨】本题可通过连接B，D两点构造截线BD，进而利用平行线的判定说明AB∥CD.
解：AB∥CD.理由如下：
如图，连接BD.
在三角形BDE中，∠1＋∠2＋∠E＝180°.
∵∠E＝∠3＋∠4，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
即∠ABD＋∠CDB＝180°.∴AB∥CD.
2．【中考·十堰】如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC＝40°，则∠BCD＝（ ）
A．140°
B．130°
C．120°
D．110°
【点拨】本题可通过延长DC与AB相交于点G，得到直线AB，EF被DG所截，进而利用平行线的性质求角的度数．
【答案】B
3．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°.求∠1的度数．
解：方法一 过点P作射线PN∥AB，如图①所示．
∵PN∥AB，AB∥CD，∴PN∥CD.
∴∠4＝∠2＝28°.
∵PN∥AB，∴∠3＝∠1.
∵∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°，
∴∠1＝30°.
方法二 过点P作射线PM∥AB，如图②所示．
∵PM∥AB，AB∥CD，∴PM∥CD.
∴∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝
152°.
∵∠4＋∠BPC＋∠3＝360°，
∴∠3＝360°－∠BPC－∠4＝
360°－58°－152°＝150°.
∵AB∥PM，∴∠1＝180°－∠3＝
180°－150°＝30°.
4．(1)如图①，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，求∠BCD的度数；
解：如图，过C点作CF∥AB，?
∴∠B＋∠BCF＝
180°.
∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE.
∴∠FCD＋∠D＝180°.
∴∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，
即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
∴∠BCD＝360°－∠B－∠D＝
360°－135°－145°＝80°.
(2)如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明理由；
解：∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
理由：如图，∵CF∥AB，
∴∠B＋∠BCF＝180°.
又∵AB∥DE，∴CF∥DE.
∴∠FCD＋∠D＝180°.
∴∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，
即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
(3)如图②，AB∥EF，根据(2)中的猜想，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
解：∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.
5．(1)如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数；
解：过E点向左侧作EF∥AB，∴∠B＋∠BEF＝180°.
∵∠B＝130°，∴∠BEF＝180°－∠B＝50°.
又∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD.
∵∠C＝30°，∴∠FEC＝∠C＝30°，
∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝50°＋30°＝80°.
(2)如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系？试说明理由．
解：∠B＋∠BEC－∠C＝180°.
理由如下：过点E向左侧作EF∥AB，
又∵AB∥CD，∴EF∥CD.∴∠FEC＝∠C.
又∵∠BEF＝∠BEC－∠FEC，
∴∠BEF＝∠BEC－∠C.
∵AB∥EF，∴∠B＋∠BEF＝180°.
∴∠B＋∠BEC－∠C＝180°.
6．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何数量关系？为什么？
解：∠BCD＝∠B－∠D.
理由如下：
如图，过点C作CF∥AB，
∴∠B＝∠BCF.
∵AB∥DE，CF∥AB，
∴CF∥DE.
∴∠DCF＝∠D.
∴∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF.
∵∠BCD＝∠BCF－∠DCF，
∴∠BCD＝∠B－∠D.
7．如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°.求∠ABC的度数．
解：如图，过点C作CF∥AB.
∵AB∥DE，CF∥AB，∴DE∥CF.
∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－138°＝42°.
∴∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°.
∵AB∥CF，
∴∠ABC＝∠BCF＝72°.
8．如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的一条折线．
(1)试说明：∠EOF＝∠BEO＋∠DFO；
解：如图①，过点O向左侧作OM∥AB，
∴∠1＝∠BEO.
∵AB∥CD，∴OM∥CD.
∴∠2＝∠DFO.
∴∠1＋∠2＝∠BEO＋∠DFO，
即∠EOF＝∠BEO＋∠DFO.
(2)如果将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC之间会满足怎样的数量关系？说明理由．
解：∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.
理由：过点O向左侧作OM∥AB，过P向右侧作PN∥CD，如图②所示．
∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD.
∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC.
∴∠1＋∠2＋∠PFC＝∠BEO＋∠3＋∠4.
∴∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.
9．如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD＝120°.求∠BED的度数．
解：如图，过点F作FG∥AB.
∴∠BFG＝∠ABF.
∵AB∥CD，∴FG∥CD.
∴∠CDF＝∠DFG.
∴∠ABF＋∠CDF＝
∠BFG＋∠DFG＝∠BFD＝120°.
过点E作EH∥AB，∴∠BEH＝∠ABE.
∵AB∥CD，∴EH∥CD.
∴∠DEH＝∠CDE.
∴∠BEH＋∠DEH＝∠ABE＋∠CDE，
即∠BED＝60°.(共28张PPT)
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7．5 平行线的性质
第七章
相交线与平行线
第1课时 平行线的性质
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见习题
见习题
见习题
1．【中考·百色】如图，已知a∥b，∠1＝58°，则∠2的大小是( )
A．122°
B．85°
C．58°
D．32°
C
2．【中考·新疆】如图，AB∥CD，∠A＝50°，则∠1的度数是( )
A．40°
B．50°
C．130°
D．150°
C
3．【中考·黔西南州】如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为( )
A．37°
B．43°
C．53°
D．54°
C
4．【中考·济南】如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为( )
A．20°
B．35°
C．55°
D．70°
B
5．【中考·宜昌】如图，将一块含有30°角的直角三角尺的两个顶点分别放在直尺的两条平行的对边上，若∠α＝135°，则∠β等于( )
A．45°
B．60°
C．75°
D．85°
C
6.【中考·枣庄】一副直角三角尺如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为( )
A．10°
B．15°
C．18°
D．30°
【点拨】由题意可得∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，∴∠ABD＝∠EDF＝45°.
∴∠DBC＝45°－30°＝15°.
【答案】B
7．【中考·南通】如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝70°，则∠AED的度数为( )
A．110°
B．125°
C．135°
D．140°
【答案】B
8.【中考·齐齐哈尔】如图，直线a∥b，将一块含30°角(∠BAC＝30°)的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线a和b上，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
【点拨】∵直线a∥b，∴∠1＋∠BCA＋∠BAC＋∠2＝180°.∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，∠1＝20°，∴∠2＝40°.
【答案】C
9．已知∠1与∠2是同旁内角．若∠1＝50°，则∠2的度数是( )
A．50°
B．130°
C．50°或130°
D．不能确定
【点拨】本题易忽略利用平行线的性质的前提而误用平行线的性质．本题没有说明两直线平行，因此同旁内角的数量关系是不确定的．
【答案】D
10．【中考·重庆B卷】如图，AB∥CD，三角形EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD.若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数．
解：∵在三角形EFG中，∠EFG＝90°，∠E＝35°，
∴∠EGF＝180°－90°－35°＝55°.
又∵GE平分∠FGD，∴∠EGF＝∠EGD＝55°.
∵AB∥CD，∴∠EHB＝∠EGD＝55°.
∴∠AHE＝180°－∠EHB＝180°－55°＝125°.
∴在三角形EFH中，∠EFB＝180°－∠E－∠AHE＝180°－35°－125°＝20°.
11．如图，已知AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠3.AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由．
解：AD是∠BAC的平分线．理由如下：
∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴EG∥AD.
∴∠3＝∠1，∠E＝∠2.
又∵∠E＝∠3，∴∠1＝∠2，
即AD是∠BAC的平分线．
12．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点O，∠FGC＝125°，求∠EFG的度数．
下面提供三种思路：
(1)过点F作FH∥AB；
(2)延长OF交CD于点M；
(3)延长GF交AB于点K.
请你利用三种思路中的两种思路，将图形补充完整，并求∠EFG的度数．
【点拨】解本题时，思路(1)是构造平行线，将∠EFG分割为两个角，再求度数．思路(2)是构造平行线的截线，再求度数．本题还可以选思路(3)解答．
解：利用思路(1)．过点F作FH∥AB，如图①.
∵EF⊥AB，∴∠BOF＝90°.
∵FH∥AB，∴∠HFO＝∠BOF＝90°.
∵AB∥CD，∴FH∥CD，
∴∠FGC＋∠GFH＝180°.
∵∠FGC＝125°，∴∠GFH＝55°.
∴∠EFG＝∠GFH＋∠HFO＝55°＋90°＝145°.
利用思路(2)．延长OF交CD于点M，如图②.
∵EF⊥AB，∴∠BOF＝90°.
∵CD∥AB，∴∠GMF＝∠BOF＝90°.
∵∠FGC＝125°，∴∠1＝55°.
∵∠1＋∠2＋∠GMF＝180°，∴∠2＝35°.
∵∠EFG＋∠2＝180°，∴∠EFG＝145°.
13．直线AB∥CD，点P是直线AB，CD外的任意一点，连接PA，PC.
(1)探究猜想：
①如图①，若∠A＝30°，
∠C＝40°，则∠APC＝________°；
②如图①，若∠A＝40°，
∠C＝60°，则∠APC＝________°；
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③猜想图①中∠A，∠C，∠APC三者之间有怎样的等量关系？并说明理由．
解：∠APC＝∠A＋∠C.理由如下：
过P点向左侧作PE∥AB，则∠APE＝∠A.
∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠CPE＝∠C.
又∵∠APC＝∠APE＋∠CPE，
∴∠APC＝∠A＋∠C.
(2)拓展：
①如图②，若∠A＝20°，∠C＝50°，则∠APC＝________°；
②猜想图③中∠A，∠C，
∠APC三者之间的等量
关系为________________．
30
∠APC＝∠A－∠C(共30张PPT)
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7．6 图形的平移
第七章
相交线与平行线
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见习题
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见习题
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见习题
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见习题
1．春节联欢晚会上歌手站在升降台上出场，那么歌手站在升降台上上升的过程可以看成数学上的( )
A．对称
B．平移
C．转动
D．对折
B
2．【中考·乐山】下列四个图形中，可以由已知图形通过平移得到的是( )
D
3．【中考?上海】如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是( )
A．平行四边形
B．等腰梯形
C．正六边形
D．圆
A
4．【中考·淄博】如图，将三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为 _______．
1
5．【中考·青海】如图，将周长为8的三角形ABC沿BC边向右平移2个单位，得到三角形DEF，则四边形ABFD的周长为 ．
12
6．如图，三角形ABC沿BC边所在的直线向右平移得到三角形DEF，下列结论中错误的是( )
A．AC∥DF
B．∠A＝∠D
C．AC＝DF
D．EC＝CF
D
7.如图，把三角形ABC沿BC方向平移，得到三角形A′B′C′，随着平移距离的不断增大，三角形A′CB的面积大小变化情况是( )
A．增大
B．减小
C．不变
D．不确定
【点拨】连接AA′.因为把三角形ABC沿BC方向平移，得到三角形A′B′C′，所以AA′∥BC，所以三角形A′CB的边BC上的高不变，所以三角形A′CB的面积大小变化情况是不变，故选C.
【答案】C
8．如图所示，从图形B到图形A的变化过程中，下列描述正确的是( )
A．向上平移2个单位长度，向左平移4个单位长度
B．向上平移1个单位长度，向左平移4个单位长度
C．向上平移2个单位长度，向左平移5个单位长度
D．向上平移1个单位长度，向左平移5个单位长度
【答案】B
9.如图所示，将三角形ABC平移到三角形DEF的位置，则下列结论：①AB∥DE，AD＝CF＝BE；②∠ACB＝∠DEF；③平移的方向是点C到点E的方向；④平移的距离为线段BE的长．
其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【点拨】①④正确．
B
10．如图，在长方形ABCD中，AC与BD相交于点O，画出三角形AOB平移后的图形，其平移方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长．
解：图①中的三角形DEC即为所求．
【易错总结】解题时要正确理解题意，切忌审题不清．本题中平移的对象是三角形AOB，易错理解为平移的对象是长方形ABCD，从而得出错误的图形，如图②.
11．如图的4个小三角形都是等边三角形，边长为1
cm，你能通过平移三角形ABC得到其他三角形吗？若能，请说出平移的方向和距离．
解：将三角形ABC沿着射线AF的方向平移1
cm得到三角形FAE；
将三角形ABC沿着射线BD的方向平移1
cm得到三角形ECD；将三角形ABC平移不能得到三角形AEC.
12．如图所示，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝33°，将直角三角形ABC沿AB方向向右平移得到直角三角形DEF.
(1)试求出∠E的度数；
解：∵在直角三角形ABC中，
∠ACB＝90°，∠A＝33°，
∴∠CBA＝90°－33°＝57°.
由平移，得BC∥EF.
∴∠E＝∠CBA＝57°.
(2)若AE＝9
cm，DB＝2
cm，请求出CF的长度．
13．如图所示，已知在三角形ABC中，BC＝4
cm，把三角形ABC沿BC方向平移2
cm得到三角形DEF.
(1)图中与∠A相等的角有哪几个？
(2)图中的平行线共有多少组？请分别写出来；
解：∠D，∠EMC和∠AMD均与∠A相等．
两组；AB∥DE，AC∥DF.
(3)求BE∶BC∶BF.
解：由题意，得BE＝CF＝2
cm.
∵BC＝4
cm，
∴BF＝6
cm.
∴BE∶BC∶BF＝2∶4∶6＝1∶2∶3.
14．(1)图①是将线段AB向右平移1个单位长度得到A1B1，图②是将折线ACB向右平移1个单位长度得到A1C1B1，请在图③中画出一条有两个折点的折线，并向右平移1个单位长度得到的图形，并给折线平移时扫过的面
涂上阴影；
解：画图略．
(2)若长方形的长为a，宽为b，请分别写出前三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积；
解：剩余部分的面积均为ab－b.
(3)如图④，在宽为10
m，长为18
m的长方形空地上修一条弯曲的小路，小路宽为1
m，求剩余空地的面积．
解：剩余空地的面积为10×18－10×1＝170(m2)．(共16张PPT)
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7．1 命 题
第七章
相交线与平行线
第1课时 命 题
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D
见习题
C
C
A
C
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见习题
C
D
1．下列语句是命题的是( )
A．两个直角相等吗？
B．多么神奇的魔术啊！
C．作线段AB和CD，使AB＝CD
D．若∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，则∠1＝∠3
2．命题“若a2＝b2，则a＝b或a＋b＝0”的结论是( )
A．a2＝b2或a＝b
B．a2＝b2
C．a＝b或a＋b＝0
D．a2＝b2或a＋b＝0
C
3．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出它们的条件和结论．
(1)整数一定是有理数；
解：如果一个数是整数，那么这个数一定是有理数．其中条件是一个数是整数，结论是这个数一定是有理数．
(2)同角的补角相等；
解：如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等．其中条件是两个角是同角的补角，结论是这两个角相等．
(3)两个锐角互余．
解：如果两个角是锐角，那么这两个角互为余角．其中条件是两个角是锐角，结论是这两个角互为余角．
4．下列命题中，是真命题的是( )
A．若|a|＝－a，则a＞0
B．如果a2＝b2，那么a＝b
C．若a＞0，b＞0，则ab＞0
D．相反数等于它本身的数是0和1
C
A
6.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是( )
A．∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β>∠α
B．∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠α
C．∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β<∠α
D．∠α＝45°，∠α的补角∠β＝135°，∠β＞∠α
【答案】C
【点拨】要说明“任何一个角的补角都不小于这个角”，只要举反例说明“有一个角的补角小于这个角”即可．
7．下列语句中，命题的个数是( )
①如果a＝b，那么a3＝b3；②钝角的补角比钝角大；
③作线段AB＝CD；④两个负数，绝对值大的反而小．
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
上边的答案对吗？不对的话，说明理由，并改正．
【答案】C
解：不对．
理由：①②④能得到肯定或否定的结论，是命题，③不能得到肯定或否定的结论，不是命题，故选C.
8．判断下列命题是真命题，还是假命题，若是假命题，请举出反例．
(1)两个锐角的和是锐角；
【点拨】举反例不唯一．要说明一个命题是假命题，只要举出一个例子说明此命题不成立即可．
解：假命题．反例：∠1＝70°，∠2＝80°，
但∠1＋∠2＝150°，不是锐角．
(2)如果a2＝b2，那么a＝b.
【点拨】举反例不唯一．要说明一个命题是假命题，只要举出一个例子说明此命题不成立即可．
解：假命题．反例：a＝2，b＝－2，有a2＝b2，
但a≠b.(共38张PPT)
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第七章
相交线与平行线
4
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见习题
见习题
A
见习题
见习题
C
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见习题
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见习题
见习题
见习题
12
见习题
13
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见习题
见习题
15
见习题
1．已知命题“如果两条射线是两条平行线被第三条直线所截得到的一对内错角的平分线，那么这两条射线互相平行”．
(1)写出命题的题设和结论；
解：题设：两条射线是两条平行线被第三条直线所截得到的一对内错角的平分线；结论：这两条射线互相平行．
(2)画出图形，并用数学符号叙述这个命题；
解：如图，如果AB∥CD，直线AB，
CD被直线EF所截，EG平分∠AEF，
FH平分∠EFD，那么EG∥FH.
(3)用推理证明的方法说明这个命题是真命题．
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD.
∴∠GEF＝∠EFH.
∴EG∥FH.
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠COF＝35°，∠BOD＝60°，
求∠EOF的度数．
3．如图，点E在AB的延长线上，指出下面各组中的两个角是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？
(1)∠A和∠D；
解：∠A和∠D是由直线AE，CD被直线AD所截形成的，它们是同旁内角．
(2)∠A和∠CBA；
(3)∠C和∠CBE.
解：∠A和∠CBA是由直线AD，BC被直线AE所截形成的，它们是同旁内角．
∠C和∠CBE是由直线CD，AE被直线BC所截形成的，它们是内错角．
4．在同一平面内，直线a与b分别满足下列条件，写出其对应的位置关系．
(1)a与b没有公共点，则a与b ；
(2)a与b有且只有一个公共点，则a与b ．
平行
相交
5．如图，直径为4
cm的圆O1向右平移5
cm得到圆O2，则图中阴影部分的面积为( )
A．20
cm2
B．10
cm2
C．25
cm2
D．16
cm2
【点拨】阴影部分面积＝5×4＝20(cm2)．
【答案】A
6．如图，三角形ABC中，CD是AB边上的高，M是AB边的中点，点C到边AB所在直线的距离是( )
A．线段CA的长度
B．线段CM的长度
C．线段CD的长度
D．线段CB的长度
C
7．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.
(1)若∠1＝20°，∠2＝20°，则∠DON＝ ；
90°
(2)若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；
解：ON⊥CD.理由：∵OM⊥AB，
∴∠1＋∠AOC＝90°.
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＋∠AOC＝90°，
∴∠CON＝90°，即ON⊥CD.
8．如图，已知CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1＝∠2，猜想FG和BC的位置关系，并说明理由．
解：FG∥BC.理由如下：
∵CF⊥AB，ED⊥AB，∴CF∥ED.∴∠1＝∠BCF.
又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BCF.∴FG∥BC.
9．如图，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案．
方案一：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为E，F，沿CE，DF铺设管道；
方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道．
这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？(忽略河流的宽度)
解：按方案一铺设管道更节省材料．理由如下：
因为CE⊥AB，DF⊥AB，CD不垂直于AB，
所以根据“垂线段最短”可知，CE＜PC，DF＜PD.
所以CE＋DF＜PC＋PD.
所以按方案一铺设管道更节省材料．
10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，那么∠A与∠C，∠B与∠D的大小关系如何？请说明理由．
解：∠A＝∠C，∠B＝∠D.理由如下：
∵AB∥CD，BC∥AD，
∴∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∴∠A＝∠C(同角的补角相等)．
同理得∠B＝∠D.
11．【中考·武汉】如图，点A，B，C，D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF.
试说明：∠E＝∠F.
解：∵∠A＝∠1，
∴AE∥BF.∴∠E＝∠2.
∵CE∥DF，∴∠2＝∠F.
∴∠E＝∠F.
12．如图，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°，试说明AB∥EF.
【点拨】本题通过作辅助线构造“三线八角”的基本图形，从而对一些角进行拆分，由内错角相等判定平行．
解：如图，在∠BCD的内部作射线CM，使∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作射线DN，使∠EDN＝10°.
因为∠B＝25°，∠E＝10°，
所以∠BCM＝∠B＝25°，∠EDN＝∠E＝10°.
所以AB∥CM，EF∥ND.
又因为∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，
所以∠DCM＝20°，∠CDN＝20°.
所以∠DCM＝∠CDN，所以CM∥ND，
所以AB∥EF.
13．如图，已知AB∥CD，试说明∠B＋∠D＋∠BED＝360°.
解：方法一 如图①，过点E作EF∥AB.
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD.∴∠2＋∠D＝180°.
∵EF∥AB，
∴∠1＋∠B＝180°.
∴∠1＋∠B＋∠2＋∠D＝360°.
∴∠B＋∠D＋∠BED＝360°.
方法二 如图②，过点E作EF∥AB.
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD.∴∠2＝∠D.
∵EF∥AB，∴∠1＝∠B.
∵∠1＋∠2＋∠BED＝360°，
∴∠B＋∠D＋∠BED＝360°.
14．如图，AB∥CD，∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3，判断BA是否平分∠EBF，并说明理由．
【点拨】当问题中角的数量关系出现倍数、比例时，可根据其数量关系建立方程，通过方程解决问题．
解：BA平分∠EBF.理由如下：
因为∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3，
所以可设∠1＝k，则∠2＝2k，∠3＝3k.
因为AB∥CD，所以∠2＋∠3＝180°，
即2k＋3k＝180°，解得k＝36°.
所以∠1＝36°，∠2＝72°.
所以∠ABE＝180°－∠2－∠1＝72°.
所以∠2＝∠ABE，即BA平分∠EBF.
15．如图，在五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝107°，∠B＝121°，求∠C的度数．
【点拨】本题通过作辅助线构造基本图形，把问题转化为平行线的性质和判定的问题，从而建立起角之间的关系．
解：如图，过点B作BF∥AE交ED于点F.
∵BF∥AE，∠A＝107°，
∴∠ABF＝180°－107°＝73°.
又∵∠ABC＝121°，∴∠FBC＝121°－73°＝48°.
∵AE∥CD，BF∥AE，∴BF∥CD.
∴∠C＝180°－∠FBC＝132°.(共25张PPT)
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7．4 平行线的判定
第七章
相交线与平行线
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见习题
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见习题
1．如图，请在括号内填上正确的理由：
因为∠DAC＝∠C(已知)，
所以AD∥BC(__________
___________)．
内错角相等，
两直线平线
2．【中考·福州】下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是( )
B
3．如图，下列四个条件中，能判断DE∥AC的是( )
A．∠2＝∠4
B．∠3＝∠4
C．∠AFE＝∠ACB
D．∠BED＝∠C
B
4.如图，若∠1与∠2互补，∠2与∠4互补，则( )
A．l4∥l5
B．l1∥l2
C．l1∥l3
D．l2∥l3
【点拨】∵∠1与∠2互补，∴∠1＋∠2＝180°.又∵∠2与∠4互补，∴∠2＋∠4＝180°.∴∠1＝∠4.由内错角相等，两直线平行，可得l1∥l3.
【答案】C
5．【中考·咸宁】如图，请填写一个条件，使结论成立：∵________________________
__________________________，
∴a∥b.
∠1＝∠4或∠2＝∠4或
∠3＋∠4＝180°(填一个即可)
6．【中考·赤峰】如图，工人师傅在工程施工中需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC＝150°，∠BCD＝30°，则( )
A．AB∥BC
B．BC∥CD
C．AB∥DC
D．AB与CD相交
C
7．【中考·长春】如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转( )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
A
8.【中考·郴州】如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是( )
A．∠1＝∠3
B．∠2＋∠4＝180°
C．∠4＝∠5
D．∠1＝∠2
【点拨】若∠1＝∠3，则c∥d；
若∠2＋∠4＝180°，则c∥d；
若∠4＝∠5，则c∥d；若∠1＝∠2，则a∥b.
【答案】D
9．如图，下列推理正确的有( )
①因为∠1＝∠4，所以BC∥AD；
②因为∠2＝∠3，所以AB∥CD；
③因为∠BCD＋∠ADC＝180°，所以AD∥BC；
④因为∠1＋∠2＋∠C＝180°，所以BC∥AD.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【点拨】在分不清截线和被截线的情况下，容易误认为①②④也是正确的．
【答案】A
10．已知：如图，AB⊥BC，CD⊥BC，∠1＝∠2，BE与CF平行吗？请说明理由．
补全下面的说理过程，并在括号内填上适当的理由．
解：BE∥CF.理由如下：
∵AB⊥BC，CD⊥BC(____________)，
∴∠ABC＝∠BCD＝________°(垂直的定义)．
∵∠1＝∠2(______________)，
∴∠EBC＝∠FCB(______________________)．
∴BE∥CF(______________________________)．
已知
90
已知
等角的余角相等
内错角相等，两直线平行
11．将下面的说明过程补充完整．
已知：如图，直线NF与直线HB，CD分别交于点E，F，直线AM与直线HB交于点A，且∠1＝∠4＝105°，∠2＝75°.
试说明：AM∥NF，AB∥CD.
解：∵∠2＝∠3(____________)，
∠2＝75°(已知)，∴∠3＝75°.
∵∠1＝105°(已知)，
∴∠MAB＝180°－∠1＝75°.∴∠MAB＝∠3.
∴AM∥NF(______________________________)．
对顶角相等
内错角相等，两直线平行
∵∠3＝75°，∠4＝105°，
∴∠3＋∠4＝180°.
∴AB∥CD(______________________________)．
同旁内角互补，两直线平行
12．如图，∠1：∠2：∠3＝2：3：4，∠AFE＝60°，∠BDE＝120°，写出图中平行的直线，并说明理由．
解：DE∥AB，EF∥BC.
理由：设∠1＝2x°，则∠2＝3x°，∠3＝4x°.
∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，
∴2x°＋3x°＋4x°＝180°，解得x＝20.
∴∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝80°.
∵∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠2＝60°，
∴DE∥AB.
∵∠BDE＝120°，
∴∠BDE＋∠2＝120°＋60°＝180°，
∴EF∥BC.
13．如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠1＋∠2＝90°，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
【点拨】利用整体思想判断∠ABD＋∠BDC与∠1＋∠2的关系，进而判断AB与CD的位置关系．
解：AB∥CD.理由如下：
因为BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∠1＋∠2＝90°，
所以∠ABD＋∠BDC＝2∠1＋2∠2＝180°.
所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．(共14张PPT)
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7．1 命 题
第七章
相交线与平行线
第2课时 基本事实和定理
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见习题
见习题
1．下列叙述错误的是( )
A．所有命题都有条件和结论
B．所有基本事实都是命题
C．所有基本事实都是真命题
D．所有真命题都是基本事实
D
2．“经过两点有且只有一条直线”属于( )
A．命题
B．真命题
C．基本事实
D．以上都对
D
3．下列说法正确的是( )
A．命题是定理，定理是命题
B．命题不一定是定理，定理不一定是命题
C．真命题可以是定理，假命题不可能为定理
D．定理可能是真命题，也可能是假命题
C
4．下列语句中属于定理的是( )
A．在直线AB上任取一点E
B．一个角的补角必大于这个角
C．含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫做二元一次方程组
D．同角的余角相等
D
5．关于说理，下列说法不正确的是( )
A．说理是说明命题是真命题或假命题的过程
B．要说明一个命题是真命题常常通过推理的方式
C．要说明一个命题是假命题常采用举反例的方式
D．真命题与假命题都可以通过举反例来说明
D
6．如图，若∠AOC＝90°，∠BOD＝90°，则∠AOB＝∠COD，推理的理由是( )
A．同角的补角相等
B．同角的余角相等
C．∠AOC＝90°
D．∠BOD＝90°
B
7．可以作为说理的依据的是( )
A．已知条件
B．基本事实
C．定理
D．以上三种都对
D
8．如图，C，D是线段AB上的两点，且AC＝BD，将下面AD＝BC的说理过程在括号里填上依据．
解：因为AC＝BD( )，
所以AC－CD＝BD－CD( )，
所以AD＝BC(
)．
已知
等式的性质
线段差的定义
9．阅读下面命题及说理过程，在括号内填上推理的依据．
命题：如图所示，直线AB，CD相交于点O，
那么∠1＝∠2.
理由：因为∠1＋∠AOD＝180°( )，
∠2＋∠AOD＝180°( )，
所以∠1＝∠2(
)．
平角定义
平角定义
同角的补角相等
10．如图，P是线段AB的中点，M为PB上任意一点，探究2PM与AM－BM之间的大小关系，并说明理由．
解：2PM＝AM－BM.理由：因为P是线段AB的中点，
所以AP＝BP.所以AM－BM＝AP＋PM－(BP－PM)＝AP＋PM－(AP－PM)＝2PM.(共16张PPT)
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阶段核心归类
识别相交线中的几种角
第七章
相交线
与平行线
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1．下列选项中，∠1与∠2互为对顶角的是( )
D
2．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE，OF是过点O的射线，其中构成对顶角的是( )
A．∠AOF和∠DOE
B．∠EOF和∠BOE
C．∠BOC和∠AOD
D．∠COF和∠BOD
C
3．下列图形中：
?其中∠α与
∠β互为邻补
角的是_____
(填序号)．
②
4．下列选项中，∠1与∠2互为邻补角的是( )
D
5．下列说法中错误的是( )
A．互为邻补角的两个角一定是互补的角
B．互补的两个角不一定是邻补角
C．相邻的两个角一定是邻补角
D．两条直线相交形成的四个角中，一个角有两个邻补角
【点拨】同时满足“相邻”和“互补”这两个条件的两个角才是邻补角，故选项C是错误的．
【答案】C
6．如图，∠1的邻补角是( )
A．∠BOF和∠AOE
B．∠AOC和∠BOD
C．∠BOD和∠AOE
D．∠BOF和∠BOD
【点拨】根据邻补角的定义，与∠1有公共顶点且有一条公共边、另一边互为反向延长线的角为∠BOD与∠AOC，故选项B正确．
【答案】B
7．如图，请结合图形找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角．
解：当直线AB，BE被AC所截时，所得到的内错角有∠BAC与∠ACE，∠BCA与∠FAC；同旁内角有∠BAC与∠BCA，∠FAC与∠ACE.
当直线AD，BE被AC所截时，内错角有∠ACB与∠CAD；同旁内角有∠DAC与∠ACE.
当直线AD，BE被BF所截时，同位角有∠FAD与∠B；同旁内角有∠DAB与∠B.
当直线AC，BE被AB所截时，同位角有∠B与∠FAC；同旁内角有∠B与∠BAC.
当直线AB，AC被BE所截时，同位角有∠B与∠ACE；同旁内角有∠B与∠ACB.
8．直线a，b被直线c所截，∠1和∠2是内错角，∠1和∠3是同旁内角．
(1)根据上述条件，画出符合题意的图形；
解：如图(画出的图形不唯一)．
(2)若∠1：∠2：∠3＝1：2：3，求∠1，∠2，∠3的度数．
解：由∠1：∠2：∠3＝1：2：3，设∠1＝x°，
则∠2＝2x°，∠3＝3x°.
由∠2与∠3是邻补角，
得∠2＋∠3＝2x°＋3x°＝180°，
解得x°＝36°，则有2x°＝72°，3x°＝108°.
即∠1＝36°，∠2＝72°，∠3＝108°.(共16张PPT)
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阶段核心方法
判定两直线平行的六种方法
第七章
相交线
与平行线
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见习题
见习题
1．下面的说法中，正确的是( )
A．同一平面内不相交的两条线段平行
B．同一平面内不相交的两条射线平行
C．同一平面内不相交的两条直线平行
D．以上三种说法都不正确
【点拨】根据定义判定两直线平行，一定要注意前提条件：“同一平面内”，同时要注意在同一平面内，不相交的两条线段或两条射线不能判定其平行．
【答案】C
2．用一副三角尺拼图，并标点描线如图所示，然后过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F.试说明CF∥AB.
3．如图，已知∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，试说明BE∥CF.
解：因为∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，
所以∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2，
即∠EBC＝∠FCB.
所以BE∥CF(内错角相等，
两直线平行)．
4．如图，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则AB与CD平行吗？请说明理由．
【点拨】本题利用现有条件无法直接判断AB与CD是否平行，我们可考虑作一条辅助线，架起AB与CD之间的桥梁．
解：AB∥CD，理由如下：延长BE，交CD于点F，
则直线CD，AB被直线BF所截．
因为∠BEC＝95°，所以∠CEF＝180°－95°＝85°.
又因为∠DCE＝35°，所以∠BFC＝180°－∠DCE－∠CEF＝180°－35°－85°＝60°.
因为∠ABE＝120°，
所以∠ABE＋∠BFC＝120°＋60°＝180°.
所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
5．如图，已知∠B＝∠CDF，∠E＋∠ECD＝180°.试说明AB∥EF.
解：因为∠B＝∠CDF，所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
又因为∠E＋∠ECD＝180°，
所以CD∥EF(同旁内角互补，两直线平行)．
所以AB∥EF(平行于同一条直线的两直线平行)．
6．如图，AB⊥EF于B，CD⊥EF于D，∠1＝∠2.
(1)试说明：AB∥CD；
解：∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴AB∥CD(在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行)．
(2)BM与DN是否平行？为什么？
【点拨】∠1和∠2不是同位角，不能误认为∠1和∠2是同位角，直接得出BM∥DN.要得到BM∥DN，可说明∠MBE＝∠NDE.
解：BM∥DN.理由如下：
∵AB⊥EF，CD⊥EF，∴∠ABE＝∠CDE＝90°.
又∵∠1＝∠2，∴∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2.
即∠MBE＝∠NDE.
∴BM∥DN(同位角相等，两直线平行)．(共37张PPT)
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7．5 平行线的性质
第七章
相交线与平行线
第2课时 平行线的判定和性质的应用
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见习题
1．【中考·天门】如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是( )
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
D
2.【中考·荆州】将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是( )
A．45°
B．55°
C．65°
D．75°
【点拨】如图．
由题可知ED∥FA，∠EBC＝∠CBA.
∴∠EBC＝∠ACB，∠CAB＝∠ABD＝30°.
∴∠CBA＝∠ACB.
∵∠EBC＋∠CBA＋∠ABD＝180°，
∴∠ACB＋∠ACB＋30°＝180°.∴∠ACB＝75°.
【答案】D
3．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系是 ．
平行
4．如图，已知AB⊥GH，CD⊥GH，直线CD，EF，GH相交于点O，若∠1＝42°，则∠2等于( )
A．130°
B．138°
C．140°
D．142°
B
5．【中考·恩施州】如图，若∠A＋∠ABC＝180°，则下列结论正确的是( )
A．∠1＝∠2
B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠3
D．∠2＝∠4
D
6．如图，在三角形ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，则图中与∠FDB相等的角(不包含∠FDB)的个数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
B
7．【中考·南通】如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是( )
A．36°
B．34°
C．32°
D．30°
【点拨】如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD.
∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠A＝54°.
∴∠CEF＝∠AEF－∠AEC＝54°－18°＝36°.
又∵EF∥CD，∴∠C＝∠CEF＝36°.
【答案】A
8.【中考·鄂州】如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝35°，则∠1的度数为( )
A．45°
B．55°
C．65°
D．75°
【点拨】如图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD.∴∠2＝∠AEF＝35°，
∠1＝∠FEC.
∵∠AEC＝90°，
∴∠1＝90°－35°＝55°.
【答案】B
9．在同一个平面内，不重合的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一条边( )
A．互相平行
B．互相垂直
C．共线
D．互相平行或共线
D
10．同一平面内的三条直线a，b，c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是( )
A．a⊥b
B．a∥b
C．a⊥b或a∥b
D．无法确定
B
11．如图，已知∠ABC，请你再画一个∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC边于点P.探究：∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
并说明理由．
【点拨】本题易错之处在于学生往往只考虑到其中两种情况，而漏掉另外两种情况．
解：画图，如图①②③④所示．
∠ABC与∠DEF相等或互补．
理由如下：如图①，
∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DPC.
∵BC∥EF，∴∠DEF＝∠DPC.
∴∠ABC＝∠DEF.
如图②，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠EPC.
∵BC∥EF，∴∠EPC＝∠DEF.
∴∠ABC＝∠DEF.
如图③，∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠BPE.∵BC∥EF，
∴∠DEF＋∠BPE＝180°.
∴∠ABC＋∠DEF＝180°.
如图④，∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠EPC.∵BC∥EF，
∴∠EPC＋∠DEF＝180°.
∴∠ABC＋∠DEF＝180°.
综上可知，∠ABC与∠DEF相等或互补．
12．【中考·武汉】如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F.EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN.试说明：AB∥CD.
解：∵EM∥FN，∴∠FEM＝∠EFN.
又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴∠FEB＝∠EFC.∴AB∥CD.
13．如图，
AB∥CD，BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，则∠BMD与∠N之间的数量关系如何？请说明理由．
解：∠BMD＝2∠N.理由如下：
如图，过点M作ME∥AB，
则∠ABM＝∠BME.
∵AB∥CD，ME∥AB，
∴ME∥CD.
∴∠CDM＝∠DME.
∴∠ABM＋∠CDM＝∠BME＋∠DME＝∠BMD.
同理∠N＝∠ABN＋∠CDN.
∵BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，
∴∠ABM＝2∠ABN，∠CDM＝2∠CDN.
∴∠ABM＋∠CDM＝2∠ABN＋2∠CDN.
∴∠BMD＝2∠N.
14．阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．
如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数．
解：如图①，过点E作EF∥AB.则AB∥CD∥EF.
因为AB∥EF，所以∠1＝∠B＝35°.
因为CD∥EF，所以∠2＝∠D＝32°.
所以∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°.
如图②③是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决．
(1)如图②，已知∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A应为多大？
解：如图①，过点C作CF∥DE，则∠2＝∠D＝30°.因为∠ACD＝65°，即∠1＋∠2＝65°，所以∠1＝65°－∠2＝65°－30°＝35°.因为AB∥DE，CF∥DE，所以AB∥CF，
所以∠A＝∠1＝35°.
(2)如图③，要使GP∥HQ，则∠G，∠GFH，∠H之间有什么关系？
解：如图②，过点F作FI∥GP，则∠G＋∠1＝180°.因为GP∥HQ，FI∥GP，所以HQ∥FI.所以∠2＋∠H＝180°.所以∠G＋∠1＋∠2＋∠H＝360°，即∠G＋∠GFH＋∠H＝360°.
15．如图，A，B两岛位于东西方向的一条水平线上，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，求∠ACB的度数．
【点拨】涉及方位角的问题，一定要画出相应的方向线，同一方向的方向线是互相平行的，可以直接利用．
解：如图，过点A，C，B分别画出南北方向的方向线，由题意，
得∠EAC＝50°，∠FBC＝40°.
∵AE∥DC∥BF，
∴∠ACD＝∠EAC＝50°，∠BCD＝∠FBC＝40°.
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝50°＋40°＝90°.(共28张PPT)
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7．2 相交线
第七章
相交线与平行线
第1课时 相交角
4
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6
7
1
2
3
5
B
见习题
D
38
D
D
8
B
内错角
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10
11
9
B
A
D
12
见习题
13
见习题
14
见习题
15
见习题
16
见习题
B
1．下列∠1与∠2是对顶角的是( )
2．【中考·南充】如图，两直线交于点O，若∠1＋∠2＝76°，则∠1＝________度．
38
3．【中考?吉林】图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是____________________________．
对顶角相等
4．【中考·上海】如图，已知直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是( )
A．∠2
B．∠3
C．∠4
D．∠5
D
5．【中考?金华】如图，∠B的同位角可以是( )
A．∠1
B．∠2
C．∠3
D．∠4
D
6．下列图形中，∠1和∠2是同位角的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
7．如图，两只手的食指和大拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是__________．
内错角
8．【中考·广州】如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( )
A．∠4，∠2
B．∠2，∠6
C．∠5，∠4
D．∠2，∠4
B
9．在我们常见的英文字母中，也存在着同位角、内错角、同旁内角，在下面几个字母中，含有同旁内角最少的字母是( )
B
A
10．如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是( )
A．同位角
B．内错角
C．同旁内角
D．对顶角
11.如图，下列说法正确的是( )
A．∠1和∠4不是同位角
B．∠2和∠4是同位角
C．∠2和∠4是内错角
D．∠3和∠4是同旁内角
【点拨】A.∠1和∠4是同位角，原说法错误，故本选项错误；B.∠2和∠4不是同位角，原说法错误，故本选项错误；C.∠2和∠4不是内错角，原说法错误，故本选项错误；D.∠3和∠4是同旁内角，原说法正确，故本选项正确．
【答案】D
12．如图，AB与BC被AD所截得的内错角是________；AC与BC被直线AD所截得的同旁内角是________；图中∠4的内错角是________和
________．
【点拨】本题易错之处在于把被截的两条直线与截线之间产生的角的位置关系搞混．
【答案】∠1和∠3；∠2和∠3；∠5；∠2
13．如图，AB，CD，EF相交于点O，如果∠AOC＝65°，∠DOF＝50°.
(1)求∠BOE的度数；
解：因为∠AOC＝65°，
所以∠BOD＝∠AOC＝65°.
又因为∠BOE＋∠BOD＋∠DOF＝180°，
所以∠BOE＝180°－65°－50°＝65°.
(2)通过计算∠AOF的度数，你发现射线OA有什么特殊性吗？
解：因为∠AOF＝∠BOE＝65°，且∠AOC＝65°，
所以∠AOF＝∠AOC，
所以射线OA是∠COF的平分线．
14．如图，∠1和∠2，∠3和∠4分别是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们各是什么角？
解：题图①中，∠1和∠2是直线AB与CD被直线BD所截形成的内错角，∠3和∠4是直线AD与BC被直线BD所截形成的内错角．题图②中，∠1和∠2是直线AB与CD被直线BC所截形成的同位角，∠3和∠4是直线AB与BC被直线AC所截形成的同旁内角．
15．如图，直线DE，BC被直线AB，AC所截．
(1)∠2与∠B是什么角？若∠1＝∠B，则∠2与∠B有何数量关系？请说明理由．
解：同旁内角．∠2＋∠B＝180°.
理由：因为∠1＋∠2＝180°，∠1＝∠B，
所以∠2＋∠B＝180°.
(2)∠3与∠C是什么角？若∠4＋∠C＝180°，则∠3与∠C有何数量关系？请说明理由．
解：同位角．∠3＝∠C.
理由：因为∠4＋∠3＝180°，∠4＋∠C＝180°，
所以∠3＝∠C.
16．如图都是水平直线被一条倾斜的直线所截．
图形编号
①
②
③
…
同位角对数
?
?
?
…
内错角对数
?
?
?
…
同旁内角对数
?
?
?
…
(1)请观察并填写下表：
4
12
24
2
6
12
2
6
12
(2)若n(n≥2)条水平直线被一条倾斜的直线所截，请用含n的式子表示同位角、内错角、同旁内角的对数．
解：同位角对数：2n(n－1)，
内错角对数：n(n－1)，
同旁内角对数：n(n－1)．(共36张PPT)
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7．2 相交线
第七章
相交线与平行线
第2课时 垂 线
4
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1
2
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90；90；⊥
B
B
D
C
D
8
D
A
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10
11
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5
D
见习题
12
见习题
13
见习题
14
见习题
15
见习题
1．如图，若CD⊥EF，∠1＝∠2，则AB⊥EF，请说明理由(补全解题过程)．
解：因为CD⊥EF，所以∠1＝______°(垂直的定义)，
所以∠2＝∠1＝______°，
所以AB______EF(垂直的定义)．
90
90
⊥
2．已知在同一平面内：
①两条直线相交成直角；
②两条直线互相垂直；
③一条直线是另一条直线的垂线．
那么下列因果关系：①→②③；②→①③；③→①②，其中正确的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
D
3．【中考·孝感】如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O.若∠BOE＝40°，则∠AOC的度数为( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．140°
B
4．【中考·乐山】如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF.则∠GEB＝( )
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
B
5．下列选项中，过点P画AB的垂线，三角尺放法正确的是( )
C
6．过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在( )
A．这条线段上
B．这条线段的端点处
C．这条线段的延长线上
D．以上都有可能
D
7．如图，李庄在铁路旁，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在( )
A．A点
B．B点
C．C点
D．D点
A
8.如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝6
cm，BC＝4
cm，则BD的长度的取值范围是( )
A．大于4
cm
B．小于6
cm
C．大于4
cm或小于
6
cm
D．大于
4
cm且小于
6
cm
【点拨】根据“垂线段最短”可知BC＜BD＜AB，所以BD的长度大于4
cm且小于6
cm.
【答案】D
9．如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6
cm，PB＝5
cm，PC＝7
cm，则点P到直线l的距离是____cm.
5
10.【中考·淄博】如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有( )
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
【点拨】AB的长度可表示点B到AC的距离，CA的长度可表示点C到AB的距离，AD的长度可表示点A到BC的距离，CD的长度可表示点C到AD的距离，BD的长度可表示点B到AD的距离，所以共有5条．
【答案】D
11．点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4
cm，PB＝5
cm，PC＝2
cm，则点P到直线m的距离( )
A．等于4
cm
B．等于2
cm
C．小于2
cm
D．不大于2
cm
错解：B
诊断：点到直线的距离是指这个点到直线的垂线段的长度．虽然垂线段最短，但是本题中并没有说明PC是垂线段，所以垂线段的长度可能小于2
cm，也可能等于2
cm.
正解：D
12．已知OA⊥OB，OC⊥OD.
(1)如图①，若∠BOC＝50°，求∠AOD的度数；
解：因为OA⊥OB，所以∠AOB＝90°，
所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝90°－50°＝40°.
因为OC⊥OD，所以∠COD＝90°，
所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝40°＋90°＝130°.
(2)如图②，若∠BOC＝60°，求∠AOD的度数；
解：因为OA⊥OB，所以∠AOB＝90°.
因为OC⊥OD，所以∠COD＝90°，
所以∠AOD＝360°－∠AOB－∠BOC－∠COD＝360°－90°－60°－90°＝120°.
(3)根据(1)(2)的结果猜想∠AOD与∠BOC有怎样的关系？并根据图①说明理由；
解：∠AOD与∠BOC互补．
理由：因为OA⊥OB，所以∠AOB＝90°，
所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝90°－∠BOC.
因为OC⊥OD，所以∠COD＝90°，
所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝90°－∠BOC＋90°＝180°－∠BOC，所以∠AOD＋∠BOC＝180°，
即∠AOD与∠BOC互补．
(4)如图②，若∠BOC∶∠AOD＝7∶29，求∠BOC和∠AOD的度数．
解：由(3)知∠BOC＋∠AOD＝180°，
又因为∠BOC?∠AOD＝7?29，
所以∠BOC＝35°，∠AOD＝145°.
13．如图，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点．
(1)过点P画AB的垂线段PE；
解：如图．
(2)过点P画CD的垂线，与AB相交于F点；
解：如图．
(3)说明线段PE，PO，FO三者的大小关系，其依据是什么？
解：PE＜PO＜FO，其依据是垂线段最短．
14．如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄的距离之和最小；
解：如图，连接AD，BC，交于点H，则H点为蓄水池的位置，它到四个村庄距离之和最小．
(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？并说明依据．
【点拨】本题考查了垂线段的性质在实际生活中的运用，体现了建模思想．
解：如图，过点H作HG⊥EF，垂足为G，则沿HG开渠最短．依据：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
15．噪音对环境的影响与距离有关，与噪音来源距离越近噪音越大．如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由点A向点B行驶，M是位于AB一侧的某所学校．通过画图完成下列问题，并说明理由．
(1)汽车行驶到什么位置时，学校M受噪音影响最严重？
解：如图，根据“垂线段最短”，过点M作线段AB的垂线，垂足为P，所以汽车行驶到P点时，学校M受噪音影响最严重．
(2)在什么范围内，学校M受噪音影响越来越大？在什么范围内，学校M受噪音影响越来越小？
解：由(1)可知，汽车行驶在AP段时，学校M受噪音影响越来越大；汽车行驶在PB段时，学校M受噪音影响越来越小．(共29张PPT)
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7．3 平行线
第七章
相交线与平行线
4
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6
7
1
2
3
5
A
见习题
略
C
C
C
8
C
相交线
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10
11
9
见习题
D
C
12
B
13
D
14
见习题
15
见习题
16
见习题
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17
见习题
1．下列说法中正确的是( )
A．同一平面内，两条不重合直线的位置关系只有相交、平行两种
B．同一平面内，不相交的两条线段互相平行
C．不相交的一条射线和一条线段是平行线
D．同一平面内，不相交的两条射线互相平行
A
2．如图，将一张长方形纸对折三次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．平行或垂直
D．无法确定
C
3．如图，在长方体的各条棱中，
与AB平行的有________________，
与AB相交的有__________________，
与AB既不平行又不相交的有____________________．
CD，A1B1，C1D1
A1A，B1B，AD，BC
A1D1，B1C1，D1D，C1C
4．在如图所示的各图形中，过点M画PQ∥AB.
解：略．
5．如图，a∥b，下列可以表示a，b间的距离的是( )
A．线段AB的长度
B．线段AE的长度
C．线段EF的长度
D．线段BC的长度
C
6．如图所示，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积( )
A．变大
B．变小
C．不变
D．无法确定
C
7．如图，当风车的一片叶子AB旋转到与地面MN平行时，叶子CD所在的直线与地面MN________，理由是_____________________________________________．
相交
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8.已知直线AB和一点P，过点P画直线AB的平行线，可画( )
A．1条
B．0条
C．1条或0条
D．无数条
【点拨】不要忽略点P在直线AB上的情况．
C
9．如图，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为________，理由是________________________．
AB∥CD
同位角相等，两直线平行
10．如图，∠1＝120°，要使a∥b，则∠2的大小是( )
A．60°
B．80°
C．100°
D．120°
D
11．如图，已知∠1＝∠2，则下列结论正确的是( )
A．AD∥BC
B．AB∥CD
C．AD∥EF
D．EF∥BC
【点拨】∠1和∠2是直线AD，EF被直线CD所截而形成的同位角，因此由∠1＝∠2可得出AD∥EF.
【答案】C
12.如图，CD平分∠ACE，且∠B＝∠ACD，可以得出的结论是( )
A．AD∥BC
B．AB∥CD
C．CA平分∠BCD
D．AC平分∠BAD
【点拨】∵CD平分∠ACE，∴∠DCE＝∠ACD.
又∵∠B＝∠ACD，∴∠B＝∠DCE.∴AB∥CD.
【答案】B
13．下列说法正确的是( )
A．两条不相交的直线叫做平行线
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．在同一平面内，不相交的两条线段互相平行
D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
【点拨】对平行线定义的理解要抓住三个关键要素：“同一平面内”“不相交”“直线”．本题易错之处在于理解平行线定义时，容易只关注其中一个或两个要素而导致判断错误．
【答案】D
14．如图，在方格纸中，有两条线段AB，BC，利用方格完成如下操作：
(1)过点A画BC的平行线；
(2)过点C画AB的平行线，与(1)中所画的线交于点D；
(3)过点B作AB的垂线，与(1)中所画的线交于点E.
解：如图．
15．如图，已知∠1＝68°，∠2＝68°，∠3＝112°.
(1)因为∠1＝68°，∠2＝68°(已知)，
所以∠1＝∠2.
所以______∥______
(同位角相等，两直线平行)．
a
b
(2)因为∠3＋∠4＝180°(平角的定义)，∠3＝112°，
所以∠4＝68°.
又因为∠2＝68°，
所以∠2＝∠4，
所以______∥______(同位角相等，两直线平行)．
b
c
16．在同一平面内，已知A，B，C是直线l同侧的三个点．
(1)若AB∥l，BC∥l，则A，B，C三点在同一条直线上吗？为什么？
解：在同一条直线上．理由：因为直线AB，BC都经过点B，且都与直线l平行，而经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行，所以AB，BC为同一条直线，所以A，B，C三点在同一条直线上．
(2)若AB⊥l，BC⊥l，则A，B，C三点在同一条直线上吗？为什么？
解：在同一条直线上．理由：因为直线AB，BC都经过点B，且都与直线l垂直，而在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以AB，BC为同一条直线，所以A，B，C三点在同一条直线上．
17．(1)如图，b⊥a，c⊥a，请判断b与c的位置关系，并说明理由；
解：b∥c.理由如下：
∵b⊥a，c⊥a，
∴∠1＝∠2＝90°，
∴b∥c.
(2)用一句话总结(1)中所包含的规律．
解：规律：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行．
