(共33张PPT)
JJ版七年级下
9．1 三角形的边
第九章
三角形
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见习题
B
C
B
C
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B
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D
B
见习题
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见习题
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见习题
1．如图，以CD为公共边的三角形是 ；∠EFB是 的内角；在△BCE中，BE所对的角是 ，∠CBE所对的边是 ；以∠A为公共角的三角形有________________________．
△CDF与△BCD
△BEF
∠BCE
CE
△ABD，△ACE和△ABC
2．三角形是( )
A．连接任意三点组成的图形
B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形
C．由三条线段组成的图形
D．以上说法均不正确
B
3．【中考?台州】下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A．3，4，8
B．5，6，10
C．5，5，11
D．5，6，11
B
4．【中考?徐州】若一个三角形的两边长分别为3
cm，
6
cm，则它的第三边的长可能是( )
A．2
cm
B．3
cm
C．6
cm
D．9
cm
C
5．【中考?自贡】已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
【点拨】设第三边长为x，
根据三角形的三边关系，得4－1＜x＜4＋1，
即3＜x＜5.
因为x为整数，所以x的值为4.
所以三角形的周长为1＋4＋4＝9.
【答案】C
6.【中考·扬州】已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n＋2，n＋8，3n，则满足条件的n的值有( )
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
【答案】D
7.如图所示是一个立体图形的表面展开图，其中AB＝BM，CD＝CM，AD＝10，CD＝2，则下列可作为AB长的是( )
A．5
B．4
C．3
D．2
【点拨】易知AC＝AD－CD＝8，由题图及三角形的三边关系可知AB－CD3，故选B.
【答案】B
8．如图，已知AB＝AC，AD＝BD＝DE＝CE＝AE，则图中共有 个等腰三角形， 个等边三角形．
4
1
9．下列说法正确的是( )
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两条边相等．
A．①②③
B．②③
C．①③
D．③
D
10．若m，n满足等式|m－2|＋(n－4)2＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长是( )
A．12
B．10
C．8
D．6
【点拨】∵
|m－2|＋(n－4)2＝0，∴m－2＝0，n－4＝0，解得m＝2，n＝4.当2为腰长时，三边长为2，2，4，不符合三角形的三边关系；当4为腰长时，三边长为2，4，4，符合三角形的三边关系，此时周长为2＋4＋4＝10.故选B.本题易忽视组成三角形的条件而错选C.
【答案】B
11．已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x.
(1)直接写出c及x的取值范围；
解：c的取值范围为2x的取值范围为12(2)若x是小于18的偶数：
①求c的长；
解：因为x是小于18的偶数，所以x＝16或x＝14.
当x＝16时，c＝6；当x为14时，c＝4.
②判断△ABC的形状．
解：当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形；当c＝4时，a＝c，△ABC为等腰三角形．综上，△ABC是等腰三角形．
12．某木材市场上木棒规格与价格如下表：
小明的爷爷要做一个三角形的支架养鱼用，现有两根长度为3
m和5
m的木棒，还需要到该木材市场上购买一根．
规格
1
m
2
m
3
m
4
m
5
m
6
m
价格(元/根)
10
15
20
25
30
35
(1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？
解：设第三根木棒长x
m，由三角形的三边关系可得5－3＜x＜5＋3，即2＜x＜8.
故有规格为3
m，4
m，5
m，6
m的四种木棒可供小明的爷爷选择．
(2)在能做成三角形支架的情况下，选择哪一种规格的木棒最省钱？
解：选择规格为3
m的木棒最省钱．
13．如图，P是△ABC内部的一点．
(1)度量AB，AC，PB，PC的长，根据度量结果比较AB＋AC与PB＋PC的大小；
解：度量结果略．
AB＋AC>PB＋PC.
(2)改变点P的位置，上述结论还成立吗？
解：成立．
(3)你能说明上述结论为什么成立吗？
解：延长BP交AC于点D.
在△ABD中，AB＋AD>BP＋PD，①
在△PDC中，PD＋DC>PC.②
①＋②，得AB＋AD＋PD＋DC>BP＋PD＋PC，
即AB＋AC>PB＋PC.
14．小明和小红在一本数学资料书上看到这样一道竞赛题：“已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且|b＋c－2a|＋(b＋c－5)2＝0，求b的取值范围．”
(1)小明说：“b的取值范围，我看不出如何求，但我能求出a的值．”你知道小明是如何计算的吗？帮他写出求解的过程；
(2)小红说：“我也看不出如何求b的取值范围，但我能用含b的式子表示c.”请你帮小红写出过程；
解：∵|b＋c－2a|＋(b＋c－5)2＝0，
∴b＋c－2a＝0且b＋c－5＝0，
由b＋c－5＝0，得c＝5－b.
(3)小明和小红一起去问数学老师，老师说：“根据你们二人的求解，利用书上三角形的三边满足的关系，即可求出答案．”你知道答案吗？请写出过程．
【点拨】在利用三角形的三边关系解题时，一定要分情况讨论，避免遗漏情况造成错解．(共37张PPT)
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9．2 三角形的内角和外角
第九章
三角形
第1课时 三角形的内角和
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B
B
C
D
C
B
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A
C
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见习题
见习题
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见习题
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见习题
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见习题
1．【中考?百色】三角形的内角和等于( )
A．90°
B．180°
C．270°
D．360°
B
2.【中考?杭州】在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则( )
A．必有一个内角等于30°
B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60°
D．必有一个内角等于90°
【点拨】设∠A＝∠C－∠B，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以2∠C＝180°，
所以∠C＝90°，所以△ABC中必有一个内角等于90°.
【答案】D
3．【中考·绍兴】如图，墙上钉着三根木条a，b，c，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是( )
A．5°
B．10°
C．30°
D．70°
B
4．【中考·长春】如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC，若∠A＝62°，∠AED＝54°，则∠B的大小为( )
A．54°
B．62°
C．64°
D．74°
C
5．【中考·攀枝花】如图，平行线AB，CD被直线EF所截，过点B作BG⊥EF于点G，已知∠1＝50°，则∠B＝( )
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
C
6．【中考·吉林】将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为( )
A．85°
B．75°
C．65°
D．60°
【点拨】如图所示，
因为∠BCD＝60°，∠BCA＝45°，
所以∠ACD＝∠BCD－∠BCA＝60°－45°＝15°.
所以∠α＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75°.
【答案】B
7．【中考·长春】如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为( )
A．44°
B．40°
C．39°
D．38°
【答案】C
8.当三角形的一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中角α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”的度数为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为( )
A．30°
B．45°
C．50°
D．60°
【答案】A
9.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是( )
A．∠A＝∠1＋∠2
B．2∠A＝∠1＋∠2
C．3∠A＝2∠1＋∠2
D．3∠A＝2(∠1＋∠2)
【点拨】∵∠A＋∠AED＋∠ADE＝180°，
∴2∠A＋2∠AED＋2∠ADE＝360°.
∵∠1＋2∠AED＝180°，∠2＋2∠ADE＝180°，
∴∠1＋∠2＋2∠AED＋2∠ADE＝360°，
∴2∠A＝∠1＋∠2.故选B.
【答案】B
10．如图，说明∠A＋∠B＋∠C与∠ADC之间的关系．
【点拨】本题易错误地认为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°＞∠ADC.
解：连接BD.∵∠A＋∠ABD＋∠ADB＝180°，
∠C＋∠DBC＋∠CDB＝180°，
∴∠A＋∠ABD＋∠ADB＋∠C＋∠DBC＋∠CDB＝360°.
又∵∠ADB＋∠CDB＋∠ADC＝360°，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋360°－∠ADC＝360°，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝∠ADC.
11．如图，在△ABC中，BD交AC于点D，DE交AB于点E，∠EBD＝∠EDB，∠ABC：∠A：∠C＝2：3：7，∠BDC＝60°.
(1)试计算∠BED的度数；
解：∵∠ABC：∠A：∠C＝2：3：7，
∠A＋∠C＋∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝30°，∠A＝45°，∠C＝105°.
∵∠BDC＝60°，∴∠DBC＝15°，
∴∠EDB＝∠EBD＝∠ABC－∠DBC＝30°－15°＝15°，∴∠BED＝180°－15°－15°＝150°.
(2)ED∥BC吗？试说明理由．
解：ED∥BC.理由如下：
∵∠ABC＝30°，∠BED＝150°，
∴∠ABC＋∠BED＝180°，
∴ED∥BC.
12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝50°，∠C＝70°.
(1)求∠ADB的度数；
解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝60°.
又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝180°－∠BAD－∠B＝100°.
(2)若DE⊥AC于点E，求∠EDC的度数．
解：∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝180°－∠DEC－∠C＝20°.
13．如图①，线段AB与CD相交于点O，连接AD，CB.如图②，在图①的条件下，∠DAB的平分线AP和∠BCD的平分线CP相交于点P，并且AP交CD于点M，CP交AB于点N，试解答
下列问题：
(1)在图①中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系；
解：∠A＋∠D＝∠B＋∠C.
【点拨】观察图形，根据对顶角相等即可得出结论．
(2)在图②中，若∠D＝42°，∠B＝38°，试求∠P的度数；
(3)在图②中，若∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试探究∠P，∠B，∠D之间是否存在确定的数量关系，并说明理由．
【点拨】借助(2)的求解过程得解．
14．如图，请猜想∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数，并说明你的理由．
【点拨】此题不能直接求出每个角的度数，但是可将这些角放置在不同的三角形中，根据三角形内角和定理和邻补角的定义，得出∠BMP＝∠A＋∠B，∠ENM＝∠E＋∠F，∠MPC＝∠C＋∠D，然后运用这些结论并结合三角形内角和定理可求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．本题体现了数学中的转化思想和整体思想．
解：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.?
理由如下：
因为∠A＋∠B＋∠AMB＝180°，
∠AMB＋∠BMP＝180°，
所以∠BMP＝∠A＋∠B.
同理得∠ENM＝∠E＋∠F，∠MPC＝∠C＋∠D.
又因为∠BMP＋∠ENM＋∠MPC＝
(180°－∠NMP)＋(180°－∠MNP)＋
(180°－∠MPN)＝
540°－(∠NMP＋∠MNP＋∠MPN)＝360°，
所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.(共27张PPT)
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阶段核心题型
三角形角的关系的常见题型
第九章
三角形
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1．如图，在△ABC中，∠A＝46°，CE是∠ACB的平分线，点B，C，D在同一条直线上，FD∥EC，∠D＝42°，求∠B的度数．
解：∵FD∥EC，∠D＝42°，
∴∠BCE＝∠D＝42°.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠BCE＝84°.
∴∠ACD＝96°.
又∵∠A＝46°，∴∠B＝96°－46°＝50°.
2．如图，在△ABC中，O是外角∠DBC的平分线与外角∠ECB的平分线的交点，判断∠BOC与∠A的数量关系并说明理由．
3．(1)如图①，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝ ，∠XBC＋∠XCB＝
；
150°
90°
(2)如图②，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX的大小．
[易错点提示：(2)问忽略了(1)问中
∠ABC＋∠ACB的运用，要注意排
除实物图中多余图形的干扰．]
解：不变化．
∵∠A＝30°，∴∠ABC＋∠ACB＝150°.
∵∠X＝90°，∴∠XBC＋∠XCB＝90°，
∴∠ABX＋∠ACX＝(∠ABC－∠XBC)＋(∠ACB－∠XCB)＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠XBC＋∠XCB)＝150°－90°＝60°.
4．如图，在△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．
(1)若∠A＝60°，求∠BPC的度数；
5．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.
(1)试说明∠EAC＝∠B.
解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
又∵∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAC＝∠EAD－∠CAD＝
∠EDA－∠BAD＝∠B.
(2)若∠B＝50°，∠CAD：∠E＝1：3，求∠E的度数．
解：设∠CAD＝x，则∠BAD＝x，∠E＝3x，
由(1)知∠EAC＝∠B＝50°，
∴∠EAD＝∠EDA＝x＋50°.
在△EAD中，∵∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°，
∴3x＋2(x＋50°)＝180°，解得x＝16°，
∴3x＝48°，即∠E＝48°.
6．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是外角∠ACH与内角∠ABC的平分线的交点，∠BOC＝120°.
(1)求∠A的度数；
解：∵∠BOC＝120°，
∴∠OBC＋∠OCB＝60°.
∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，
∴∠ABC＋∠ACB＝2∠OBC＋2∠OCB＝120°，
∴∠A＝60°.
(2)求∠D的度数．
7．探索归纳：
(1)如图①，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1＋∠2等于( )
A．90°
B．135°
C．270°
D．315°
C
(2)如图②，已知在△ABC中，剪去∠A后得到四边形BCEF，试探究∠1＋∠2与∠A的关系，并说明理由；
解：∠1＋∠2＝∠A＋180°.
理由：∵∠1，∠2为△AEF的外角，
∴∠1＝∠A＋∠AEF，∠2＝∠A＋∠AFE.
∴∠1＋∠2＝∠A＋∠A＋∠AEF＋∠AFE.
又∵∠A＋∠AEF＋∠AFE＝180°，
∴∠1＋∠2＝∠A＋180°.
(3)若没有将∠A剪掉，而是把它折成图③的形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系，并说明理由．
解：∠1＋∠2＝2∠A.
理由：∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF.
∴∠1＝180°－2∠AFE，∠2＝180°－2∠AEF.
∴∠1＋∠2＝360°－2(∠AFE＋∠AEF)．
又∵∠AFE＋∠AEF＝180°－∠A，
∴∠1＋∠2＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A.
8．如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数．
【点拨】连接CG，利用转化思想，将求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数转化为求五边形CDEFG的内角和．
解：连接CG.
在△COG和△AOB中，∠COG＝∠AOB，
∴∠6＋∠7＝∠OCG＋∠OGC.
在五边形CDEFG中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠OCG＋∠OGC＝540°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝540°.(共33张PPT)
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9．2 三角形的内角和外角
第九章
三角形
第2课时 三角形的外角
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A
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见习题
14
见习题
15
见习题
1．下列各图中，∠1是△ABC的外角的是( )
D
2．关于三角形的外角，下列说法中错误的是( )
A．一个三角形只有三个外角
B．三角形的每个顶点处都有两个外角
C．三角形的每个外角是与它相邻内角的邻补角
D．一个三角形共有六个外角
A
3．【中考·湘潭】如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A＝( )
A．40°
B．50°
C．55°
D．60°
D
4．如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是( )
A．∠A＞∠1＞∠2
B．∠2＞∠1＞∠A
C．∠A＞∠2＞∠1
D．∠2＞∠A＞∠1
【点拨】三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
【答案】B
5.【中考·大庆】如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是( )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
【答案】B
6．【中考?广西】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为( )
A．60°
B．65°
C．75°
D．85°
C
7．【中考·东营】将一副三角板(∠A＝30°，∠E＝45°)按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于( )
A．75°
B．90°
C．105°
D．115°
【点拨】依据AB∥EF，可得∠FCA＝∠A＝30°.已知∠F＝∠E＝45°，利用三角形外角的性质，即可得到∠AOF＝∠FCA＋∠F＝30°＋45°＝75°.
【答案】A
8．如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形一定是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．任意三角形
C
【点拨】A中，∵∠A＋∠B＝∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；B中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；C中，∵∠A＝90°－∠B，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；
【答案】D
D中，设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，则x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，故∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．故选D.
10．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是( )
C
11．如图，在△ABC中，在BC的延长线上取点D，E，连接AD，AE，则下列式子中正确的是( )
A．∠ACB＞∠ACD
B．∠ACB＞∠1＋∠2＋∠3
C．∠ACB＞∠2＋∠3
D．以上都正确
【点拨】解答这类题时，一定要有正确的理论依据，不能单凭直觉判断．此题学生容易忽略外角的性质中“不相邻”这一条件，而错选A.
【答案】C
12．【中考·河北】下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．
已知：如图，∠BEC＝∠B＋∠C.?
试说明：AB∥CD.
解：如图，延长BE交 ※ 于点F，
则∠BEC＝ ◎ ＋∠C(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和).
又∠BEC＝∠B＋∠C，得∠B＝ ▲ Ｗ．
故AB∥CD( @ 相等，两直线平行).
下列选项中正确的是( )
A．◎代表∠FEC
B．@代表同位角
C．▲代表∠EFC
D．※代表AB
【点拨】延长BE交CD于点F，
则∠BEC＝∠EFC＋∠C(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和)．
又∠BEC＝∠B＋∠C，得∠B＝∠EFC.
故AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．故选C.
【答案】C
13．【中考·宜昌】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
(1)求∠CBE的度数；
(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F.求∠F的度数．
解：∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°－65°＝25°.
∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝25°.
14．如图，在△ABC中，O是∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线的交点，判断∠BOC与∠A的数量关系，并说明理由．
15．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，图①，②都是由三角板拼凑得到的．
(1)求图①中∠ABC的度数；
解：∵∠F＝30°，∠EAC＝45°，
∴∠ABF＝∠EAC－∠F＝45°－30°＝15°.
∵∠FBC＝90°，
∴∠ABC＝∠FBC－∠ABF＝
90°－15°＝75°.
(2)在图②中，已知AE∥BC，求∠AFD的度数．
解：∵∠C＝30°，AE∥BC，
∴∠CAE＝∠C＝30°.
∵∠E＝45°，
∴∠AFD＝∠CAE＋∠E＝30°＋45°＝75°.(共34张PPT)
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9．3 三角形的角平分线、中线和高
第九章
三角形
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D
A
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B
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重心
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见习题
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见习题
D
2.【中考·丹东】如图，CO是△ABC的角平分线，过点B作BD∥AC交CO的延长线于点D，若∠A＝45°，∠AOD＝80°，则∠CBD的度数为( )
A．100°
B．110°
C．125°
D．135°
【点拨】因为CO是△ABC的角平分线，
所以∠DCB＝∠DCA.
因为BD∥AC，
所以∠DBA＝∠A＝45°，∠D＝∠ACD＝∠DCB.
因为∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－80°＝100°，
所以∠D＝180°－∠DBA－∠BOD＝180°－45°－100°＝35°.所以∠DCB＝35°.
所以∠CBD＝180°－∠D－∠DCB＝180°－35°－35°＝110°.
【答案】B
3．若AD是△ABC的中线，则下列结论错误的是( )
A．AB＝BC
B．BD＝DC
C．AD平分BC
D．BC＝2DC
A
4．三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个( )
A．形状相同的三角形
B．面积相等的三角形
C．直角三角形
D．周长相等的三角形
B
【答案】B
6．如图，已知P是△ABC的重心，连接AP并延长交BC于点D，若△ABC的面积为20，则△ADC的面积为( )
A．10
B．8
C．6
D．5
A
7．如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长多3
cm，BC＝8
cm，则AC的长为 cm.
【点拨】因为CM是△ABC的中线，所以AM＝BM.
又因为(BC＋CM＋BM)－(AC＋CM＋AM)＝3
cm，
所以BC－AC＝3
cm.
又因为BC＝8
cm，所以AC＝8－3＝5(cm)．
【答案】5
8．有一质地均匀的三角形铁片，若阿龙想用木棒撑住此铁片，则支撑点应设在该三角形铁片的_________处最恰当．
重心
9．画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是( )
C
10．如图，AD，AE，AF分别是△ABC的高线、角平分线及中线，那么下列结论错误的是( )
A．AD⊥BC
B．BF＝CF
C．BE＝EC
D．∠BAE＝∠CAE
C
11．【中考·杭州】若线段AM，AN分别是△ABC中BC边上的高线和中线，则( )
A．AM＞AN
B．AM≥AN
C．AM＜AN
D．AM≤AN
D
12.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，∠B＝40°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为( )
A．20°
B．30°
C．50°
D．60°
【点拨】因为AD是△ABC的高，所以∠D＝90°.又因为∠B＝40°，所以∠BAD＝90°－∠B＝50°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝50°－20°＝30°.
【答案】B
13.如图，AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有 个．
【点拨】图中所有三角形都可以以AD为高，即以AD为高的三角形有6个，本题容易忽视△AEC也是以AD为高的三角形．
【答案】6
14．如图，在方格纸中，有两条线段AB，BC，利用方格完成如下操作：
(1)
作出△ABD的边BD上的高．
解：如图所示，AM为△ABD的边BD上的高．
(2)若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长．
解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为6，∴△ABC的面积为12.
∵BD边上的高AM为3，
∴BC＝12×2÷3＝8.
15．如图，D是△ABC中BC边上一点，DE∥AC交AB于点E，若∠EDA＝∠EAD，试说明AD是△ABC的角平分线．
解：∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.
∵∠EDA＝∠EAD，∴∠CAD＝∠EAD，
∴AD是△ABC的角平分线．
16．如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6
cm，AC＝8
cm，BC＝10
cm，∠CAB＝90°.试求：
(1)AD的长；
(2)△ABE的面积；
(3)△ACE和△ABE的周长的差．
解：∵AE为BC边上的中线，∴BE＝CE，
∴△ACE的周长－△ABE的周长＝AC＋AE＋CE－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝8－6＝2(cm)，
即△ACE和△ABE的周长的差是2
cm.
17．【中考·长春】图①、图②、图③均为6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．小正方形的边长为1，点A，B，C，D，E，F均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所
画图形的顶点均
在格点上，不要
求写画法．
(1)在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6；
(2)在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6；
(3)在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG＝90°.
解：如图所示．(答案不唯一)(共49张PPT)
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第九章
三角形
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B
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1．如图，在△ABC中，
D是BC边上一点，E是AD边上一点．
(1)以AC为边的三角形共有 个，
它们是 ；
3
△ACE，△ACD，△ACB
(2)∠1是△ 和△ 的内角；
(3)在△ACE中，∠CAE的对边是 ．
BCE
CDE
CE
2．【中考·绍兴】长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
B
OA＋OD＞AD
解：在△OAB中有OA＋OB＞AB，
在△OAD中有 ，
在△ODC中有 ，
在△ 中有 ，
OD＋OC＞CD
OBC
OB＋OC＞BC
2(AC＋BD)＞AB＋BC＋CD＋DA
4．已知a，b，c是三角形的三边长，试化简：|b＋c－a|＋|b－c－a|＋|c－a－b|－|a－b＋c|.
解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴b＋c－a＞0，b－c－a＜0，c－a－b＜0，
a－b＋c＞0，
∴|b＋c－a|＋|b－c－a|＋|c－a－b|－|a－b＋c|
＝b＋c－a－b＋c＋a－c＋a＋b－a＋b－c
＝2b.
6．已知：如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝30°＋50°＝80°.
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADE＝90°.
∴∠DAE＝90°－∠AEC＝90°－80°＝10°.
(2)∠DAE与∠C－∠B有何关系？
7．如图所示，D是△ABC的角平分线BE和CF的交点，若∠A＝50°，则∠BDC＝( )
A．120°
B．130°
C．115°
D．110°
C
8．如图，在△ABC中，E是边BC上一点，EC＝2BE，点D是AC的中点．连接AE，BD交于点F.已知S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
9．如图，D为△ABC中AC边上一点，AD＝1，DC＝2，AB＝4，E是AB上一点，且△DEC的面积等于△ABC面积的一半，求EB的长．
【点拨】同(等)高的两个三角形的面积比等于底边长的比．
10．【中考·资阳】等腰三角形的两边长a，b满足|a－4|＋(b－9)2＝0，求这个等腰三角形的周长．
解：∵|a－4|＋(b－9)2＝0，
∴|a－4|＝0，(b－9)2＝0.
∴a＝4，b＝9.
若腰长为4，则4＋4＜9，不能构成三角形．
若腰长为9，则9＋4＞9，能构成三角形，
∴这个等腰三角形的周长为9＋9＋4＝22.
11．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，点E在BD上，点F在CA的延长线上，EF∥AD.
(1)求∠BAF的度数；
解：∵∠BAF＝∠B＋∠C，∠B＝40°，∠C＝70°，
∴∠BAF＝110°.
(2)求∠F的度数．
12．如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，且AB＝3，BC＝6，则CE与AD有怎样的数量关系？
【点拨】利用面积法，用两种方法表示△ABC的面积，以此列等式解决问题．
13．如图，∠DBC＝2∠ABD，∠DCB＝2∠ACD，则∠A与∠D有怎样的数量关系？
14．阅读两名同学对下题的解答过程．
一个等腰三角形的周长为28
cm，其中一边长为8
cm，则这个三角形另外两边的长分别是多少？
李明说应这样解：设腰长为x
cm，则2x＋8＝28，解得x＝10，所以这个三角形另外两边的长均为10
cm.张钢说应这样解：设底边长为x
cm，则2×8＋x＝28，解得x＝12，所以这个三角形的另外两边的长分别为
8
cm，12
cm.
试判断李明与张钢两人的解答过程是否正确，若正确，请写出判断的依据；若不正确，请你写出正确的解答过程．
【点拨】本题中没有明确8
cm是等腰三角形的底边长还是腰长，需对其进行分情况讨论，并用三角形的三边关系进行验证．
15．在△ABC中，∠B＝20°＋∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度数．
【点拨】当所给关系比较复杂时，我们可以借助设未知数，利用方程思想使问题简单化．
解：设∠A＝x°，则∠B＝20°＋∠A＝20°＋x°，
∠C＝∠B－10°＝20°＋x°－10°＝10°＋x°.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴x°＋20°＋x°＋10°＋x°＝180°，
解得x＝50，所以∠A＝50°.
16．如图，A点在B点的北偏东40°方向，C点在B点的北偏东75°方向，A点在C点的北偏西50°方向．
(1)试说明△ABC为直角三角形；
解：过点A作AF∥BD，交BC于点F，则AF∥EC.
∵∠ABD＝40°，∴∠BAF＝∠ABD＝40°.
∵∠ACE＝50°，∴∠CAF＝∠ACE＝50°.
∴∠BAC＝∠BAF＋∠CAF＝40°＋50°＝90°.
∴△ABC为直角三角形．
(2)求∠ACB的度数．
【点拨】本题主要考查了数学建模思想，即把方位角建模成几何图形中的角，同时应用了平行线的性质，三角形的内角和定理及直角三角形的定义等知识．
解：∵∠DBC＝75°，∠DBA＝40°，
∴∠ABC＝∠DBC－∠DBA＝75°－40°＝35°.
∴在△ABC中，∠ACB＝180°－90°－∠ABC＝90°－35°＝55°.
17．如图所示，在△ABC中，分别延长△ABC的边AB，AC到D，E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：
(1)根据上述规律，若∠A＝150°，则∠P＝___________；
(2)请你用数学表达式写出∠P与∠A的关系；
15°
(3)请说明(2)中结论的正确性．
【点拨】本题运用了从特殊到一般的思想，先从特殊情况中总结出规律，再用所学知识说明此规律的正确性．(共21张PPT)
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三角形三边关系的六种常见类型
第九章
三角形
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B
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C
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见习题
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7
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8
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1．【中考?长沙】下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A．4
cm，5
cm，9
cm
B．8
cm，8
cm，15
cm
C．5
cm，5
cm，10
cm
D．6
cm，7
cm，14
cm
B
2．在△ABC中，AB＝AC，取AC的中点D，连接BD，BD把△ABC的周长分成12
cm和15
cm两部分，求△ABC各边的长．
3．【中考?常德】已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是( )
A．1
B．2
C．8
D．11
【点拨】设第三边的长为x，根据三角形的三边关系可得7－3＜x＜7＋3，即4C
4．小明准备用长20
cm，90
cm，100
cm的三根木条钉成一个三角形，由于不小心，将长100
cm的一根折去了一部分，怎么也钉不成三角形．
(1)小明把长100
cm的木条至少折去了多长？
解：设把长100
cm的木条折去了x
cm，可以钉成三角形，则90－20＜100－x＜90＋20，
解得－10＜x＜30.则0＜x＜30.
所以把长100
cm的木条至少折去30
cm时，钉不成三角形．即小明把长100
cm的木条至少折去了30
cm.
解：100－40＝60(cm)．设将长90
cm的木条截去y
cm可以钉成三角形，则60－20＜90－y＜60＋20，
解得10＜y＜50.因此，将长90
cm的木条截去一段，使其截去长度在10
cm～50
cm之间(不包括10
cm和
50
cm)，就能钉成三角形．
(2)如果把长100
cm的木条折去了40
cm，你能通过截木条的办法，帮助小明钉成一个三角形吗？
5．等腰三角形的周长为21
cm.
(1)若已知腰长是底边长的3倍，求各边长；
解：设底边长为x
cm，则腰长为3x
cm，
列方程，得x＋3x＋3x＝21，解得x＝3，∴3x＝9.
∵3＋9＞9，∴能构成三角形．
∴三角形的三边长分别是3
cm，9
cm，9
cm.
(2)若已知一边长为5
cm，求其他两边长．
解：①当5
cm为腰长时，底边长为21－5－5＝11(cm)，
三边长是5
cm，5
cm，11
cm.
∵5＋5＜11，∴不能构成三角形．
6．在平面内，分别用3根、5根、6根……火柴棒首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下：
火柴棒根数
3
5
6
示意图
形状
等边三角形
等腰三角形
等边三角形
(1)用4根火柴棒能搭成三角形吗？
解：用4根火柴棒不能搭成三角形．
(2)用8根、12根火柴棒分别能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．
解：用8根火柴棒能搭成一种三角形，
示意图如图①所示；
用12根火柴棒能搭成三种不同形
状的三角形，即：(4，4，4)，
(5，5，2)，(3，4，5)，示意图如图②所示．
7．已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长．
解：因为(b－2)2≥0，|c－3|≥0，
且(b－2)2＋|c－3|＝0，
所以(b－2)2＝0，|c－3|＝0，
解得b＝2，c＝3.
由a为方程|x－4|＝2的解，
可知a－4＝2或a－4＝－2，
即a＝6或a＝2.
当a＝6时，有2＋3＜6，不能组成三角形，故舍去；
当a＝2时，有2＋2＞3，符合三角形的三边关系．
所以a＝2，b＝2，c＝3.
所以△ABC的周长为2＋2＋3＝7.
8．如图，已知D、E为△ABC内两点，试说明：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
解：如图，将DE向两边延长分别交AB、AC于点M、N.
在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE；①
在△BDM中，MB＋MD＞BD；②
在△CEN中，CN＋NE＞CE；③
①＋②＋③，得AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE，
所以AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
