(共30张PPT)
JJ版七年级下
8．4 整式的乘法
第八章
整式的乘法
第2课时 单项式与多项式相乘
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A
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见习题
1．【中考·贵阳】化简x(x－1)＋x的结果是________．
x2
2．计算(－3xy2)·(2y2－xyz＋1)的结果是( )
A．－3xy4＋3x2y3＋3xy2
B．－6xy4＋3x2y3z－3xy2
C．－6xy4－3x2y3z－3xy2
D．－6xy4＋3x2y2z
B
3．【中考?青岛】计算(－2m)2·(－m·m2＋3m3)的结果是( )
A．8m5
B．－8m5
C．8m6
D．－4m4＋12m5
A
4．计算：(2x2)3－6x3(x3＋2x2＋x)＝( )
A．－12x5－6x4
B．2x6＋12x5＋6x4
C．x2－6x－3
D．2x6－12x5－6x4
D
5．计算x(y－z)－y(z－x)＋z(x－y)的结果正确的是( )
A．2xy－2yz
B．－2yz
C．xy－2yz
D．2xy－xz
A
6．如果一个长方形的周长为10，其中长为a，那么该长方形的面积为( )
A．10a
B．5a－a2
C．5a
D．10a－a2
B
7．要使x(x＋a)＋3x－2b＝x2＋5x＋4成立，则( )
A．a＝－2，b＝－2
B．a＝2，b＝2
C．a＝2，b＝－2
D．a＝－2，b＝2
C
A
9.已知ab2＝－1，则－ab(a2b5－ab3－b)的值等于( )
A．－1
B．0
C．1
D．无法确定
【点拨】原式＝－a3b6＋a2b4＋ab2
＝－(ab2)3＋(ab2)2＋ab2
＝－(－1)3＋(－1)2＋(－1)＝1.
C
10．【中考·岳阳】已知x2＋2x＝－1，则代数式5＋x(x＋2)的值为________．
4
11．如图，通过计算大长方形的面积可得到的恒等式为______________________.
2a(a＋b)＝2a2＋2ab
12．先化简，再求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)，其中a＝－2.
解：原式＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2＝－20a2＋9a.
当a＝－2时，－20a2＋9a＝－20×4－9×2＝－98.
13．解方程：2x(x－1)＝12＋x(2x－5)．
解：去括号，得2x2－2x＝12＋2x2－5x.
移项、合并同类项，得3x＝12.
系数化为1，得x＝4.
14．【中考·邵阳】以下计算正确的是( )
A．(－2ab2)3＝8a3b6
B．3ab＋2b＝5ab
C．(－x2)·(－2x)3＝－8x5
D．2m(mn2－3m2)＝2m2n2－6m3
【点拨】单项式与多项式相乘，可类比乘法分配律，注意符号不要出错．
【答案】D
15．计算：
(1)(x2－2y)·(xy2)3；
解：原式＝(x2－2y)·(x3y6)＝x5y6－2x3y7.
解：原式＝－a3·(－8a3b6)－28a6b6－2a2b5＋20ab2＝8a6b6－28a6b6－2a2b5＋20ab2＝－20a6b6－2a2b5＋20ab2.
17．(1)请先阅读下列解题过程，再仿做下面的题．
已知x2＋x－1＝0，求x3＋2x2＋3的值．
解：x3＋2x2＋3＝x3＋x2－x＋x2＋x＋3
＝x(x2＋x－1)＋x2＋x－1＋4＝0＋0＋4＝4.
如果1＋x＋x2＋x3＝0，求x＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8的值．
【点拨】本题不易直接求出x的值，将待求式子转化为能直接利用条件式的式子，然后整体代入求值，给计算带来简便．
解：x＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8
＝x(1＋x＋x2＋x3)＋x5(1＋x＋x2＋x3)＝0.
(2)阅读下列文字，并解决问题．
已知x2y＝3，求2xy(x5y2－3x3y－4x)的值．
分析：考虑到满足x2y＝3的x，y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入．
解：2xy(x5y2－3x3y－4x)＝2x6y3－6x4y2－8x2y＝2(x2y)3－6(x2y)2－8x2y＝2×33－6×32－8×3＝－24.
请你用上述方法解决问题：已知ab＝3，求(2a3b2－3a2b＋4a)·(－2b)的值．
解：(2a3b2－3a2b＋4a)·(－2b)
＝－4a3b3＋6a2b2－8ab＝－4(ab)3＋6(ab)2－8ab
＝－4×33＋6×32－8×3＝－108＋54－24＝－78.
(2)如图，一块长方形地用来建造住宅、广场和商厦，求这块地的面积．
【点拨】充分利用图中信息，根据图中信息找到所需数据，从而利用数形结合思想解题．
解：长方形地的长为(3a＋2b)＋(2a－b)＝5a＋b，宽为4a，这块地的面积为4a·(5a＋b)＝20a2＋4ab.(共32张PPT)
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8．2 幂的乘方与积的乘方
第八章
整式的乘法
第2课时 积的乘方
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C
B
2．【中考·深圳】下列计算正确的是( )
A．a＋2a＝3a2
B．a2·a3＝a5
C．(ab)3＝ab3
D．(－a3)2＝－a6
3．下列计算正确的是( )
A．(ab3)2＝ab6
B．(3xy)2＝6x2y2
C．(－2a3)2＝－4a6
D．(－x2yz)3＝－x6y3z3
【点拨】A项的结果应该是a2b6；B项的结果应该是9x2y2；C项的结果应该是4a6；D项的结果正确．
D
A
5．如果5n＝a，4n＝b，那么20n＝________.
ab
6．若n为正整数，且x2n＝3，则(3x3n)2的值为________．
243
7．若(－2a1＋xb2)3＝－8a9b6，则x的值是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
C
8．如果(anbm)3＝a9b15，那么m，n的值为( )
A．3，6
B．5，3
C．12，3
D．9，3
B
C
D
11．计算(－4×103)2×(－2×103)3的结果为( )
A．1.28×1017
B．－1.28×1017
C．4.8×1016
D．－2.4×1016
B
12．计算(－2a)2－3a2的结果是( )
A．－a2
B．a2
C．－5a2
D．5a2
B
13.若(2an)3＝40，则a6n等于( )
A．5
B．10
C．15
D．25
【点拨】因为(2an)3＝40，所以8a3n＝40，
解得a3n＝5，所以a6n＝(a3n)2＝52＝25.
D
14．已知2n·xn＝22n(n为正整数)，求正数x的值．
解：由题意知(2x)n＝22n＝4n.
又因为x为正数，所以2x＝4，所以x＝2.
15．已知3x＋2·5x＋2＝153x－4，求x的值．
解：由题意知15x＋2＝153x－4，
所以x＋2＝3x－4.
所以x＝3.
16．有一道计算题：(－a4)2，李老师发现全班有以下四种解法：
①(－a4)2＝(－a4)(－a4)＝a4·a4＝a8；
②(－a4)2＝－a4×2＝－a8；
③(－a4)2＝(－a)4×2＝(－a)8＝a8；
④(－a4)2＝(－1×a4)2＝(－1)2×(a4)2＝a8.
你认为其中完全正确的是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
【点拨】①由乘方的意义得(－a4)2＝(－a4)(－a4)＝a4·a4＝a8；②由幂的乘方得(－a4)2＝a4×2＝a8；
③计算过程中(－a4)2应该等于a4×2，这里的负号不是底数a的；④由积的乘方得(－a4)2＝(－1×a4)2＝
(－1)2·(a4)2＝a8.故选D.
【答案】D
17．计算：
(1)【中考·武汉】(2x2)3－x2·x4；
(2)(－an)3(－bn)2－(a3b2)n；
解：原式＝8x6－x6＝7x6.
原式＝－a3nb2n－a3nb2n＝－2a3nb2n.
解：原式＝(－3)2×a3×2·a3＋16a2·a7－(－5)3·a3×3＝9a6＋3＋16a9＋125a9＝9a9＋16a9＋125a9＝150a9.
(3)(－3a3)2·a3＋(－4a)2·a7－(－5a3)3.
19．(1)已知an＝2，b2n＝3，求(a3b4)2n的值．
【点拨】本题先运用积的乘方法则进行计算，然后将结果转化为含有已知条件式的左边的幂的乘方的乘积形式，最后根据条件式代入求值，体现了整体思想的运用．
解：原式＝a6nb8n＝(an)6(b2n)4＝26×34＝5
184.
(2)若59＝a，95＝b，用a，b表示4545的值．
解：4545＝(5×9)45＝545×945.
因为(59)5＝a5＝545，(95)9＝b9＝945，
所以4545＝a5b9.
(3)若n为正整数，且x2n＝7，求(3x3n)2－13(x2)2n的值．
原式＝9x6n－13x4n＝9(x2n)3－13(x2n)2.
因为x2n＝7，所以原式＝9×73－13×72＝2
450.
20．先化简再求值：[－3(m＋n)]3·(m－n)[－2(m＋n)(m－n)]2，其中m＝－3，n＝2.
解：原式＝－27(m＋n)3·(m－n)·4(m＋n)2·(m－n)2＝－108(m＋n)5·(m－n)3.
当m＝－3，n＝2时，
－108(m＋n)5·(m－n)3
＝－108×(－3＋2)5×(－3－2)3
＝－108×(－1)5×(－5)3
＝－108×53
＝－13
500.
21．试判断212×58的结果是一个几位正整数．
解：因为212×58＝24×(2×5)8＝1.6×109，
所以212×58的结果是一个十位正整数．
22．52·32n＋1·2n－3n·6n＋2(n为正整数)能被13整除吗？并说明理由．
解：52·32n＋1·2n－3n·6n＋2能被13整除．理由如下：
52·32n＋1·2n－3n·6n＋2
＝52·(32n·3)·2n－3n·(6n·62)
＝75·18n－36·18n
＝39·18n
＝13×3·18n.
因为n为正整数，所以3·18n是正整数．
所以52·32n＋1·2n－3n·6n＋2能被13整除．(共25张PPT)
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8．4 整式的乘法
第八章
整式的乘法
第1课时 单项式与单项式相乘
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见习题
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1．【中考·台州】计算2a2·3a4的结果是( )
A．5a6
B．5a8
C．6a6
D．6a8
C
2．【中考·玉林】下列计算正确的是( )
A．8a－a＝7
B．a2＋a2＝2a4
C．2a·3a＝6a2
D．a6÷a2＝a3
C
3．【中考·青海】下面是某同学在一次测试中的计算：
①3m2n－5mn2＝－2mn；
②2a3b·(－2a2b)＝－4a6b；
③(a3)2＝a5；
④(－a3)÷(－a)＝a2.
其中运算正确的个数为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
D
【答案】D
5．若(8×106)×(5×102)×(2×10)＝M×10a(1A．M＝8，a＝10
B．M＝8，a＝8
C．M＝2，a＝9
D．M＝5，a＝10
A
6．如图，已知四边形ABCG和四边形CDEF都是长方形，则它们的面积之和为( )
A．5x＋10y
B．5.5xy
C．6.5xy
D．3.25xy
C
7．如果单项式－2xa－2by2a＋b与x3y8b是同类项，那么这两个单项式的积是( )
A．－2x6y16
B．－2x6y32
C．－2x3y8
D．－4x6y16
B
8．若单项式3x2y与－2x3y3的积为mx5yn，则m＋n＝____________.
【点拨】由题意得m＝3×(－2)＝－6，n＝4.
所以m＋n＝－6＋4＝－2.
－2
9.已知单项式9am＋1bn＋1与－2a2m－1b2n－1的积与5a3b6是同类项，则mn＝______________．
【点拨】9am＋1bn＋1·(－2a2m－1b2n－1)＝－18a3mb3n，
因为－18a3mb3n与5a3b6是同类项，
所以3m＝3，3n＝6.解得m＝1，n＝2，所以mn＝12＝1.
1
10．(1)已知(2x3y2)(－3xmy3)(5x2yn)＝－30x6y8，求m＋n的值．
解：因为(2x3y2)(－3xmy3)(5x2yn)＝
－30xm＋5yn＋5＝－30x6y8，
所以m＋5＝6，n＋5＝8，
即m＝1，n＝3.
所以m＋n＝4.
(2)已知a2m＝2，b3n＝3，求(b2n)3－a3m·b3m·a5m的值．
解：因为a2m＝2，b3n＝3，
所以(b2n)3－a3m·b3n·a5m＝(b3n)2－a8m·b3n＝
32－(a2m)4×3＝32－24×3＝9－16×3＝9－48＝－39.
解：原式＝－2a2·(－a3b6)·(2a2b3)＝
[－2×(－1)×2]a2＋3＋2b6＋3＝4a7b9.
11．计算：
(1)(－2a2)·(－ab2)3·(2a2b3)；
【点拨】对于几个单项式相乘的计算，若有乘方运算，应先算乘方，再算乘法．本题在计算时往往容易弄错运算顺序而出错．
12．计算：
(1)
5a3b·(－3b)2＋(－6ab)2·(－ab)－ab3(－4a)2；
解：原式＝5a3b·9b2＋36a2b2·(－ab)－ab3·16a2＝45a3b3－36a3b3－16a3b3＝－7a3b3.
13．先化简，再求值：(－3a3x)·(－2a2x2)2＋7(ax)3·(a2x)2－a7x5，其中x＝－2，a＝－1.
解：原式＝(－3a3x)·4a4x4＋7a3x3·a4x2－a7x5＝
－12a7x5＋7a7x5－a7x5＝－6a7x5.
当a＝－1，x＝－2时，
原式＝－6×(－1)7×(－2)5＝－192.
14．阅读下列解答过程，在横线上填上恰当的内容．
(－2a2b)2·(3a3b2)3
＝(－6a5b3)6
①
＝(－6)6·(a5)6·(b3)6
②
＝46
656a30b18.
③
上述过程中，有无错误？答：______________．错在第____步，原因是__________________________；请写出正确的解答过程．
有错误
①
弄错了乘方和乘法的运算顺序
正确的解答过程如下：原式＝4a4b2·27a9b6＝108a13b8.
15．三角
表示3abc，方框
表示－4xywz，求
×
的值．
解：
×
＝9mn·(－4n2m5)＝－36m6n3.
16．用18个棱长为a的正方体木块拼成一个长方体，有多种不同的拼法，请列举几种，分别表示所拼成的长方体的体积，你能得到什么结论？(至少写出两种拼法)
解：拼法不唯一，现列举三种：
(1)长为18a，宽为a，高为a，体积为18a·a·a＝18a3；
(2)长为9a，宽为2a，高为a，体积为9a·2a·a＝18a3；
(3)长为6a，宽为3a，高为a，体积为6a·3a·a＝18a3.
得到的结论：不管怎样拼，长方体的体积总是18a3.(共38张PPT)
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8．4 整式的乘法
第八章
整式的乘法
第3课时 多项式与多项式相乘
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见习题
1．【中考·武汉】计算(a－2)(a＋3)的结果是( )
A．a2－6
B．a2＋a－6
C．a2＋6
D．a2－a＋6
B
2．下列多项式相乘结果为a2－3a－18的是( )
A．(a－2)(a＋9)
B．(a＋2)(a－9)
C．(a＋3)(a－6)
D．(a－3)(a＋6)
C
3．计算(2x－3)(3x＋4)的结果，与下列哪一个式子相同？( )
A．－7x＋4
B．－7x－12
C．6x2－12
D．6x2－x－12
D
4．【中考·新疆】下列计算正确的是( )
A．a2·a3＝a6
B．(a＋b)(a－2b)＝a2－2b2
C．(ab3)2＝a2b6
D．5a－2a＝3
C
B
6．若(x＋3)(2x－5)＝2x2＋bx－15，则b的值为( )
A．－2
B．2
C．1
D．－1
C
【点拨】因为(x＋3)(2x－5)＝2x2＋x－15＝
2x2＋bx－15，所以b＝1.
7．【中考·佛山】若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n的值为( )
A．1
B．－2
C．－1
D．2
C
A
9．已知m＋n＝2，mn＝－2，则(2－m)(2－n)的值为( )
A．2
B．－2
C．0
D．3
【点拨】(2－m)(2－n)＝4－2(m＋n)＋mn，
因为m＋n＝2，mn＝－2，所以原式＝4－4－2＝－2.
B
10.用下列各式分别表示图中阴影部分的面积，其中表示正确的有( )
①at＋(b－t)t；
②at＋bt－t2；
③ab－(a－t)(b－t)；
④(a－t)t＋(b－t)t＋t2.
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【点拨】如图①所示，阴影部分的面积为at＋(b－t)t，故①正确；如图②所示，阴影部分的面积为at＋bt－t2，故②正确；如图③所示，阴影部分的面积为ab－(a－t)(b－t)，故③正确；如图④
所示，则阴影部分的面积为
(a－t)t＋(b－t)t＋t2，故④正确．
【答案】A
2
11．【中考·玉林】已知ab＝a＋b＋1，则(a－1)(b－1)＝________．
13．先阅读后解答：根据几何图形的面积关系可以说明一些等式．例如：(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2，就可以用图①的面积关系来说明．
(1)根据图②写出一个等式：
____________________________．
(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋5ab＋2b2
【点拨】仿照例子可以看出，根据整个图形的面积等于各部分面积的和列式；
(2)已知等式(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3，请你画出一个相应的几何图形加以说明(仿照图①和图②画出图形即可)．
【点拨】画出两邻边长分别为x＋1和x＋3的长方形，利用数形结合进行解答．
解：(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3，
相应的几何图形如图所示．
14．计算：3(2x－1)(x＋6)－5(x－3)(x＋6)．
【点拨】解本题时易出现以下两种情况的错误：
①3(2x－1)(x＋6)－5(x－3)(x＋6)
＝3(2x2－6)－5(x2－18)
＝6x2－18－5x2＋90
＝x2＋72.
②3(2x－1)(x＋6)－5(x－3)(x＋6)
＝3(2x2＋12x－x－6)－5(x2＋6x－3x－18)
＝3(2x2＋11x－6)－5(x2＋3x－18)
＝6x2＋33x－18－5x2＋15x－90
＝x2＋48x－108.
①错误的原因是多项式与多项式相乘时漏乘某些项，②错误的原因是去括号时部分项的符号错误．
解：原式＝3(2x2＋12x－x－6)－5(x2＋6x－3x－18)
＝6x2＋33x－18－5x2－15x＋90
＝x2＋18x＋72.
15．已知(x＋ay)(x＋by)＝x2－11xy＋6y2，求整式3(a＋b)－2ab的值．
解：因为(x＋ay)(x＋by)
＝x2＋(a＋b)xy＋aby2
＝x2－11xy＋6y2，
所以a＋b＝－11，ab＝6.
所以3(a＋b)－2ab
＝3×(－11)－2×6
＝－33－12
＝－45.
16．已知(x3＋mx＋n)(x2－3x＋4)的展开式中不含x3和x2项．
(1)求m，n的值；
解：(x3＋mx＋n)(x2－3x＋4)＝x5－3x4＋(m＋4)x3＋
(n－3m)x2＋(4m－3n)x＋4n，
根据展开式中不含x3和x2项，得m＋4＝0，n－3m＝0，
解得m＝－4，n＝－12.
(2)当m，n取第(1)小题的值时，求(m＋n)(m2－mn＋n2)的值．
解：因为(m＋n)(m2－mn＋n2)
＝m3－m2n＋mn2＋m2n－mn2＋n3
＝m3＋n3，
当m＝－4，n＝－12时，
原式＝(－4)3＋(－12)3＝－64－1
728＝－1
792.
17．计算下列各式，然后回答问题：
(x＋3)(x＋4)＝_____________________；
(x＋3)(x－4)＝_____________________；
(x－3)(x＋4)＝_____________________；
(x－3)(x－4)＝_____________________.
x2＋7x＋12
x2－x－12
x2＋x－12
x2－7x＋12
(1)根据以上的计算总结出规律：
(x＋m)(x＋n)＝_______________________________；
(2)运用(1)中的规律，直接写出下列各式的结果：
①(a＋1)(a＋4)；
②(x－2)(x＋3)；
③(y＋3)(y－4);
④(m－4)(m－5)．
x2＋(m＋n)x＋mn
解：原式＝a2＋5a＋4.
原式＝x2＋x－6.
原式＝y2－y－12.
原式＝m2－9m＋20.
18．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：(2x＋a)(3x＋b)，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为6x2＋11x－10；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为2x2－9x＋10.
(1)试求出式子中a，b的值；
【点拨】按甲、乙的错解分别列出正确的等式，根据等式中各项系数相等，列方程组求a，b的值．
解：由题意得，(2x－a)(3x＋b)＝6x2＋(2b－3a)x－ab＝6x2＋11x－10，(2x＋a)(x＋b)＝2x2＋(a＋2b)x＋ab＝
2x2－9x＋10，
所以2b－3a＝11，①
a＋2b＝－9.②
由②得2b＝－9－a，代入①得－9－a－3a＝11，
所以a＝－5.所以2b＝－4.所以b＝－2.
(2)请你计算出这道整式乘法的正确结果．
解：由(1)得(2x＋a)(3x＋b)＝(2x－5)(3x－2)＝6x2－19x＋10.
19．定义：一个多项式A乘以另一个多项式B化简得到新的多项式C，若C的项数比A的项数多不超过1项，则称B是A的“友好多项式”．特别地，当C的项数和A相同时，则称B是A的“特别友好多项式”．
(1)若A＝x－2，B＝x＋3，则B是否是A的“友好多项式”？请说明理由；
解：B是A的“友好多项式”．
理由如下：(x－2)(x＋3)＝x2＋3x－2x－6＝x2＋x－6，
x2＋x－6的项数比A的项数多不超过1项，
所以B是A的“友好多项式”．
(2)若A＝x－2，B是A的“特别友好多项式”，
①请举出一个符合条件的二项式B＝
__________________．
x＋2(答案不唯一)
②若B是三项式，请举出一个符合条件的B，并说明理由；
解：若B＝x2＋2x＋4，则(x－2)(x2＋2x＋4)＝
x3－2x2＋2x2－4x＋4x－8＝x3－8，
所以x2＋2x＋4是A的“特别友好多项式”．(答案不唯一)
(3)若A是三项式，是否存在同样是三项式的B，使得B是A的“友好多项式”？若存在，请举例说明．若不存在，请说明理由．
解：存在．例如，a＋b＋c是a＋b－c的“友好多项式”．(答案不唯一)(共29张PPT)
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8．5 乘法公式
第八章
整式的乘法
第4课时 整式的化简
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1．【中考·德州】下列运算正确的是( )
A．(－2a)2＝－4a2
B．(a＋b)2＝a2＋b2
C．(a5)2＝a7
D．(－a＋2)(－a－2)＝a2－4
D
2．化简(a－1)(a＋1)(a2＋1)－(a4＋1)的结果是( )
A．0
B．2
C．－2
D．不能确定
C
3．若式子x2＋ax＋9－(x－3)2的值等于0，则a的值为( )
A．0
B．－3
C．－6
D．9
C
4．已知a2＋b2＝25，且ab＝12，则a＋b的值是( )
A．±7
B．7
C．±5
D．5
A
5．将式子x2＋4x－1化成(x＋p)2＋q的形式为( )
A．(x－2)2＋3
B．(x＋2)2－4
C．(x＋2)2－5
D．(x＋4)2＋4
C
B
7．若算式(x＋m)(x－n)的积中不含x的一次项，则m，n一定( )
A．互为倒数
B．互为相反数
C．相等
D．满足mn＝0
C
8.【中考·十堰】当x＝1时，ax＋b＋1的值为－2，则(a＋b－1)(1－a－b)的值为( )
A．－16
B．－8
C．8
D．16
A
【点拨】因为当x＝1时，ax＋b＋1的值为－2，所以a＋b＋1＝－2.所以a＋b＝－3.所以(a＋b－1)(1－a－b)＝(－3－1)×(1＋3)＝－16.故选A.
【答案】A
10.【中考·永州】我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方(a＋b)n的展开式(按b的升幂排列)．
经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将(s＋x)15的展开式按x的升幂排列得：(s＋x)15＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a15x15.
依上述规律，解决下列问题：
(1)若s＝1，则a2＝________；
【点拨】由题可知(a＋b)1的第三项系数为0，
(a＋b)2的第三项系数为1，
(a＋b)3的第三项系数为3＝1＋2，
(a＋b)4的第三项系数为6＝1＋2＋3，…
发现(1＋x)3的第三项系数为3＝1＋2；
(1＋x)4的第三项系数为6＝1＋2＋3；
(1＋x)5的第三项系数为10＝1＋2＋3＋4；
不难发现(1＋x)n的第三项系数为1＋2＋3＋…＋(n－2)＋(n－1)，∴若s＝1，则a2＝1＋2＋3＋…＋14＝105.
故答案为105.
【答案】105
(2)若s＝2，则a0＋a1＋a2＋…＋a15＝________．
【点拨】∵(s＋x)15＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a15x15，
s＝2，
∴当x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋a15＝(2＋1)15＝315.
315
【点拨】本题在化简过程中易用错公式而出现“(5x－4y)(－5x＋4y)＋(5x＋4y)2＝(5x)2－(4y)2＋(5x)2＋(4y)2”的错误．
11．化简：(5x－4y)(－5x＋4y)＋(5x＋4y)2.
解：(5x－4y)(－5x＋4y)＋(5x＋4y)2
＝－(5x－4y)(5x－4y)＋(5x＋4y)2
＝－(5x－4y)2＋(5x＋4y)2
＝－(25x2－40xy＋16y2)＋(25x2＋40xy＋16y2)
＝80xy.
解：①因为x－2y＝3，所以(x－2y)2＝32，
即x2－4xy＋4y2＝9，①又因为x2－2xy＋4y2＝13，②
②－①，得2xy＝4.所以xy＝2.
②因为xy＝2，x－2y＝3，
所以x2y－2xy2＝xy(x－2y)＝2×3＝6.
(2)已知x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝13，求下列各式的值：
①xy；②x2y－2xy2.
15．【中考·乐山】先化简，再求值：(2m＋1)(2m－1)－(m－1)2＋(2m)3÷(－8m)，其中m是方程x2＋x－2＝0的根．
解：原式＝4m2－1－(m2－2m＋1)＋8m3÷(－8m)
＝4m2－1－m2＋2m－1－m2
＝2m2＋2m－2
＝2(m2＋m－1)，
因为m是方程x2＋x－2＝0的根，
所以m2＋m－2＝0，即m2＋m＝2，
则原式＝2×(2－1)＝2.(共17张PPT)
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阶段核心类型
运用幂的运算法则巧计算的
常见类型
第八章
整式的乘法
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1．计算：
(1)a2·a3·a；
(2)－a2·a5；
(3)a4·(－a)5.
解：a2·a3·a＝a6.
－a2·a5＝－a7.
a4·(－a)5＝－a9.
2．计算：
(1)(x＋2)3·(x＋2)5·(x＋2)；
解：(x＋2)3·(x＋2)5·(x＋2)＝(x＋2)9.
(2)(a－b)3·(b－a)4；
(3)(x－y)3·(y－x)5.
解：(a－b)3·(b－a)4＝(a－b)3·(a－b)4＝(a－b)7.
(x－y)3·(y－x)5＝(x－y)3·[－(x－y)5]＝－(x－y)8.
3．(1)已知2m＝32，2n＝4，求2m＋n的值；
(2)已知2x＝64，求2x＋3的值．
解：2m＋n＝2m·2n＝32×4＝128.
2x＋3＝2x·23＝8·2x＝8×64＝512.
4．已知273×94＝3x，求x的值．
解：273×94＝(33)3×(32)4＝39×38＝317＝3x，所以x＝17.
5．已知10a＝2，10b＝3，求103a＋b的值．
解：103a＋b＝103a·10b＝(10a)3·10b＝23×3＝24.
解：103a＋b＝103
(2)0.1252
021×(－82
022)．
9．计算：
(1)x10÷x4÷x4；
(2)(－x)7÷x2÷(－x)3；
解：x10÷x4÷x4＝x2.
(－x)7÷x2÷(－x)3＝－x7÷x2÷(－x3)＝x2.
(3)(m－n)8÷(n－m)3.
解：(m－n)8÷(n－m)3＝(n－m)8÷(n－m)3＝(n－m)5.
10．已知(x－1)x2÷(x－1)＝1，求x的值．
解：由原方程得(x－1)x2－1＝1，
分三种情况：
①当x2－1＝0且x－1≠0时，
(x－1)x2－1＝1，此时x＝－1.
②当x－1＝1时，(x－1)x2－1＝1，此时x＝2.
③当x－1＝－1且x2－1为偶数时，(x－1)x2－1＝1.此种情况无解．
综上所述，x的值为－1或2.(共13张PPT)
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8．5 乘法公式
第八章
整式的乘法
第3课时 乘法公式的应用
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1．计算：
(1)(m＋2n)2－4n2；
解：原式＝m2＋4mn＋4n2－4n2
＝m2＋4mn.
(2)【中考·江西】(a＋1)(a－1)－(a－2)2.
解：原式＝a2－1－(a－2)2
＝a2－(a－2)2－1
＝2(2a－2)－1
＝4a－5.
2．计算：
(1)(－2x－y)(2x－y)；
解：原式＝(－y－2x)(－y＋2x)＝y2－4x2.
(3)(－2a＋3b)2.
原式＝(3b－2a)2＝9b2－12ab＋4a2.
(2)(a＋2b－c)(a－2b－c)．
解：原式＝[(a－c)＋2b][(a－c)－2b]
＝(a－c)2－4b2
＝a2－2ac＋c2－4b2.
4．计算：
(1)(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)；
(2)(3m－4n)(3m＋4n)(9m2＋16n2)．
解：原式＝(a2－b2)(a2＋b2)(a4＋b4)
＝(a4－b4)(a4＋b4)＝a8－b8.
原式＝(9m2－16n2)(9m2＋16n2)
＝81m4－256n4.
5．计算：(a2－b2)2－(a2＋b2)2.
解：原式＝[(a2－b2)＋(a2＋b2)][(a2－b2)－(a2＋b2)]
＝2a2·(－2b2)
＝－4a2b2.
解：原式＝(200－1)2
＝2002－400＋12
＝40
000－400＋1
＝39
601.
6．计算：
(1)1992；
解：原式＝(100－2)2－(100＋1)×(100－1)
＝1002－400＋22－1002＋12
＝－395.
(2)982－101×99.(共36张PPT)
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8．3 同底数幂的除法
第8章
整式乘法与因式分解
第2课时 零指数幂与负整数指数幂
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2．【中考·福建】计算22＋(－1)0的结果是( )
A．5
B．4
C．3
D．2
A
3．【中考·聊城】下列计算错误的是( )
A．a2÷a0·a2＝a4
B．a2÷(a0·a2)＝1
C．(－1.5)8÷(－1.5)7＝－1.5
D．－1.58÷(－1.5)7＝－1.5
D
C
5．【中考·聊城】下列计算正确的是( )
A．a2·a3＝a6
B．a6÷a－2＝a－3
C．(－2ab2)3＝－8a3b6
D．(2a＋b)2＝4a2＋b2
C
6．若(x－3)0－2(3x－6)－2有意义，则x的取值范围是( )
A．x＞3
B．x≠3且x≠2
C．x≠3或x≠2
D．x＜2
B
D
8．若(t－3)2－2t＝1，则t可以取的值有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
【点拨】①当2－2t＝0时，t＝1，(t－3)2－2t＝(－2)0＝1.②当t－3＝1时，t＝4，(t－3)2－2t＝1－6＝1.③当t－3＝－1时，t＝2，(t－3)2－2t＝(－1)－2＝1.综上可得，t可以取的值有3个．
9．(1)观察下列各式：
①24÷23＝24－3＝21；②24÷22＝24－2＝22；
③24÷2＝24－1＝23；④24÷20＝24－0＝24.
由此可猜想：
24÷2－1＝____________________；
24÷2－2＝____________________．
24－(－1)
＝25
24－(－2)＝26
零和负整数
33－(－7)＝310
4
D
11．【中考·泰安】下列运算正确的是( )
A．3xy－xy＝2
B．x3·x4＝x12
C．x－10÷x2＝x－5
D．(－x3)2＝x6
【点拨】2n＋2n＋2n＋2n＝4×2n＝22×2n＝22＋n＝2，所以2＋n＝1，所以n＝－1.
A
【答案】A
14．下列各式的计算中，不正确的个数是( )
①100÷10－1＝10；
②10－4×(2×7)0＝1
000；
③(－0.1)0÷(－2－1)－3＝8；
④(－10)－4÷(－10－1)－4＝－1.
A．4
B．3
C．2
D．1
B
【答案】B
16．若(2x＋4)0＋2(9－3x)－7有意义，求x应满足的条件．
【点拨】本题易出现的错误答案是x≠－2或x≠3，错误的原因是忽视零指数幂和负整数指数幂应同时成立．
解：由题意得2x＋4≠0，且9－3x≠0，即x≠－2且x≠3.
17．计算：
(1)(1.2×10－4)÷(2×10－2)；
解：原式＝(1.2÷2)×(10－4÷10－2)＝0.6×10－2＝0.006.
18．计算下列各式，并把结果化为只含有正整数次幂的形式：
(1)a－2b2·(－2a2b－2)－2÷(a－4b2)；
19．已知x－m＝2，yn＝3，则(x－2my－n)－4的值是________．
21．已知a2－3a＋1＝0，求a＋a－1的值．
22．阅读材料：
①1的任何次幂都等于1；
②－1的奇数次幂都等于－1；
③－1的偶数次幂都等于1；
④任何不等于0的数的0次幂都等于1.
试根据以上材料探索使等式(2x＋3)x＋2
023＝1成立的x的值．
【点拨】本题探索使等式成立的x的值时，运用了分类讨论思想，在讨论时要考虑周全．
解：①当2x＋3＝1时，x＝－1；
②当2x＋3＝－1时，x＝－2，
但是指数x＋2
023＝2
021为奇数，所以舍去；
③当x＋2
023＝0时，x＝－2
023，
且2×(－2
023)＋3≠0，所以符合题意．
综上所述，x的值为－1或－2
023.
23．阅读材料：
求1＋2－1＋2－2＋…＋2－2
024的值．
解：设S＝1＋2－1＋2－2＋…＋2－2024，①
则2S＝2＋1＋2－1＋…＋2－2
023，②
②－①得S＝2－2－2
024.
所以原式＝2－2－2
024.
请你仿此计算：
(1)1＋3－1＋3－2＋…＋3－2
024；
(2)1＋3－1＋3－2＋…＋3－n.(共10张PPT)
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阶段核心技巧
比较幂(含整式)的大小的七种技巧
第八章
整式的乘法
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1．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，比较a，b，c的大小．
解：因为a＝8131＝(92)31＝[(32)2]31＝3124，
b＝2741＝(33)41＝3123，
c＝961＝(32)61＝3122，
所以a＞b＞c.
2．试比较35
555，44
444，53
333三个数的大小．
解：因为35
555＝35×1
111＝(35)1
111＝2431
111，
44
444＝44×1
111＝(44)1
111＝2561
111，
53
333＝53×1
111＝(53)1
111＝1251
111，
而125＜243＜256，所以1251
111＜2431
111＜2561
111，
即53333
＜35555
＜44444
.
3．已知xa＝3，xb＝6，xc＝12，比较a＋c与2b的大小关系．
解：已知xa＝3，xb＝6，xc＝12，
可得xa·xc＝3×12＝36，xb·xb＝6×6＝36，
所以xa·xc＝xb·xb，即xa＋c＝xb＋b＝x2b，
故a＋c＝2b.
4．阅读理解：
若a3＝2，b5＝3，试比较a，b的大小关系．小华同学是通过下列方式解答问题的：∵a15＝(a3)5＝25＝32，b15＝(b5)3＝33＝27，而32>27，∴a15>b15，∴a>b.解答上述问题逆用了幂的乘方．
请你类比以上做法，解决下面的问题：
若x5＝2，y3＝3，试比较x与y的大小．
解：∵x15＝(x5)3＝23＝8，
y15＝(y3)5＝35＝243，243＞8，
∴y15＞x15，∴y＞x.
7．若x＝123
456
789×123
456
786，y＝123
456
788×123
456
787，试比较x，y的大小．
解设123
456
788＝a，
则x＝(a＋1)(a－2)＝a2－a－2，y＝a(a－1)＝a2－a.
∵x－y＝(a2－a－2)－(a2－a)＝－2＜0，
∴x＜y.(共35张PPT)
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8．2 幂的乘方与积的乘方
第八章
整式的乘法
第1课时 幂的乘方
4
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B
B
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见习题
16
见习题
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C
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C
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见习题
20
见习题
21
见习题
22
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见习题
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见习题
B
1．【中考·衢州】计算(a2)3，正确的结果是( )
A．a5
B．a6
C．a8
D．a9
A
2．x18不能写成( )
A．(x2)16
B．(x2)9
C．(x3)6
D．x9·x9
B
3．【中考·南京】计算a3·(a3)2的结果是( )
A．a8
B．a9
C．a11
D．a18
4．【中考·泸州】下列各式运算正确的是( )
A．x2＋x3＝x5
B．x3－x2＝x
C．x2·x3＝x6
D．(x3)2＝x6
D
5.(am)m·(am)2不等于( )
A．(am＋2)m
B．(am·a2)m
C．am2＋m2
D．(am)3·(am－1)m
【点拨】(am)m·(am)2＝am2·a2m＝am2＋2m，(am＋2)m＝am2＋2m，(am·a2)m＝(am＋2)m＝am2＋2m，am2＋m2＝a2m2，(am)3·(am－1)m＝a3m＋m2－m＝am2＋2m.故选C.
【答案】C
6．已知5x＝m，5y＝n，则52x＋3y等于( )
A．2m＋3n
B．m2＋n3
C．6mn
D．m2n3
【点拨】因为5x＝m，5y＝n，所以52x＋3y＝52x·53y＝(5x)2·(5y)3＝m2·n3＝m2n3.
【答案】D
7．若(a3)2＝64，则a等于( )
A．2
B．－2
C．±2
D．以上都不对
【点拨】因为(a3)2＝64，所以a6＝64，所以a＝±2.
C
8．【中考·绵阳】已知4m＝a，8n＝b，其中m，n为正整数，则22m＋6n＝( )
A．ab2
B．a＋b2
C．a2b3
D．a2＋b3
【点拨】22m＋6n＝22m×26n＝(22)m·(23)2n＝4m·82n＝4m·(8n)2＝ab2.
A
9．已知32m＝8n，则m，n满足的关系正确的是( )
A．4m＝n
B．5m＝3n
C．3m＝5n
D．m＝4n
【点拨】因为32m＝8n，所以(25)m＝(23)n,
即25m＝23n.所以5m＝3n.
B
10．若3×9m×27m＝321，则m的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
B
11．若5x＝125y，3y＝9z，则x：y：z等于( )
A．1：2：3
B．3：2：1
C．1：3：6
D．6：2：1
D
12．【中考·河北】若k为正整数，则
＝( )
A．k2k
B．k2k＋1
C．2kk
D．k2＋k
A
13.【中考·宜昌】数学讲究记忆方法，如计算(a5)2时若忘记了法则，可以借助(a5)2＝a5×a5＝a5＋5＝a10，得到正确答案．你计算(a2)5－a3×a7的结果是________．
0
14．【中考·乐山】若3m＝9n＝2，则3m＋2n＝________.
【点拨】由已知得3m＝32n＝2，
所以3m＋2n＝3m·32n＝2×2＝4.
4
15．已知x＋4y＝5，求4x×162y的值．
解：因为x＋4y＝5，
所以4x×162y＝4x×(42)2y＝4x×42×2y＝
4x＋4y＝45＝1
024.
16．已知275＝9×3x，求x的值．
解：因为275＝9×3x，所以(33)5＝32×3x.
所以315＝32＋x.所以2＋x＝15.所以x＝13.
17．下列四个算式中正确的有( )
①(a4)4＝a4＋4＝a8；
②[(b2)2]2＝b2×2×2＝b8；
③[(－x)3]2＝(－x)6＝x6；
④(－y2)3＝y6.
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【点拨】本题易错之处在于混淆幂的乘方与同底数幂的乘法法则的运用．②③正确．
【答案】C
18．马小虎同学做如下计算题：
①
x5＋x5＝x10；②
x5－x4＝x；③
x5·x5＝x10；
④(x3)2·x5＝x30；⑤(x5)2＝x25.
其中结果正确的是( )
A．①②③ B．②④ C．③ D．④⑤
C
19．计算：
(1)(－a2)3·a3＋(－a)2·a7－5(a3)3；
解：原式＝－a2×3·a3＋a2·a7－5×a3×3＝
－a6＋3＋a2＋7－5a9＝－a9＋a9－5a9＝－5a9.
(2)x5·x7＋x6·(－x3)2＋2(x3)4.
解：原式＝x5＋7＋x6·x3×2＋2x3×4＝
x12＋x6＋6＋2x12＝x12＋x12＋2x12＝4x12.
20．已知2×8x×16＝223，求x的值．
【点拨】综合运用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则将等式进行转化，运用方程思想确定字母的值是解决这类问题的常用方法．
解：因为2×8x×16＝223，所以
2×23x×24＝
223.
即23x＋5＝223.所以3x＋5＝23.所以x＝6.
21．已知3m＋2×92m－1×27m＝98，求m的值．
解：因为3m＋2×92m－1×27m＝98，
所以3m＋2×34m－2×33m＝316，
即38m＝316.
所以8m＝16.所以m＝2.
22．阅读下列解题过程：
试比较2100与375的大小．
解：2100＝(24)25＝1625，375＝(33)25＝2725.
因为16＜27，所以2100＜375.
请根据上述方法解答：比较255，344，433的大小．
解：因为255＝(25)11＝3211，
344＝(34)11＝8111，
433＝(43)11＝6411.
32＜64＜81，
所以255＜433＜344.
23．已知a＝833，b＝1625，c＝3219，试比较a，b，c的大小．
解：因为a＝833＝(23)33＝299，b＝1625＝(24)25＝2100，c＝3219＝(25)19＝295.
95＜99＜100，所以c＜a＜b.
24．阅读下列材料：
若a5＝10，b3＝4，比较a，b的大小．
解：a15＝(a5)3＝103＝1
000，
b15＝(b3)5＝45＝1
024.
因为1
024＞1
000，所以a15＜b15，所以a＜b.
依照上述方法解答下列问题：
已知x7＝2，y9＝3，试比较x与y的大小．
【点拨】利用幂的乘方比较大小的技巧：(1)底数比较法：运用幂的乘方变形为指数相等，底数不同的形式进行比较；(2)指数比较法：运用幂的乘方变形为底数相等，指数不同的形式进行比较；(3)乘方比较法：将幂同时乘方化为同指数幂，计算幂的结果，比较幂的大小，从而比较底数的大小．
解：因为x63＝(x7)9＝29＝512，
y63＝(y9)7＝37＝2
187.
512<2
187，所以x63＜y63.
所以x＜y.(共37张PPT)
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8．5 乘法公式
第八章
整式的乘法
第2课时 完全平方公式
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D
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C
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见习题
18
见习题
1．【中考·安顺】若式子x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k＝________．
10或－10
2．【中考·恩施州】下列计算正确的是( )
A．a2·a3＝a6
B．a(a＋1)＝a2＋a
C．(a－b)2＝a2－b2
D．2a＋3b＝5ab
B
3．计算(－4xy)2＋y2－4x2y3的最佳方法是( )
A．运用多项式乘多项式法则
B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则
D．运用完全平方公式
D
4．下列变形中，错误的是( )
①(b－4c)2＝b2－16c2；
②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；
③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；
④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
A
5．【中考·宜昌】化简(x－3)2－x(x－6)的结果为( )
A．6x－9
B．－12x＋9
C．9
D．3x＋9
C
6．若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为( )
A．2ab
B．－2ab
C．4ab
D．－4ab
C
7．已知(y＋a)2＝y2－8y＋b，那么a，b的值分别为( )
A．4，16
B．－4，－16
C．4，－16
D．－4，16
【点拨】因为(y＋a)2＝y2＋2ay＋a2＝y2－8y＋b，
所以2a＝－8，a2＝b.所以a＝－4，b＝16.
D
B
8．【中考·淄博】已知a，b满足a＋b＝3，a2＋b2＝7，则ab等于( )
A．2
B．1
C．－2
D．－1
C
【点拨】3(x－2)2－6(x＋1)(x－1)＝－3(x2＋4x)＋18，由x2＋4x－4＝0得x2＋4x＝4，所以原式＝－3×4＋18＝6，故选B.
10．【中考·白银】若x2＋4x－4＝0，则3(x－2)2－6(x＋1)(x－1)的值为( )
A．－6
B．6
C．18
D．30
B
11.【中考·资阳】4张长为a，宽为b(a＞b)的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为a＋b的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，若S1＝2S2，则a，b满足( )
A．2a＝5b
B．2a＝3b
C．a＝3b
D．a＝2b
【答案】D
12．【中考·福州】若x＋y＝10，xy＝1，则x3y＋xy3的值是________．
【点拨】原式＝xy(x2＋y2)＝xy[(x＋y)2－2xy]＝
1×(100－2)＝98.本题解题的关键是能够掌握整体代入的数学思想．
98
13．【中考·贵阳】下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：x(x＋2y)－(x＋1)2＋2x
＝x2＋2xy－x2＋2x＋1＋2x 第一步
＝2xy＋4x＋1.
第二步
(1)小颖的化简过程从第________步开始出现错误；
(2)对此整式进行化简．
一
解：x(x＋2y)－(x＋1)2＋2x
＝x2＋2xy－x2－2x－1＋2x
＝2xy－1.
14．已知(a＋b)2＝25，ab＝6，则a－b等于( )
A．1
B．－1
C．1或－1
D．以上都不正确
【点拨】把(a＋b)2，ab分别看成一个整体，则(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝1，所以a－b＝1或a－b＝－1.本题不能确定a，b的大小关系，所以a－b可以为正，也可以为负．解题时容易错误地认为完全平方公式中的a－b(或
a＋b)必须大于0，而漏掉a－b＝－1的情况．
【答案】C
15．(1)【中考·常州】先化简，再求值：
(x＋1)2－x(x＋1)，其中x＝2.
解：(x＋1)2－x(x＋1)
＝x2＋2x＋1－x2－x
＝x＋1.
当x＝2时，原式＝2＋1＝3.
(2)先化简，再求值：
(x－1)(3x＋1)－(x＋2)2＋5，其中x2－3x－1＝0.
解：原式＝3x2＋x－3x－1－x2－4x－4＋5＝2x2－6x.
因为x2－3x－1＝0，所以x2－3x＝1.
所以原式＝2(x2－3x)＝2×1＝2.
(1)请你检验这个等式的正确性．
(2)若a＝2
022，b＝2
023，c＝2
024，你能很快求出
a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值吗？试求出这个值．
(2)若x2＋2y2－2xy＋2y＋1＝0，求x＋2y的值；
解：原等式即为(x－y)2＋(y＋1)2＝0，
所以y＝－1，x＝－1.
所以x＋2y＝－1＋2×(－1)＝－3.
(3)试说明不论x，y取什么有理数，多项式x2＋y2－2x＋2y＋3的值总是正数；
解：x2＋y2－2x＋2y＋3
＝x2－2x＋1＋y2＋2y＋1＋1
＝(x－1)2＋(y＋1)2＋1，
因为(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
所以(x－1)2＋(y＋1)2＋1的最小值为1.
所以不论x，y取什么有理数，
多项式x2＋y2－2x＋2y＋3的值总是正数．
18．图①是一个长为2m，宽为2n(m＞n)的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)按要求填空：
①图②中阴影部分的正方形的边长等于__________．
m－n
②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积．
方法1：_________；
方法2：____________________.
(m－n)2
(m＋n)2－4mn
③观察图②，请写出(m＋n)2，(m－n)2，4mn这三个代数式之间的等量关系：______________________．
(m－n)2＝(m＋n)2－4mn
(2)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：
已知|m＋n－6|＋|mn－4|＝0，求(m－n)2的值．
【点拨】运用数形结合思想，用不同的方法表示出题图②中阴影部分的面积，以此建立等量关系来解决问题．
解：因为|m＋n－6|＋|mn－4|＝0，
所以m＋n－6＝0，mn－4＝0.
所以m＋n＝6，mn＝4.
由(1)知(m－n)2＝(m＋n)2－4mn，
所以(m－n)2＝(m＋n)2－4mn＝62－4×4＝20，
即(m－n)2＝20.(共24张PPT)
JJ版七年级下
阶段核心技巧
活用乘法公式的八种技巧
第八章
整式的乘法
4
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1．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4.求a2＋b2和ab的值．
3．计算：
(1)2002－400×199＋1992；
解：原式＝(200－199)2＝1.
(4)1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12.
4．对任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)能不能被10整除？为什么？
解：对任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)
(3＋n)能被10整除．理由如下：(3n＋1)(3n－1)－
(3－n)(3＋n)＝(3n)2－1－(32－n2)＝9n2－1－9＋n2＝10n2－10＝10(n2－1)．
因为对任意正整数n，10(n2－1)能被10整除，所以
(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)能被10整除．
5．(1)【中考·百色】观察下列各式的规律：
(a－b)(a＋b)＝a2－b2；
(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；
(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4；
…
可得到(a－b)(a2
022＋a2
021b＋…＋ab2
021＋b2
022)＝________________.
a2
023－b2
023
(2)猜想：
(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝________(其中n为正整数，且n≥2)．
(3)利用(2)猜想的结论计算：
29－28＋27－…＋23－22＋2.
an－bn
7．有一系列等式：
1×2×3×4＋1＝52＝(12＋3×1＋1)2；
2×3×4×5＋1＝112＝(22＋3×2＋1)2；
3×4×5×6＋1＝192＝(32＋3×3＋1)2；
4×5×6×7＋1＝292＝(42＋3×4＋1)2；
……
(1)根据你观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11＋1的结果为________；
892
(2)试猜想n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1是哪一个数的平方，并予以说明．
解：猜想：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n2＋3n＋1)2.
理由如下：等式左边＝(n2＋n)(n2＋5n＋6)＋1＝n4＋5n3＋6n2＋n3＋5n2＋6n＋1＝n4＋6n3＋11n2＋6n＋1，
等式右边＝(n2＋3n＋1)2＝(n2＋1)2＋2·3n·(n2＋1)＋9n2＝n4＋2n2＋1＋6n3＋6n＋9n2＝n4＋6n3＋11n2＋6n＋1，
因为左边＝右边，所以n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝
(n2＋3n＋1)2.
8．王老师在一次团体操队列队形设计中，先让全体队员排成一方阵(行与列的人数一样多的队形，且总人数不少于25人)，人数正好够用，然后再进行各种队形变化，其中一个队形需分为5人一组，手执彩带变换队形，在讨论分组方案时，有人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人，你说这可能吗？
【点拨】将各种可能人数列举出来，变形后根据余数来判断．
解：人数可能为(5n)2人，(5n＋1)2人，(5n＋2)2人，
(5n＋3)2人，(5n＋4)2人，n为正整数．
(5n)2＝5×5n2，
(5n＋1)2＝25n2＋10n＋1＝5(5n2＋2n)＋1，
(5n＋2)2＝25n2＋20n＋4＝5(5n2＋4n)＋4，
(5n＋3)2＝25n2＋30n＋9＝5(5n2＋6n＋1)＋4，
(5n＋4)2＝25n2＋40n＋16＝5(5n2＋8n＋3)＋1.
由此可见，无论哪一种情况，总人数按每组5人分，要么不多出人数，要么多出的人数是1人或4人，不可能是3人．
9．先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
x2±2xy＋y2＝(x±y)2及(x±y)2的值恒为非负数的特点在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式2x2＋12x－4的最小值时，我们可以这样处理：
解：原式＝2(x2＋6x－2)
＝2(x2＋6x＋9－9－2)
＝2[(x＋3)2－11]＝2(x＋3)2－22.
因为无论x取什么数，都有2(x＋3)2≥0，即
2(x＋3)2的最小值为0，此时x＝－3，
所以当x＝－3时，原多项式的最小值是－22.
请根据上面的解题思路，探求多项式3x2－6x＋12的最小值，并写出相应的x的取值．
解：原式＝3(x2－2x＋4)
＝3(x2－2x＋1－1＋4)
＝3(x－1)2＋9.
因为无论x取什么数，都有3(x－1)2≥0，
即3(x－1)2的最小值为0，此时x＝1.
所以当x＝1时，原多项式的最小值是9.(共34张PPT)
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8．5 乘法公式
第八章
整式的乘法
第1课时 平方差公式
4
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A
D
D
C
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A
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D
见习题
12
见习题
13
见习题
14
见习题
1．乘积等于a2－b2的式子是( )
A．(a＋b)(－a＋b)
B．(－a－b)(a－b)
C．(－a＋b)(－a－b)
D．以上都不对
C
D
3.下列各式中不能用平方差公式计算的是( )
A．(x－y)(－x＋y)
B．(－x＋y)(－x－y)
C．(－x－y)(x－y)
D．(x＋y)(－x＋y)
【点拨】选项A中，由于两个括号中含x，y项的符号都相反，故不能使用平方差公式，故正确；选项B中，两个括号中，含x项的符号相同，含y项的符号相反，故能使用平方差公式，故错误；选项C中，两个括号中，含x项的符号相反，含y项的符号相同，故能使用平方差公式，故错误；
选项D中，两个括号中，含x项的符号相反，含y项的符号相同，故能使用平方差公式，故错误．
【答案】A
4．已知a＋b＝12，a－b＝10，则a2－b2的值是( )
A．22
B．30
C．60
D．120
D
5．【中考·鄂州】下列运算正确的是( )
A．2x＋3x＝5x2
B．(－2x)3＝－6x3
C．2x3·3x2＝6x5
D．(3x＋2)(2－3x)＝9x2－4
C
6．【中考·孝感】下列计算正确的是( )
A．b3·b3＝2b3
B．(a＋2)(a－2)＝a2－4
C．(ab2)3＝ab6
D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b
B
7.若(－5a＋M)(4b＋N)＝16b2－25a2，则M，N分别为( )
A．4b，5a
B．－4b，5a
C．4b，－5a
D．－4b，－5a
【点拨】因为16b2－25a2＝(4b)2－(5a)2＝
(4b＋5a)(4b－5a)
＝(－5a＋M)(4b＋N)，
所以M＝4b，N＝5a.
A
8．如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分沿虚线剪开拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的公式是( )
A．a2＋b2＝(a＋b)(a－b)
B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
【答案】B
9．【中考·吉林】某同学化简a(a＋2b)－(a＋b)(a－b)出现了错误，解答过程如下：
原式＝a2＋2ab－(a2－b2)(第一步)
＝a2＋2ab－a2－b2(第二步)
＝2ab－b2.(第三步)
(1)该同学解答过程从第________步开始出错，错误原因是______________________；
二
去括号时没有变号
(2)写出此题正确的解答过程．
解：原式＝a2＋2ab－(a2－b2)
＝a2＋2ab－a2＋b2
＝2ab＋b2.
10．下列运算正确的是（ ）
A．(a－2b)(a－2b)＝a2－4b2
B．(－a＋2b)(a－2b)＝－a2＋4b2
C．(a＋2b)(－a＋2b)＝a2－4b2
D．(－a－2b)(－a＋2b)＝a2－4b2
【点拨】本题易错之处在于对平方差公式的左右结构特征没有认识清楚，从而导致选错．
【答案】D
(2)已知a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求a2－b2的值．
【点拨】本题体现了整体思想及平方差公式的逆用．
解：b－c＝2，a＋c＝14相加得a＋b＝16，
则a2－b2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.
(3)【中考·北京】已知5x2－x－1＝0，求代数式(3x＋2)(3x－2)＋x(x－2)的值．
解：(3x＋2)(3x－2)＋x(x－2)
＝9x2－4＋x2－2x＝10x2－2x－4.
因为5x2－x－1＝0，所以5x2－x＝1，
所以原式＝2(5x2－x)－4＝－2.
12．探究活动：
(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是________(写成两数平方差的形式)；
【点拨】本题探究活动中的(1)至(3)利用了数形结合的数学思想，根据几何图形的面积关系推出平方差公式．
a2－b2
(2)
若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，如图②，面积是________________
(写成多项式乘法的形式)；
【点拨】本题探究活动
中的(1)至(3)利用了数形
结合的数学思想，根据几
何图形的面积关系推出平方差公式．
(a＋b)(a－b)
(3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到公式____________________________．
【点拨】本题探究活动
中的(1)至(3)利用了数形
结合的数学思想，根据
几何图形的面积关系推
出平方差公式．
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：
(1)计算：(a＋b－2c)(a＋b＋2c)；
【点拨】在知识应用中利用了整体思想，根据平方差公式把2x－3y看成一个整体进行计算．
解：(a＋b－2c)(a＋b＋2c)＝(a＋b)2－4c2＝
a2＋2ab＋b2－4c2.
(2)若4x2－9y2＝10，4x＋6y＝4，求2x－3y的值．
【点拨】在知识应用中利用了整体思想，根据平方差公式把2x－3y看成一个整体进行计算．
解：因为4x2－9y2＝10，所以(2x＋3y)(2x－3y)＝10.又因为4x＋6y＝4，即2x＋3y＝2，所以2x－3y＝5.
13．先观察下面的解题过程，然后解答问题．
计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)．
解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)＝(24－1)·(24＋1)＝28－1.
14．探究应用：
(1)计算：
①(a－2)(a2＋2a＋4)；
解：(a－2)(a2＋2a＋4)
＝a3＋2a2＋4a－2a2－4a－8
＝a3－8.
②(2x－y)(4x2＋2xy＋y2)
解：(2x－y)(4x2＋2xy＋y2)
＝8x3＋4x2y＋2xy2－4x2y－2xy2－y3
＝8x3－y3.
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，通过观察写出一个新的乘法公式：__________________________(请用含a，b的等式表示)；
(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3
(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是( )
A．(a－3)(a2－3a＋9)
B．(2m－n)(2m2＋2mn＋n2)
C．(4－x)(16＋4x＋x2)
D．(m－n)(m2＋2mn＋n2)
C
(4)直接用公式计算下列各式：
①(3x－2y)(9x2＋6xy＋4y2)；
②(2m－3)(4m2＋6m＋9)．
解：(3x－2y)(9x2＋6xy＋4y2)＝27x3－8y3.
(2m－3)(4m2＋6m＋9)＝8m3－27.(共24张PPT)
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全章热门考点整合应用
第八章
整式的乘法
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1．(1)【中考·资阳】(－a2b)2＝________；
(2)42
022×(－0.25)2
023＝________；
(4)(－3)2
022＋(－3)2
023＝__________；
a4b2
－0.25
3
－2×32
022
(5)若7－2×7－1×70＝7p，则p的值为 ．
－3
【点拨】因为7－2×7－1×70＝7p，
所以－2－1＋0＝p，解得p＝－3.
2．(1)计算：(－0.125)2
021×82
022；
解：原式＝(－0.125)2
021×82
022×8＝
(－0.125×8)2
021×8＝－8.
(2)已知10x＝5，10y＝6，求103x＋2y的值．
解：103x＋2y＝103x·102y
＝(10x)3·(10y)2
＝53×62＝4
500.
3．已知x＋y＝a，试求(x＋y)3(2x＋2y)3(3x＋3y)3的值．
解：(x＋y)3(2x＋2y)3(3x＋3y)3
＝(x＋y)3·[2(x＋y)]3·[3(x＋y)]3
＝(x＋y)3·8(x＋y)3·27(x＋y)3
＝216(x＋y)9
＝216a9.
4．计算：
(1)ab(3a－2b)＋2ab2；
(2)(a＋b)2－b(2a＋b)；
解：原式＝3a2b－2ab2＋2ab2＝3a2b.
原式＝a2＋2ab＋b2－2ab－b2＝a2.
(3)(3x－2y)(y－3x)－(2x－y)(3x＋y).
解：原式＝(－9x2＋9xy－2y2)－(6x2－xy－y2)
＝－15x2＋10xy－y2.
5．计算(3m－4n)(3m＋4n)(9m2＋16n2)的结果是 .
81m4－256n4
7．求2(3＋1)(32＋1)(34＋1)…(364＋1)＋1的个位数字．
解：原式＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)…(364＋1)＋1
＝(32－1)(32＋1)(34＋1)…(364＋1)＋1
＝3128－1＋1＝3128.
因为3128＝(34)32＝8132，所以3128的个位数字为1.
8．计算：
(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)；
解：(3a＋b－2)(3a－b＋2)
＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]
＝(3a)2－(b－2)2
＝9a2－b2＋4b－4.
(2)2(a＋1)2＋(a＋1)(1－2a)．
解：原式＝2(a2＋2a＋1)＋(a－2a2＋1－2a)
＝2a2＋4a＋2＋a－2a2＋1－2a
＝3a＋3.
9．【中考·攀枝花】已知x＝3，将下面代数式先化简，再求值：(x－1)2＋(x＋2)(x－2)＋(x－3)(x－1)．
解：(x－1)2＋(x＋2)(x－2)＋(x－3)(x－1)
＝x2－2x＋1＋x2－4＋x2－x－3x＋3
＝3x2－6x.
将x＝3代入，得原式＝27－18＝9.
10．已知m，n满足(m＋n)2＝169，(m－n)2＝9，求m2＋n2－mn的值．
解：因为(m＋n)2＋(m－n)2＝
m2＋2mn＋n2＋m2－2mn＋n2＝2(m2＋n2)，
所以2(m2＋n2)＝169＋9＝178.
所以m2＋n2＝89.
因为(m＋n)2－(m－n)2＝
m2＋2mn＋n2－m2＋2mn－n2＝4mn，
所以4mn＝169－9＝160.
所以mn＝40.
所以m2＋n2－mn＝89－40＝49.
11．(1)已知2m－1＝2，求3＋4m的值；
【点拨】本题运用了整体思想，将2m，x－y，xy整体代入求出式子的值．
解：因为2m－1＝2，所以2m＝3.
所以3＋4m＝3＋(22)m＝3＋(2m)2＝3＋32＝12.
(2)已知x－y＝7，xy＝10，求x2＋y2的值．
【点拨】本题运用了整体思想，将2m，x－y，xy整体代入求出式子的值．
解：因为x2＋y2＝(x－y)2＋2xy，x－y＝7，xy＝10，
所以原式＝72＋2×10＝69.
12．计算：(x＋y＋z)2.
解：(x＋y＋z)2
＝[(x＋y)＋z]2
＝(x＋y)2＋2z(x＋y)＋z2
＝x2＋2xy＋y2＋2xz＋2yz＋z2.
13．若2×8m×16m＝229，则m的值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
B
【点拨】若两个多项式相等，则对应项的系数相等．
14．已知px2－60x＋25＝(qx－5)2，求p，q的值．
解：(qx－5)2＝(qx)2－2×5×(qx)＋25＝q2x2－10qx＋25.
因为px2－60x＋25＝(qx－5)2，
所以px2－60x＋25＝q2x2－10qx＋25.
所以p＝q2，－60＝－10q.
解得q＝6，p＝36.(共30张PPT)
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8．3 同底数幂的除法
第八章
整式的乘法
第1课时 同底数幂的除法
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1．【中考·安徽】计算(－a)6÷a3的结果是( )
A．－a3
B．－a2
C．a3
D．a2
C
2．【中考·镇江】下列计算正确的是( )
A．a3＋a3＝a6
B．(a3)2＝a6
C．a6÷a2＝a3
D．(ab)3＝ab3
B
3．【中考·扬州】下列各式中，计算结果为m6的是( )
A．m2·m3
B．m3＋m3
C．m12÷m2
D．(m2)3
D
4．【中考·滨州】下列运算：
①a2·a3＝a6;
②(a3)2＝a6；
③a5÷a5＝a;
④(ab)3＝a3b3.
其中结果正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B
5．【
中考?南京】计算106×(102)3÷104的结果是( )
A．103
B．107
C．108
D．109
C
6.计算an＋1·an－1÷(an)2(a≠0)的结果是( )
A．1
B．0
C．－1
D．±1
A
【点拨】an＋1·an－1÷(an)2＝a(n＋1)＋(n－1)÷a2n＝a2n÷a2n＝1.
D
7．【中考·河北】墨迹覆盖了等式“x3●x＝x2(x≠0)”中的运算符号，则覆盖的是( )
A．＋
B．－
C．×
D．÷
8．计算16m÷4n÷2等于( )
A．2m－n－1
B．22m－n－1
C．23m－2n－1
D．24m－2n－1
【点拨】16m÷4n÷2＝(24)m÷(22)n÷2＝24m÷22n÷2＝24m－2n－1.
D
9．若m·23＝26，则m等于( )
A．2
B．4
C．6
D．8
【点拨】m＝26÷23＝26－3＝23＝8.
D
10．如果xm＝3，xn＝2，那么xm－n的值是( )
A．1.5
B．6
C．8
D．9
A
D
12.如果(x－1)7÷(1－x)6＝3x＋5(x≠1)，那么x的值为________．
【点拨】因为(x－1)7÷(1－x)6＝(x－1)7÷(x－1)6＝
x－1(x≠1)，所以x－1＝3x＋5，解得x＝－3.
－3
13．【中考·达州】已知am＝3，an＝2，则a2m－n的值为________．
【点拨】因为am＝3，所以a2m＝32＝9，所以a2m－n＝a2m÷an＝
＝4.5.
4.5
14．若2x＝a，4y＝b，求2x－2y的值(用含a，b的式子表示)．
15．化简：(x－y)12·(y－x)2÷(y－x)3.
【点拨】本题应先将底数互为相反数的幂化为同底数幂再进行计算．此题的易错之处是弄错符号．
解：原式＝(x－y)12·(x－y)2÷[－(x－y)3]＝
－(x－y)11或原式＝(y－x)12·(y－x)2÷(y－x)3＝
(y－x)11.
16．计算：
(1)[(xn＋1)4·x2]÷[(xn＋2)3÷(x2)n]；
解：原式＝x4n＋4＋2÷(x3n＋6÷x2n)＝x4n＋6÷xn＋6＝x3n.
(2)
(a·am＋1)2－(a2)m＋3÷a2；
解：原式＝a2m＋4－a2m＋6÷a2＝
a2m＋4－a2m＋4＝0.
(3)(3a2)2－a2·2a2＋(－2a3)2÷a2.
原式＝9a4－2a4＋4a6÷a2＝
9a4－2a4＋4a4＝11a4.
17．(1)先化简，再求值：
(2x－y)13÷[(2x－y)3]2÷[(y－2x)2]3，其中x＝2，y＝－1.
解：原式＝(2x－y)13÷(2x－y)6÷(2x－y)6＝
(2x－y)13－6－6＝2x－y，
当x＝2，y＝－1时，原式＝2x－y＝2×2－(－1)＝5.
(2)已知xa＝3，xb＝6，xc＝12，求x2a－b＋c的值．
解：因为xa＝3，
所以x2a＝(xa)2＝32＝9.
所以x2a－b＋c＝x2a÷xb·xc＝9÷6×12＝18.
(3)已知3x－2y－3＝0，求103x÷102y.
解：因为3x－2y－3＝0，
所以3x－2y＝3.
所以103x÷102x＝103x－2x＝103＝1
000.
18．已知3a＝4，3b＝10，3c＝25.
(1)求32a的值；
解：32a＝(3a)2＝42＝16.
(2)求3c－b＋a的值；
(3)试说明：2b＝a＋c.
解：3c－b＋a＝3c÷3b·3a＝25÷10×4＝10.
因为32b＝(3b)2＝102＝100，
3a＋c＝3a×3c＝4×25＝100，
所以32b＝3a＋c.所以2b＝a＋c.
19．已知53x＋1÷5x－1＝252x－3，求x的值．
【点拨】先利用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，将原等式化成左右两边底数相同的形式，再根据指数相等建立方程求解．
解：由已知得52x＋2＝54x－6，
所以2x＋2＝4x－6.所以x＝4.
(2)已知am＝2，an＝4，ak＝32(a≠0)，求a3m＋2n－k的值．
解：因为a3m＝(am)3＝23，a2n＝(an)2＝42＝24，
ak＝32＝25，
所以a3m＋2n－k＝a3m·a2n÷ak＝23·24÷25＝23＋4－5＝22＝4.(共35张PPT)
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8．1 同底数幂的乘法
第八章
整式的乘法
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C
1．下列各组中的两个式子是同底数幂的是( )
A．23与32
B．a3与(－a)3
C．(m－n)5与(m－n)6
D．(a－b)2与(b－a)3
B
2．下列各式能用同底数幂的乘法法则进行计算的是( )
A．(x＋y)2·(x－y)3
B．(－x－y)·(x＋y)2
C．(x＋y)2＋(x＋y)3
D．－(x－y)2·(－x－y)3
C
3．【中考·重庆B】计算a·a2结果正确的是( )
A．a
B．a2
C．a3
D．a4
4．【中考·雅安】下列式子运算正确的是( )
A．2x＋3x＝5x2
B．－(x＋y)＝x－y
C．x2·x3＝x5
D．x4＋x＝x4
C
5．当a＜0时，(－a)5·(－a)2n的值为( )
A．正数
B．负数
C．非正数
D．非负数
【点拨】因为a＜0，所以－a＞0.
因为(－a)5·(－a)2n＝(－a)2n＋5，
所以(－a)2n＋5＞0.
【答案】A
6．计算(a－b)2n(b－a)(a－b)m－1的结果是( )
A．(a－b)2n＋m
B．－(a－b)2n＋m
C．(b－a)2n＋m
D．以上都不对
【点拨】原式＝(a－b)2n·[－(a－b)]·(a－b)m－1＝
－(a－b)2n·(a－b)·(a－b)m－1＝－(a－b)2n＋1＋m－1＝
－(a－b)2n＋m.
【答案】B
D
7．x3m＋3可以写成( )
A．3xm＋1
B．x3m＋x3
C．x3·xm＋1
D．x3m·x3
A
8．计算(－2)2
023＋(－2)2
022的结果是( )
A．－22
022
B．22
022
C．－22
023
D．22
023
9.若m为偶数，则(a－b)m·(b－a)n与(b－a)m＋n的结果( )
A．相等
B．互为相反数
C．不相等
D．以上说法都不对
【点拨】因为m为偶数，所以(a－b)m＝(b－a)m，所以(a－b)m·(b－a)n＝(b－a)m·(b－a)n＝(b－a)m＋n.
【答案】A
【总结】当n为偶数时，(a－b)n＝(b－a)n；当n为奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n.
A
10．【中考?河南】电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1
GB＝210
MB，1
MB＝210
KB，1
KB＝210
B．某视频文件的大小约为1
GB，1
GB等于( )
A．230
B
B．830
B
C．8×1010
B
D．2×1030
B
11．一个长方形的长是4.2×104
cm，宽是2×104
cm，求此长方形的面积及周长．
解：面积＝长×宽＝4.2×104×2×104＝8.4×108(cm2)．
周长＝2(长＋宽)＝2×(4.2×104＋2×104)＝1.24×105(cm)．
故长方形的面积为8.4×108
cm2，周长为1.24×105
cm.
12．已知2x＝5，2y＝7，2z＝35.试说明：x＋y＝z.
解：因为2x＝5，2y＝7，2z＝35，
所以2x·2y＝5×7＝35＝2z.
又因为2x·2y＝2x＋y，所以2x＋y＝2z.
所以x＋y＝z.
13．请分析以下解答过程是否正确，如不正确，请写出正确的解答过程．
计算：(1)x·x3；(2)(－x)2·(－x)4；(3)x4·x3.
解：(1)x·x3＝x0＋3＝x3.
(2)(－x)2·(－x)4＝(－x)6＝－x6.
(3)x4·x3＝x4×3＝x12.
【点拨】(1)x的指数是1时省略不写，不能误以为指数是0；
(2)幂的符号错误；
(3)同底数幂相乘，底数不变，指数相加，不能误以为是指数相乘．
解：(1)(2)(3)的解答过程均不正确，正确的解答过程如下：
(1)x·x3＝x1＋3＝x4.
(2)(－x)2·(－x)4＝(－x)2＋4＝(－x)6＝x6.
(3)x4·x3＝x4＋3＝x7.
14．计算：
(1)x·(－x)2·(－x)2n＋1－x2n＋2·x2(n为正整数)；
解：x·(－x)2·(－x)2n＋1－x2n＋2·x2＝
－x2n＋4－x2n＋4＝－2x2n＋4.
(2)(y－x)2(x－y)＋(x－y)3＋2(x－y)2(y－x)．
解：(y－x)2(x－y)＋(x－y)3＋2(x－y)2(y－x)＝(x－y)3＋(x－y)3－2(x－y)3＝0.
15．(1)已知a3·am·a2m＋1＝a25，求m的值．
解：因为a3·am·a2m＋1＝a25，
所以a3＋m＋2m＋1＝a25.
所以3＋m＋2m＋1＝25.
所以m＝7.
(2)已知xm－n·x2n＋1＝x11，ym－1·y5－n＝y6，求mn2的值．
解：由题意得m－n＋2n＋1＝11，m－1＋5－n＝6，解得m＝6，n＝4.
所以mn2＝6×42＝96.
解：因为16＝42，64＝43，所以43x－1×16＝
43x－1×42＝43x＋1，64×4＝43×4＝44.因为
43x－1×16＝64×4，所以43x＋1＝44.所以3x＋1＝4，解得x＝1.
(3)已知43x－1×16＝64×4，求x的值．
16．(1)【中考·潍坊】若2x＝3，2y＝5，则2x＋y＝______．
(2)已知ax＝5，ax＋y＝35，求ax＋ay的值．
15
解：因为ax＋y＝35，所以ax·ay＝35.
又因为ax＝5，所以ay＝7.
所以ax＋ay＝12.
解：因为x2a＋b·x3a－b·xa＝x12，
所以2a＋b＋3a－b＋a＝12，解得a＝2.
当a＝2时，－a100＋2101＝－2100＋2101＝
－1×2100＋2100×2＝2100×(－1＋2)＝2100.
(3)已知x2a＋b·x3a－b·xa＝x12，求－a100＋2101的值．
17．我们规定：a?b＝10a×10b，例如：3?4＝103×104＝107.
(1)试求12?3和2?5的值；
解：12?3＝1012×103＝1015，
2?5＝102×105＝107.
解：不相等．
因为(a?b)
?c＝(10a×10b)
?c＝10a＋b?c＝
1010a＋b×10c＝1010a＋b＋c，a?(b?c)＝a?(10b×10c)＝a?10b＋c＝10a×1010b＋c＝10a＋10b＋c，
所以(a?b)
?c≠a?
(b?c)．
(2)想一想(a?b)
?c与a?
(b?c)(其中a，b，c都不相等)相等吗？请验证你的结论．
18．阅读材料：
求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22
021＋22
022的值．
解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22
021＋22
022 ①，
将等式两边同时乘2，得
2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22
022＋22
023 ②，
②－①，得2S－S＝22
023－1，即S＝22
023－1，
所以1＋2＋22＋23＋24＋…＋22
021＋22
022＝22
023－1.
请你仿照此法计算：
(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋29＋210；
解：设M＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋29＋210 ①，
将等式两边同时乘2，得2M＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋210＋211 ②，
②－①，得2M－M＝211－1，即M＝211－1，
所以1＋2＋22＋23＋24＋…＋29＋210＝211－1.
(2)1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n－1＋3n(其中n为正整数)．
【点拨】此题考查了同底数幂的乘法法则，弄清阅读材料中的技巧是解答本题的关键．(共17张PPT)
JJ版七年级下
8．6 科学记数法
第八章
整式的乘法
4
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6
7
1
2
3
5
D
D
D
B
D
B
8
B
B
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10
11
9
见习题
12
见习题
见习题
见习题
1．【
中考·河北】把0.081
3写成a×10n(1≤a＜10，n为整数)的形式，则a为( )
A．1
B．－2
C．0.813
D．8.13
D
2．0.000
182用科学记数法表示应为( )
A．0.182×10－3
B．1.82×10－4
C．1.82×10－5
D．18.2×10－4
B
3．【中考?贵港】用科学记数法表示的数是1.69×105，则原来的数是( )
A．169
B．1
690
C．16
900
D．169
000
D
4．【中考·福州】计算3.8×107－3.7×107，结果用科学记数法表示为( )
A．0.1×107
B．0.1×106
C．1×107
D．1×106
D
5．2020年2月19日，中国红十字总会公布接受新冠肺炎社会捐赠资金和物资使用情况总计超过1
200
000
000元，1
200
000
000用科学记数法表示为( )
A．12×106
B．1.2×107
C．1.2×108
D．1.2×109
D
6．【中考?青岛】斑叶兰被列为国家二级保护植物，它的一粒种子重约0.000
000
5克．将0.000
000
5用科学记数法表示为( )
A．5×107
B．5×10－7
C．0.5×10－6
D．5×10－6
B
7．【中考?攀枝花】中国抗疫取得了巨大成就，堪称奇迹，为世界各国防控疫情提供了重要借鉴和支持，让中国人民倍感自豪.2020年1月12日，世界卫生组织正式将2019新型冠状病毒命名为2019－nCoV.该病毒的直径在0.000
000
08米～0.000
000
12米，将0.000
000
12用科学记数法表示为a×10n的形式，则n为( )
A．－8
B．－7
C．7
D．8
B
8．【中考?威海】人民日报讯，2020年6月23日，中国成功发射北斗系统第55颗导航卫星．至此中国提前半年全面完成北斗三号全球卫星导航系统星座部署．北斗三号卫星上配置的新一代国产原子钟，使北斗导航系统授时精度达到十亿分之一秒．十亿分之一用科学记数法可以表示为( )
A．10×10－10
B．1×10－9
C．0.1×10－8
D．1×109
【答案】B
9．用科学记数法表示：0.000
048.
【点拨】易出现的错误为0.000
048＝4.8×105，
将10的指数的负号遗漏．
解：0.000
048＝4.8×10－5.
10．已知1
nm＝0.000
000
001
m，则2
022
nm用科学记数法表示为____________m.
2.022×10－6
解：原式＝[5.2÷(－4)]×(10－9÷10－3)＝－1.3×10－6.
11．计算(结果用科学记数法表示)
：(5.2×10－9)÷(－4×10－3)．
12．已知1
cm3的氢气的质量用科学记数法表示约为9×10－5
g，一块橡皮的质量为45
g.
(1)用小数表示1
cm3的氢气的质量；
解：9×10－5
g＝0.000
09
g.
(2)这块橡皮的质量是1
cm3的氢气的质量的多少倍？
解：45÷0.000
09＝500
000＝5×105，
故这块橡皮的质量是1
cm3的氢气的质量的5×105倍．
