(共37张PPT)
JJ版七年级下
11．3 公式法
第十一章
因式分解
第2课时 用完全平方公式分解因式
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(m＋2)2
A
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a(b－1)2
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1．【中考·龙岩】下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A．x2＋x＋1
B．x2＋2x－1
C．x2－1
D．x2－6x＋9
D
2．已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( )
A．64
B．48
C．32
D．16
A
3．给多项式x8＋4加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，则加上的单项式是________________(写出一个即可)．
4x4(答案不唯一)
4．【中考·温州】分解因式：m2＋4m＋4＝________．
(m＋2)2
5．【中考·安徽】下列分解因式正确的是( )
A．－x2＋4x＝－x(x＋4)
B．x2＋xy＋x＝x(x＋y)
C．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2
D．x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2)
C
6．把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( )
A．(x－y)2
B．(－x－y)2
C．－(x－y)2
D．－(x＋y)2
C
7．把多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2因式分解的结果为( )
A．(3a－b)2
B
．(3b＋a)2
C
．(3b－a)2
D
．(3a＋b)2
C
8．如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是( )
A．a2＋b2
B．a＋b
C．a－b
D．a2－b2
【点拨】易知正方形的面积为a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，所以原正方形的边长是a＋b.
【答案】B
9．【中考·无锡】因式分解：ab2－2ab＋a＝________.
a(b－1)2
【点拨】8a3－8a2＋2a＝2a(4a2－4a＋1)＝2a(2a－1)2.
故选C.
10．【中考·聊城】把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是( )
A．2a(4a2－4a＋1)
B．8a2(a－1)
C．2a(2a－1)2
D．2a(2a＋1)2
C
11．【中考·潍坊】下列因式分解正确的是( )
A．3ax2－6ax＝3(ax2－2ax)
B．x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)
C．a2＋2ab－4b2＝(a＋2b)2
D．－ax2＋2ax－a＝－a(x－1)2
D
【答案】A
【答案】C
14．把下列各式分解因式：
(1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9；
【点拨】对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法．四项式一般采用“二二”或“三一”分组，五项式一般采用“三二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法继续分解，注意分解因式要彻底．
解：原式＝(a2－4＋3)2
＝(a2－1)2
＝(a＋1)2(a－1)2.
(2)
(x2＋16y2)2－64x2y2；
【点拨】对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法．四项式一般采用“二二”或“三一”分组，五项式一般采用“三二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法继续分解，注意分解因式要彻底．
解：原式＝(x2＋16y2)2－(8xy)2
＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy)
＝(x＋4y)2(x－4y)2.
(3)a3－a＋2b－2a2b；
【点拨】对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法．四项式一般采用“二二”或“三一”分组，五项式一般采用“三二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法继续分解，注意分解因式要彻底．
解：原式＝a(a2－1)＋2b(1－a2)
＝(a－2b)(a2－1)
＝(a－2b)(a＋1)(a－1)．
(4)【中考·齐齐哈尔】a2＋1－2a＋4(a－1)．
【点拨】对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法．四项式一般采用“二二”或“三一”分组，五项式一般采用“三二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法继续分解，注意分解因式要彻底．
解：原式＝(a－1)2＋4(a－1)
＝(a－1)(a－1＋4)
＝(a－1)(a＋3)．
16．已知x2－y2＝20，求[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]的值．
【点拨】灵活运用完全平方公式分解因式，然后整体代入求值．
解：∵x2－y2＝20，
∴[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]
＝(x2＋2xy＋y2)(x2－2xy＋y2)
＝(x＋y)2(x－y)2＝[(x＋y)(x－y)]2
＝(x2－y2)2＝202＝400.
17．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足(a＋b＋c)2＝3(a2＋b2＋c2)，试确定△ABC的形状．
【点拨】利用完全平方公式把原式整理成三个非负数的和为零的形式，得到a＝b＝c，即可确定△ABC的形状．
解：∵(a＋b＋c)2＝3(a2＋b2＋c2)，
∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝3a2＋3b2＋3c2，
∴a2＋b2－2ab＋b2＋c2－2bc＋c2＋a2－2ac＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0，
∴a＝b＝c.故△ABC为等边三角形．
18．【中考·河北】有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：
(1)从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
解：A区显示的结果为25＋2a2，B区显示的结果为－16－6a.
(2)从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
解：这个和不能为负数，
理由：根据题意得，25＋4a2＋(－16－12a)＝
25＋4a2－16－12a＝4a2－12a＋9＝(2a－3)2.
∵(2a－3)2≥0，∴这个和不能为负数．(共28张PPT)
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第十一章
因式分解
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2．求下列代数式的值：
(1)x2y－xy2，其中x－y＝1，xy＝2
022；
解：x2y－xy2＝xy(x－y)．
当x－y＝1，xy＝2
022时，
原式＝xy(x－y)＝2
022.
(3)a2b＋2a2b2＋ab2，其中a＋b＝3，ab＝2.
解：a2b＋2a2b2＋ab2＝ab(a＋2ab＋b)＝
ab[(a＋b)＋2ab]．
当a＋b＝3，ab＝2时，
原式＝ab[(a＋b)＋2ab]＝2×(3＋2×2)＝14.
3．把下列各式因式分解：
(1)16x2－25y2；
(2)x2－4xy＋4y2；
解：原式＝(4x＋5y)(4x－5y)．
原式＝(x－2y)2.
(3)(a＋2b)2－(2a－b)2；
(4)(m2＋4m)2＋8(m2＋4m)＋16；
解：原式＝[(a＋2b)＋(2a－b)]·[(a＋2b)－(2a－b)]＝(3a＋b)(3b－a)．
原式＝[(m2＋4m)＋4]2＝[(m＋2)2]2＝(m＋2)4.
(5)81x4－y4.
解：原式＝(9x2－y2)(9x2＋y2)＝
(3x＋y)(3x－y)(9x2＋y2)．
4．计算：
(1)2.1×31.4＋62×3.14＋0.17×314；
解：原式＝2.1×31.4＋6.2×31.4＋1.7×31.4
＝31.4×(2.1＋6.2＋1.7)
＝31.4×10
＝314.
(3)－101×190＋1012＋952.
解：原式＝1012－2×101×95＋952
＝(101－95)2
＝36.
5．对于任意自然数n，(n＋7)2－(n－5)2是否能被24整除？
解：(n＋7)2－(n－5)2
＝[(n＋7)＋(n－5)][(n＋7)－(n－5)]
＝(n＋7＋n－5)(n＋7－n＋5)
＝(2n＋2)×12＝24(n＋1)．
因为24(n＋1)中含有24这个因数，
所以(n＋7)2－(n－5)2能被24整除．
6．已知△ABC的三边长a，b，c满足a2－b2＝ac－bc，试判断△ABC的形状．
解：因为a2－b2＝ac－bc，
所以(a－b)(a＋b)＝c(a－b)．
所以(a－b)(a＋b)－c(a－b)＝0.
所以(a－b)(a＋b－c)＝0.
因为a，b，c是△ABC的三边长，
所以a＋b－c≠0.所以a－b＝0.
所以a＝b.所以△ABC为等腰三角形．
7．若一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，试判断该三角形的形状，并说明理由．
解：此三角形是等边三角形．理由如下：
∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，
∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0.
即(a－b)2＋(b－c)2＝0.
∴a－b＝0且b－c＝0.
∴a＝b且b＝c.所以a＝b＝c.
∴此三角形是等边三角形．
8．因式分解：
(1)a2－ab＋ac－bc；
【思路导引】按公因式分组，第一、二项有公因式a，第三、四项有公因式c，各自提取公因式后均剩下(a－b)；
解：原式＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a－b)(a＋c)．
(2)x3＋6x2－x－6.
【思路导引】按系数特点分组，由系数特点知第一、三项为一组，第二、四项为一组．
解：原式＝(x3－x)＋(6x2－6)＝x(x2－1)＋6(x2－1)＝(x2－1)(x＋6)＝(x＋1)(x－1)(x＋6)．
9．因式分解：
(1)x2－y2－2x－4y－3；
【点拨】拆项和添项是在因式分解难以进行的情况下的一种辅助方法，通过适当的“拆项”或“添项”后再分组，以达到最终因式分解的目的．
解：原式＝x2－y2－2x－4y－4＋1
＝(x2－2x＋1)－(y2＋4y＋4)
＝(x－1)2－(y＋2)2
＝[(x－1)＋(y＋2)]·[(x－1)－(y＋2)]
＝(x＋y＋1)(x－y－3)．
(2)x4＋4.
【点拨】拆项和添项是在因式分解难以进行的情况下的一种辅助方法，通过适当的“拆项”或“添项”后再分组，以达到最终因式分解的目的．
解：原式＝x4＋4x2－4x2＋4
＝(x4＋4x2＋4)－4x2
＝(x2＋2)2－(2x)2
＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2)．
10．因式分解：(4a2－4a－1)(4a2－4a＋3)＋4.
【点拨】当对某些代数式难以直接恒等变形或因式分解时，常采用换元法，将没有规律的代数式转化为有规律的代数式进行因式分解．
解：令4a2－4a＝y，则原式＝(y－1)(y＋3)＋4＝
y2＋2y－3＋4＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2.
将y＝4a2－4a代入上式，得
(y＋1)2＝(4a2－4a＋1)2＝(2a－1)4.
【点拨】恒等变形的最后一步应用(a－b)2＝
a2－2ab＋b2＝a2＋2ab＋b2－4ab＝(a＋b)2－4ab，这一变形的目的是使所求的式子里含a＋b这样的项．(共20张PPT)
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阶段核心应用
因式分解的八种常见应用
第十一章
因式分解
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1．利用因式分解计算：
(1)1012＋492＋101×98；
解：原式＝1012＋2×101×49＋492
＝(101＋49)2
＝1502＝22
500.
(2)8002－1
600×798＋7982.
解：原式＝(800－798)2＝22＝4.
(2)已知x－y＝1，xy＝2，求x3y－2x2y2＋xy3的值．
解：x3y－2x2y2＋xy3
＝xy(x2－2xy＋y2)
＝xy(x－y)2.
当x－y＝1，xy＝2时，原式＝2×12＝2.
3．当n为整数时，(n＋1)2－(n－1)2能被4整除吗？请说明理由．
解：能被4整除．理由：(n＋1)2－(n－1)2＝
(n＋1＋n－1)(n＋1－n＋1)＝4n，
∵n为整数，∴4n为4的整数倍，
∴当n为整数时，(n＋1)2－(n－1)2能被4整除．
4．先阅读下列材料，然后解题：
材料：因为(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6，所以(x2＋x－6)÷(x－2)＝x＋3，即x2＋x－6能被x－2整除，所以x－2是x2＋x－6的一个因式，且当x＝2时，x2＋x－6＝0.
(1)类比思考：(x＋2)(x＋3)＝x2＋5x＋6，所以x2＋5x＋6能被_____________整除，所以_________________是x2＋5x＋6的一个因式，且当x＝___________时，x2＋5x＋6＝0；
(x＋2)或(x＋3)
(x＋2)或(x＋3)
－2或－3
解：∵x2＋mx－14能被x＋2整除，
∴当x＝－2时，x2＋mx－14＝0.
∴(－2)2＋m×(－2)－14＝0，解得m＝－5.
(2)拓展探究：根据以上材料，已知多项式x2＋mx－14能被x＋2整除，试求m的值．
5．已知x，y是等腰三角形ABC的两边长，且满足4x2＋10y2－12xy－4y＋4＝0，求△ABC的周长．
解：由4x2＋10y2－12xy－4y＋4＝0，
可得4x2－12xy＋9y2＋y2－4y＋4＝0，
即(2x－3y)2＋(y－2)2＝0，
所以2x－3y＝0，y－2＝0，所以x＝3，y＝2.
当x为底边长时，三角形的三边长分别为3，2，2，符合三边关系，所以周长为7；当x为腰长时，三角形的三边长分别为3，3，2，符合三边关系，所以周长为8.综上，△ABC的周长为7或8.
6．已知a，b，c为△ABC的三条边的长，且b2＋2ab＝c2＋2ac.
(1)试判断△ABC的形状；
解：∵b2＋2ab＝c2＋2ac，∴(b2－c2)＋(2ab－2ac)＝0.
∴(b＋c)(b－c)＋2a(b－c)＝0.∴(b－c)(b＋c＋2a)＝0.
∵b＋c＋2a＞0，∴b－c＝0，即b＝c.
∴△ABC是等腰三角形．
(2)若a＝4，b＝3，求△ABC的周长．
解：由(1)可知，b＝c＝3.
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋3＋3＝10.
7．已知P＝2x2＋4y＋13，Q＝x2－y2＋6x－1，比较P，Q的大小．
解：P－Q＝(2x2＋4y＋13)－(x2－y2＋6x－1)
＝x2－6x＋y2＋4y＋14＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1.
∵(x－3)2≥0，(y＋2)2≥0，
∴P－Q＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1≥1.∴P＞Q.
8．若a，b，c为三角形的三边长，试说明：(a2＋b2－c2)2－4a2b2的值一定为负．
解：(a2＋b2－c2)2－4a2b2
＝(a2＋b2－c2)2－(2ab)2
＝(a2＋b2－c2＋2ab)(a2＋b2－c2－2ab)
＝[(a＋b)2－c2][(a－b)2－c2]
＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)．
∵a，b，c为三角形的三边长，
∴a＋b＋c＞0，a＋b－c＞0，a－b＋c＞0，a－b－c＜0.
∴(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)＜0，
即(a2＋b2－c2)2－4a2b2＜0.
故(a2＋b2－c2)2－4a2b2的值一定为负．
9．观察下列各式：
12＋(1×2)2＋22＝9＝32，
22＋(2×3)2＋32＝49＝72，
32＋(3×4)2＋42＝169＝132，….
你发现了什么规律？请用含有字母n(n为正整数)的等式表示出来，并说明理由．
解：规律为n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2.
理由如下：
n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2
＝[n(n＋1)]2＋2n2＋2n＋1
＝[n(n＋1)]2＋2n(n＋1)＋1
＝[n(n＋1)＋1]2.(共37张PPT)
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11．3 公式法
第十一章
因式分解
第1课时 用平方差公式分解因式
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1．【中考·金华】下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋b2
B．2a－b2
C．a2－b2
D．－a2－b2
C
2．【中考·无锡】分解因式4x2－y2的结果是( )
A．(4x＋y)(4x－y)
B．4(x＋y)(x－y)
C．
(2x＋y)(2x－y)
D．2(x＋y)(x－y)
C
3．【中考·北海】下列因式分解正确的是( )
A．x2－4＝(x＋4)(x－4)
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．3mx－6my＝3m(x－6y)
D．2x＋4＝2(x＋2)
D
4．【中考·仙桃】将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( )
A．a(a－1)
B．a(a－2)
C．(a－2)(a－1)
D．(a－2)(a＋1)
B
5．对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9都能( )
A．被8整除
B．被m整除
C．被m－1整除
D．被2m－1整除
【点拨∵(4m＋5)2－9＝(4m＋5＋3)(4m＋5－3)＝
(4m＋8)(4m＋2)＝8(m＋2)(2m＋1)，∴能被8整除．
A
6．若n为任意整数，(n＋11)2－n2的值总可以被k整除，则k等于( )
A．11
B．22
C．11或22
D．11的倍数
A
7．【中考·温州】分解因式：m2－25＝_____________；
(m＋5)(m－5)
8.【中考·衢州】如图，从边长为a＋3的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的长是________．
【点拨】拼成的长方形的面积＝(a＋3)2－32
＝(a＋3＋3)(a＋3－3)＝a(a＋6)．
∵拼成的长方形的宽为a，
∴拼成的长方形的长是a＋6.
【答案】a＋6
9．【中考·泸州】把2a2－8分解因式，结果正确的是( )
A．2(a2－4)
B．2(a－2)2
C．2(a＋2)(a－2)
D．2(a＋2)2
C
10．多项式3x2y－12y3分解因式正确的是( )
A．3y(x＋2y)(x－2y)
B．3y(x2－4y2)
C．y(3x2－12y2)
D．－3y(x＋2y)(x－2y)
A
A
11．一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，你认为她做得不够完整的是( )
A．x3－x＝x(x2－1)
B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y)
C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m)
D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)
12．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x－y，a－b，2，x2－y2，a，x＋y分别对应下列六个字：南、爱、我、美、游、济，现将2a(x2－y2)－2b(x2－y2)因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A．我爱美
B．济南游
C．我爱济南
D．美我济南
【点拨】2a(x2－y2)－2b(x2－y2)＝(2a－2b)(x2－y2)＝2(a－b)(x＋y)(x－y)，由此可提取我、爱、济、南四个字．故选C.
【答案】C
13．分解因式：
a4－1.
【点拨】本题易犯的错误是分解不彻底，要注意a2－1还可以继续分解，应分解到不能再分解为止．
解：a4－1＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)．
14．把下列各式分解因式：
(1)【中考·齐齐哈尔】3a2－48；
解：3a2－48＝3(a2－16)＝3(a＋4)(a－4)．
【点拨】本题的思路是有公因式的先提公因式，再用平方差公式分解因式，结果一定要分解彻底．
(2)(3a－2b)2－(2a＋3b)2；
解：原式＝[(3a－2b)＋(2a＋3b)][(3a－2b)－(2a＋3b)]
＝(3a－2b＋2a＋3b)(3a－2b－2a－3b)
＝(5a＋b)(a－5b)．
【点拨】本题的思路是有公因式的先提公因式，再用平方差公式分解因式，结果一定要分解彻底．
(3)x4－81y4；
解：原式＝(x2＋9y2)(x2－9y2)
＝(x2＋9y2)(x＋3y)(x－3y)．
【点拨】本题的思路是有公因式的先提公因式，再用平方差公式分解因式，结果一定要分解彻底．
(4)a4－9a2b2;
解：原式＝a2(a2－9b2)＝a2(a＋3b)(a－3b)．
【点拨】本题的思路是有公因式的先提公因式，再用平方差公式分解因式，结果一定要分解彻底．
【点拨】本题的思路是有公因式的先提公因式，再用平方差公式分解因式，结果一定要分解彻底．
(2)1
9972－1
9982＋1
9992－2
0002＋…＋2
0192－2
0202＋2
0212－2
0222.
解：原式＝(1
997＋1
998)×(1
997－1
998)＋(1
999＋
2
000)×(1
999－2
000)＋…＋(2
019＋2
020)×(2
019－
2
020)＋(2
021＋2
022)×(2
021－2
022)
＝－(1
997＋1
998)－(1
999＋2
000)－…
－(2
019＋2
020)－(2
021＋2
022)
＝－(1
997＋1
998＋1
999＋…＋2
019＋2
020＋2
021＋2
022)＝－52
247.
16．已知a，b，c为△ABC的三条边的长，试说明：(a－c)2－b2是负数．
解：∵a，b，c为△ABC的三条边的长，
∴a＋b＞c，b＋c＞a，
即a－c＋b＞0，a－c－b＜0.
∴(a－c)2－b2＝(a－c＋b)(a－c－b)＜0，
∴(a－c)2－b2是负数．
17．(1)利用因式分解试说明：257－512能被250整除．
解：因为257－512＝(52)7－(56)2＝(57)2－(56)2＝
(57＋56)×(57－56)＝(57＋56)×62
500＝
(57＋56)×2502，∴257－512能被250整除．
(2)233－2能被11至20之间的两个数整除，求这两个数．
解：233－2＝2×(232－1)
＝2×(216＋1)×(216－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×(28－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×(24＋1)×(24－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×17×15.
∴这两个数分别是17，15.
18．(1)已知x－2y＝3，2x＋4y＝5，求整式x2－4y2的值．
【点拨】先将式子分解因式，然后利用题中条件整体代入求值．
(2)已知|a－b－3|＋(a＋b－2)2＝0，求a2－b2的值．
解：∵|a－b－3|＋(a＋b－2)2＝0，
∴a－b＝3，a＋b＝2.
∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝2×3＝6.
【点拨】先将式子分解因式，然后利用题中条件整体代入求值．
(3)已知m，n互为相反数，且(m＋2)2－(n＋2)2＝4，求m，n的值．
【点拨】先将式子分解因式，然后利用题中条件整体代入求值．
19．李老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152－32＝8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22.
(1)请你再写出两个具有上述规律的算式(不同于上面算式)；
解：答案不唯一，如：112－92＝8×5，132－112＝8×6.
(2)用文字写出反映上述算式的规律；
解：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
(3)试说明这个规律的正确性．
解：设m，n为整数，两个奇数可分别表示为2m＋1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)·(m＋n＋1)．①当m，n同是奇数或偶数时，m－n一定为偶数，所以4(m－n)一定是8的倍数；②当m，n是一奇一偶时，则m＋n＋1一定为偶数，所以4(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述，任意两个奇数的平方差是8的倍数．(共30张PPT)
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11．2 提公因式法
第十一章
因式分解
第1课时 直接提公因式分解因式
4
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B
B
A
C
D
C
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A
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x(x＋3)
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见习题
16
见习题
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17
见习题
18
见习题
19
见习题
1．多项式8x2y2－14x2y＋4xy3各项的公因式是( )
A．8xy
B．2xy
C．4xy
D．2y
B
2．式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是( )
A．5ab(b－a)
B．5a2b2(b－a)
C．5a2b(b－a)
D．以上均不正确
C
3．下列各组式子中，没有公因式的是( )
A．4a2bc与8abc2
B．a3b2＋1与a2b3－1
C．b(a－2b)2与a(2b－a)2
D．x＋1与x2－1
B
4．下列多项式的各项中，公因式是5a2b的是( )
A．15a2b－20a2b2
B．30a2b3－15ab4－10a3b2
C．10a2b2－20a2b3＋50a4b5
D．5a2b4－10a3b3＋15a4b2
A
5．多项式8xmyn－1－12x3myn各项的公因式是( )
A．xmyn
B．xmyn－1
C．4xmyn
D．4xmyn－1
D
【点拨】分别找出公因式的系数、字母及次数，得4xmyn－1.故选D.
6．将3a(x－y)－b(x－y)用提公因式法分解因式，应提出的公因式是( )
A．3a－b
B．3(x－y)
C．x－y
D．3a＋b
C
7．若多项式－6mn＋18mnx＋24mny因式分解后所含的一个因式是－6mn，那么另一个因式是( )
A．－1－3x－4y
B．1－3x－4y
C．－1－3x＋4y
D．1＋3x－4y
【点拨】－6mn＋18mnx＋24mny＝－6mn－6mn·(－3x)－6mn·(－4y)＝－6mn(1－3x－4y)．故选B.
【答案】B
8．下列各式从左到右的变形中，是用提公因式法分解因式的为( )
A．x(a－b)＝ax－bx
B．x2－1＋y2＝(x－1)(x＋1)＋y2
C．x2－1＝(x＋1)(x－1)
D．ax＋bx＝x(a＋b)
【点拨】A，B选项不是因式分解；C选项不是用提公因式法分解因式的．故选D.
【答案】D
C
9．把多项式(m＋1)(m－1)＋(m＋1)提取公因式m＋1后，余下的部分是( )
A．m＋1
B．m－1
C．m
D．2m＋1
B
10．下列多项式因式分解正确的是( )
A．8abx－12a2x2＝4abx(2－3ax)
B．－6x3＋6x2－12x＝－6x(x2－x＋2)
C．4x2－6xy＋2x＝2x(2x－3y)
D．－3a2y＋9ay－6y＝－3y(a2＋3a－2)
A
A
13．【中考·成都】分解因式：x2＋3x＝________.
x(x＋3)
14.已知x2＋3x－2＝0，则2x3＋6x2－4x＝________.
【点拨】∵x2＋3x－2＝0，
∴2x3＋6x2－4x＝2x(x2＋3x－2)＝0.
0
15．因式分解：－14x3－21x2＋28x.
【易错总结】一个多项式中第一项含有“－”号时，在利用提公因式法分解因式的过程中一般要将“－”号一并提出，但要注意括号里面的各项要改变符号．本题易出现－14x3－21x2＋28x＝－7x(2x2－3x＋4)的错误．
解：－14x3－21x2＋28x＝－7x(2x2＋3x－4)．
16．用提公因式法分解因式：
(1)9x2－6xy＋3x；
(2)(a－b)3－(a－b)2
解：原式＝3x·3x－3x·2y＋3x·1＝3x(3x－2y＋1)．
原式＝(a－b)2(a－b－1)．
(3)3m(x－y)＋n(x－y)；
(4)－3an＋2＋2an＋1－5an.
解：原式＝(x－y)(3m＋n)．
原式＝－an·3a2＋(－an)·(－2a)＋(－an)·5
＝－an(3a2－2a＋5)．
17．利用简便方法计算：
(1)3.2×202.3＋4.7×202.3＋2.1×202.3；
解：原式＝202.3×(3.2＋4.7＋2.1)
＝202.3×10
＝2
023.
18．已知多项式A＝b3－2ab.
(1)请将A进行因式分解；
解：A＝b3－2ab＝b(b2－2a)．
(2)若A＝0且a＝4，b≠0，求式子(a－1)2＋b2－1的值．
解：由A＝0且a＝4，b≠0，
可得b2－2a＝0.即b2＝2a＝2×4＝8.
所以(a－1)2＋b2－1＝(4－1)2＋8－1＝
9＋8－1＝16.
19．阅读下面分解因式的过程：
把多项式ax＋ay＋bx＋by分解因式．
解：ax＋ay＋bx＋by＝(ax＋ay)＋(bx＋by)
＝a(x＋y)＋b(x＋y)＝(x＋y)(a＋b)．
根据上面的方法把下面的多项式分解因式：
(1)mx－my＋nx－ny；
解：mx－my＋nx－ny
＝(mx－my)＋(nx－ny)
＝m(x－y)＋n(x－y)
＝(x－y)(m＋n)．
(2)2a＋4b－3ma－6mb.
解：2a＋4b－3ma－6mb
＝(2a－3ma)＋(4b－6mb)
＝a(2－3m)＋2b(2－3m)
＝(2－3m)(a＋2b)．(共35张PPT)
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11．3 公式法
第十一章
因式分解
第3课时 活用因式分解的方法
分解因式
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见习题
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见习题
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见习题
1．把多项式4x2－2x－y2－y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是( )
A．(4x2－y)－(2x＋y2)
B．(4x2－y2)－(2x＋y)
C．4x2－(2x＋y2＋y)
D．(4x2－2x)－(y2＋y)
B
2．将多项式a2－9b2＋2a－6b分解因式为( )
A．(a＋2)(3b＋2)(a－3b)
B．(a－9b)(a＋9b)
C．(a－9b)(a＋9b＋2)
D．(a－3b)(a＋3b＋2)
【点拨】a2－9b2＋2a－6b＝(a2－9b2)＋(2a－6b)＝
(a＋3b)(a－3b)＋2(a－3b)＝(a－3b)(a＋3b＋2)．
【答案】D
3．分解因式x2－2xy＋y2＋x－y的结果是( )
A．(x－y)(x－y＋1)
B．(x－y)(x－y－1)
C．(x＋y)(x－y＋1)
D．(x＋y)(x－y－1)
A
4．【中考·大庆】分解因式：a2b＋ab2－a－b＝_____________.
【点拨】先分组，再利用提公因式法分解因式．
原式＝ab(a＋b)－(a＋b)＝(ab－1)(a＋b)．
(ab－1)(a＋b)
5．【中考·宜宾】分解因式：b2＋c2＋2bc－a2＝___________________.
(b＋c＋a)(b＋c－a)
【点拨】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．
原式＝(b＋c)2－a2＝(b＋c＋a)(b＋c－a)．
6．把下列各式分解因式：
(1)1＋x＋x2＋x；
解：原式＝(1＋x)＋(x2＋x)
＝(1＋x)＋x(x＋1)
＝(1＋x)(1＋x)
＝(1＋x)2.
(2)xy2－2xy＋2y－4；
解：原式＝(xy2－2xy)＋(2y－4)
＝xy(y－2)＋2(y－2)
＝(y－2)(xy＋2)．
(3)a2－b2＋2a＋1.
解：原式＝(a2＋2a＋1)－b2
＝(a＋1)2－b2
＝(a＋1＋b)(a＋1－b)．
C
8．【中考·宜宾】把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，结果正确的是( )
A．3x(x2－4x＋4)
B．3x(x－4)2
C．3x(x＋2)(x－2)
D．3x(x－2)2
D
9．【中考·益阳】下列因式分解正确的是( )
A．a(a－b)－b(a－b)＝(a－b)(a＋b)
B．a2－9b2＝(a－3b)2
C．a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2
D．a2－ab＋a＝a(a－b)
C
10.【中考·潍坊】将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是( )
A．a2－1
B．a2＋a
C．a2＋a－2
D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1
【点拨】∵a2－1＝(a＋1)(a－1)，
a2＋a＝a(a＋1)，
a2＋a－2＝(a＋2)(a－1)，
(a＋2)2－2(a＋2)＋1＝(a＋2－1)2＝(a＋1)2，
∴结果中不含有因式a＋1的是选项C.故选C.
【答案】C
11．观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：x2－xy＋4x－4y
＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组)
＝x(x－y)＋4(x－y)(分别提公因式)
＝(x－y)(x＋4)．
乙：a2－b2－c2＋2bc
＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组)
＝a2－(b－c)2(直接运用公式)
＝(a＋b－c)(a－b＋c)．
请你在他们的解法的启发下，把下列各式分解因式：
(1)m3－2m2－4m＋8；
解： m3－2m2－4m＋8
＝m2(m－2)－4(m－2)
＝(m－2)(m2－4)
＝(m－2)(m＋2)(m－2)
＝(m＋2)(m－2)2.
(2)x2－2xy＋y2－9.
解： x2－2xy＋y2－9
＝(x－y)2－32
＝(x－y＋3)(x－y－3)．
12．【中考?百色】阅读理解：
用“十字相乘法”分解因式2x2－x－3的方法．
(1)二次项系数2＝1×2；
(2)常数项－3＝－1×3＝1×(－3)，验算：“交叉相乘之和”；
1×3＋2×(－1)＝1，
1×(－1)＋2×3＝5，
1×(－3)＋2×1＝－1，
1×1＋2×(－3)＝－5.
(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(－3)＋2×1＝－1，等于一次项系数－1.
即：(x＋1)(2x－3)＝2x2－3x＋2x－3＝2x2－x－3，则2x2－x－3＝(x＋1)(2x－3)．
像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2＋5x－12＝____________________.
(3x－4)(x＋3)
13．阅读并解答．
在分解因式x2－4x－5时，李老师是这样做的：
x2－4x－5
＝x2－4x＋4－9 第一步
＝(x－2)2－32
第二步
＝(x－2＋3)(x－2－3)
第三步
＝(x＋1)(x－5).
第四步
(1)从第一步到第二步运用了________公式；
(2)从第二步到第三步运用了________公式；
(3)仿照上面分解因式x2＋2x－3.
完全平方
平方差
【点拨】观察式子特征进行拆项重组，使重新组合的式子可以进行因式分解，以此解决问题．
解：
x2＋2x－3
＝x2＋2x＋1－4
＝(x＋1)2－22
＝(x＋1＋2)(x＋1－2)
＝(x＋3)(x－1)
14．下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，则
原式＝(y＋2)(y＋6)＋4 (第一步)
＝y2＋8y＋16
(第二步)
＝(y＋4)2
(第三步)
＝(x2－4x＋4)2.
(第四步)
回答下列问题：
(1)该同学因式分解的结果是否彻底？________(填“彻底”或“不彻底”)．
若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：________．
不彻底
(x－2)4
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(m2－2m)(m2－2m＋2)＋1进行因式分解．
【点拨】当题中所给式子比较复杂，不易因式分解时，我们可以观察式子特征，利用换元法将式子进行转化，进而解决问题．
解：设m2－2m＝a，则
原式＝a(a＋2)＋1
＝a2＋2a＋1
＝(a＋1)2
＝(m2－2m＋1)2
＝(m－1)4.
15．阅读下面文字内容：
对于形如x2＋2ax＋a2的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成(x＋a)2的形式．但对于二次三项式x2＋4x－5，就不能直接用完全平方公式分解了．
对此，我们可以添上一项4，使它与x2＋4x构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即x2＋4x－5＝(x2＋4x＋4)－4－5＝(x＋2)2－9＝(x＋2＋3)(x＋2－3)＝(x＋5)(x－1)．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．
请用配方法来解下列问题：
(1)已知：x2＋y2－8x＋12y＋52＝0，求(x＋y)
－2的值；
(2)求x2＋8x＋7的最小值．
解：x2＋8x＋7＝(x2＋8x＋16)－16＋7＝(x＋4)2－9.
因为(x＋4)2≥0，
所以(x＋4)2－9≥－9.
所以x2＋8x＋7的最小值是－9.(共19张PPT)
JJ版七年级下
11．2 提公因式法
第十一章
因式分解
第2课时 变形后提公因式分解因式
4
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D
A
见习题
B
C
B
8
B
A
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10
9
见习题
见习题
1．多项式4a2b(a－b)－6ab2(b－a)中，各项的公因式是( )
A．4ab
B．2ab
C．ab(a－b)
D．2ab(a－b)
D
2．观察下列各组式子：
①2a＋b和a＋b；②5m(a－b)和－a＋b；
③3(a＋b)和－a－b；④x2－y2和x2＋y2.
其中有公因式的是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
B
3．(x＋y－z)(x－y＋z)与(y＋z－x)(z－x－y)的公因式是( )
A．x＋y－z
B．x－y＋z
C．y＋z－x
D．不存在
【点拨】∵(y＋z－x)(z－x－y)＝[－(x－y－z)]·
[－(x＋y－z)]＝(x－y－z)(x＋y－z)，
∴(x＋y－z)(x－y＋z)与(y＋z－x)(z－x－y)的公因式是x＋y－z.
【答案】A
4．【中考·聊城】因式分解：x(x－2)－x＋2＝______________.
(x－2)(x－1)
5.多项式(x＋2)(2x－1)－(x＋2)可以因式分解成2(x＋m)
(x＋n)，则m－n的值是( )
A．0
B．4
C．3或－3
D．1
【点拨】∵(x＋2)(2x－1)－x－2＝(x＋2)(2x－1)－(x＋2)＝(x＋2)(2x－1－1)＝2(x－1)(x＋2)＝2(x＋m)(x＋n)，∴m＝－1，n＝2或m＝2，n＝－1，∴m－n的值是3或－3.
【答案】C
6．三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
B
7.若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是( )
A．3
B．2
C．1
D．－1
【点拨】(m－n)2－2m＋2n＝(m－n)2－2(m－n)＝(m－n)(m－n－2)＝(－1)×(－1－2)＝3.
A
8．把－a(x－y)－b(y－x)＋c(x－y)分解因式，正确的结果是( )
A．(x－y)(－a－b＋c)
B．(y－x)(a－b－c)
C．－(x－y)(a＋b＋c)
D．－(y－x)(a＋b－c)
【点拨】本题易错之处在于提取公因式后没有注意符号变化．
B
9．阅读理解：把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式．
解法一：am＋an＋bm＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)．
解法二：am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(m＋n)(a＋b)．
(1)分解因式：m2x－3m＋mnx－3n；
解：原式＝m(mx－3)＋n(mx－3)
＝(mx－3)(m＋n)．
(2)已知：a，b，c为三角形ABC的三边长，且a3－a2b＋5ac－5bc＝0，试判断三角形ABC的形状．
解：∵a3－a2b＋5ac－5bc＝0，
∴a2(a－b)＋5c(a－b)＝0，
∴(a－b)(a2＋5c)＝0.
∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a2＋5c≠0，∴a－b＝0，
∴a＝b.∴△ABC是等腰三角形．
10．阅读下面分解因式的过程，再回答所提出的问题．
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2
＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]
＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.
(1)上述分解因式的方法是__________________，共应用了________次；
提公因式法
两
(2)若分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2
022，则需应用上述方法________次，结果是________；
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n.(n为正整数)
2
022
(1＋x)2
023
解：原式＝(1＋x)n＋1.(共12张PPT)
JJ版七年级下
11．1 因式分解
第十一章
因式分解
4
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6
1
2
3
5
B
C
B
C
见习题
见习题
1．【中考?海南】下列式子从左到右的变形是因式分解的是( )
A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21
B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
B
2．【中考·常德】下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A．a(m＋n)＝am＋an
B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
C
3．【中考·河北】对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，从左到右的变形，表述正确的是( )
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
C
【点拨】∵(x＋1)(x－3)＝x·x－x·3＋1·x－1×3＝x2－3x＋x－3＝x2－2x－3，∴x2＋ax＋b＝x2－2x－3.
∴a＝－2，b＝－3.故选B.
4.把多项式x2＋ax＋b因式分解，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是( )
A．a＝2，b＝3
B．a＝－2，b＝－3
C．a＝－2，b＝3
D．a＝2，b＝－3
B
5．计算下列各式：
(1)(a＋b)(a－b)＝__________；
(2)(a＋b)2＝__________；
(3)8y(y＋1)＝__________；
(4)a(x＋y＋1)＝__________．
a2－b2
a2＋2ab＋b2
8y2＋8y
ax＋ay＋a
根据上面的算式将下列多项式进行因式分解：
(5)ax＋ay＋a；
(6)a2－b2；
解：ax＋ay＋a＝a(x＋y＋1)．
a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
(7)a2＋2ab＋b2;
(8)8y2＋8y.
解：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
8y2＋8y＝8y(y＋1)．
6．仔细阅读下面例题．
例题：已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式是x＋3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x＋n，则
x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，
