2020-2021学年 北师大版八年级数学第1章三角形的证明单元综合能力达标训练试卷（Word版含答案）

2021年度北师大版八年级数学第1章三角形的证明单元综合能力达标训练（附答案）
1．如图，∠AOB是一钢架，∠AOB＝15°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH…添的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管（　　）根．
A．2
B．4
C．5
D．无数
2．如图，△ABC中，D为AB的中点，BE⊥AC，垂足为E．若DE＝4，AE＝6，则BE的长度是（　　）
A．10
B．
C．8
D．
3．到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC（　　）的交点．
A．三边中线
B．三条角平分线
C．三边上高
D．三边垂直平分线
4．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（　　）
A．10cm
B．12cm
C．15cm
D．17cm
5．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（　　）
A．AB与CD互相垂直平分
B．CD垂直平分AB
C．AB垂直平分CD
D．CD平分∠ACB
6．如图所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数为（　　）
A．40°
B．70°
C．30°
D．50°
7．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为18cm，则△ABC的周长为（　　）
A．23cm
B．28cm
C．13cm
D．18cm
8．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝112°，则∠EAF为（　　）
A．38°
B．40°
C．42°
D．44°
9．如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为26cm，则△ABC的周长为（　　）
A．32
B．29
C．38
D．36
10．如图，在△ABC中，BC的中垂线交AC于点D，交BC于E，已知AB＝3、AC＝5、BC＝7．那么△ABD的周长为（　　）
A．12
B．10
C．11
D．8
11．如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长为（　　）
A．16
cm
B．18cm
C．26cm
D．28cm
12．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，则图中全等三角形共有（　　）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
13．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝8cm，且△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（　　）
A．24
cm
B．21
cm
C．18
cm
D．16
cm
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（　　）
A．6
cm
B．7
cm
C．8
cm
D．9
cm
15．为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（　　）
A．三角形ABC三条高线的交点处
B．三角形ABC三条角平分线的交点处
C．三角形ABC三条中线的交点处
D．三角形ABC三边垂直平分线的交点处
16．如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且∠1＝∠2＝22.5°，下列结论：①∠1＝∠3；②BD+DH＝AB；③2AH＝BH；④若DF⊥BE于点F，则AE﹣FH＝DF．其中正确的结论是（　　）
A．①②③
B．③④
C．①②④
D．①②③④
17．如图所示，共有等腰三角形（　　）
A．4个
B．5个
C．3个
D．2个
18．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在格点上，位置如图，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则点C的个数为（　　）
A．7
B．8
C．9
D．10
19．有下列四种说法：①两个三角形全等，则它们成轴对称；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③若点A、B关于直线MN对称，则AB垂直平分MN；④到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．其中正确的说法有（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
20．等腰三角形的一个外角度数为100°，则顶角度数为　
　．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC，则∠A＝　
　°．
22．如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为　
　．
23．等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为　
　．
24．已知等腰三角形的两边长分别为x和y，且x和y满足|x﹣3|+（y﹣1）2＝0，则这个等腰三角形的周长为　
　．
25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4cm，CE＝3cm，则DE＝　
　cm．
26．如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C，若PC＝10，则PD＝　
　．
27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若BD＝a，则AB的长为　
　．
28．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA＝80°，则∠A＝　
　．
29．如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝12，CF＝3，则AC＝　
　．
30．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为10cm，那么△ABC的周长为　
　cm．
31．在如图正方形网格的格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有　
　个．
32．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B．
33．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，E是AB上一点且BD＝BE，求∠ADE的度数．
34．如图，AB＝BC，AB⊥BC于B，FC⊥BC于C，E为BC上一点，BE＝FC，请探求AE与BF的关系，并说明理由．
35．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．
求证：CD⊥AB．
36．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，求PD的长．
37．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
38．已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．
39．在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，
①求证：△APF是等腰三角形；
②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．
40．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD．
求证：△OAB是等腰三角形．
参考答案
1．解：如图所示，∠AOB＝15°，
∵OE＝FE，
∴∠GEF＝∠EGF＝15°×2＝30°，
∵EF＝GF，所以∠EGF＝30°
∴∠GFH＝15°+30°＝45°
∵GH＝GF
∴∠GHF＝45°，∠HGQ＝45°+15°＝60°
∵GH＝HQ，∠GQH＝60°，∠QHB＝60°+15°＝75°，
∵QH＝QM，
∴∠QMH＝75°，∠HQM＝180﹣75°﹣75°＝30°，
故∠OQM＝60°+30°＝90°，不能再添加了．
故选：C．
2．解：∵BE⊥AC，D为AB中点，
∴AB＝2DE＝2×4＝8，
在Rt△ABE中，BE＝，
故选：D．
3．解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形的三边垂直平分线的交点，
故选：D．
4．解：∵△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，
∴BD＝AD，AB＝2AE＝6cm，
∵△ADC的周长为9cm，
∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝9cm，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝15cm．
故选：C．
5．解：∵AC＝AD，BC＝BD，
∴AB是线段CD的垂直平分线，
故选：C．
6．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝30°，
故选：C．
7．解：∵DE是AC的中垂线，
∴AD＝CD，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC，
又∵AE＝5cm，
∴AC＝2AE＝2×5＝10cm，
∴△ABC的周长＝18+10＝28cm，
故选：B．
8．解：∵∠BAC＝112°，
∴∠C+∠B＝68°，
∵EG、FH分别为AB、AC的垂直平分线，
∴EB＝EA，FC＝FA，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∴∠EAB+∠FAC＝68°，
∴∠EAF＝44°，
故选：D．
9．解：∵DE是边AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝10，
∵△ABD的周长为26，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝26，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝26+10＝36（cm），
故选：D．
10．解：∵BC的中垂线交AC于点D
∴DB＝CD，
∵AB＝3、AC＝5，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC＝8．
故选：D．
11．解：∵DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∵BC＝8cm，AB＝10cm，
∴△EBC的周长为：BC+BE+CE＝BC+BE+AE＝BC+AB＝8+10＝18（cm）．
故选：B．
12．解：
∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝DC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴BF＝DF，
△CBF和△CDF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SSS）．
故选：C．
13．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵△ABD的周长为16cm，
∴AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝16cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝16+8＝24（cm），
故选：A．
14．解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD，
又∵AC＝BC，AC＝AE，
∴AC＝BC＝AE，
∴△DBE的周长＝DE+BD+EB＝CD+BD+EB＝BC+EB＝AE+EB＝AB，
∵AB＝6cm，
∴△DBE的周长＝6cm．
故选：A．
15．解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，
∴度假村应该在△ABC三条角平分线的交点处．
故选：B．
16．解：①∵∠1＝∠2＝22.5°，
又∵AD是高，
∴∠2+∠C＝∠3+∠C，
∴∠1＝∠3，
②∵∠1＝∠2＝22.5°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴AD＝BD，
又∵∠2＝∠3，∠ADB＝∠ADC，
∴△BDH≌△ADC，
∴DH＝CD，
∵AB＝BC，
∴BD+DH＝AB，
③无法证明，
④可以证明，
故选：C．
17．解：根据三角形的内角和定理，得：∠ABO＝∠DCO＝36°，
根据三角形的外角的性质，得
∠AOB＝∠COD＝72°．
再根据等角对等边，得
等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC．
故选：B．
18．解：①以AB为底边，符合点C的有5个；
②以AB为腰，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选：C．
19．解：①两个三角形全等，但它们不一定成轴对称，错误；
②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，错误；
③若点A、B关于直线MN对称，则MN垂直平分AB，而MN是直线无限长度，故错误；
④到角两边距离相等的点应该在角的平分线或其延长线上，错误；
故选：A．
20．解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°；
当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°﹣100°＝80°，所以顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；
故顶角的度数为80°或20°．
故答案为：80°或20°．
21．解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．
∴∠A＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠C＝2∠A＝∠ABC，
设∠A为x，
可得：x+x+x+2x＝180°，
解得：x＝36°，
故答案为：36
22．解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于3+3＜7，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为7+7+3＝17．
故答案为：17．
23．解：①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长＝8+8+4＝20．
故答案是：20．
24．解：∵|x﹣3|+（y﹣1）2＝0，
∴x＝3，y＝1．
当腰长为3时，三边长为3、3、1，周长＝3+3+1＝7；
当腰长为1时，三边长为3、1、1，1+1＜3，不能组成三角形．
故答案为：7．
25．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°
∴∠BAD+∠EAC＝90°，∠BAD+∠B＝90°
∴∠EAC＝∠B
∵AB＝AC
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AD＝CE，BD＝AE
∴DE＝AD+AE＝CE+BD＝7cm．
故填7．
26．解：∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，
∵PC∥OB，
∴∠CPO＝∠BOP，
∴∠CPO＝∠AOP，
过P作PE⊥OA于点E，
∵PD⊥OB，OP平分∠AOB，
∴PD＝PE，
∵PC∥OB，∠AOB＝30°
∴∠ECP＝∠AOB＝30°
在Rt△ECP中，PE＝PC＝5，
∴PD＝PE＝5，
故答案为：5．
27．解：∵CD是高，∠A＝30°，
∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD＝2a，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4a，
故答案为：4a．
28．解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝＝AD＝BD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠CDA＝80°，
∴∠A＝∠ACD＝50°，
故答案为：50°．
29．解：∵EF是AB的垂直平分线，
∴FA＝BF＝12，
∴AC＝AF+FC＝15．
故答案为：15．
30．解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，
∴AC＝2AE＝6cm，DA＝DC．
∵C△ABD＝AB+BD+DA，C△ABC＝AB+BD+DC+CA＝AB+BD+DA+CA＝C△ABD+CA，且C△ABD＝10cm，
∴C△ABC＝10+6＝16cm．
故答案为：16．
31．解：如图，
∵AB＝＝，
∴①若AB＝BC，则符合要求的有：C1，C2，C3，C4共4个点；
②若AB＝AC，则符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9共5个点；
若AC＝BC，则不存在这样格点．
∴这样的C点有9个．
故答案为：9．
32．解：（1）∵∠AFD＝155°，
∴∠DFC＝25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC＝∠AED＝90°，
在Rt△FDC中，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A＝65°，
∴∠EDF＝360°﹣65°﹣155°﹣90°＝50°．
（2）连接BF
∵AB＝BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD＝90°，
∠CBF+∠BFD＝90°，
∴∠CFD＝∠CBF，
∴∠CFD＝∠ABC．
33．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝75°，
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝15°．
34．解：AE⊥BF且AE＝BF．
理由：∵AB⊥BC于B，FC⊥BC于C，
∴∠ABE＝∠BCF＝90°．
∵AB＝BC，BE＝FC，
∴△ABE≌△BCF．
∴AE＝BF，∠A＝∠FBC，∠AEB＝∠F．
∵∠A+∠AEB＝90°，
∴∠FBC+∠AEB＝90°．
∴AE⊥BF．
∴AE⊥BF且AE＝BF．
35．证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴CD⊥AB．
36．解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵PC∥OA，
∴∠AOP＝∠CPO，
∴∠PCE＝∠BOP+∠CPO＝∠BOP+∠AOP＝∠AOB＝30°，
又∵PC＝4，
∴PE＝PC＝×4＝2，
∵AOP＝∠BOP，PD⊥OA，
∴PD＝PE＝2．
37．证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDE＝90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE，
∴ED＝EC，
∵ED＝EC，BD＝BC，
∴BE垂直平分CD．
38．证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，
∵BE平分∠ABC，点P在BE上，
∴PD＝PM，
同理，PM＝PN，
∴PD＝PN，
∴点P在∠A的平分线上．
39．①证明：∵EF∥AD，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠4＝∠P，
∴AF＝AP，
即△APF是等腰三角形；
②AB＝PC．理由如下：
证明：∵CH∥AB，
∴∠5＝∠B，∠H＝∠1，
∵EF∥AD，
∴∠1＝∠3，
∴∠H＝∠3，
在△BEF和△CDH中，
∵，
∴△BEF≌△CDH（AAS），
∴BF＝CH，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠H，
∴AC＝CH，
∴AC＝BF，
∵AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，
∴AB＝PC．
40．证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD
∴∠D＝∠C＝90°，
在Rt△ABD和Rt△BAC中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴∠DBA＝∠CAB，
∴OA＝OB，
即△OAB是等腰三角形．
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD
∴∠D＝∠C＝90°
在Rt△ABD和Rt△BAC中
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）
∴AD＝BC，
在△AOD和△BOC中
，
∴△AOD≌△BOC（AAS），
∴OA＝OB，
即△OAB是等腰三角形．