2020-2021学年八年级数学人教版下册《第18章平行四边形》章末综合优生辅导训练（附答案）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年八年级数学人教版下册《第18章平行四边形》章末综合优生辅导训练（附答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 293.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-01 18:44:12 | ||
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文档简介
2021年度人教版八年级数学下册《第18章平行四边形》章末综合优生辅导训练（附答案）
1．若平行四边形的两条对角线长为6
cm和16
cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是（ ）
A．5cm
B．8cm
C．12cm
D．16cm
2．如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则BC长为（ ）
A．20
B．5
C．10
D．15
3．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，∠ACB＝30°，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，与AC交于点O，则PQ的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．如图，在?ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
5．如图，已知平行四边形ABCD中，点A的坐标是（4，0），点C的坐标是（﹣4，0），点D的坐标是（﹣2，﹣2），则点B的坐标是（ ）
A．（4，2）
B．（6，﹣2）
C．（2，2）
D．（﹣10，﹣2）
6．如图，?ABCD的周长为60cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（ ）
A．30
cm
B．60cm
C．40cm
D．20
cm
7．?ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成2cm，3cm的两条线段，则?ABCD的周长是（ ）
A．5cm
B．7cm
C．14cm或15cm
D．14cm或16cm
8．如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S1，S2之间的大小关系（ ）
A．S1＝S2
B．S1＞S2
C．S1＜S2
D．无法确定
9．点A，B，C，D在同一平面内，从四个条件中（1）AB＝CD，（2）AB∥CD，（3）BC＝AD，（4）BC∥AD中任选两个，使四边形ABCD是平行四边形，这样的选法有（ ）
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
10．在长方形ABCD中，AB＝，BC＝4，CE＝CF，延长AB至点E，连接CE，CF平分∠ECD，则BE＝
．
11．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是
cm．
12．如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD的长为16，点E，F分别是边AD，CD的中点，连接EF并延长与BC的延长线相交于点G，则EG的长为
．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8，则线段OH的长为
．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），以AB为边作正方形ABCD，连接OD，DB．则△DOB的面积是
．
15．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为
．
16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC于点E，若AC＝6，BD＝8，则OE＝
．
17．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为
．
18．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为
．
19．如图，在?ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，BG∥AC交DA的延长线于点G．
（1）求证：△ADF≌△CBE；
（2）若四边形AGBC是矩形，判断四边形AECF是什么特殊的四边形？并证明你的结论．
20．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB＝BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB．
（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；
（2）如果BC平分∠DBF，∠F＝45°，BD＝2，求AC的长．
21．如图，将?ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：BF＝BC；
（2）若∠AFC＝2∠D，连接AC，BE，求证：四边形ABEC是矩形．
22．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
23．如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，且BF＝DE．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．
24．正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连接CE．
（1）已知点F在线段BC上
①若AB＝BE，求∠DAE度数；
②求证：CE＝EF
（2）已知正方形边长为2，且BC＝2BF，请直接写出线段DE的长．
25．正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE．
（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．
26．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE，点F是BE上一点，连接CF．
（1）如图1，若∠ECD＝30°，BC＝BF＝4，DC＝2，求EF的长；
（2）如图2，若BC＝EC，过点E作EM⊥CF，交CF延长线于点M，延长ME、CD相交于点G，连接BG交CM于点N，若CM＝MG，求证：EG＝2MN．
参考答案
1．解：由题意可知，平行四边形边长的取值范围是：8﹣3＜边长＜8+3，即5＜边长＜11．
只有选项B在此范围内，故选B．
2．解：∵△BOC的周长比△AOB的周长多10，
∴BC﹣AB＝10，①
∵平行四边形ABCD的周长为40，
∴BC+AB＝20，②
由①+②，可得2BC＝30，
∴BC＝15．
故选：D．
3．解：∵∠BAC＝90°，AC＝6，∠ACB＝30°，
∴AB＝2，BC＝4，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴＝，
∴＝，
∴OP′＝，
∴则PQ的最小值为2OP′＝3．
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∴∠ABE＝∠CFE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝CB＝5，
∴DF＝CF﹣CD＝5﹣3＝2，
故选：C．
5．解：如图所示，平行四边形ABCD中，点A的坐标是（4，0），点C的坐标是（﹣4，0），
∴O是AC的中点，
∴点D与点B关于原点对称，
又∵点D的坐标是（﹣2，﹣2），
∴B（2，2），
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，
又∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE＝DE，
∴AE+ED＝AE+BE，
∵?ABCD的周长为60cm，
∴AB+AD＝30cm，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AD＝30cm，
故选：A．
7．解：AE平分平行四边形ABCD一内角∠DAB．
如图1，当BE＝2cm，CE＝3cm时，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD．
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB．
∴∠BAE＝∠AEB．
∴BA＝BE＝2cm．
∴平行四边形周长为2×（2+5）＝14cm；
如图2，当CE＝2cm，BE＝3cm时，
同理可得BA＝BE＝3cm．
则平行四边形周长为2×（3+5）＝16cm．
综上所述平行四边形ABCD周长为14cm或16cm．
故选：D．
8．解：如图，作EM⊥FH，GN⊥FH，
S1＝FA?EM，S2＝FA?GN
根据△EFH与△GFH的面积相等，可得EM＝GN，
∴S1＝S2．
故选：A．
9．解：任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（1）（2）；（3）（4）；（1）（3）；（2）（4）共四种．
故选：B．
10．解：如图，延长CF，BA交于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于H，过点E作EM⊥CF于M，
∵四边形ABCD是矩形，且AB＝，BC＝4，
∴AB∥CD，AB＝CD＝，∠D＝∠ABC＝∠CBE＝90°，
∴∠DCF＝∠G，
∵CF平分∠ECD，
∴∠DCF＝∠FCE，FH＝DF，
∴∠G＝∠ECF，
∴EC＝EG，
∴∠ECG是等腰三角形，
∴CM＝MG，
∵CE＝CF，
∴△ECF是等腰三角形，
∵EM⊥CF，FH⊥CE，
∴EM和FH是等腰三角形腰上的高，
∴EM＝FH＝DF，
∴Rt△CDF≌Rt△CME（HL），
∴CM＝CD＝，
∴CG＝5，
Rt△CBG中，BG＝＝＝3，
设BE＝x，则EC＝EG＝3+x，
Rt△CBE中，（3+x）2＝x2+42，
解得：x＝，
∴BE＝．
故答案为：．
11．解：连接BP，
（cm2），
∴AB＝BC＝＝3（cm），
∴（cm2），
∴，
∴（cm），
故答案为：2．
12．解：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为10，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝DA＝10，
∵点E、F分别是边AD，CD的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF∥AC，
∵AC、BD是菱形的对角线，BD＝16，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝8，OA＝OC，
又∵AD∥BC，EF∥AC，
∴四边形CAEG是平行四边形，
∴AC＝EG，
在Rt△AOB中，AB＝10，OB＝8，
∴OA＝OC＝＝6，
∴AC＝2OA＝12，
∴EG＝AC＝12；
故答案为：12．
13．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，
∵H为BC中点，
∴OH＝BC＝2.5．
故答案为：2.5．
14．解：过点D作DE⊥y轴，垂足为E．
∵A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），
∴OA＝3，OB＝4．
∵ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°．
∴∠DAE＝∠AB0．
在△ABO和△DAE中，
∴△ABO≌△DAE．
∴AE＝OB＝4．
∴OE＝AE+AO＝4+3＝7．
∴△OBD的面积＝OB?OE＝×4×7＝14．
故答案为：14．
15．解：连接MC，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，
∴四边形MECF为矩形，
∴EF＝MC，
当MC⊥BD时，MC取得最小值，
此时△BCM是等腰直角三角形，
∴MC＝BC＝×6＝3，
∴EF的最小值为3；
故答案为：3．
16．解：∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝BD＝4，AC⊥BD，
∴BC＝＝＝5，
∵OE⊥BC，
∴S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OE，
∴OE＝＝＝，
故答案为：．
17．解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A＝90°，AB＝BE＝7，AD∥BC，BF∥DE，AD＝11，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，
∴BG＝BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH＝DH＝DG＝BG，
设BH＝DH＝x，则AH＝11﹣x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：72+（11﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴BH＝，
∴四边形BGDH的周长＝4BH＝，
故答案为：．
18．解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．
∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，
∴EF⊥l1，EF⊥l4，
即∠CED＝∠BFC＝90°．
∵ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°．
∴∠DCE+∠BCF＝90°．
又∵∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠BCF．
在△CDE和△BCF中，
∴△CDE≌△BCF（AAS），
∴BF＝CE＝2．
∵CF＝1，
∴BC2＝12+22＝5，
即正方形ABCD的面积为5．
故答案为：5．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠D＝∠ABC，AB＝CD，
又∵E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF＝BE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF∽≌△CBE（SAS）；
（2）解：四边形AECF为菱形；理由如下：
∵四边形AGBC是矩形，
∴∠ACB＝90°，
又∵E为AB中点，
∴CE＝AB＝AE，
同理AF＝FC，
∴AF＝FC＝CE＝EA，
∴四边形AECF为菱形．
20．（1）证明：∵AC⊥BD，∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB．
∴BD∥CF，CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形；
（2）解：∵四边形DBFC是平行四边形，
∴CF＝BD＝2，
∵AB＝BC，AC⊥BD，
∴AE＝CE，
作CM⊥BF于M，
∵BC平分∠DBF，
∴CE＝CM，
∵∠F＝45°，
∴△CFM是等腰直角三角形，
∴CM＝CF＝，
∴AE＝CE＝，
∴AC＝2．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CE＝DC，
∴AB＝EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴BF＝BC；
（2）∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，
∴FA＝FE，FB＝FC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D．
又∵∠AFC＝2∠ADC，
∴∠AFC＝2∠ABC．
∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC＝∠BAF，
∴FA＝FB，
∴FA＝FE＝FB＝FC，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC是矩形．
22．证明：（1）∵?ABCD，
∴AO＝OC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC
（三线合一）
即
BD⊥AC，
∴?ABCD是菱形；
（2）∵△ACE是等边三角形，∠EAC＝60°
由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC
∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形
∴∠EAO＝60°，
∵∠AED＝2∠EAD，
∴∠EAD＝15°，
∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，
∵?ABCD是菱形，
∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，
∴菱形ABCD是正方形．
23．（1）证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AEG和△AEC中，
，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE＝EC．
∵BD＝CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵DE＝BF，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）解：BF＝（AB﹣AC）．
理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF＝DE＝BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）．
24．解：（1）①∵ABCD为正方形，
∴∠ABE＝45°．
又∵AB＝BE，
∴∠BAE＝×（180°﹣45°）＝67.5°．
∴∠DAE＝90°﹣67.5°＝22.5°
②证明：∵正方形ABCD关于BD对称，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF．
（2）如下图所示：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．
∵CE＝EF，
∴N是CF的中点．
∵BC＝2BF，
∴＝．
又∵四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三角形，
∴CN＝DM＝ME，
∴ED＝DM＝CN＝．
如下图所示：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．
∵正方形ABCD关于BD对称，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABF＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF．
∴FN＝CN．
又∵BC＝2BF，
∴FC＝3，
∴CN＝，
∴EN＝BN＝，
∴DE＝．
综上所述，ED的长为或
25．解：（1）在正方形ABCD中，BC＝DC，∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠CDB＝45°，
∵∠PBC＝α，
∴∠DBP＝45°﹣α，
∵PE⊥BD，且O为BP的中点，
∴EO＝BO，
∴∠EBO＝∠BEO，
∴∠EOP＝∠EBO+∠BEO＝90°﹣2
α；
（2）BP＝．证明如下：
连接OC，EC，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
设∠PBC＝α，
在Rt△BPC中，O为BP的中点，
∴CO＝BO＝，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠COP＝2
α，
由（1）知∠EOP＝90°﹣2α，
∴∠EOC＝∠COP+∠EOP＝90°，
又由（1）知BO＝EO，
∴EO＝CO．
∴△EOC是等腰直角三角形，
∴EO2+OC2＝EC2，
∴EC＝OC＝，
即BP＝，
∴BP＝．
26．（1）解：如图1中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵EC⊥BC，
∴AD⊥EC，
∴∠BCE＝∠CED＝90°，
∵∠ECD＝30°，CD＝2，
∴CE＝CD?cos30°＝，
在Rt△BCE中，BE＝＝，
∵BC＝BF＝4，
∴EF＝BE﹣BF＝﹣4．
（2）证明：如图2中，延长GM到H，使得MH＝MG，连接CH，BH．
∵CM＝MG＝MH，CM⊥GH，
∴∠HCG＝90°，CH＝CG，
∴∠HCG＝∠BCE，
∴∠BCH＝∠ECG，
∵CB＝CE，
∴△BCH≌△ECG（SAS），
∴BH＝EG，∠CHB＝∠CGE＝45°，
∵∠CHG＝45°，
∴∠BHG＝90°，
∴∠BHG＝∠CMG＝90°，
∴MN∥BH，∵HM＝MG，
∴BN＝NG，
∴BH＝2MN，
∴EG＝2MN．
1．若平行四边形的两条对角线长为6
cm和16
cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是（ ）
A．5cm
B．8cm
C．12cm
D．16cm
2．如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则BC长为（ ）
A．20
B．5
C．10
D．15
3．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，∠ACB＝30°，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，与AC交于点O，则PQ的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．如图，在?ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
5．如图，已知平行四边形ABCD中，点A的坐标是（4，0），点C的坐标是（﹣4，0），点D的坐标是（﹣2，﹣2），则点B的坐标是（ ）
A．（4，2）
B．（6，﹣2）
C．（2，2）
D．（﹣10，﹣2）
6．如图，?ABCD的周长为60cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（ ）
A．30
cm
B．60cm
C．40cm
D．20
cm
7．?ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成2cm，3cm的两条线段，则?ABCD的周长是（ ）
A．5cm
B．7cm
C．14cm或15cm
D．14cm或16cm
8．如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S1，S2之间的大小关系（ ）
A．S1＝S2
B．S1＞S2
C．S1＜S2
D．无法确定
9．点A，B，C，D在同一平面内，从四个条件中（1）AB＝CD，（2）AB∥CD，（3）BC＝AD，（4）BC∥AD中任选两个，使四边形ABCD是平行四边形，这样的选法有（ ）
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
10．在长方形ABCD中，AB＝，BC＝4，CE＝CF，延长AB至点E，连接CE，CF平分∠ECD，则BE＝
．
11．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是
cm．
12．如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD的长为16，点E，F分别是边AD，CD的中点，连接EF并延长与BC的延长线相交于点G，则EG的长为
．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8，则线段OH的长为
．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），以AB为边作正方形ABCD，连接OD，DB．则△DOB的面积是
．
15．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为
．
16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC于点E，若AC＝6，BD＝8，则OE＝
．
17．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为
．
18．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为
．
19．如图，在?ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，BG∥AC交DA的延长线于点G．
（1）求证：△ADF≌△CBE；
（2）若四边形AGBC是矩形，判断四边形AECF是什么特殊的四边形？并证明你的结论．
20．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB＝BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB．
（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；
（2）如果BC平分∠DBF，∠F＝45°，BD＝2，求AC的长．
21．如图，将?ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：BF＝BC；
（2）若∠AFC＝2∠D，连接AC，BE，求证：四边形ABEC是矩形．
22．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
23．如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，且BF＝DE．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．
24．正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连接CE．
（1）已知点F在线段BC上
①若AB＝BE，求∠DAE度数；
②求证：CE＝EF
（2）已知正方形边长为2，且BC＝2BF，请直接写出线段DE的长．
25．正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE．
（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．
26．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE，点F是BE上一点，连接CF．
（1）如图1，若∠ECD＝30°，BC＝BF＝4，DC＝2，求EF的长；
（2）如图2，若BC＝EC，过点E作EM⊥CF，交CF延长线于点M，延长ME、CD相交于点G，连接BG交CM于点N，若CM＝MG，求证：EG＝2MN．
参考答案
1．解：由题意可知，平行四边形边长的取值范围是：8﹣3＜边长＜8+3，即5＜边长＜11．
只有选项B在此范围内，故选B．
2．解：∵△BOC的周长比△AOB的周长多10，
∴BC﹣AB＝10，①
∵平行四边形ABCD的周长为40，
∴BC+AB＝20，②
由①+②，可得2BC＝30，
∴BC＝15．
故选：D．
3．解：∵∠BAC＝90°，AC＝6，∠ACB＝30°，
∴AB＝2，BC＝4，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴＝，
∴＝，
∴OP′＝，
∴则PQ的最小值为2OP′＝3．
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∴∠ABE＝∠CFE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝CB＝5，
∴DF＝CF﹣CD＝5﹣3＝2，
故选：C．
5．解：如图所示，平行四边形ABCD中，点A的坐标是（4，0），点C的坐标是（﹣4，0），
∴O是AC的中点，
∴点D与点B关于原点对称，
又∵点D的坐标是（﹣2，﹣2），
∴B（2，2），
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，
又∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE＝DE，
∴AE+ED＝AE+BE，
∵?ABCD的周长为60cm，
∴AB+AD＝30cm，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AD＝30cm，
故选：A．
7．解：AE平分平行四边形ABCD一内角∠DAB．
如图1，当BE＝2cm，CE＝3cm时，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD．
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB．
∴∠BAE＝∠AEB．
∴BA＝BE＝2cm．
∴平行四边形周长为2×（2+5）＝14cm；
如图2，当CE＝2cm，BE＝3cm时，
同理可得BA＝BE＝3cm．
则平行四边形周长为2×（3+5）＝16cm．
综上所述平行四边形ABCD周长为14cm或16cm．
故选：D．
8．解：如图，作EM⊥FH，GN⊥FH，
S1＝FA?EM，S2＝FA?GN
根据△EFH与△GFH的面积相等，可得EM＝GN，
∴S1＝S2．
故选：A．
9．解：任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（1）（2）；（3）（4）；（1）（3）；（2）（4）共四种．
故选：B．
10．解：如图，延长CF，BA交于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于H，过点E作EM⊥CF于M，
∵四边形ABCD是矩形，且AB＝，BC＝4，
∴AB∥CD，AB＝CD＝，∠D＝∠ABC＝∠CBE＝90°，
∴∠DCF＝∠G，
∵CF平分∠ECD，
∴∠DCF＝∠FCE，FH＝DF，
∴∠G＝∠ECF，
∴EC＝EG，
∴∠ECG是等腰三角形，
∴CM＝MG，
∵CE＝CF，
∴△ECF是等腰三角形，
∵EM⊥CF，FH⊥CE，
∴EM和FH是等腰三角形腰上的高，
∴EM＝FH＝DF，
∴Rt△CDF≌Rt△CME（HL），
∴CM＝CD＝，
∴CG＝5，
Rt△CBG中，BG＝＝＝3，
设BE＝x，则EC＝EG＝3+x，
Rt△CBE中，（3+x）2＝x2+42，
解得：x＝，
∴BE＝．
故答案为：．
11．解：连接BP，
（cm2），
∴AB＝BC＝＝3（cm），
∴（cm2），
∴，
∴（cm），
故答案为：2．
12．解：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为10，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝DA＝10，
∵点E、F分别是边AD，CD的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF∥AC，
∵AC、BD是菱形的对角线，BD＝16，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝8，OA＝OC，
又∵AD∥BC，EF∥AC，
∴四边形CAEG是平行四边形，
∴AC＝EG，
在Rt△AOB中，AB＝10，OB＝8，
∴OA＝OC＝＝6，
∴AC＝2OA＝12，
∴EG＝AC＝12；
故答案为：12．
13．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，
∵H为BC中点，
∴OH＝BC＝2.5．
故答案为：2.5．
14．解：过点D作DE⊥y轴，垂足为E．
∵A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），
∴OA＝3，OB＝4．
∵ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°．
∴∠DAE＝∠AB0．
在△ABO和△DAE中，
∴△ABO≌△DAE．
∴AE＝OB＝4．
∴OE＝AE+AO＝4+3＝7．
∴△OBD的面积＝OB?OE＝×4×7＝14．
故答案为：14．
15．解：连接MC，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，
∴四边形MECF为矩形，
∴EF＝MC，
当MC⊥BD时，MC取得最小值，
此时△BCM是等腰直角三角形，
∴MC＝BC＝×6＝3，
∴EF的最小值为3；
故答案为：3．
16．解：∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝BD＝4，AC⊥BD，
∴BC＝＝＝5，
∵OE⊥BC，
∴S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OE，
∴OE＝＝＝，
故答案为：．
17．解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A＝90°，AB＝BE＝7，AD∥BC，BF∥DE，AD＝11，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，
∴BG＝BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH＝DH＝DG＝BG，
设BH＝DH＝x，则AH＝11﹣x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：72+（11﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴BH＝，
∴四边形BGDH的周长＝4BH＝，
故答案为：．
18．解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．
∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，
∴EF⊥l1，EF⊥l4，
即∠CED＝∠BFC＝90°．
∵ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°．
∴∠DCE+∠BCF＝90°．
又∵∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠BCF．
在△CDE和△BCF中，
∴△CDE≌△BCF（AAS），
∴BF＝CE＝2．
∵CF＝1，
∴BC2＝12+22＝5，
即正方形ABCD的面积为5．
故答案为：5．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠D＝∠ABC，AB＝CD，
又∵E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF＝BE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF∽≌△CBE（SAS）；
（2）解：四边形AECF为菱形；理由如下：
∵四边形AGBC是矩形，
∴∠ACB＝90°，
又∵E为AB中点，
∴CE＝AB＝AE，
同理AF＝FC，
∴AF＝FC＝CE＝EA，
∴四边形AECF为菱形．
20．（1）证明：∵AC⊥BD，∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB．
∴BD∥CF，CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形；
（2）解：∵四边形DBFC是平行四边形，
∴CF＝BD＝2，
∵AB＝BC，AC⊥BD，
∴AE＝CE，
作CM⊥BF于M，
∵BC平分∠DBF，
∴CE＝CM，
∵∠F＝45°，
∴△CFM是等腰直角三角形，
∴CM＝CF＝，
∴AE＝CE＝，
∴AC＝2．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CE＝DC，
∴AB＝EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴BF＝BC；
（2）∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，
∴FA＝FE，FB＝FC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D．
又∵∠AFC＝2∠ADC，
∴∠AFC＝2∠ABC．
∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC＝∠BAF，
∴FA＝FB，
∴FA＝FE＝FB＝FC，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC是矩形．
22．证明：（1）∵?ABCD，
∴AO＝OC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC
（三线合一）
即
BD⊥AC，
∴?ABCD是菱形；
（2）∵△ACE是等边三角形，∠EAC＝60°
由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC
∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形
∴∠EAO＝60°，
∵∠AED＝2∠EAD，
∴∠EAD＝15°，
∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，
∵?ABCD是菱形，
∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，
∴菱形ABCD是正方形．
23．（1）证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AEG和△AEC中，
，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE＝EC．
∵BD＝CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵DE＝BF，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）解：BF＝（AB﹣AC）．
理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF＝DE＝BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）．
24．解：（1）①∵ABCD为正方形，
∴∠ABE＝45°．
又∵AB＝BE，
∴∠BAE＝×（180°﹣45°）＝67.5°．
∴∠DAE＝90°﹣67.5°＝22.5°
②证明：∵正方形ABCD关于BD对称，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF．
（2）如下图所示：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．
∵CE＝EF，
∴N是CF的中点．
∵BC＝2BF，
∴＝．
又∵四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三角形，
∴CN＝DM＝ME，
∴ED＝DM＝CN＝．
如下图所示：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．
∵正方形ABCD关于BD对称，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABF＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF．
∴FN＝CN．
又∵BC＝2BF，
∴FC＝3，
∴CN＝，
∴EN＝BN＝，
∴DE＝．
综上所述，ED的长为或
25．解：（1）在正方形ABCD中，BC＝DC，∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠CDB＝45°，
∵∠PBC＝α，
∴∠DBP＝45°﹣α，
∵PE⊥BD，且O为BP的中点，
∴EO＝BO，
∴∠EBO＝∠BEO，
∴∠EOP＝∠EBO+∠BEO＝90°﹣2
α；
（2）BP＝．证明如下：
连接OC，EC，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
设∠PBC＝α，
在Rt△BPC中，O为BP的中点，
∴CO＝BO＝，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠COP＝2
α，
由（1）知∠EOP＝90°﹣2α，
∴∠EOC＝∠COP+∠EOP＝90°，
又由（1）知BO＝EO，
∴EO＝CO．
∴△EOC是等腰直角三角形，
∴EO2+OC2＝EC2，
∴EC＝OC＝，
即BP＝，
∴BP＝．
26．（1）解：如图1中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵EC⊥BC，
∴AD⊥EC，
∴∠BCE＝∠CED＝90°，
∵∠ECD＝30°，CD＝2，
∴CE＝CD?cos30°＝，
在Rt△BCE中，BE＝＝，
∵BC＝BF＝4，
∴EF＝BE﹣BF＝﹣4．
（2）证明：如图2中，延长GM到H，使得MH＝MG，连接CH，BH．
∵CM＝MG＝MH，CM⊥GH，
∴∠HCG＝90°，CH＝CG，
∴∠HCG＝∠BCE，
∴∠BCH＝∠ECG，
∵CB＝CE，
∴△BCH≌△ECG（SAS），
∴BH＝EG，∠CHB＝∠CGE＝45°，
∵∠CHG＝45°，
∴∠BHG＝90°，
∴∠BHG＝∠CMG＝90°，
∴MN∥BH，∵HM＝MG，
∴BN＝NG，
∴BH＝2MN，
∴EG＝2MN．