2020-2021学年沪科版数学八年级下册17.3一元二次方程根的判别式-教案

第十七章
一元二次方程
17.3
一元二次方程根的判别式
一、教学目标
1．理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况.
2．通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力．
二、教学重点及难点
重点：用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等.
难点：弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式.
三、教学用具
多媒体课件
四、相关资料
微课
五、教学过程
【情景引入】
1.先用公式法解下列方程：
(1)x2+4＝4x
(2)x2+2x＝3
(3)x2－x＋2＝0
然后回答下列问题：你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？
(待学生做完后，教师点评.(1)x1
=
x2
=
2
；(2)x1
=
1
，x2
=
-3
；(3)无实数根.)
2.发现问题
观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？
(学生观察得出：三个方程的根的情况是不同的，其中(1)有两个相等的实数根，(2)有两个不相等的实数根，(3)没有实数根)
3.提出问题
教师引导学生思考上述方程根的情况不同的原因，尝试提出下列问题：
一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？(板书课题，出示学习目标)
【探究新知】
1.一元二次方程的根的判别式
活动1：学生自学，初步感悟
请学生带着下面的问题，自学第44页例题，并注意分类讨论的思想方法的使用.
一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
①它何时有两个相等的实数根？
②何时有两个不相等的实数根？
③何时没有实数根？
④为什么说方程根的情况是由b2-4ac决定的？
教师巡视，并注意收集问题，为下一步集中释疑做准备.
活动2：合作交流，深入探究
请学生结合自己的理解，就上述问题的答案在小组内进行讨论、探究，然后教师组织全班进行交流，关键让学生讲清每个结论的理由.
活动3：师生合作，归纳提升
由上面的讨论可见，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由b2-4ac来决定.因此，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.通常用符号“Δ”(希腊字母)来表示，读做“得尔塔”，即Δ=b2-4ac.
2.一元二次方程的根的判别方法
思考：你能说出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况具体有哪几种，又是如何判别的吗？
学生思考，师生共同得出：
结论1一般的，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
①当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，没有实数根.
这个结论告诉我们，只要算出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的值，就可以由它的符号直接判别方程根的情况.
活动4：应用迁移，发展能力
例：不解方程，判别下列方程的根的情况
(1)3x2－x＋1=3x
(2)5(x2＋1)=7x
(3)x2－4x=－4
本例先让学生思考，分析解题思路，然后请学生口述第(1)小题的解法，教师板书，以进一步明确思路，强调解题方法及格式.
请学生回顾上面的解题过程，总结判别一元二次方程的根的情况的步骤：
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac是针对一般形式而言的，所以，不解方程，判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为：
①一化(将一元二次方程化为一般形式)；
②二算(确定a、b、c的值，算出Δ的值)；
③三判断(根据结论1判别方程根的情况).
(2)、(3)小题由学生完成，教师巡视.待学生做完后，教师请一名学生向大家公布自己的解题结果，教师及时点评.
【新知运用】
【类型一】
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
例1
已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判断正确的是(　　)
A．该方程有两个相等的实数根
B．该方程有两个不相等的实数根
C．该方程无实数根
D．该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2＋x－1＝0.∵b2－4ac＝1－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选B.
方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根．
【类型二】
根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围
例2
若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)
A．k>－1
B．k>－1且k≠0
C．k<1
D．k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即解得k>－1且k≠0.故选B.
易错提醒：利用b2－4ac判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题容易误选A.
【类型三】
一元二次方程根的判别式与三角形的综合
例3
已知a，b，c分别是△ABC的三边长，求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0没有实数根．
解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式Δ<0即可．由a，b，c是三角形三条边的长可知a，b，c都是正数．由三角形的三边关系可知a＋b>c，a＋c>b，b＋c>a.
证明：∵b为三角形一边的长，∴b≠0，∴b2≠0，∴b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0是关于x的一元二次方程．∴Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝(b2＋c2－a2＋2bc)(b2＋c2－a2－2bc)＝[(b＋c)2－a2][(b－c)2－a2]＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)＝(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]．∵a，b，c是三角形三条边的长，∴a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c>0，a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b.∴(b＋c)－a>0，(a＋b)－c>0，b－(a＋c)<0，∴(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]<0，即Δ<0.∴原方程没有实数根．
方法总结：利用根的判别式与三角形的三边关系：常根据判别式得到关于三角形三边的式子，再结合三边关系确定Δ符号．
【类型四】
利用根的判别式解决存在性问题
例4
是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：不存在，理由如下：
假设m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则[－(2m－1)]2－4m2>0，解得m<.∵m为非负整数，∴m＝0.
而当m＝0时，原方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛盾．
∴不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根．
易错提醒：在求出m＝0后，常常会草率地认为m＝0就是满足条件的非负整数，而忽略了二次项系数不为0的这一隐含条件，因此解题过程中务必考虑全面．
【随堂检测】
1．一元二次方程x2＋x－2＝0的根的情况是(A)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
2．对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况是(C)
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
3．若关于x的方程x2＋(1－m)x＋＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值为__0__.
4．若一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根，则m应满足__m≤1__．
六、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
(1)一元二次方程根的判别式的意义；
(2)由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况：
①当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，没有实数根.
设计意图：通过问题的设置将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识。
七、板书设计
17.3
一元二次方程根的判别式
(1)b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.通常用符号“Δ”(希腊字母)来表示，即Δ=b2-4ac.
(2)由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况：
①当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，没有实数根.