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二次函数同步辅导1
二 次 函 数 的 错 例 分 析
二次函数错例分析
在解决与二次函数有关的问题时，往往由于审题不清、考虑不周而错解，为帮助大家纠正错误,正确灵活地应用二次函数的图像及性质，解决有关二次函数问题,现将常见原因所造成的错误剖析如下：
例1：如果函数y=是二次函数，那么k的值一定是______．
错解：根据二次函数的定义，得：
k2-3k+2=2，
解得k=0或k=3；
∴当k=0或k=3时，这个函数是二次函数．
正解：根据二次函数的定义，得：
k2-3k+2=2，
解得k=0或k=3；
又∵k-3≠0，
∴k≠3．
∴当k=0时，这个函数是二次函数．
点拨：二次函数二次项系数不为0是个易错点。
例2、求二次函数的顶点坐标
错解：=，所以顶点坐标（-2，8）
正解：
得顶点坐标（-1，-2）
点拨：同学们应记住配方到y=a(x+h)2+m形式时x+h=0得顶点横坐标，顶点纵坐标就是m。该同学配方错误，在提取公因数2的时候一次项没提出来，同时按该同学配方结果-8这个整体才代表上面配方结果中的m。
例3：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|a-b+c|+|2a+b|，Q=|a+b+c|+|2a-b|，则P、Q的大小关系为P＜Q．
错解：
正解：根据图象知道：
当x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0；
当x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0；
∵对称轴在x=1的右边，
∴，两边同乘以-2a（-2a>0）得
∴2a+b＞0；
∵a＜0，b＞0，
∴2a-b＜0；
∴P=|a-b+c|+|2a+b|= -a+b-c+2a+b=a+2b-c，
Q=|a+b+c|+|2a-b|=a+b+c-2a+b=-a+2b+c，
∵图像过原点 ∴c=0 ∴P-Q= a+2b-c –(-a+2b+c)=2(a-c)=2a＜0
∴P＜Q．
点拨：错解形式太多，无法全部写出。这里应注意：a决定二次函数开口方向，由图象开口向下判断出a＜0，由对称轴在x=1右侧、得出，两边同乘以-2a得：
2a+b>0，当x=-1时图象在x轴下方，得出y＜0，即a-b+c＜0．当x=1时图象在x轴上方，得出y＞0，即a+b+c＞0，然后把P，Q化简利用作差法比较大小．
例3：如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为x=-1．给出两个结论：b2＞4ac； 5a＜b．它们正确的个数是
错解：b2＞4ac正确，5a＜b看不出，所以不正确。它们正确的个数是1个。
正解：∵图象与x轴显然应有两个交点
∴b2-4ac＞0，
即b2＞4ac，正确；
把x=1，x=-3代入解析式得a+b+c=0，9a-3b+c=0，两边相加整理得
5a-b=-c＜0，即5a＜b．
因此给出的两个结论都正确。
点拨：窍门就在当结论出现b2-4ac形式时，只考虑二次函数图像与x轴交点的个数；当出现2a和b形式时只考虑的符号或者值是多少，当出现本题5a二次函数解析式的求法
二次函数的解析式的求法是学习的难点．它的基本思想方法是待定系数法。根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．最常用的是下面几种求法。
一般式：当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；
顶点式：若已知抛物线的顶点顶点坐标为（ h，k ）或对称轴、极值，则设为顶点式（）．我们可以代人除顶点外的任意一个点的坐标来求出相应的系数a；
两根式：已知图像与 x轴交于不同的两点，则设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值．
典型例题：根据下面的条件，求二次函数的解析式：
1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）
2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）
3．图像与x轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－）
解：1、由已知可设二次函数的解析式为：（），依题意得：
解得：
2、由已知可设二次函数解析式为：y = a( x – h)2 + k（），
图象顶点是（－2，3）
h=－2，k=3， 依题意得：5=a( －1 + 2)2+3，解得：a=2
y = 2( x +2)2 + 3=
3、设二次函数解析式为：y = a( x – ) ( x – )．（）
图像与x轴交于（－2，0），（4，0）两点，
=－2，=4
依题意得：－= a( 1 +2) ( 1– 4) a=
y = ( x +1) ( x – 4)=
指点迷津 二次函数图像的平移、旋转和翻折
研究二次函数的图像在其平移、轴对称、旋转的过程，实际就是如何确定其解析式，研究变化后图像性质的过程。最好的方法是找到变化后图像的特殊点，再求解析式，运用性质解题。
例1.将二次函数y=x2-2x-3的图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的新的图像解析式为_____，新图像上有点（a,m）和（b,n）且那么m与n 的大小关系是m____ n（填“>”或者“”符号）
解：将y=x2-2x-3化为顶点式y=(x-1)2-4，将其图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么新解析式是y=(x-1-1)2-4+2= y=(x-2)2-2；因此新函数二次项系数，对称轴方程为x=2，所以时y随x的增大而减小，由可得。
点拨：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a值不变。二次函数平移规律.第一：上加下减，本题将其图像向上平移2个单位，就是在y=(x-1)2-4的-4后再加2.第二：左加右减，本题再向右平移1个单位是在括号内的-1后又减去1.
例2.求抛物线y=x2-2x-3关于x轴或y轴对称的抛物线的解析式。
解：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，a值为1，其顶点坐标为(1，-4)，若关于x轴对称，新二次项系数为-1，新的顶点坐标为(1，4)，故解析式为y=-(x-1)2+4；若关于y轴对称，a值仍为1，新的顶点坐标为(-1，-4)，因此解析式为y=(x+1)2-4。
点拨：二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数。顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。二次函数图像关于y轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a值不变。但是顶点位置会改变，只要根据关于y轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。
例3.将抛物线y=x2-2x+3绕坐标系原点旋转180°，则所得的抛物线的函数解析式为________
分析：y=x2-2x+3=(x-1)2+2中，a值为1，顶点坐标为(1，2)，抛物线绕原点
（0，0）旋转180°后，a值为-1，顶点坐标为(-1，-2)，故解析式为y=-(x+1)2-2，则所得的抛物线的函数解析式为y=-x2-2x-3
点拨：二次函数图像的顶点绕原点旋转180°的图像不会改变二次函数的图像形状，开口方向相反，因此a值只会为原来的相反数，但顶点坐标不变，故很容易求其解析式，但仅仅听老师讲效果较差，应该在网上下载几何画板软件，借助软件观察图形的性质，理解的才深刻。
典例剖析 已知y是x的二次函数，且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位，当x=3时，y取得最小值-2．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若此函数图象上有一点P，使△PAB的面积等于12个平方单位，求P点坐标．
分析：（1）根据抛物线的对称轴为x=3，以及AB=4，可求得A、B的坐标，然后根据其顶点坐标用顶点式求二次函数解析式。设抛物线的解析式，然后将A或B点的坐标代入抛物线中即可求得二次函数的解析式．
（2）已知了AB的长，可根据三角形的面积求得P点纵坐标的绝对值，然后代入抛物线的解析式中即可求得P点的坐标．
解：（1）∵当x=3时y取得最小值-2．
即抛物线顶点为（3，-2）且开口朝上。
∴设二次函数解析式为y=a（x-3）2-2．的对称轴x=3
又∵图象在x轴上截得线段AB的长是4，(由题意画右面草图)
∴图象与x轴交于（1，0）和（5，0）两点．
∴，
∴a=，
∴所求二次函数解析式为y= -3x+．
（2）∵△PAB的面积为12个平方单位，|AB|=4．
∴ 12×4×|Py|=12，
∴|Py|=6，
∴Py=±6．
但抛物线开口向上，函数值最小为-2，
∴Py=-6应舍去，
∴Py=6又点P在抛物线上，
∴6= ．
即点P的坐标为（-1，6）或（7，6）．第5页 共5页
二次函数同步辅导2试题
选择题
1．二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值是－4，则a的值是（ ）
A. －4 B. 1 C. －1 D. －4或1
2.如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点（3，0），则的值为
A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
3. 已知二次函数的图象如图所示，
当时，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
4足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁，若足球运行的路线是抛物线如图所示，则下列结论①，②，③，④。其中正确的是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
填空题
1. 若抛物线y=x2+5x+a2与直线y=x-1相交，那么它们的交点必在第 象限
2. 抛物线y=ax2+bx+c过（2，6），（4，6）两点，一元二次方程ax2+bx+c=k，当k＞7时无实数根，当k≤7时有实数根，则抛物线的顶点坐标是（3，7）
3. 二次函数y=x2+（2+k）x+2k与x轴交于A，B两点，其中点A是个定点，A，B分别在原点的两侧，且OA+OB=6，则直线y=kx+1与x轴的交点坐标为 ,
4.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值
是 cm2．
解答题
1. 抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线，且在x轴上截取长度为的线段，求解析式。
2. 如图所示，在直角三角形的内部做一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上。
（1）设长方形的一边AB=x，那么AD边的长度如何表示？
（2）设长方形的面积为y，当x取何值时，y的值最大，最大值是多少
3. 某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
x（十万元） 0 1 2 …
y 1 1.5 1.8 …
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
4. 图1是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图2）．
（1）求抛物线表达式．
（2）求两盏景观灯之间的水平距离．
5.（2011贵州安顺）如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．
⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；
⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．
二次函数同步辅导2试题答案
选择题答案
2.A 3.A
填空题答案
1. 三
2. 解：∵（2，6），（4，6）两点关于直线x=3对称，
∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，即抛物线的顶点横坐标为3，
∵一元二次方程ax2+bx+c=k，当k＞7时无实数根，当k≤7时有实数根，
∴7为函数y=ax2+bx+c的最值，即抛物线的顶点纵坐标为7，
则抛物线的顶点坐标是（3，7）．
3. （ ，0）
4.12.5
解答题
1. 解：∵对称轴为，即
∴可设二次函数解析式为
∵在x轴上截取长度为
∴抛物线过与两点
又∵（-1，-1）在抛物线上
由<1>、<2>解得：
∴解析式为
即
2. 解：（1）∵长方形的一边长AB=x.DA⊥AB，CB⊥AB
∴DC∥AB，∴，∴AD=30－
（2）∵长方形的面积为y
∴
∵
∴x=20时，
3. 解：（1）因为题中给出了y是x的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y与x的函数关系式为
（2）由题意得S=10y(3-2)-x
（3）由（2）及二次函数性质知，当1≤x≤2.5，即广告费在10—25万元之间时，S随广告费的增大而增大。
4.解：（1）由题意可得抛物线的顶点坐标为，与轴的交点坐标是．
设抛物线所对应的二次函数表达式是．
把代入，得．
所以．
（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是．
所以．
所以．
解得，．
所以两景观灯间的距离为．
–1
3
3
1
第6题图二次函数同步辅导1试题
选择题
1. 抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( )
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
【答案】B
2. 下列函数中,当x>0时y值随x值增大而减小的是（ ）．
A．y = x2 B．y = x－１ C． y = x D．y =
3. （2011山东德州）已知函数（其中）的图象
如下面右图所示，则函数的图象可能正确的是
4. 如图为抛物线的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是
A．a＋b=－1 B． a－b=－1 C． b<2a D． ac<0
5. （2011山东泰安）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
X -7 -6 -5 -4 -3 -2
y -27 -13 -3 3 5 3
则当x=1时，y的值为
A.5 B.-3 C.-13 D.-27
填空题
1. （2011浙江省舟山）如图，已知二次函数的图象经过点（－1，0），（1，－2），当随的增大而增大时，的取值范围是 ．
2. （2011山东日照）如图，是二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）
3.一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过（2,1）点；②当x>0时，y随x的增大而减小.这个函数解析式为_________________________（写出一个即可）
4. （2011广东茂名）给出下列命题：
命题1．点(1，1)是双曲线与抛物线的一个交点．
命题2．点(1，2)是双曲线与抛物线的一个交 点．
命题3．点(1，3)是双曲线与抛物线的一个交点．
……
请你观察上面的命题,猜想出命题(是正整数):
5. （2011山东枣庄）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）
①抛物线与轴的一个交点为（3,0）； ②函数的最大值为6；
③抛物线的对称轴是； ④在对称轴左侧，随增大而增大．
解答题
1. 已知抛物线与x轴有交点．
(1)求c的取值范围；
(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．
2. （2011贵州贵阳）
如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．
（第2题图）
3. 已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．
⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
4. 如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）.
⑴ 求抛物线的解析式;
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.
二次函数同步辅导上试题答案
选择题答案
1.B 2.D
3. 解：根据图象可得a，b异号，
∵a＞b，∴a＞0，b＜0，
∴函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，
故选D 4.B 5.D
填空题答案
1. 2. ①③． 3. 如：等，写出一个即可
4. 点(1，n)是双曲线与抛物线的一个交点
5. ①③④
解答题答案
1. 解：（1）∵抛物线与x轴没有交点
∴⊿＜0，即1－2c＜0
解得c＞
(2)∵c＞
∴直线y=x＋1随x的增大而增大，
∵b=1
∴直线y=x＋1经过第一、二、三象限
2. 解：（1）将（3，0）代入二次函数解析式，得
-32+2×3+m=0．
解得，m=3．
（2）二次函数解析式为y=-x2+2x+3，令y=0，得
-x2+2x+3=0．
解得x=3或x=-1．
∴点B的坐标为（-1，0）．
（3）∵S△ABD=S△ABC，点D在第一象限，
∴点C、D关于二次函数对称轴对称．
∵由二次函数解析式可得其对称轴为x=1，点C的坐标为（0，3），
∴点D的坐标为（2，3）．
3. 解：⑴当x=0时，．
所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）．
⑵①当时，函数的图象与轴只有一个交点；
②当时，若函数的图象与轴只有一个交点，则方程有两个相等的实数根，所以，．
综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或9．
第3题图
y
x
1
1
O
（A）
y
x
1
-1
O
（B）
y
x
-1
-1
O
（C）
1
-1
x
y
O
（D）
（第1题）
（1,-2）
-1
O
C
B
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试题
选择题
1. 已知y=ax2+bx的图象如图所示，则y=ax-b的图象一定过（ ）
A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限
C、第二、三、四象限 D、第一、三、四象限
2.如图，抛物线的对称轴是直线，
且经过点（3，0），则的值为
A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
3. 已知二次函数的图象如图所示，
当时，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
4. 已知 A（），B（），C（）为二次函数 的图象上的三点，则的大小关系是( )
A． B． C． D．
填空题
1. 抛物线y=x2+bx+c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值是-3
2. 二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
3. 若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是 2．
4. 黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h（m）与飞行时间t（s）的关系式是 h=-t2+20t+1，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为4s；
解答题
1. 已知抛物线y=ax2+bx经过点A（-3，-3）和点P（t，0），且t≠0．
（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，
指出此时y的最小值，并写出t的值；
（2）若t=-4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；
（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．
2、（2010 咸宁）已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（-3m，0）（m≠0）．
（1）证明4c=3b2；
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值．
3.（2011湖北省鄂州市 ( http: / / www.m / math / report / detail / 486b4f4e-745e-444e-ba98-058259a19bc7" \t "_blank )）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P= (x-60)2+41（万元）．当地政府拟在“十二 五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润 Q=(100-x)2+(100-x)+160（万元）．
（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？
（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？
4.已知抛物线y1=x2+4x+1的图象向上平移m个单位（m＞0）得到的新抛物线过点（1，8）．
（1）求m的值，并将平移后的抛物线解析式写成y2=a（x-h）2+k的形式；
（2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象．请写出这个图象对应的函数y的解析式，并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数在-3＜x≤ 时对应的函数值y的取值范围；
（3）设一次函数y3=nx+3（n≠0），问是否存在正整数n使得（2）中函数的函数值y=y3时，对应的x的值为-1＜x＜0，若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．
二次函数同步辅导3试题答案
选择题答案
2.A
3.A 解：本题考查二次函数图像的知识，在坐标系中，当函数值y＜0时,函数图像在x轴的下方，因此x的取值在-1和3之间，所以的取值范围为.故选A.
4.B
解：因为二次函数当中，二次项系数>0，所以，抛物线开口向上，对称轴为：，在对称轴的右侧，y随x增大而增大，又A（），B（），C（）为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是，故，选择B。
填空题答案
2. k≤3且k≠0
4. 解：根据题意得焰火引爆处为抛物线的顶点处，顶点处的横坐标即代表从点火到引爆所需时间，
则t=-20×=4s，故答案为4s．
解答题
2. 解：（1）证明：依题意，m，-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两根，
根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=m+（-3m）=-b，x1 x2=m（-3m）=-c，
∴b=2m，c=3m2，
∴4c=3b2=12m2；
（2）解：依题意， ，即b=-2，
由（1）得 c=b2=×(-2)2=3，
∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴二次函数的最小值为-4．
–1
3
3
1二次函数同步辅导3
错例分析
在解决与二次函数有关的问题时，往往由于审题不清、考虑不周而错解，为帮助大家纠正错误,正确灵活地应用二次函数的图像及性质，解决有关二次函数问题,现将常见原因所造成的错误剖析如下：
例1：不论x为何值，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值恒大于0的条件是（ ）
A、a＞0，△＞0 B、a＞0，△＜0 C、a＜0，△＜0 D、a＜0，△＜0
错解：选C
正解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为正，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；则a＞0且△＜0．
故选B．
点拨：当x取一切实数时，函数值y恒为正的条件：抛物线开口向上，且与x轴无交点；
当x取一切实数时，函数值y恒为负的条件：抛物线开口向下，且与x轴无交点．
例2：下列命题：
①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；
②若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；
③若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c有两个不相等的实数根；
④若b2-4ac＞0，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．
其中正确的是（ ）
A、 只有①②③ B、只有①③④ C、只有①④ D、只有②③④
错解：选C
正解：①b2-4ac=（-a-c）2-4ac=（a-c）2≥0，正确；
②中由b＞a+c不能推出结论，错误；
③b2-4ac=4a2+9c2+12ac-4ac=4（a+c）2+5c2，因为a≠0，故（a+c）2与c2不会同时为0，所以b2-4ac＞0，正确；
④二次函数与y轴必有一个交点，而这个交点有可能跟图象与x轴的交点重合，故正确．
故选B．
点拨：①②③小题利用移项与变形b2-4ac与0的大小关系解决；处理第④小题时不要疏忽二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点情况．
例3. （2011江苏无锡）如图，抛物线y = x2 + 1与双曲线y = 的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式 + x2 + 1 < 0的解集是 ( )
A．x > 1 B．x < 1 C．0 < x < 1 D． 1 < x < 0
错解：∵抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，
∴关于x的不等式+x2+1＜0的解集是x > 1．
正解：∵ + x2 + 1 < 0 ∴ <-（x2 + 1）
∴所求不等式的解就是：y1 = 与y2 = -（x2 + 1）图像上y1∵抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，
∴抛物线y=-（x2+1）与双曲线y=的交点B的横坐标是-1，(如右图所示)
∴关于x的不等式+x2+1＜0的解集是-1＜x＜0．故选D
点评：本题主要考查了二次函数与不等式．解答此题时，用数形结合根据图象解不等式。
难点在于要找y=x2+1关于x轴对称的图像y2 = -（x2 + 1）是个难点。
例4：关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题：
①当c=0时，函数的图象经过原点；
②当c＞0，且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③函数图象最高点的纵坐标是；
④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．
其中正确命题的个数是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
错解：选C
正解：（1）c是二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点，所以当c=0时，函数的图象经过原点；
（2）c＞0时，二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的正半轴，又因为函数的图象开口向下，画草图可知方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
（3）当a＜0时，函数图象最高点的纵坐标是；当a＞0时，函数图象最低点的纵坐标是；
（4）当b=0时，二次函数y=ax2+bx+c变为y=ax2+c，又因为y=ax2+c的图象与y=ax2图象相同，所以当b=0时，函数的图象关于y轴对称．
四个都正确，故选D．
点拨：注意，二次函数y=ax2+bx+c的最值：当a＜0时，函数的最大值是；当a＞0时，函数的最小值是．
一点就通
二次函数的轴对称性很重要，若能巧妙使用就会给解题带来方便。
例．二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。
分析：因为二次函数当x＝4时有最小值－3，所以顶点坐标为（4，－3）。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点到对称轴的距离都是3.
解：：因为二次函数当x＝4时有最小值－3，所以顶点坐标为（4，－3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的横坐标是想x1=4-=1,x2=4+=7,所以：图象与x轴两交点为（1，0）和（7，0）。
将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得 a＝
∴y＝(x－4)2－3 即y＝x2－x＋
∴ 所求二次函数解析式为：y＝x2－x＋
点评：此题关键在于利用对称轴找出抛物线与x轴的交点坐标，可用一般式解，也可以用双根式或顶点式或顶点坐标公式来解。
典例剖析
（2011 张家界）如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（-4，0）、B（-2，2），连接OB、AB，
（1）求该抛物线的解析式．
（2）求证：△OAB是等腰直角三角形．
（3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，
得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，
试判断点P是否在此抛物线上．
（4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形
ABOM成直角梯形，若存在，请求出点M坐标及该
直角梯形的面积，若不存在，请说明理由．
分析：（1）将A（-4，0）、B（-2，2）代入抛物线解析式y=ax2+bx，列方程组求a、b的值即可；
（2）根据所求抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，判断三角形的形状；
（3）根据△OAB的形状，旋转方向，旋转角，画出图形，可求A′、B′的坐标，根据中点坐标公式求P的坐标，代入抛物线解析式进行判断；
（4）存在．过点O，作OM∥AB交抛物线于点M，根据△OAB为等腰直角三角形，可求直线OM的解析式，与抛物线解析式联立，可求M点坐标，同理，过点A，作AM′∥OB交抛物线于点M′，联立方程组可求M′的坐标，由图形的特殊性可知，两种情况下，梯形面积相等，根据梯形面积公式求解．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意求抛物线解析式，根据解析式确定图形的特殊性．
指点迷津
（福建福州2011）已知,如图11,二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点(在点右侧),点、关于直线:对称.
(1)求、两点坐标,并证明点在直线上;
(2)求二次函数解析式;
(3)过点作直线∥交直线于点,、分别为直线和直线上的两个动点,连接、、,求和的最小值.
分析：（1）求出方程ax2+2ax-3a=0（a≠0），即可得到A点坐标和B点坐标；把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上；
（2）根据点H、B关于过A点的直线l： y=对称，得出AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；
（3）解方程组y=和y=，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．
解:(1)依题意,得
解得,
∵点在点右侧
∴点坐标为,点坐标为
∵直线:
当时,
∴点在直线上
(2)∵点、关于过点的直线:对称
∴
过顶点作交于点
则,
∴顶点
代入二次函数解析式,解得
∴二次函数解析式为
(3)直线的解析式为
直线的解析式为
由 解得 即,则
∵点、关于直线对称
∴的最小值是,
过点作直线的对称点,连接,交直线于
则,,
∴的最小值是,即的长是的最小值
∵∥
∴
由勾股定理得
∴的最小值为
点评：本题主要考查对勾股定理，解二元一次方程组，二次函数与一元二次方程，二次函数与X轴的交点，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．
A
y
x
（第3题）
备用图
图11第1页 共6页
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二次函数错例分析
在解决与二次函数有关的问题时，往往由于审题不清、考虑不周而错解，为帮助大家纠正错误,正确灵活地应用二次函数的图像及性质，解决有关二次函数问题,现将常见原因所造成的错误剖析如下：
例1：已知：二次函数y=x2-4x-a，下列说法错误的是（ ）
A、当x＜1时，y随x的增大而减小
B、若图象与x轴有交点，则a≤4
C、当a=3时，不等式x2-4x+a＜0的解集是1＜x＜3
D、若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，-2），则a=-3
错解：选C
正解：解：二次函数为y=x2-4x-a，对称轴为x=2，图象开口向上．则：
A、当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项正确；
B、若图象与x轴有交点，即△=16+4a≥0则a≥-4，故选项错误；
C、当a=3时，不等式x2-4x+a＜0的解集是1＜x＜3，故选项正确；
D、将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是y=（x+3）2-4（x+3）-a+1．
函数过点（1，-2），代入解析式得到：16-4×4-a+1=-2，解得a=-3．故选项正确．
故选B．
点拨：判断C项正确关键点在理解二次
函数y=x2-4x+3，与一元二次方程x2-4x+3=0
的关系，x2-4x+3=0的根为x1=1,x2=3. 满足函数y=x2-4x+3<0的x是图像在(1,0) ，(3,0)之间x轴下方的部分，所以x2-4x+3＜0的解集是1＜x＜3正确。
例2：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y=x2-mx+m-2（m为实数）的零点的个数是（ ）
A、1 B、2 C、0 D、不能确定
错解：D
正解：由题意可知：函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点
△=（-m）2-4×1×（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4
∵（m-2）2一定为非负数
∴（m-2）2+4＞0
∴二次函数y=x2-mx+m-2（m为实数）的零点的个数是2．
故选B．
点拨：判断二次函数y=x2-mx+m-2的零点的个数，也就是判断二次函数y=x2-mx+m-2与x轴交点的个数；根据△与0的关系即可作出判断．
例3: 抛物线y=x2-4x-5与x轴交于点A、B，点P在抛物线上，若△PAB的面积为27，则满足条件的点P有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
解：∵抛物线y=x2-4x-5与x轴交于点A、B两点．
∴0=x2-4x-5，
∴x1=-1，x2=5，
∴AB=5-（-1）=6，
∵△PAB的面积为27，
∴点P的纵坐标的绝对值为2×27÷6=9，
①当纵坐标为9时，
x2-4x-5=9，
x2-4x-14=0，
△＞0，
∴在抛物线上有2个点；
②当纵坐标为-9时，
x2-4x-5=-9，
△=0，
∴在抛物线上有1个点；
∴满足条件的点P有3个，故选C．
点拨：用到的知识点为，x轴上的点的纵坐标为0；△＞0，与抛物线有2个交点；△=0，与抛物线有1个交点，△＜0，与抛物线没有交点．要注意：若△PAB的面积为27。则点P的纵坐标的绝对值为9，有同学粗心写成点P的纵坐标为9出现错误。
例4：某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元.市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w＝－2x+240.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：
（1）求y与x的关系式；
（2）当x取何值时，y的值最大？
（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？
错解（1）因为y＝x w＝x (－2x+240)＝－2x2+240x，
所以y与x的关系式为：y＝－2x2+240x.
（2）因为y＝－2x2+240x＝－2(x－60)2+7200，
所以当x＝60时，y的值最大.
（3）当y＝2250时，可得方程－2 (x－60)2+7200＝2250.
解这个方程，得x1＝60+15，x2＝60－15.
所以当销售单价为60+15元，或60－15元时，可获得销售利润2250元.
剖析 题目中明确说明销售利润为y元，而销售单价x元/千克中含有成本为50元/千克，所以本题在求销售利润时，错误地认为销售单价就是纯利润的单价，另外，求得的销售单价有一个最高限价，走出这个最高限价的应舍去.
正解（1）因为y＝(x－50) w＝(x－50) (－2x+240)＝－2x2+340x－12000，
所以y与x的关系式为：y＝－2x2+340x－12000.
（2）因为y＝－2x2+340x－12000＝－2(x－85)2+2450，
所以当x＝85时，y的值最大.
（3）当y＝2250时，可得方程－2 (x－85)2+2450＝2250.
解这个方程，得x1＝75，x2＝95.
根据题意，x2＝95不合题意应舍去.
所以当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元.
点拨 利用二次函数求解实际问题时，除了要能正确求解外，还要注意使求得的结果符合实际意义.
二次函数应用题典例剖析
小强在一次投篮训练中，从距地面高1.55米处的O点投出一球向篮圈中心A点投去，球的飞行路线为抛物线，当球达到离地面最大高度3.55米时，球移动的水平距离为2米．现以O点为坐标原点，建立直角坐标系（如图所示），测得OA与水平方向OC的夹角为30o，A、C两点相距1.5米．
（1）求点A的坐标；
（2）求篮球飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小强这一投能否把球从O点直接投入
篮圈A点（排除篮板球），如果能的，请说明理由；
如果不能，那么前后移动多少米，就能使刚才那一
投直接命中篮圈A点了．（结果可保留根号）
分析：（1）利用直角三角形的边角关系得到OC的长，可以确定点A的坐标．（2）根据球到达的最大高度和移动的水平距离确定抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，然后把O（0，0）代入顶点式，求出抛物线的解析式．（3）把点A的坐标代入抛物线的解析式，发现抛物线的两边不等，说明点A不在抛物线上，那么小强不能从O点把球投入．把y=1.5代入抛物线求出x的值，得到小强后退的距离．
点拨：题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。
一点就通 二次函数与面积
如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0＜m＜3，连接OA，OB，OA⊥OB．
（1）求证：mn=-6；
（2）当S△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；
（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使S△POF：S△QOF=1：3？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．
分析：（1）作BC⊥x轴于C点，AD⊥x轴于D点，证明△CBO∽△DOA，
利用线段比求出mn．
（2）由（1）得OA=mBO推出 OB OA=10，根据勾股定理求出
mn的值．然后可得A，B的坐标以及抛物线解析式．
（3）假设存在直线l交抛物线于P、Q两点，使，作
PM⊥y轴于M点，QN⊥y轴于N点，设P坐标为（t，-t2+10），
证明△PMF∽△QNF推出t值，继而可解出点P、Q的坐标．
数学广角
工人王师傅有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点处到边MN的距离是4dm，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，王师傅想截下的矩形铁皮的周长等于8dm，你能否帮他实现？
析解：由“抛物线”联想到二次函数。如图4，以MN所在的直线为x轴，点M为原点建立直角坐标系。设抛物线的顶点为P，则M（0，0），N（4，0），P（2，4）。用待定系数法求得抛物线的解析式为。
设A点坐标为（x，y），则AD=BC=2x-4，AB=CD=y。于是
。且x的取值范围是0若l=8，则，即。解得。
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