【专题突破训练】北师大版九年级数学下册第三章圆单元测试卷
一、选择题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分，共计30分
，）
1.
已知⊙O的直径AB=6cm，则圆上任意一点到圆心的距离等于（ ）
A.
2
cm
B.
2.5
cm
C.
3
cm
D.
无法确定
【答案】C
【解析】
因为⊙O的直径AB=6cm，故圆的半径为3cm，所以圆上任意一点到圆心的距离等于3cm．
2.已知是的直径，，、分别与圆相交于、，那么下列等式中一定成立的是（
）
A.
AE?BF=AF?CF
B.
AE?AB=AO?AD'
C.
AE?AB=AF?AC
D.
AE?AF=AO?AD
【答案】C
【解析】
【分析】
连接DE、DF，如图，先根据圆周角定理由AD是⊙O的直径得到∠AED=∠AFD=90°，而∠AD′B=∠AD′C=90°，则可判断B、D′、D、E四点共圆，C、D′、D、F四点共圆，然后根据切割线定理得AE?AB=AD?AD′，AF?AC=AD?AD′，则AE?AB=AF?AC．
【详解】解：连接DE、DF，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=∠AFD=90°．
∵AD′⊥BC，∴∠AD′B=∠AD′C=90°，∴B、D′、D、E四点共圆，C、D′、D、F四点共圆，∴AE?AB=AD?AD′，AF?AC=AD?AD′，∴AE?AB=AF?AC．
故选C．
【点睛】本题考查了切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．也考查了圆周角定理和四点共圆的判定方法．
3.下列说法中正确的是（
）
A.
垂直于半径的直线是圆的切线
B.
圆的切线垂直于半径
C.
经过半径的外端的直线是圆的切线
D.
圆的切线垂直于过切点的半径
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆的切线的性质定理和判定定理可得．
【详解】根据圆的切线的性质定理得：圆的切线垂直于经过切点的半径；
切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
故选D．
【点睛】考查了圆的切线的性质定理和判定定理．
4.
到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（
）的交点．
A.
三个内角平分线
B.
三边垂直平分线
C.
三条中线
D.
三条高
【答案】B
【解析】
试题分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．
解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选B．
点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
5.如图，点是直径的延长线上一点，切于点，已知，．则等于（
）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
【答案】C
【解析】
试题分析：连接OC，因为PC切⊙O于点C，所以∠PCO=90°，因为OB=3，PB=2，所以由勾股定理可得：，故选C．
考点：切线的性质、勾股定理．
6.如图，中弦垂直于直径于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（
）
A.
①②③④
B.
①②③
C.
②③④
D.
①④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据垂径定理判断解答．
【详解】由垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧知：
①②③均正确，④错误，点E不一定是OD的中点，
故选B.
【点睛】考查垂径定理，垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.
7.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（ ）
A.
3cm
B.
4cm
C.
5cm
D.
6cm
【答案】C
【解析】
试题分析：设圆心为O，过O作OC⊥AB，连接OB，设半径为r，则OC=r－2，BC=4，则根据Rt△OBC的勾股定理可得r=5．
考点：垂径定理
8.如图，已知，分别切于点、，，，那么弦的长是(
)
A.
4
B.
8
C.
4
D.
8
【答案】B
【解析】
试题分析：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PA=PB；
∵∠P=60°，
∴△PAB是等边三角形；
∴AB=PA=8，
考点：切线长定理
点评：本题难度较低，此题主要考查的是切线长定理及等边三角形的判定和性质．根据切线长定理判断PA=PB为解题关键．
9.有一边长为的正三角形，则它的外接圆的面积为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵正三角形的边长为
，可得其外接圆的半径为，故其面积为4π
故选C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质与运用，其三边相等，三个内角相等，均为60度．
10.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，sinA=，BC=1，则⊙O的半径等于（??
）
A.
4
B.
3
C.
2
D.
【答案】C
【解析】
试题分析：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∵sinA=，BC=1，∴=，∴AB=4，∴⊙O的半径等于2．故选C．
考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．
二、填空题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
，）
11.一个扇形的弧长是，面积是，这个扇形的半径是________．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据扇形弧长、面积公式即可求解.
【详解】∵扇形的弧长是，面积是
∴由S=lr得
190=
解得r=10
【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题关键.
12.如图，已知四边形内接于，，则的度数是________．
【答案】60°
【解析】
【分析】
先根据圆内接四边形的对角互补及邻补角互补得出∠ADC+∠B=180°,∠CDE+∠ADC=180°,然后根据同角的补角相等得出∠CDE=∠B=60°
【详解】解:∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠ADC+∠B=180°
∴∠CDE+∠ADC=180°
∴∠CDE=∠B
∴∠B=60°,
∴∠CDE=60°
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质,熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键
13.如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点P，已知PA＝3cm，PB＝4cm，PC＝2cm，那么PD＝________cm.
【答案】6
【解析】
解析：连接AC，DB.∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△APC∽△DPB，∴，
∴PD＝=＝6(cm)．
14.如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是______度．
【答案】48
【解析】
试题分析：根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案：
∵AB是⊙O的直径，∴OA=OC．
∵∠A=42°，∴∠ACO=∠A=42°．
∵D为AC的中点，∴OD⊥AC．
∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．
15.如图，是的直径，是垂直于的弦，垂足为，已知，，则________．
【答案】6
【解析】
【分析】
连接OC根据AB=10,AE=9,求得OE的长根据勾股定理求得CE的长,再根据垂径定理即可求得CD的长.
【详解】连接OC
∵AB=10,AE=9
∴OC=AB=5,OE=5-1=4
在直角三角形OEC中,根据勾股定理,得CE=3
∵AB⊥CD于E,
∴CD=2CE=6
【点睛】本题考查垂径定理的应用，作出辅助线是解题关键.
16.平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这圆的半径是________．
【答案】3或7
【解析】
【分析】
分两种情况讨论:①当点在圆外时，②当点在圆内时
【详解】解:当点在圆外时,
这时设半径为r,则根据题意有2r=10-4=6cm,∴r=3cm
当点在圆内时,这时有2r=10+4=14cm,
∴r=7cm
故答案为:3cm或7cm
【点睛】本题考查点和圆的位置关系，属于简单题，分类讨论是解题关键.
17.如图，在⊙O中，OB为半径，AB是⊙O的切线，OA与⊙O相交于点C，∠A=30°，OA=8，则阴影部分的面积是________．
【答案】8-
【解析】
【分析】
首先证明△AOB是直角三角形，再利用S阴影部分=S△AOB-S扇形OBC即可解题.
【详解】∵AB是⊙O的切线
∴OB⊥AB,∠OBA=90°，
∵∠A=30°,OA=8
∴OB=OA=4,AB=OB=4，∠BOC=60°
∴S阴影部分=S△AOB-S扇形OBC==8-
【点睛】本题考查扇形面积公式，表示出阴影部分的面积是解题关键.
18.如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为，，的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先连接CD,由AD是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACD=90°,又由⊙O的半径为AC=2,即可求得sin∠D,∠D=∠B,即可求得答案.
【详解】解：连接CD,如下图
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°
∵⊙O的半径为，
∴AD=3,
∴在Rt△ACD中，sin∠D==
∵∠B=∠D
∴sin∠B=sin∠D=
【点睛】此题考查了圆周角定理与三角函数的定义，此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解题关键.
19.如图，摩天轮的最高处到地面的距离是米，最低处到地面的距离是米．若游客从处乘摩天轮绕一周需分钟，则游客从处乘摩天轮到地面的距离是米时最少需________分钟．
【答案】4
【解析】
分析】
先根据摩天轮圆P的最高处A到地面的距离是82米,最低处B到地面的距离是2米得出AB的长，进而求出圆P的半径，再根据游客从B处乘摩天轮到地面的距离是62米求出BM、MP的长，根据直角三角形的性质得出∠MPE的度数，进而可得出结论.
【详解】解：∵摩天轮圆P的最高处A到地面l的距离是82米，最低处B到地面l的距离是2米得出AB的长，
∴AB
=
80m,
∴AP=
PB
=
40m,
设当到点E或点F时游客从B处乘摩天轮到地面1的距离是62米，连接EP,FP，如下图所示，则EF⊥AB,
∵B处乘摩天轮到地面l的距离是62米时BM=
62
-2
=
60m,
∴MP=
60-
40
=
20m,
∵MP=EP,
∴∠MEP=30°，∠EPM=60°
∴∠EPB=180°-60°=120°
∵游客从B处乘摩天轮绕一周需12分钟,
∴游客从B处乘摩天轮到地面l的距离是62米时最少需要12
=
4
(分钟).
故答案为:4.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，构造出直角三角形是解答此题的关键.
20.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC
=
24°，则∠OBC
=
°．
【答案】66．
【解析】
∵∠BOC、∠BAC是同弧所对的圆心角和圆周角，
∴∠BOC=2∠BAC=48°．
三、解答题
（本题共计
9
小题
，共计60分
，）
21.如图，已知梯形中，，，，以为直径作．
（1）求证：为的切线；
（2）试探索以为直径的圆与有怎样的位置关系？证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）找到梯形的中位线即可解题，
（2）作出辅助线，证明和
【详解】（1）证明：过点作于点，
∵在梯形中，，
∴，
∴，
∵，
∴是梯形的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵以为直径作．
∴直线是的切线．
（2）设圆心为．过点作于点，过点作，
∴是梯形中位线，
∴，
∴，
∵，
∴=∠FA
在和中，
，
∴≌，
∴，
∴与相切,
即以为直径的圆与相切.
【点睛】本题考查了梯形的中位线，直线和圆的位置关系，综合性较强.作辅助线，证明三角形全等是解题关键.
22.一个边长为的等边三角形与等高，如图放置，与相切于点，与相交于点．
（1）求的长；
（2）将在射线上向左滚动，当与相切时，则圆心经过的距离是多少（直接写出结论）．
【答案】（1）3cm；（2）圆心经过的距离是．
【解析】
【分析】
（1）构造直角三角形即可解题，
（2）作出图像，利用相切找到90°角，证明，即可解题.
【详解】（1）如图，连接，并过点作于，
∵为等边三角形，边长为，
∴的高为，
∴，
又∵，
∴，
中，可得，
即；
（2）如图，设与相切于，与相切于，
∴的长度即为圆心经过的距离，
∵，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
∴，
∴圆心经过的距离是．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，证明三角形全等是解题关键.
23.如图已知是半径，弦垂直于，点是上的一点，和相交于另一点，过点的切线和的延长线交于点，
（1）求证：；
（2）当，时，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）24.
【解析】
【分析】
（1）作出辅助线，利用等角的余角相等即可解题，
（2）利用相似比，找到比例中项即可解题.
【详解】（1）连接，则有，
又是切线，∴，
而与互余，与互余，
∴，
∴
（2）∵，
∴，
又∵，
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，作出辅助线是解题关键.
24.如图，是的直径，延长弦到点，使，连接，过点作，垂足为．
（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若的半径为，，延长交延长线于点，求阴影部分的面积．
【答案】（1）直线与的位置关系是相切，证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1），证明即可解题，
（2）由勾股定理得到，根据阴影部分的面积即可求出阴影部分面积.
【详解】（1）直线与的位置关系是相切，
证明：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
直线是的切线，
即直线与的位置关系是相切；
（2）解：∵，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴阴影部分的面积．
【点睛】本题考查直线和圆的位置关系判定，不规则图形求面积等问题，综合性较强.作出辅助线是解题关键.
25.如图，的直径，和是它的两条切线，切于，交于，交于．设，．
（1）求证：．
（2）探究与的函数关系．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用切线性质即可解题
（2）根据，用x、y表示出各边长度即可解题.
【详解】（1）证明：∵和是两条切线，
∴，
∴．
（2）解：作交于，
∵．
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴；
∵和是的两条切线，切于，
∴，
则，
在中，
由勾股定理得：，
整理为：，
∴与的函数关系为：．
【点睛】本题考查了圆中的线段位置关系和数量关系，综合性较强，中等难度.勾股定理是解题关键.
26.如图，是的外接圆，，，交的延长线于，交于．
求证：是的切线；
若，．求的半径和线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）证明即可解题，
（2）作出辅助线，证明，表示出各边长度即可解题.
【详解】证明：连结，如图，
∵（同弧所对圆心角是圆周角的两倍）
∴;
∵,
∴，即；
∴是⊙O的切线.
解：设的半径为，则，
在中，∵，
∴，解得，（负值舍去），
如图：延长交于，连接，
则，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，相似三角形的判定，综合性较强，难度较大.作出辅助线是解题关键.
27.如图，是的直径，切于，于，于，交于，连接、．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，则与是否平行？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）．理由解析.
【解析】
【分析】
（1）直径所对的圆周角是90°，再利用同角的余角相等即可解题，
（2）利用圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角得，即可解题.
【详解】（1）证明：连接；
∵是的直径，
∴．
∵切圆于，
∴，又．
∴．
即是的平分线．
（2）解：．理由如下：
∵于于，
∴．
∴．
∵是的平分线，
∴．
∴（圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角），
∴．
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的证明，圆的内接四边形等知识，中等难度.掌握圆的性质是解题关键.
28.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，取AC的中点E，连结DE、OE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径是1.5cm，ED=2cm，求AB的长．
【答案】（1）详见解析；（2）5cm.
【解析】
试题分析：证明：（1）连结OD．
由O、E分别是BC、AC中点得OE∥AB．
∴∠1=∠2，∠B=∠3，又OB=OD．
∴∠2=∠3．
而OD=OC，OE=OE
∴△OCE≌△ODE．
∴∠OCE=∠ODE．
又∠C=90°，故∠ODE
=90°．
∴DE是⊙O的切线．
（2）在Rt△ODE中，由，DE=2
得
又∵O、E分别是CB、CA的中点
∴AB=2·
∴所求AB的长是5cm．
考点：圆的切线与中位线定理等
点评：本题难度中等，主要考查学生对圆和三角形问题的综合运用于掌握．为中考常见题型，要多加巩固训练，牢固掌握．【专题突破训练】北师大版九年级数学下册第三章圆单元测试卷
一、选择题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分，共计30分
，）
1.
已知⊙O的直径AB=6cm，则圆上任意一点到圆心的距离等于（ ）
A.
2
cm
B.
2.5
cm
C.
3
cm
D.
无法确定
2.已知是的直径，，、分别与圆相交于、，那么下列等式中一定成立的是（
）
A.
AE?BF=AF?CF
B.
AE?AB=AO?AD'
C.
AE?AB=AF?AC
D.
AE?AF=AO?AD
3.下列说法中正确的是（
）
A.
垂直于半径的直线是圆的切线
B.
圆的切线垂直于半径
C.
经过半径的外端的直线是圆的切线
D.
圆的切线垂直于过切点的半径
4.
到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（
）的交点．
A
三个内角平分线
B.
三边垂直平分线
C.
三条中线
D.
三条高
5.如图，点是直径延长线上一点，切于点，已知，．则等于（
）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
6.如图，中弦垂直于直径于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（
）
A.
①②③④
B.
①②③
C.
②③④
D.
①④
7.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（ ）
A.
3cm
B.
4cm
C.
5cm
D.
6cm
8.如图，已知，分别切于点、，，，那么弦的长是(
)
A.
4
B.
8
C.
4
D.
8
9.有一边长为的正三角形，则它的外接圆的面积为（）
A.
B.
C.
D.
10.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，sinA=，BC=1，则⊙O的半径等于（??
）
A.
4
B.
3
C.
2
D.
二、填空题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
，）
11.一个扇形的弧长是，面积是，这个扇形的半径是________．
12.如图，已知四边形内接于，，则的度数是________．
13.如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点P，已知PA＝3cm，PB＝4cm，PC＝2cm，那么PD＝________cm.
14.如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是______度．
15.如图，是的直径，是垂直于的弦，垂足为，已知，，则________．
16.平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这圆的半径是________．
17.如图，在⊙O中，OB为半径，AB是⊙O切线，OA与⊙O相交于点C，∠A=30°，OA=8，则阴影部分的面积是________．
18.如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为，，的值是________．
19.如图，摩天轮的最高处到地面的距离是米，最低处到地面的距离是米．若游客从处乘摩天轮绕一周需分钟，则游客从处乘摩天轮到地面的距离是米时最少需________分钟．
20.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC
=
24°，则∠OBC
=
°．
三、解答题
（本题共计
9
小题
，共计60分
，）
21.如图，已知梯形中，，，，以为直径作．
（1）求证：为的切线；
（2）试探索以为直径的圆与有怎样的位置关系？证明你的结论．
22.一个边长为的等边三角形与等高，如图放置，与相切于点，与相交于点．
（1）求的长；
（2）将在射线上向左滚动，当与相切时，则圆心经过的距离是多少（直接写出结论）．
23.如图已知是半径，弦垂直于，点是上的一点，和相交于另一点，过点的切线和的延长线交于点，
（1）求证：；
（2）当，时，求的值．
24.如图，是直径，延长弦到点，使，连接，过点作，垂足为．
（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若半径为，，延长交延长线于点，求阴影部分的面积．
25.如图，的直径，和是它的两条切线，切于，交于，交于．设，．
（1）求证：．
（2）探究与的函数关系．
26.如图，是的外接圆，，，交的延长线于，交于．
求证：是的切线；
若，．求的半径和线段的长．
27.如图，是的直径，切于，于，于，交于，连接、．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，则与是否平行？请说明理由．
28.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，取AC的中点E，连结DE、OE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径是1.5cm，ED=2cm，求AB的长．
