第一章
三角形的证明
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.已知下列各组数据，能构成等腰三角形三边边长是（ ）
A.
2
,
2
,
1
B.
1
,
2
,
1
C.
1
,
3
,
1
D.
2
,
2
,
5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）和等腰三角形的两腰相等进行判断即可.
【详解】解：A选项：2+1>2，能构成三角形，且有两边相等，故是正确的；
B选项：1+1=2,不能构成三角形，故是错误的；
C选项：1+1<3,不能构成三角形，故是错误的；
D选项：2+2<5,不能构成三角形，故是错误的；
故选A.
【点睛】主要考查了构成三角形三边的关系和等腰三角形的性质，解题关键是熟记三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则下列四个结论：①AD上任意一点到点C，B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD＝CD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF.其中正确的个数是( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【答案】D
【解析】
∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF；（角平分线上的点到角两边的距离都相等）
因此①正确．
∵AB=AC，且AD平分顶角∠BAC，
∴AD是BC的垂直平分线；（等腰三角形三线合一）
因此②③正确．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C；
∵∠BED=∠DFC=90°，
∴∠BDE=∠CDF；
因此④正确．
故选D．
3.
如图，△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是（
）
A.
70°
B.
55°
C.
50°
D.
40°
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝70°，
∴∠C＝70°，
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝40°.
故应选D.
【点睛】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质.三角形的三个内角之和是180°.
4.下列条件中不能确定是等腰三角形的是（ ）
A.
三条边都相等的三角形
B.
有一个锐角是45°的直角三角形
C.
一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形
D.
一条中线把面积分成相等的两部分的三角形
【答案】D
【解析】
A.三条边都相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，不符合题意，故错误；
B.有一个锐角是45°的直角三角形，利用直角三角形性质，直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角也是45°，根据等角对等边得出它是等腰三角形，不符合题意，故错误；
C.一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形，根据题意画出图形即可证出是等腰三角形，不符合题意，故错误；
D.一条中线把面积分成相等的两部分的三角形，因为中线正好把底边平分，又因为两个三角形高相等，所以面积也相等，不能确定是等腰三角形，符合题意，正确．
故选D.
5.如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是
A.
∠A=∠D
B.
AB=DC
C.
∠ACB=∠DBC
D.
AC=BD
【答案】D
【解析】
A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．
故选D．
6.
下列说法中：（1）顶角相等，并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
错误的有（ ）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【答案】A
【解析】
认真阅读各小问题提供的已知条件，根据等腰三角形的性质，和两三角形全等是所需要的条件逐一进行验证，找出正误的具体原因，其中（3）错误．
解：（1）正确，等腰三角形腰长相等，有一腰相等，另一角也相等，又因为顶角相等，两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以两个等腰三角形全等；
（2）正确，等腰三角形中，周长为二倍的腰长+底边长，所以可以知道三边对应相等，三条边对应相等的两个三角形全等；
（3）错误，腰长相等，有一角是50°，并非是顶角，如果一个是顶角，一个是底角则两个三角形是不全等的；
（4）正确，两条直角边对应相等的两个直角三角形，是两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形，所以全等．
故选A．
7.
已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（
）
A.
8或10
B.
8
C.
10
D.
6或12
【答案】C
【解析】
试题分析：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长=2+4+4=10，
综上所述，它的周长是10．故选C．
考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．
8.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（
）
A.
48°
B.
36°
C.
30°
D.
24°
【答案】A
【解析】
试题分析：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=24°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF=CF，∴∠FCB=24°，∴∠ACF=72°﹣24°=48°，故选A．
考点：线段垂直平分线的性质．
9.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为(
)
A
2.5
B.
1.5
C.
2
D.
1
【答案】D
【解析】
∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，
∴BC=CE．
又∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE．
∴BD=?BE=?AE=（AC-BC）．
∵AC=5，BC=3，
∴BD=×（5-3）=2．
故选D.
点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质．熟练掌握等角对等边及等腰三角形“三合一”性质是解答本题的关键．
10.
如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB于E，交AC于F，则图中的等腰△有（ ）个
A.
4
B.
5
C.
6
D.
7
【答案】D
【解析】
根据角平分线的性质和等边三角形的性质就可以求出角相等，利用角相等根据等腰三角形的判定定理究竟可以求出图中的等腰三角形的个数，从而得出答案．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC
∵等边△ABC的三条角平分线相交于点O，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠7=∠8=30°，
∵EF∥BC，
∴∠4=∠5=30°，∠7=∠8=30°，∠9=∠ABC=60°，∠10=∠ACB=60°．
∴∠9=∠10，∠3=∠5，∠6=∠7．
∴△BEO，△CFO，△BOC，△AOB，△AOC，△AEF，△ABC是等腰三角形，共有7个．
故选D．
本题考查了等边三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定．
二、填空题(每小题3分，共24分)
11.命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是_______________，这个逆命题是____命题．
【答案】
(1).
如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形
(2).
真
【解析】
等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形，这个逆命题是真命题．
故答案为如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形；
真
12.如图，过等边△ABC的顶点A作射线．若∠1＝20°，则∠2的度数为________．
【答案】100°
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠3=180°-60°-20°=100°，
∴∠2=∠1=100°.
故答案为100°.
13.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是
．
【答案】76
【解析】
试题分析：根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．
解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
∴由勾股定理得：AB==10，
∴正方形的面积是10×10=100，
∵△AEB的面积是AE×BE=×6×8=24，
∴阴影部分的面积是100﹣24=76，
故答案是：76．
考点：勾股定理；正方形的性质．
14.如图是某超市一层到二层电梯的示意图，其中AB、CD分别表示超市一层、二层电梯口处地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长约为12米，则乘电梯从点B到点C上升的高度h约为________米．
【答案】6
【解析】
过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于E，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBE=30°，
在Rt△BCE中，∵BC=12，∠CBE=30°，
∴CE=BC=6．
故答案是6．
点睛：本题考查了含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为________．
【答案】18
【解析】
作DE⊥AB于E.
∵∠ACB=90°，
∴DC⊥AC.
∵AD平分∠BAC，CD=3，DE⊥AB，CD⊥AC，
∴CD=DE=3.
∴△ABD的面积为：×AB×DE=×12×3=18.
故答案为18.
16.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点D.若∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°.
【答案】15
【解析】
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，∠AED=90°，
∴∠A=∠ABD.
∵∠ADE=40°，
∴∠A=90°-40°=50°，
∴∠ABD=∠A=50°.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)=65°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°.
故答案为15
17.如下图，已知四边形ABCD中，AC、BD交于点O,△ABO≌△ADO,则下列结论:①AC⊥BD②CB=CD③△ABC≌OADC④AD=CD,其中正确結论的序号是________.
【答案】123
【解析】
【分析】
根据题意可证△ABC≌△ADC,即可进行判断.
【详解】∵△ABO≌△ADO，
∴∠AOB=∠AOD，又∠AOB+∠AOD=180°，故∠AOB=∠AOD=90°，则AC⊥BD，①正确；
∵△ABO≌△ADO，
∴AB=AD,∠BAC=∠DAC，又AC=AC，
∴△ABC≌△ADC,
∴CB=CD，②③正确；
AD=AB，④错误.
【点睛】此题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法.
18.若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则该等腰三角形顶角的度数为________．
【答案】30°或150°
【解析】
【详解】当该三角形为锐角三角形时，如图1，
∵sin∠A=，
∴∠A=30°，即△ABC的顶角为30°；
当该三角形为钝角三角形时，如图2，
在Rt△ABD中，∵sin∠BAD=，
∴∠BAD=30°，
∴∠BAC=150°，即△ABC的顶角为150°；
故答案为30°或150°，
【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质及分类讨论的数学思想，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19.
已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．
【答案】证明过程见解析
【解析】
试题分析：由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．
试题解析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∵EF⊥DF，∴∠EFD=90°，∴∠EFB+∠CFD=90°，
∵∠EFB+∠BEF=90°，∴∠BEF=∠CFD，在△BEF和△CFD中，，∴△BEF≌△CFD（ASA），
∴BF=CD．
考点：（1）矩形的性质；（2）全等三角形的判定与性质
20.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC=125°.求∠ACB和∠BAC的度数.
【答案】70°、40°.
【解析】
试题分析:根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，再求出∠CDE，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE，根据角平分线的定义求出∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出∠BAC．
试题解析：∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∵∠ADC=125°，
∴∠CDE=55°，
∴∠DCE=90°﹣∠CDE=35°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCE=70°，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180﹣（∠B+∠ACB）=40°．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图并熟记性质是解题的关键．
21.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF.
求证：AD垂直平分EF.
【答案】详见解析.
【解析】
试题分析：角平分线定理,可以得到DE=DF,证明△AED全等△AFD,得到∠EAD=∠FAD,
AE=AF
,
△AEK和△AFK全等，利用三线合一,所以AD垂直平分EF,.
试题解析：如图，设AD、EF的交点为K，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
∴D在线段EF的垂直平分线上．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD＝AD，DE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE=AF．
又∵∠EAD=∠FAD，AK=AK，
∴△AEK≌△AFK，
∴EK=KF，∠AKE=∠AKF=90°，
∴AD垂直平分EF．
点睛：角平分线问题的辅助线添加及其解题模型.
①垂两边：如图（1），已知平分，过点作，，则.
②截两边：如图（2），已知平分，点上，在上截取，则≌.
③角平分线+平行线→等腰三角形：
如图（3），已知平分，，则；
如图（4），已知平分，，则.
(1)
(2)
(3)
(4)
④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）：
如图（5），已知平分，且，则，
(5)
22.如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：DE=DF；
（2）若∠A=60°，BE=1，求△ABC的周长．
【答案】(1)见解析(2)12
【解析】
（1）证明：连接AD
∵，为边的中点
∴AD平分∠BAC
∵DE⊥AB于点E,
DF⊥AC于点F
∴DE=DF
…………………………4分
（2）解：，,
∴△ABC为等边三角形.
∴，
，
∴，
∴BE=BD，
，∴BD=2，∴BC=2BD=4，
∴的周长为12
（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC，AB=AC，求证∠B=∠C．再利用D是BC的中点，求证△BED≌△CFD即可得出结论．
（2）根据AB=AC，∠A=60°，得出△ABC为等边三角形．然后求出∠BDE=30°，再根据题目中给出的已知条件即可算出△ABC的周长．
23.如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠B＝60°，∠C＝45°，AC＝6.求：
(1)AD的长；
(2)△ABC的面积．
【答案】（1）AD＝3；（2）S△ABC＝9＋3.
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据三角形内角和可得∠DAC=45°，根据等角对等边可得AD=CD，然后再根据勾股定理可计算出AD长；
（2）根据三角形内角和可得∠BAD=30°，再根据直角三角形的性质可得AB=2BD，然后利用勾股定理计算出BD的长，进而可得BC的长，然后利用三角形的面积公式计算即可．
解：(1)∵∠C＝45°，AD是△ABC的边BC上的高，∴∠DAC＝45°，∴AD＝CD.
∵AC2＝AD2＋CD2，∴62＝2AD2，∴AD＝3
(2)在Rt△ADB中，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴AB＝2BD.
∵AB2＝BD2＋AD2，∴(2BD)2＝BD2＋AD2，BD＝.
∴S△ABC＝BC·AD＝
(BD＋DC)·AD＝×(＋3)×3＝9＋3.
24.如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点．
(1)若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；
(2)若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论．
【答案】（1）△DEF是等边三角形，证明见解析；（2）AD＝BE＝CF成立，证明见解析.
【解析】
试题分析：(1)由SAS易证△ADF≌△BED≌△CFE，所以DF=DE=EF，即△DEF是等边三角形；
(2)先证明∠1+∠2=120°，∠2+∠3=120°．可得∠1=∠3．同理∠3=∠4．则△ADF≌△BED≌△CFE，故能证明AD=BE=CF.
解：(1)△DEF是等边三角形．证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C，AB＝BC＝CA.
又∵AD＝BE＝CF，
∴DB＝EC＝FA.
∴△ADF≌△BED≌△CFE，
∴DF＝ED＝FE.∴△DEF是等边三角形．
(2)AD＝BE＝CF成立．证明如下：如图，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝EF＝FD，∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°.∴∠1＋∠2＝120°.∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠2＋∠3＝120°，∴∠1＝∠3.同理∠3＝∠4，易证△ADF≌△BED≌△CFE(AAS)，∴AD＝BE＝CF.
点睛：本道题主要考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.
25.如图在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴负半轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．
(1)求点B的坐标；
(2)在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小：如改变，请说明理由；
(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．
【答案】(1)点B的坐标为B(3，)；(2)∠ABQ＝90°，始终不变，理由见解析；(3)P的坐标为(﹣3，0)．
【解析】
【分析】
（1）如图，作辅助线；证明∠BOC＝30°，OB＝2
，借助直角三角形的边角关系即可解决问题；
（2）证明△APO≌△AQB，得到∠ABQ＝∠AOP＝90°，即可解决问题；
（3）根据点P在x的负半轴上，再根据全等三角形的性质即可得出结果
【详解】(1)如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵△AOB为等边三角形，且OA＝2，
∴∠AOB＝60°，OB＝OA＝2，
∴∠BOC＝30°，而∠OCB＝90°，
∴BC＝OB＝，OC＝＝3，
∴点B的坐标为B(3，)；
(2)∠ABQ＝90°，始终不变．理由如下：
∵△APQ、△AOB均为等边三角形，
∴AP＝AQ、AO＝AB、∠PAQ＝∠OAB，
∴∠PAO＝∠QAB，
在△APO与△AQB中，，
∴△APO≌△AQB(SAS)，
∴∠ABQ＝∠AOP＝90°；
(3)如图2，∵点P在x轴负半轴上，点Q在点B的下方，
∵AB∥OQ，∠BQO＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°．
又OB＝OA＝2，可求得BQ＝3，
由(2)可知，△APO≌△AQB，
∴OP＝BQ＝3，
∴此时P坐标为(﹣3，0)．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质以及梯形的性质，注意利用三角形全等的性质解题的关键．第一章
三角形的证明
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.已知下列各组数据，能构成等腰三角形三边边长的是（ ）
A.
2
,
2
,
1
B.
1
,
2
,
1
C.
1
,
3
,
1
D.
2
,
2
,
5
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则下列四个结论：①AD上任意一点到点C，B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD＝CD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF.其中正确的个数是( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
3.
如图，△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A度数是（
）
A.
70°
B.
55°
C.
50°
D.
40°
4.下列条件中不能确定是等腰三角形的是（ ）
A.
三条边都相等的三角形
B.
有一个锐角是45°的直角三角形
C.
一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形
D.
一条中线把面积分成相等的两部分的三角形
5.如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是
A.
∠A=∠D
B.
AB=DC
C.
∠ACB=∠DBC
D.
AC=BD
6.
下列说法中：（1）顶角相等，并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
错误有（ ）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
7.
已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（
）
A.
8或10
B.
8
C.
10
D.
6或12
8.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（
）
A.
48°
B.
36°
C.
30°
D.
24°
9.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为(
)
A.
2.5
B.
1.5
C.
2
D.
1
10.
如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB于E，交AC于F，则图中的等腰△有（ ）个
A.
4
B.
5
C.
6
D.
7
二、填空题(每小题3分，共24分)
11.命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是_______________，这个逆命题是____命题．
12.如图，过等边△ABC顶点A作射线．若∠1＝20°，则∠2的度数为________．
13.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是
．
14.如图是某超市一层到二层电梯的示意图，其中AB、CD分别表示超市一层、二层电梯口处地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长约为12米，则乘电梯从点B到点C上升的高度h约为________米．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为________．
16.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点D.若∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°.
17.如下图，已知四边形ABCD中，AC、BD交于点O,△ABO≌△ADO,则下列结论:①AC⊥BD②CB=CD③△ABC≌OADC④AD=CD,其中正确結论的序号是________.
18.若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则该等腰三角形顶角的度数为________．
三、解答题(共66分)
19.
已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．
20.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC=125°.求∠ACB和∠BAC的度数.
21.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF.
求证：AD垂直平分EF.
22.如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：DE=DF；
（2）若∠A=60°，BE=1，求△ABC周长．
23.如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠B＝60°，∠C＝45°，AC＝6.求：
(1)AD的长；
(2)△ABC的面积．
24.如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点．
(1)若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；
(2)若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论．
25.如图在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴负半轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．
(1)求点B坐标；
(2)在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小：如改变，请说明理由；
(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．
