2020—2021学年人教版数学八年级下册17.1探索勾股定理教案

探
索
勾
股
定
理
一、教学目标
知识与能力目标：
1．经历探索发现勾股定理并验证勾股定理的过程，进一步发展学生的推理能力；
2．理解并掌握勾股定理，会初步运用勾股定理解决一些简单的数学问题和实际问题．
过程与方法目标：
1．让学生经历“探索—发现—验证—应用”的学习过程，并体会“特殊—一般—特殊”的数学思想方法；
2．通过一系列数学学习活动让学生体验数学学习过程中的乐趣．
情感与态度目标：
1．在探究的过程中，进一步丰富学生的数学活动经验，增强合作交流的意识，并让学生体验到成就感，从而提高对数学学习的兴趣；
2．通过了解勾股定理的历史和我国古代辉煌的数学成就，激发学生的爱国热情，激励学生发奋学习．
二、教法和学法
教学方法：引导—探究—讨论发现法.
学习方法：自主探究与合作交流相结合.
三、教学重难点
教学重点：探索发现并验证勾股定理．
教学难点：1．探究活动二中正方形C的面积计算；
2．通过拼图验证勾股定理．
四、教学媒体准备
教学媒体：多媒体课件.
学具准备：方格纸、（各组准备）4个全等的直角三角形和3个正方形硬纸板.
五、教学过程
教学环节
教学流程
教学内容及教师活动
学生活动
设计说明与设计意图
(一)创设情景引入新课
投影显示2002年在北京召开的世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，今天我们就来一同探索勾股定理.（板书课题）
观察、欣赏会标.
紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育.
(二)探索发现勾股定理(二)探索发现勾股定理
探究活动一：（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察：（2）引导学生从面积角度观察图形：
教师提问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？学生通过观察，归纳发现：结论1
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
（板书）由此，我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？探究活动二：（1）观察下面两幅图：（2）填表：A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）左图右图（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定.）（4）分析填表的数据，你发现了什么？
学生通过分析数据，归纳出：结论2
以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
（板书）议一议：（1）你能用直角三角形的边长、、来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流.
学生在交流的基础上，得到：结论3
如果直角三角形两直角边长分别为、，斜边长为，那么.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
（板书）（3）分别以5厘米、12厘米为两直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，检验结论3对这个三角形是否仍然成立？
学生独立观察图形，分析思考其中隐藏的规律.
学生举手发言，表述自己的发现结果，其他同学作补充.
独立观察并计算各图中正方形A、B、C的面积并完成填表.
探讨、交流正方形C的面积的计算方法.
学生分析填表数据，归纳发现正方形A、B、C之间的面积关系，并仿照结论1独立概括表述出来.
通过与同伴交流，学生进一步发现直角三角形的三边关系，并用几何语言表述为结论3.
学生动手画图、测量，分析数据，进一步验证上述发现.
从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边.
探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力.
通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望.
从特殊到一般是数学思维的自然联想.
探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质.正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节，让学生充分讨论，以突破这一难点.议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.
让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力.
通过作图培养学生的动手实践能力.
(三)利用拼图验证勾股定理
至此，我们通过探究活动一、二及议一议，由“特殊到一般”发现了三个结论，并对结论3进行了作图检验.
进一步考虑：有没有办法说明结论3的正确性呢？探究活动三：将学生分成四人小组，按下列步骤进行拼图实验并进行探究.
每个小组课前准备好4个全等的直角三角形和以直角三角形各边为边长的3个正方形.
（1）运用这些材料（不一定全用），你能另外拼出一些正方形吗？试试看，你能拼几种.
（2）将各种拼图记录下来，并在各图中用a、b、c分别表示出各线段的长（a、b、c是直角三角形的三边长），可能出现的几种图形如下（学生不一定都能得到）：图1
图2
图3（3）利用你们的拼图，能说明结论3的正确性吗？（小组内充分讨论交流，派代表发言，各组相互补充，利用集体的智慧采用多种方法说明结论3的正确性，教师板书一种方法.
）教师指出：结论3就是著名的勾股定理.
勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名.
勾股定理的证法很多，目前世界上可以查到的方法有500余种，下面介绍我国古代两种证法：1、公元3世纪我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的“弦图”（就是前面的图3）：
你能进一步体会2002年世界数学家大会会标的设计用意了吗？2、我国数学家刘徽在他的《九章算术注》中给出的“青朱出入图”：（运用几何画板动态演示移补拼接过程）
各组成员进行分工.分组活动，团结协作，讨论交流，完成各种拼图.
分工协作，各组分派同学记录下拼得的各种图形，并标上字母.
观察拼图，进一步讨论探究，找出说明勾股定理正确性的方法.
各组之间、师生之间进行方法交流.
观察“弦图”和“青朱出入图”，体会我国古代数学家的巧妙证法.
通过拼图验证勾股定理是本节课的难点，这里采用分组实验，合作交流的学习方式，意在丰富学生数学活动经验，增强合作交流意识的同时，突破本课的难点．
互动交流式的学习方式有助于学生学习积极性的提高，学生在活动中更能体会参与数学活动的乐趣．同时这种学习方式也有助于师生之间，生生之间的思维碰撞．对学生发现的各种方法，教师要大加赞赏，让学生产生成就感.通过探究活动一至三，培养了学生的探究精神和科学态度.通过介绍我国古代关于“勾股定理”的证法，让学生了解“移、补、拼、接”这种研究几何问题的方法.
同时让学生了解我国古代数学的辉煌成就，认识勾股定理的历史地位和文化价值，激发学生的爱国热情，激励学生发奋学习.
(四)勾股定理的应用
课堂反馈：1、基础巩固练习：（口答）求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：2、生活中的应用：　
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.
小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.
你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？3、古代问题：在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.
在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.
如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.
请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？（教师根据学生的完成情况作讲评.）
独立完成并口答1题.
讨论交流，完成2题.
独立思考的基础上，与同伴交流完成3题.
这里设计的3道题目难度各异，可让不同层次的学生都得到训练.
第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识.
第2、3题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识.
运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.第3题需要列方程来解决，意在体现“方程思想”，并让学生体会“数形结合”的数学思想.
(五)回顾反思畅谈收获
教师提问：1、这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？2、对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流.
学生自由发言，对知识方法进行归纳小结，畅谈自己的收获和体会，并相互交流.
鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动．通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.
(六)课外延伸与反馈
投影显示课后作业：1、完成教科书P6习题1.1.2、观察下图，判断图中三角形的三边长是否满足.3、收集勾股定理方面的资料，写一篇小论文，并进行评展.（两周内完成）
课后学生除独立完成1、2外，主要是查阅书籍、或利用网络收集勾股定理方面的资料，尝试写小论文.
课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进一步认识勾股定理的前提条件；作业3是为了把学习从课内延伸到课外，写小论文向学生提出了挑战，可让学生各方面的能力得到综合训练.
创设
情景
引出
课题
探究
活动
一
观察
归纳
得结
论1
展开
联想
现
探究
活动
二
观察
计算
讨论
得结
论2
得结
论3
议一议
举例
检验
探讨
交流
验证
结论
3
记录
拼图
结果
分组
进行
拼图
实验
探究
活动
三
得到
勾股
定理
介绍
我国
古代
证法
应用
与反
馈
小结
收获
结束
新课
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作业
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