人教高中数学选修2-3 第一章1.2.1排列 教案（6课时）

1．2．1排列
教学重难点：
重点：排列数公式的理解与运用；排列应用题常用的方法有直接法（包括特殊元素处理法、特殊位置处理法、捆绑法、插空法、间接法）。
难点：排列数公式的理解与运用。
教学过程：
第一课时
一、讲解新课：
1问题：
问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？
分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙
甲丙
乙甲
乙丙
丙甲
丙乙，其中被取的对象叫做元素
解决这一问题可分两个步骤：第
1
步，确定参加上午活动的同学，从
3
人中任选
1
人，有
3
种方法；第
2
步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的
2
人中去选，于是有
2
种方法．根据分步乘法计数原理，在
3
名同学中选出
2
名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有
3×2=6
种，如图
1.2一1
所示．
把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素
a
,
b
，。中任取
2
个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是
ab,ac,ba,bc,ca,
cb,
共有
3×2=6
种．
问题2．从1,2,3,4这
4
个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定右边的数，从余下的2个数中取，有2种方法
由分步计数原理共有：4×3×2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法
显然，从
4
个数字中，每次取出
3
个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：
第
1
步，确定百位上的数字，在
1
,
2
,
3
,
4
这
4
个数字中任取
1
个，有
4
种方法；
第
2
步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的
3
个数字中去取，有
3
种方法；
第
3
步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的
2
个数字中去取，有
2
种方法．
根据分步乘法计数原理，从
1
,
2
,
3
,
4
这
4
个不同的数字中，每次取出
3
个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有
4×3×2=24
种不同的排法，
因而共可得到24个不同的三位数，如图1.
2一2
所示．
由此可写出所有的三位数：
123，124,
132,
134,
142,
143，
213，214,
231,
234,
241,
243，
312，314,
321,
324,
341,
342，
412，413,
421,
423,
431,
432
。
同样，问题
2
可以归结为：
从4个不同的元素a,
b,
c，d中任取
3
个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
所有不同排列是
abc,
abd,
acb,
acd,
adb,
adc,
bac,
bad,
bca,
bcd,
bda,
bdc,
cab,
cad,
cba,
cbd,
cda,
cdb,
dab,
dac,
dba,
dbc,
dca,
dcb.
共有4×3×2=24种.
树形图如下
a
b
ｃ　　　　　ｄ
　　　ｂ　ｃ　ｄ　ａ　ｃ　ｄ　　ａ　ｂ　ｄ　　ａ　ｂ　ｃ
2．排列的概念：
从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
3．排列数的定义：
从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列
4．排列数公式及其推导：
由的意义：假定有排好顺序的2个空位，从个元素中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数．由分步计数原理完成上述填空共有种填法，∴=
由此，求可以按依次填3个空位来考虑，∴=，
求以按依次填个空位来考虑，
排列数公式：
（）
说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个
少1，最后一个因数是，共有个因数；
（2）全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列
全排列数：（叫做n的阶乘）
另外，我们规定
0!
=1
.
例1．用计算器计算：
(1）；
(2）;
(3）.
解：用计算器可得：
由（
2
)
(
3
）我们看到，．那么，这个结果有没有一般性呢？即
.
排列数的另一个计算公式：
=.
即
=
例2．解方程：3．
解：由排列数公式得：，
∵，∴
，即，
解得
或，∵，且，∴原方程的解为．
例3．解不等式：．
解：原不等式即，
也就是，化简得：，
解得或，又∵，且，
所以，原不等式的解集为．
例4．求证：（1）；（2）．
证明：（1），∴原式成立
（2）
右边
∴原式成立
说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数中，且这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；
（2）公式常用来求值，特别是均为已知时，公式=，常用来证明或化简
例5．化简：⑴；⑵
⑴解：原式
⑵提示：由，得，
原式
说明：．
第二课时
例1．(课本例2)．某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
解：任意两队间进行1次主场比赛与
1
次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是=14×13=182.
例2．(课本例3)．(1）从5本不同的书中选
3
本送给
3
名同学，每人各
1
本，共有多少种不同的送法？
(2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解：(1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取
3
个元素的一个排列，因此不同送法的种数是=5×4×3=60.
(2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有
5
种不同的选购方法，因此送给
3
名同学每人各
1
本书的不同方法种数是5×5×5=125.
例
8
中两个问题的区别在于：
(
1
）是从
5
本不同的书中选出
3
本分送
3
名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而（
2
）中，由于不同的人得到的书可能相同，因此不符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算．
例3．(课本例4)．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在本问题的。到
9
这
10
个数字中，因为。不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此。是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题
解法
1
：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是O，因此可以分两步完成排列．第1步，排百位上的数字，可以从1到9
这九个数字中任选
1
个，有种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，有种选法（图1.2一
5)
．根据分步乘法计数原理，所求的三位数有
=9×9×8=648（个）
.
解法
2
：如图1.2
一6
所示，符合条件的三位数可分成
3
类．每一位数字都不是位数有
A
母个，个位数字是
O
的三位数有揭个，十位数字是
0
的三位数有揭个．根据分类加法计数原理，符合条件的三位数有
=648个．
解法
3
：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为，其中
O
在百位上的排列数是，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求的三位数的个数是
-=10×9×8-9×8=648.
对于例9
这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解题方法．解法
1
根据百位数字不能是。的要求，分步完成选
3
个数组成没有重复数字的三位数这件事，依据的是分步乘法计数原理；解法
2
以
O
是否出现以及出现的位置为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解法
3
是一种逆向思考方法：先求出从10个不同数字中选3个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是。的排列数（即不是三位数的个数），就得到没有重复数字的三位数的个数．从上述问题的解答过程可以看到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从n个不同元素中取出
m
(m≤n）个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题．
1.1节中的例
9
是否也是这类计数问题？你能用排列的知识解决它吗？
四、课堂练习：
1．若，则
（
）
2．与不等的是
（
）
3．若，则的值为
（
）
4．计算：
；
．
5．若，则的解集是
．
6．（1）已知，那么
；
（2）已知，那么=
；
（3）已知，那么
；
（4）已知，那么
．
7．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？
8．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？
答案：1.
B
2.
B
3.
A
4.
1,1
5.
6.
(1)
6
(2)
181440
(3)
8
(4)
5
7.
1680
8.
24
第三课时
例1．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解：（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：，所以，共有60种不同的送法
（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：，所以，共有125种不同的送法
说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从5本不同的书中选出3本分送给3位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算
例2．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有种；第二类用2面旗表示的信号有种；第三类用3面旗表示的信号有种，由分类计数原理，所求的信号种数是：，
例3．将位司机、位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？
分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从个不同元素中取出个元素排成一列，有种方法；
第二步：把位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有种方法，
利用分步计数原理即得分配方案的种数
解：由分步计数原理，分配方案共有（种）例4．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解法1：用分步计数原理：
所求的三位数的个数是：
解法2：符合条件的三位数可以分成三类：每一位数字都不是0的三位数有个，个位数字是0的三位数有个，十位数字是0的三位数有个，
由分类计数原理，符合条件的三位数的个数是：．
解法3：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为，其中以0为排头的排列数为，因此符合条件的三位数的个数是-．
说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步，直接计算符合条件的排列数如解法1，2；间接法：对于有限制条件的排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法3．对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防止重复与遗漏
第四课时
例5．（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？
解：问题可以看作：7个元素的全排列＝5040．
（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？
解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040．
（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——=720．
（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
解：根据分步计数原理：第一步
甲、乙站在两端有种；
第二步
余下的5名同学进行全排列有种，所以，共有=240种排列方法
（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有种方法，所以一共有＝2400种排列方法
解法2：（排除法）若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾有种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有－＋=2400种．
说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑
例6.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？
解法一：（从特殊位置考虑）；
解法二：（从特殊元素考虑）若选：；若不选：，
则共有种；
解法三：（间接法）
第五课时
例7．
7位同学站成一排，
（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有种
（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
解：方法同上，一共有＝720种
（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的4个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有＝960种方法
解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2种方法，
所以，丙不能站在排头和排尾的排法有种方法
解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有＝960种方法．
（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起
解：将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，时一共有2个元素，∴一共有排法种数：（种）
说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．
例8．7位同学站成一排，
（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
解法一：（排除法）；
解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有种方法，所以一共有种方法．
（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
解：先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有种方法，所以一共有＝1440种．
说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．
第六课时
例9．5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列
解：（1）先将男生排好，有种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空挡”（包括两端）中，有种排法
故本题的排法有（种）；
（2）方法1：；
方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法
故本题的结论为（种）
3