人教高中数学选修2-3 第一章1.2.2 组合 教案（4课时）

1．2．2组合
教学重难点：
重点：组合的概念和组合数公式。
难点：组合的概念和组合数公式。
教学过程
第一课时
一、讲解新课：
1组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
例1．判断下列问题是组合还是排列
（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？
（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？
（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？
（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？
问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？
（2）什么样的两个组合就叫相同的组合
2．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从
个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．
例2．用计算器计算．
解：由计算器可得
例3．计算：（1）；
（2）；
（1）解：
＝35；
（2）解法1：＝120．
解法2：＝120．
第二课时
3．组合数公式的推导：
（1）从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢？
启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得，故我们可以考察一下和的关系，如下：
组
合
排列
由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步：①
考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个；②
对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有种方法．由分步计数原理得：＝，所以，．
（2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：
①
先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；
②
求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝．
（3）组合数的公式：
或
规定:
.
三、讲解范例：
例4．求证：．
证明：∵
＝
＝
∴
例5．设
求的值
解：由题意可得：
，解得，
∵，
∴或或，
当时原式值为7；当时原式值为7；当时原式值为11．
∴所求值为4或7或11．
第三课时
例6．
一位教练的足球队共有
17
名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：
(l)这位教练从这
17
名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从
17
个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（
2
)
，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．
解：
(1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有
C
｝手＝
12
376
（种）
.
(2）教练员可以分两步完成这件事情：
第1步，从17名学员中选出
n
人组成上场小组，共有种选法；
第2步，从选出的
n
人中选出
1
名守门员，共有种选法．
所以教练员做这件事情的方法数有
=136136（种）.
例7．（1）平面内有10
个点，以其中每2
个点为端点的线段共有多少条？
(2）平面内有
10
个点，以其中每
2
个点为端点的有向线段共有多少条？
解：(1）以平面内
10
个点中每
2
个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有
（条）.
(2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每
2
个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有
（条）.
例8．在
100
件产品中，有
98
件合格品，2
件次品．从这
100
件产品中任意抽出
3
件
.
(1）有多少种不同的抽法？
(2）抽出的
3
件中恰好有
1
件是次品的抽法有多少种？
(3）抽出的
3
件中至少有
1
件是次品的抽法有多少种？
解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有
=
161700
（种）.
(2）从2
件次品中抽出
1
件次品的抽法有种，从
98
件合格品中抽出
2
件合格品的抽法有种，因此抽出的
3
件中恰好有
1
件次品的抽法有
=9506(种).
(3）解法
1
从
100
件产品抽出的
3
件中至少有
1
件是次品，包括有1件次品和有
2
件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3
件中至少有一件是次品的抽法有
+=9
604
（种）
.
解法2
抽出的3
件产品中至少有
1
件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3
件的抽法种数减去3
件中都是合格品的抽法的种数，即
=161
700-152
096
=
9
604
（种）.
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。
变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
（2）甲、乙、丙三人不能当选；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；
（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；
（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
例9．（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？
解：．
（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？
解：问题可以分成2类：
第一类
2名男生和2名女生参加，有中选法；
第二类
3名男生和1名女生参加，有中选法
依据分类计数原理，共有100种选法
错解：种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多
例10．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？
解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有，，，
所以，一共有++＝100种方法．
解法二：（间接法）
第四课时
组合数的性质1：．
一般地，从n个不同元素中取出个元素后，剩下个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n
m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n
m个元素的组合数，即：．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想
证明：∵
又
，∴
说明：①规定：；
②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；
③此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化.
例如＝＝=2002；
④或．
2．组合数的性质2：＝+．
一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出m
1个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．
证明：
∴＝+．
说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；
②此性质的作用：恒等变形，简化运算
例11．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解：（1）,或，；（2）；（3）．
例12．（1）计算：；
（2）求证：＝++．
解：（1）原式；
证明：（2）右边左边
例13．解方程：（1）；（2）解方程：．
解：（1）由原方程得或，∴或，
又由得且，∴原方程的解为或
上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把和代入检验,这样运算量小得多.
（2）原方程可化为，即，∴，
∴，
∴，解得或，
经检验：是原方程的解
第五课时
例14．证明：。
证明：原式左端可看成一个班有个同学，从中选出个同学组成兴趣小组，在选出的个同学中，个同学参加数学兴趣小组，余下的个同学参加物理兴趣小组的选法数。原式右端可看成直接在个同学中选出个同学参加数学兴趣小组，在余下的个同学中选出个同学参加物理兴趣小组的选法数。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。
例15．证明：…（其中）。
证明：设某班有个男同学、个女同学，从中选出个同学组成兴趣小组，可分为类：男同学0个，1个，…，个，则女同学分别为个，个，…，0个，共有选法数为…。又由组合定义知选法数为，故等式成立。
例16．证明：…。
证明：左边=…=…，
其中可表示先在个元素里选个，再从个元素里选一个的组合数。设某班有个同学，选出若干人（至少1人）组成兴趣小组，并指定一人为组长。把这种选法按取到的人数分类（…），则选法总数即为原式左边。现换一种选法，先选组长，有种选法，再决定剩下的人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有种，所以选法总数为种。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。
例17．证明：…。
证明：由于可表示先在个元素里选个，再从个元素里选两个（可重复）的组合数，所以原式左端可看成在例3指定一人为组长基础上，再指定一人为副组长（可兼职）的组合数。对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组长和副组长是同一个人，则有种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有种选法。∴共有+种选法。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。
四、课堂练习：
1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：
（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？
（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？
2．名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（
）
．
．
．
．
3．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（
）
．对
．对
．对
．对
4．设全集，集合、是的子集，若有个元素，有个元素，且，求集合、，则本题的解的个数为
（
）
．
．
．
．
5．从位候选人中选出人分别担任班长和团支部书记，有
种不同的选法
6．从位同学中选出人去参加座谈会，有
种不同的选法
7．圆上有10个点：
（1）过每2个点画一条弦，一共可画
条弦；
（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画
个圆内接三角形
8．（1）凸五边形有
条对角线；（2）凸五边形有
条对角线
9．计算：（1）；（2）．
10．个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？
11．空间有10个点，其中任何4点不共面，（1）过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？
12．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？
13．写出从这个元素中每次取出个的所有不同的组合
答案：1.
（1）组合,
（2）排列
2.
B
3.
A
4.
D
5.
30
6.
15
7.
（1）45
（2）
120
8.
（1）5（2）
9.
⑴455；
⑵
10.
⑴10；
⑵20
11.
⑴；
⑵
12.
13.
；
；
；
；
3