人教高中数学选修2-3 第一章1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理 教案(4课时)

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名称 人教高中数学选修2-3 第一章1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理 教案(4课时)
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资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2021-04-02 10:55:30

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文档简介

第一章
计数原理
1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理
教学重难点:
重点:掌握分类计数原理与分步计数原理。
难点:区分与运用分类计数原理与分步计数原理。
教学过程:
第一课时
1
分类加法计数原理
(1)提出问题
问题1.1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能够编出多少种不同的号码?
问题1.2:从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车.如果一天中火车有3班,汽车有2班.那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
(2)发现新知
分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法.
那么完成这件事共有
种不同的方法.
(3)知识应用
例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下:
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢?
分析:由于这名同学在
A
,
B
两所大学中只能选择一所,而且只能选择一个专业,又由于两所大学没有共同的强项专业,因此符合分类加法计数原理的条件.解:这名同学可以选择
A
,
B
两所大学中的一所.在
A
大学中有
5
种专业选择方法,在
B
大学中有
4
种专业选择方法.又由于没有一个强项专业是两所大学共有的,因此根据分类加法计数原理,这名同学可能的专业选择共有
5+4=9(种).
变式:若还有C大学,其中强项专业为:新闻学、金融学、人力资源学.那么,这名同学可能的专业选择共有多少种?
探究:如果完成一件事有三类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,在第3类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法?
如果完成一件事情有类不同方案,在每一类中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?
一般归纳:
完成一件事情,有n类办法,在第1类办法中有种不同的方法,在第2类办法中有种不同的方法……在第n类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有
种不同的方法.
理解分类加法计数原理:
分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.
例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?
解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,
第一类,
m1
=
1×2
=
2

第二类,
m2
=
1×2
=
2

第三类,
m3
=
1×2
=
2

所以,
根据加法原理,
从顶点A到顶点C1最近路线共有
N
=
2
+
2
+
2
=
6
(条)
第二课时
2
分步乘法计数原理
(1)提出问题
问题2.1:用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字,以,,…,,,…的方式给教室里的座位编号,总共能编出多少个不同的号码?
用列举法可以列出所有可能的号码:
我们还可以这样来思考:由于前
6
个英文字母中的任意一个都能与
9
个数字中的任何一个组成一个号码,而且它们各不相同,因此共有
6×9
=
54
个不同的号码.
(2)发现新知
分步乘法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法.
那么完成这件事共有
种不同的方法.
(3)知识应用
例1.设某班有男生30名,女生24名.
现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛,共有多少种不同的选法?
分析:选出一组参赛代表,可以分两个步骤.第
l
步选男生.第2步选女生.
解:第
1
步,从
30
名男生中选出1人,有30种不同选择;

2
步,从24
名女生中选出1人,有
24
种不同选择.根据分步乘法计数原理,共有30×24
=720种不同的选法.
一般归纳:
完成一件事情,需要分成n个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.
理解分步乘法计数原理:
分步计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事.
3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点
①相同点:都是完成一件事的不同方法种数的问题
②不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事,是独立完成;而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事,是合作完成.
例2
.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?
解:
按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,
第一步,
m1
=
3
种,
第二步,
m2
=
2
种,
第三步,
m3
=
1
种,
第四步,
m4
=
1
种,
所以根据乘法原理,
得到不同的涂色方案种数共有N
=
3
×
2
×1×1
=
6
第三课时
3
综合应用
例1.
书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放2本不同的体育书.
①从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
②从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法?
③从书架上任取两本不同学科的书,有多少种不同的取法?
【分析】
①要完成的事是“取一本书”,由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事,因此是分类问题,应用分类计数原理.
②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”,由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分,只有第1、2、3层都取后,才能完成这件事,因此是分步问题,应用分步计数原理.
③要完成的事是“取2本不同学科的书”,先要考虑的是取哪两个学科的书,如取计算机和文艺书各1本,再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这
件事的一部分,应用分步计数原理,上述每一种选法都完成后,这件事才能完成,因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.
解:
(1)
从书架上任取1本书,有3类方法:第1类方法是从第1层取1本计算机书,有4
种方法;第2
类方法是从第2
层取1本文艺书,有3
种方法;第3类方法是从第
3
层取
1
本体育书,有
2
种方法.根据分类加法计数原理,不同取法的种数是
=4+3+2=9;
(
2
)从书架的第
1
,
2
,
3
层各取
1
本书,可以分成3个步骤完成:第
1
步从第
1
层取
1
本计算机书,有
4
种方法;第
2
步从第
2
层取1本文艺书,有
3
种方法;第
3
步从第3层取1
本体育书,有
2
种方法.根据分步乘法计数原理,不同取法的种数是
=4×3×2=24
.
(3)。
例2.
要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法?
解:从
3
幅画中选出
2
幅分别挂在左、右两边墙上,可以分两个步骤完成:第
1
步,从
3
幅画中选
1
幅挂在左边墙上,有
3
种选法;第
2
步,从剩下的
2
幅画中选
1
幅挂在右边墙上,有
2
种选法.根据分步乘法计数原理,不同挂法的种数是
N=3×2=6
.
6
种挂法可以表示如下:
分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题.区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事,分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法互相依存,只有各个步骤都完成才算做完这件事.
例3.随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有量迅速增长,汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法,每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和
3
个不重复的阿拉伯数字,并且
3
个字母必须合成一组出现,3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?
分析:按照新规定,牌照可以分为
2类,即字母组合在左和字母组合在右.确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤.
解:将汽车牌照分为
2
类,一类的字母组合在左,另一类的字母组合在右.字母组合在左时,分6个步骤确定一个牌照的字母和数字:
第1步,从26个字母中选1个,放在首位,有26种选法;
第2步,从剩下的25个字母中选
1个,放在第2位,有25种选法;
第3步,从剩下的24个字母中选
1个,放在第3位,有24种选法;
第4步,从10个数字中选1个,放在第
4
位,有10种选法;
第5步,从剩下的
9个数字中选1个,放在第5位,有9种选法;
第6步,从剩下的
8个字母中选1个,放在第6位,有8种选法.
根据分步乘法计数原理,字母组合在左的牌照共有26
×25×24×10×9×8=11
232
000(个)
.
同理,字母组合在右的牌照也有11232
000
个.所以,共能给
11232
000
+
11232
000
=
22464
000(个)
.辆汽车上牌照.
用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析

需要分类还是需要分步.分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.分步要做到“步骤完整”

完成了所有步骤,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独立.分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数.
练习
1.乘积展开后共有多少项?
2.某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成,其中前四位的数字是不变的,后四位数字都是。到
9
之间的一个数字,那么这个电话局不同的电话号码最多有多少个?
3.从
5
名同学中选出正、副组长各
1
名,有多少种不同的选法?
4.某商场有
6
个门,如果某人从其中的任意一个门进人商场,并且要求从其他的门出去,共有多少种不同的进出商场的方式?
第四课时
例1.给程序模块命名,需要用3个字符,其中首字符要求用字母
A~G

U~Z
,
后两个要求用数字1~9.问最多可以给多少个程序命名?
分析:要给一个程序模块命名,可以分三个步骤:第
1
步,选首字符;第2步,选中间字符;第3步,选最后一个字符.而首字符又可以分为两类.
解:先计算首字符的选法.由分类加法计数原理,首字符共有7
+
6
=
13
种选法.
再计算可能的不同程序名称.由分步乘法计数原理,最多可以有13×9×9
=
=
1053
个不同的名称,即最多可以给1053个程序命名.
例2.
核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分一个
RNA
分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链,长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.
总共有
4
种不同的碱基,分别用A,C,G,U表示.在一个
RNA
分子中,各种碱基能够以任意次序出现,所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类
RNA
分子由
100
个碱基组成,那么能有多少种不同的
RNA
分子?
分析:用图1.
1一2
来表示由100个碱基组成的长链,这时我们共有100个位置,每个位置都可以从A
,
C
,
G
,
U
中任选一个来占据.
解:100个碱基组成的长链共有
100个位置,如图1
.
1一2所示.从左到右依次在每一个位置中,从
A
,
C
,
G
,
U
中任选一个填人,每个位置有
4
种填充方法.根据分步乘法计数原理,长度为
100
的所有可能的不同
RNA
分子数目有
(个)
例3.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态,而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有
O

1
两种数字的记数法,即二进制.为了使计算机能够识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以用一个或多个字节来表示,其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位,每个字节由
8
个二进制位构成.问:
(1)一个字节(
8
位)最多可以表示多少个不同的字符?
(2)计算机汉字国标码(GB
码)包含了6
763
个汉字,一个汉字为一个字符,要对这些汉字进行编码,每个汉字至少要用多少个字节表示?
分析:由于每个字节有
8
个二进制位,每一位上的值都有
0,1两种选择,而且不同的顺序代表不同的字符,因此可以用分步乘法计数原理求解本题.
解:(1)用图1.1一3
来表示一个字节.

1
.
1

3
一个字节共有
8
位,每位上有
2
种选择.根据分步乘法计数原理,一个字节最多可以表示
2×2×2×2×2×2×2×2=
28
=256
个不同的字符;
(
2)由(
1
)知,用一个字节所能表示的不同字符不够
6
763
个,我们就考虑用2
个字节能够表示多少个字符.前一个字节有
256
种不同的表示方法,后一个字节也有
256
种表示方法.根据分步乘法计数原理,2个字节可以表示
256×256
=
65536
个不同的字符,这已经大于汉字国标码包含的汉字个数
6
763.所以要表示这些汉字,每个汉字至少要用
2
个字节表示.
例4.计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路径(即程序从开始到结束的路线),以便知道需要提供多少个测试数据.一般地,一个程序模块由许多子模块组成.如图1.1一4,它是一个具有许多执行路径的程序模块.问:这个程序模块有多少条执行路径?
另外,为了减少测试时间,程序员需要设法减少测试次数你能帮助程序员设计一个测试方法,以减少测试次数吗?
图1.1一4
分析:整个模块的任意一条执行路径都分两步完成:第
1
步是从开始执行到
A
点;第
2
步是从
A
点执行到结束.而第
1
步可由子模块
1
或子模块
2
或子模块
3
来完成;第
2
步可由子模块
4
或子模块
5
来完成.因此,分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理.
解:由分类加法计数原理,子模块
1
或子模块
2
或子模块
3
中的子路径共有18
+
45
+
28
=
91
(条)
;
子模块
4
或子模块
5
中的子路径共有38
+
43
=
81
(条)
.
又由分步乘法计数原理,整个模块的执行路径共有91×81
=
7
371(条).
在实际测试中,程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱,即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块.这样,他可以先分别单独测试
5
个模块,以考察每个子模块的工作是否正常.总共需要的测试次数为
18
+
45
+
28
+
38
+
43
=172.
再测试各个模块之间的信息交流是否正常,只需要测试程序第1
步中的各个子模块和第
2
步中的各个子模块之间的信息交流是否正常,需要的测试次数为3×2=6
.
如果每个子模块都工作正常,并且各个子模块之间的信息交流也正常,那么整个程序模块就工作正常.这样,测试整个模块的次数就变为
172
+
6=178(次).
显然,178
与7371
的差距是非常大的.
巩固练习:
1.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,
从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法?
2.书架上放有3本不同的数学书,5本不同的语文书,6本不同的英语书.
(1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的取法?
(2)若从这些书中,取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的取法?
(3)若从这些书中取不同的科目的书两本,有多少种不同的取法?
3.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为()
A.
180
B.
160
C.
96
D.
60
若变为图二,图三呢?
5.五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,报名方法的种数为多少?又他们争夺这四项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多少种?
分配问题
把一些元素分给另一些元素来接受.这是排列组合应用问题中难度较大的一类问题.因为这涉及到两类元素:被分配元素和接受单位.而我们所学的排列组合是对一类元素做排列或进行组合的,于是遇到这类问题便手足无措了.
事实上,任何排列问题都可以看作面对两类元素.例如,把10个全排列,可以理解为在10个人旁边,有序号为1,2,……,10的10把椅子,每把椅子坐一个人,那么有多少种坐法?这样就出现了两类元素,一类是人,一类是椅子。于是对眼花缭乱的常见分配问题,可归结为以下小的“方法结构”:
①.每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是,这里.其中是“接受单位”的个数。至于谁是“接受单位”,不要管它在生活中原来的意义,只要.个数为的一个元素就是“接受单位”,于是,方法还可以简化为.这里的“多”只要“少”.
②.被分配元素和接受单位的每个成员都有“归宿”,并且不限制一对一的分配问题,方法是分组问题的计算公式乘以.












图一
图二
图三
3