天津市天津一中2012届高三第二次月考 文科数学试题

2011-2012-1天津一中高三年级第二次月考考试
数学试卷（文）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1． 是虚数单位，复数（ ）
A． B． C． D．
2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3． 如图，程序框图中的算法输出的结果为（ ）
A． B．
C． D．
4．若条件，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知等差数列满足，且数列是等比数列，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．实数满足，则对于①；②；③中可能成立的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
8．已知且函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
9． 一个几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 ．
10．如图，已知圆的弦交半径于点．若，，且为的中点，则 ．
11．向量的夹角为，且则 ．
12．若正实数满足，则的最小值为 ．
13．设直线过点，其斜率为，且与单位圆相切，则实数的值是 ．
14．如图，在平行四边形中，和分别在边和上，且，其中，
若，则 ．
三、解答题：
15．（本小题满分13分）
已知分别为的三个内角的对边，满足．
（Ⅰ）求及的面积；
（Ⅱ）设函数，其中，求的值域．
16．（本小题满分13分）
如图，在直三棱柱中，，分别为
的中点，四边形是边长为的正方形．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
17．（本小题满分13分）
已知数列的前项和，数列满足，且（．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
18．（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，分别为的中点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求到平面的距离．
19．（本小题满分14分）
已知函数，，它们
的图象在处有相同的切线．
（Ⅰ）求与的解析式；
（Ⅱ）讨论函数的单调区间；
（Ⅲ）如果在区间上是单调函数，求实数的取值范围．
20．（本小题满分14分）
数列满足．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设求数列的通项公式；
参考答案：
一、选择题：
1．A 2．C 3．C 4．B
5．D 6．C 7．C 8．D
二、填空题：
9．80
10．
11．2
12．9
13．
14．
三、解答题：
15．
（I）
（II）
16．
（I）连接A1C交AC1于O，连接OD
∵四边形AA1C1C为平行四边形
∴O为A1C中点
∵D为BC中点
∴ODA1B
∵ODC平面AC1D
∴A1B//平面AC1D
（II）∵ABC-A1B1C1为直棱柱
∴BB1⊥平面ABC
∴BB1⊥AD
∵AB=AC
且D为BC中点
∴AD⊥BC
∴AD⊥平面BB1CC1
∴AD⊥CE
∵BB1C1C为正方形
D、E分别为各边中点
∴CD=BE CC1=BC
CE=C1D
∴△CC1D≌△CEB
∴∠2=∠3
∵∠1+∠2=90o
∴∠1+∠3=90o
∴C1D⊥CE
∵AD⊥CE
∴CE⊥平面AC1D
（III）过D作DE⊥AC于E，连C、E
∵CC1⊥平面ABC
∴CC1⊥DE
∵DE⊥AC
∴DE⊥平面，AA1CC1
∴设C-AC1-D成角为α
∴
17．
（I）an=Sn-Sn-1
=2-an-2+an-1
2an=an-1
∴{an}为首项为1公比为的GP
bn-1+bn+1=2bn
∴bn为等差数列
b1+2d+b1+6d=18
2+8d=18
8d=16
d=2
∴bn=1+(n-1)·2
=2n-1
（II）
18．
（I）证明：
∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥MN PA⊥AB
∵M、N分别为AD、BC中点
∴AB//MN
∵AB⊥AD
∴AB⊥平面PAD
∵AB//MN
∴MN⊥平面PAD
∵MN平面PMN
∴平面PMN⊥平面PAD
（II）过M作MD⊥平面PCD，连接PO
∴∠MPO即为所求
∵VM-PCD=VP-MCD
即
（III）VP-MNC=VC-PMN
19．
（I）f’(x)=3x2+a g’(x)=4x
k=g’(1)=4=f’(1)=3+a
∴a=1 f’(x)=3x2+1 f(x)=x3+x
∴（1，2） ∴b=0
∴g(x)=2x2 f(x)=x3+x
（II）G(x)=x3+x+2tx2+(t2-1)x+1
=x3+2tx2+t2x+1
G’(x)=3x2+4tx+t2
令G’(x)=0
3x2+4tx+t2=0
(3x+t)(x+t)=0
x1= x2=-t
若t>0 >-t
x (-, -t) -t (-t, ) (, +)
y' + 0 - 0 +
y 极大值 极小值
∴f(x)在(-, -t) (-t, ) (, +)
若t<0 <-t
x (-,) (, -t) -t (-t, +)
y' + 0 - 0 +
y ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
∴f(x)在(-,)↑ (-t, +)↑ (, -t) ↓
（III）F(x)=x3+x-m(2x2)
=x3-2mx2+x
F’(x)=3x2-4mx+1
即x∈[, 3]时 F’(x)≠0
x∈[, 3]时 F’(x)≥0或F’(x)≤0
3x2-4mx+1≥0
4mx≤3x2+1
m≤
∴m≤
或3x2-4mx+1≤0
m≥
∴m取值范围为{m| 或m≤}
20．
（I）
（II）