动态几何问题：让思维更精彩
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动态几何问题：让思维更精彩
广东北江实验学校 徐晓艳
教学任务分析
教学目标 知识技能 1. 掌握几何计算的两种主要途径：①借助于解直角三角形；②借助于三角形的相似性质；2. 知道几何计算是研究图形的动点问题、图形的变换及运动等问题的基础。
数学思考 1.渗透数学中的动静转化思想,感悟数形结合的数学方法；2.经历探索数学问题的过程,体验观察猜想、分析思考的过程。
解决问题 会用几何基本计算方法进行分析和推理。
情感态度 1.从思维上培养学生用转化的方法展开学习，感悟两种主要的几何基本计算方法与作用，体验事物间特殊与一般的关系；２.通过观察、思考、讨论等实践活动，培养学生获得数学结论的经验，激发学生探索知识的兴趣。
重点 掌握几何计算的两种主要途径在动态几何中的应用。
难点 探究图形的动点问题，图形的变换及运动等问题。
教学流程安排
活动1 基础练习 了解动态问题中常见的两种计算方法
活动2 例题1的探索与分析 师生共同探索解题思路与方法
活动3 例题2的探索与分析 师生共同探索解题思路与方法
活动4 学生展示解题方法 师生总结归纳几何计算方法
活动5 小结，布置作业 回顾本节内容，反思总结，巩固知识，提高能力。
教学过程设计
教学活动 师生活动 设计意图
活动1：基础练习 1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为6，sinB=，则线段AC的长是（ ）A、3 B、4 1、 C、5 D、6 1、如何巧妙地将非直角三角形中的锐角转化到直角三角形中？以便求等角的三角函数值； 从回顾解直角三角形的有关知识和两个三角形相似的方法入手，帮助学生建立新旧知识间的联系，知道这节课学习的内容是什么，在方法上借助了什么知识点来解决问题，为动态综合问题的学习作铺垫。
教学活动 师生活动 设计意图
2、如图，在△ABC中，∠C=900，D、E分别为AC、AB上的点，AC=8，BC=6，AD=4，若△ABC与△ADE相似,则AE的长为___________ 2、利用同角的三角函数值或相似可以建立数量关系，从而得到关系式；总结：通过以上可以看出，凡涉及到几何图形中量的计算时，应当首先考虑借助于解直角三角形或相似三角形。 通过这几题基础练习，让学生知道这节课的目的是针对解直角三角形和相似的内容来研究动态几何问题。让学生感悟这两种方法在几何计算中的作用。
活动2 例题1的探索与分析例1、如图, 已知抛物线与轴交于A (－4，0) 和B(1，0)两点，与轴交于C点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标;（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．（【观察与思考】这是由数量关系刻画几何量之间的对应关系，或说是几何与代数结合的问题，其解决的依据就是通过“几何计算”。 利用相似三角形解决问题，首先就要善于从图形中找到相似三角形，这就需要对三角形相似的条件不仅熟悉，且能灵活运用。解决这类问题要“以静制动”，抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，找出题目中的基本关系式。这既需要对图形性质有深刻的认识，也需要善于对问题情意及要达到的目的进行深入分析。总结：动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）计算也必须以熟练地掌握几何图形的基本性质为基础。 通过例1的学习，让学生先熟悉相似的基本图形，感悟相似及解直角三角形在动态问题中的作用。培养学生的分析推理能力、综合解决问题能力等。
教学活动 师生活动 设计意图
活动3 例题2的探索与分析已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放，点B、C、E、F在同一条直线上．∠ACB = ∠D = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB运动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时就停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）。（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，∴AP = AQ.∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，∴∠EQC = 45°.∴∠DEF =∠EQC. ∴CE = CQ. 由题意知：CE = t，BP =2 t， ∴CQ = t. ∴AQ = 8－t.在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm 则AP = 10－2 t. ∴10－2 t = 8－t. 解得：t = 2. 答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上. 将运动的元素沿运动的路径运动一遍，观察图形的变化。在审题要将运动的路径看清楚，同时注意运动的方向及速度。可以看出：认识到相似三角形的计算功能，善于选用相似三角形，是充分发挥相似三角形在几何计算中重要作用的思想基础和知识基础。总结：充分重视解直角三角形和两三角形相似的数学功能吧，让它们在更多的综合型问题中发挥更大的作用！（2）过P作，交BE于M，∴.在Rt△ABC和Rt△BPM中，， ∴ . ∴PM = .∵BC = 6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t.∴y = S△ABC－S△BPE =－=－= = .∵，∴当t = 3时，y最小=. 《课标》理念下的几何学习，几何计算的份量加大了，层次提高了。动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。学会在在运动变化中寻求规律，解决问题，让学生的思维更精彩！
教学活动 师生活动 设计意图
活动4 师生共同总结解题方法1、思路理顺清楚，小组共同合作，完成书写过程；2、方法总结：动态几何问题是近几年各地中考试题常见的题型，它考查学生的多种能力，而最常用的知识就是解直角三角形、相似三角形及比例线段等知识，需要学生把这些知识融会贯通。 以列提纲的形式把证明的思路理顺清楚，有利于培养学生的整理和分析能力；让学生进一步体会结论的确定性，书写过程的必要性，以及书写过程的严谨性。 学生在教师的指导下通过经历实践、探索和他人交流合作所得结论等活动，积累数学活动的经验，从中感受探索的乐趣。通过书写过程的书写，有利于培养学生养成良好的书写格式和培养学生的逻辑思维能力。
活动5 布置作业布置作业：分层作业 查漏补缺 以反思的形式来写出这节课的收获和困惑，争做学习的主人。分层布置作业； 分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。 及时关注学生课堂的整体感觉，使学生进一步将数学知识系统化。并知道自己学习要有针对性和有目的性。
2011-5-17
A
D
C
B
x
y
O
B
C
A
图9
A
D
B
C
F
（
E
）
图（1）
A
D
B
C
F
E
图（2）
P
Q
图（2）
Q
A
D
B
C
F
E
P
M
广东北江实验学校 徐晓艳
教学任务分析
教学目标 知识技能 1. 掌握几何计算的两种主要途径：①借助于解直角三角形；②借助于三角形的相似性质；2. 知道几何计算是研究图形的动点问题、图形的变换及运动等问题的基础。
数学思考 1.渗透数学中的动静转化思想,感悟数形结合的数学方法；2.经历探索数学问题的过程,体验观察猜想、分析思考的过程。
解决问题 会用几何基本计算方法进行分析和推理。
情感态度 1.从思维上培养学生用转化的方法展开学习，感悟两种主要的几何基本计算方法与作用，体验事物间特殊与一般的关系；２.通过观察、思考、讨论等实践活动，培养学生获得数学结论的经验，激发学生探索知识的兴趣。
重点 掌握几何计算的两种主要途径在动态几何中的应用。
难点 探究图形的动点问题，图形的变换及运动等问题。
教学流程安排
活动1 基础练习 了解动态问题中常见的两种计算方法
活动2 例题1的探索与分析 师生共同探索解题思路与方法
活动3 例题2的探索与分析 师生共同探索解题思路与方法
活动4 学生展示解题方法 师生总结归纳几何计算方法
活动5 小结，布置作业 回顾本节内容，反思总结，巩固知识，提高能力。
教学过程设计
教学活动 师生活动 设计意图
活动1：基础练习 1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为6，sinB=，则线段AC的长是（ ）A、3 B、4 1、 C、5 D、6 1、如何巧妙地将非直角三角形中的锐角转化到直角三角形中？以便求等角的三角函数值； 从回顾解直角三角形的有关知识和两个三角形相似的方法入手，帮助学生建立新旧知识间的联系，知道这节课学习的内容是什么，在方法上借助了什么知识点来解决问题，为动态综合问题的学习作铺垫。
教学活动 师生活动 设计意图
2、如图，在△ABC中，∠C=900，D、E分别为AC、AB上的点，AC=8，BC=6，AD=4，若△ABC与△ADE相似,则AE的长为___________ 2、利用同角的三角函数值或相似可以建立数量关系，从而得到关系式；总结：通过以上可以看出，凡涉及到几何图形中量的计算时，应当首先考虑借助于解直角三角形或相似三角形。 通过这几题基础练习，让学生知道这节课的目的是针对解直角三角形和相似的内容来研究动态几何问题。让学生感悟这两种方法在几何计算中的作用。
活动2 例题1的探索与分析例1、如图, 已知抛物线与轴交于A (－4，0) 和B(1，0)两点，与轴交于C点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标;（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．（【观察与思考】这是由数量关系刻画几何量之间的对应关系，或说是几何与代数结合的问题，其解决的依据就是通过“几何计算”。 利用相似三角形解决问题，首先就要善于从图形中找到相似三角形，这就需要对三角形相似的条件不仅熟悉，且能灵活运用。解决这类问题要“以静制动”，抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，找出题目中的基本关系式。这既需要对图形性质有深刻的认识，也需要善于对问题情意及要达到的目的进行深入分析。总结：动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）计算也必须以熟练地掌握几何图形的基本性质为基础。 通过例1的学习，让学生先熟悉相似的基本图形，感悟相似及解直角三角形在动态问题中的作用。培养学生的分析推理能力、综合解决问题能力等。
教学活动 师生活动 设计意图
活动3 例题2的探索与分析已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放，点B、C、E、F在同一条直线上．∠ACB = ∠D = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB运动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时就停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）。（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，∴AP = AQ.∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，∴∠EQC = 45°.∴∠DEF =∠EQC. ∴CE = CQ. 由题意知：CE = t，BP =2 t， ∴CQ = t. ∴AQ = 8－t.在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm 则AP = 10－2 t. ∴10－2 t = 8－t. 解得：t = 2. 答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上. 将运动的元素沿运动的路径运动一遍，观察图形的变化。在审题要将运动的路径看清楚，同时注意运动的方向及速度。可以看出：认识到相似三角形的计算功能，善于选用相似三角形，是充分发挥相似三角形在几何计算中重要作用的思想基础和知识基础。总结：充分重视解直角三角形和两三角形相似的数学功能吧，让它们在更多的综合型问题中发挥更大的作用！（2）过P作，交BE于M，∴.在Rt△ABC和Rt△BPM中，， ∴ . ∴PM = .∵BC = 6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t.∴y = S△ABC－S△BPE =－=－= = .∵，∴当t = 3时，y最小=. 《课标》理念下的几何学习，几何计算的份量加大了，层次提高了。动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。学会在在运动变化中寻求规律，解决问题，让学生的思维更精彩！
教学活动 师生活动 设计意图
活动4 师生共同总结解题方法1、思路理顺清楚，小组共同合作，完成书写过程；2、方法总结：动态几何问题是近几年各地中考试题常见的题型，它考查学生的多种能力，而最常用的知识就是解直角三角形、相似三角形及比例线段等知识，需要学生把这些知识融会贯通。 以列提纲的形式把证明的思路理顺清楚，有利于培养学生的整理和分析能力；让学生进一步体会结论的确定性，书写过程的必要性，以及书写过程的严谨性。 学生在教师的指导下通过经历实践、探索和他人交流合作所得结论等活动，积累数学活动的经验，从中感受探索的乐趣。通过书写过程的书写，有利于培养学生养成良好的书写格式和培养学生的逻辑思维能力。
活动5 布置作业布置作业：分层作业 查漏补缺 以反思的形式来写出这节课的收获和困惑，争做学习的主人。分层布置作业； 分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。 及时关注学生课堂的整体感觉，使学生进一步将数学知识系统化。并知道自己学习要有针对性和有目的性。
2011-5-17
A
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图9
A
D
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图（1）
A
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图（2）
P
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图（2）
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