专题5.1相交线（知识讲解）
【学习目标】
1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；
2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；
3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；
4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.
【要点梳理】
知识点一、邻补角与对顶角
1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．
要点诠释：
(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．
(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．
(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.
例题1如图，直线AB、
CD
、EF相交于点O，
∠1的邻补角是（
）
A．∠BOC
B．∠BOC和∠AOF
C．∠AOF
D．∠BOE和∠AOF
【答案】D
【分析】
根据邻补角的定义解答，注意两直线相交，邻补角有两个．
【详解】
解：邻补角在两条直线相交的图形中产生，根据邻补角的定义得：
∠1的邻补角是∠AOF和∠BOE．
故选：D．
【点睛】
本题考查邻补角的定义，两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，它们的和是180°；是一个需要熟记的内容．
例题2下列各图中，∠1和∠2可能是邻补角的只有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据邻补角的定义作出判断即可．
【详解】
根据邻补角的定义可知：只有B图中的是邻补角，其它都不是．
故选B．
【点睛】
本题考查了邻补角的定义，正确把握定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
2.对顶角及性质：
（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．
（2）性质：对顶角相等．
要点诠释：
(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．
(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.
例题
下列图形中，和是对顶角的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据对顶角的基本定义逐一判断即可．
【详解】
解：A项：两个角没有共顶点且有两条对应边不在各自的反向延长线上,错误；
B项：两个角共顶点但有一条对应边不在各自的反向延长线上，错误；
C项：两个角共顶点并且任一个角的对应边在各自的反向延长线上，正确；
D项：两个角共顶点但有一条对应边不在各自的反向延长线上，错误；
故选C．
【点睛】
本题考查了用对顶角的定义来判断识别对顶角；关键在于熟练的掌握对顶角的定义．
3.邻补角与对顶角对比：
角的名称
特征
性质
相同点
不同点
对顶角
①两条直线相交形成的角；
②有一个公共顶点；
③没有公共边.
对顶角相等.
①都是两条直线相交而成的角；
②都有一个公共顶点；
③都是成对出现的.
①有无公共边；
②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对.
邻补角
①两条直线相交而成；
②有一个公共顶点；
③有一条公共边.
邻补角互补.
知识点二、垂线
1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．
要点诠释：
(1)记法：直线a与b垂直，记作：；
直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.
(2)垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：
CD⊥AB．
例题
如图，直线，相交于点，，垂足为点，若，则的度数为____________．
【答案】50°
【分析】
直接利用垂直的定义结合对顶角的性质得出答案．
【详解】
解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠BOE＝40°，
∴∠BOD＝90°?40°＝50°，
∴∠AOC＝∠BOD＝50°．
故答案是：50°．
【点睛】
此题主要考查了垂线的定义以及对顶角的性质，正确得出∠BOD的度数是解题关键．
2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．
要点诠释：
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
例题按照下列要求完成画图及相应的问题解答．
（1）画直线；
（2）画；
（3）画线段；
（4）过点画直线的垂线，垂足为点；
（5）点到直线的距离是线段
的长度﹒
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）CD
【分析】
（1）画直线AB即可；
（2）画∠BAC即可；
（3）画线段BC即可；
（4）过C点画直线AB的垂线，交直线AB于点D即可；
（5）根据点到直线的距离即可得点C到直线AB的距离．
【详解】
解：
如图所示：
（1）直线AB即为所求作的图形；
（2）∠BAC即为所求作的图形；
（3）线段BC即为所求作的图形；
（4）过C点画直线AB的垂线，交直线AB于点D，CD即为所求作的图形；
（5）点C到直线AB的距离为线段CD的长．
【点睛】
本题考查了作图，作直线、射线、线段、垂线、点到直线的距离，解决本题的关键是根据语句准确画出图形．
3．垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
要点诠释：
（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．
（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．
例题1
如图，是直线外一点，从点向直线引，，，几条线段，其中只有与垂直，这几条线段中长度最短的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据“直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短”进行解答；
【详解】
解：直线外一点
P
与直线上各点连接的所有线段中，最短的是
PB
，依据是垂线段最短．
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
例题2如图，从直线EF外一点P向EF引四条线段PA，PB，PC，PD，其中最短的是（
）
A．PA
B．PB
C．PC
D．PD
【答案】B
【分析】
根据垂线段最短可得答案．
【详解】
从直线EF外一点P向EF引四条线段PA，PB，PC，PD，其中最短的一条是PB，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握垂线段的性质：从直线外一点与直线上的所有的点的连线中，垂线段最短．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
要点诠释：
点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．
例题1如图，，，表示点到直线距离的是线段（
）的长度
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离解答．
【详解】
解：∵ED⊥AB，
∴点D到直线AB距离的是线段DE的长度．
故选：B．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．
例题2如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则点A到直线BC的距离是线段__________的长．
【答案】AC.
【分析】
根据点到直线的距离是直线外的点与垂足间的线段的长度，可得答案．
【详解】
∵AC⊥BC，
∴点A到BC的距离为线段AC的长度，
故答案为AC．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
【典型例题】
类型一、邻补角与对顶角
1．如图所示，M、N是直线AB上两点，∠1＝∠2，问∠1与∠2，∠3与∠4是对顶角吗?
∠1与∠5，∠3与∠6是邻补角吗？
【答案与解析】
解：∠1和∠2，∠3和∠4都不是对顶角．∠1与∠5，∠3与∠6也都不是邻补角．
【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角．
举一反三：
【变式】判断正误：
（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角.
（）
（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（）
(3)有一条公共边的两个角是邻补角.
（）
(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补.
（）
(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（）
【答案】(1)×（2）×（3）×（4）√（5）×，反例：∠AOC为120°，射线OB为∠AOC的角平分线，∠AOB与∠AOC互补，且有边公共为AO，公共顶点为O，但它们不是邻补角.
2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数
【答案与解析】
解：∵∠1是∠2的邻补角，∠1＝65°，
∴∠2＝180°－65°＝115°．
又∵∠1和∠3是对顶角，∠2与∠4是对顶角
∴∠3＝∠1＝65°，∠4＝∠2＝115°．
【总结升华】
(1)两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角；(2)求出∠2后用“对顶角相等”，求∠3和∠4．
举一反三：
【变式】如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，则∠AON的度数为 度．
【答案】145．
解：∵∠BOC=110°，
∴∠BOD=70°，
∵ON为∠BOD平分线，
∴∠BON=∠DON=35°，
∵∠BOC=∠AOD=110°，
∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°.
3.任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．
【答案与解析】
解：如图，
任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；
②有公共顶点，角的两边互为反向延长线．
这6对角为∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4，∠3与∠4，其中∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°．在位置上∠1与∠3，∠2与∠4是对顶角，∠1与∠2，∠3与∠4，∠l与∠4，∠2与∠3是邻补角．
【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角
类型二、垂线
4．下列语句中，正确的有
(
)
①一条直线的垂线只有一条；
②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；
③两直线相交，则交点叫垂足；
④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】C
【解析】正确的是：②④
【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.
举一反三：
【变式1】直线外有一点P，则点P到直线的距离是(
).
A．点P到直线的垂线的长度.
B．点P到直线的垂线段.
C．点P到直线的垂线段的长度.
D．点P到直线的垂线.
【答案】C
5.如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（ ）
A．35°
B．
45°
C．
55°
D．
65°
【答案】C．
【解析】解：∵∠1=145°，
∴∠2=180°﹣145°=35°，
∵CO⊥DO，
∴∠COD=90°，
∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.
【总结升华】本题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图,
直线AB和CD交于O点,
OD平分∠BOF,
OE⊥CD于点O,
∠AOC=40,
则∠EOF=_______.
【答案】130°．
6.如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（ ）
A．A点
B．B点
C．C点
D．D点
【思路点拨】根据垂线段最短可得答案．
【答案】A．
【解析】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，故选：A．
【总结升华】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．
举一反三：
【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线的垂线，这样的垂线能画出几条?
(2)经过直线上一点A画的垂线，这样的垂线能画出几条?
(3)经过直线外一点B画的垂线，这样的垂线能画出几条?
【答案】
解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．
(
2
)专题5.2相交线（专项练习）
一、选择题
1．下列图形中，∠1与∠2不是对顶角的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
2．以下四个叙述中，正确的有(
)
①相等的角是对顶角；②互补的角是邻补角；③两条直线相交，可构成2对对顶角；④对顶角、邻补角都有一个共同特点：两个角有公共的顶点．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
3．在同一平面内两条直线的位置关系可能是（ ）
A．相交或垂直
B．
垂直或平行
C．平行或相交
D．
平行或相交或重合
4．如图所示，点A到BD的距离是指(
)
A．线段AB的长度
B．线段AD的长度
C．线段AE
D．线段AE的长度
5．在平面上，过直线上一点可以画这条直线的垂线的条数为
(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
6.如图，AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝26°，则∠2的度数是（）
A．26°
B．64°
C．54°
D．以上答案都不对
二、填空题
7．四条直线两两相交，至多会有 个交点．
8．如图，直线a，b相交，∠1＝60°，则∠2＝________，∠3＝________，∠4＝________．
9．如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，CD⊥AB，若∠COE＝30°，则∠AOE＝_____，∠AOF＝______．
10．如图，直线AB与CD的位置关系是________，记作________于点________，此时∠AOD＝______＝______＝______＝90°．
11.如图，∠AOB＝90°，则ABBO；若OA＝3
cm，OB＝2
cm，则A点到OB的距离是________cm，点B到OA的距离是________cm；O点到AB上各点连接的所有线段中________最短．
12．如图：若∠AOB与∠BOC是一对邻补角，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内部，并且∠BOE=∠COE，∠DOE=72°．则∠COE的度数是．
三、解答题
13.如图，OC⊥AB于点O，OD平分∠BOC，求∠COD的度数．
14．如图，OA⊥OB，OC⊥OD，OE是OD的反向延长线．
(1)
∠AOC等于∠BOD吗？请说明理由；
(2)若∠BOD＝32°，求∠AOE的度数．
15．如图所示，小明家在A处，他要去在同一条路上的小丽家或小红家或小华家或小刚家问作业，则最少要走多少米可以问到作业?
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】C；
【解析】解：根据对顶角的定义可知：图中只有第二个是对顶角，其它都不是．故选C.
2．【答案】C
【解析】③④正确．
3.
【答案】C．
4.
【答案】D
5.
【答案】A
6.
【答案】B
【解析】∠BOE＝90°－∠1＝64°，又∠AOF＝∠BOE＝64°．
二、填空题
7.【答案】6．
【解析】如图，可看出四条直线两两相交，至多有6个交点．
8.【答案】120°，
60°，
120°．
9.
【答案】60°，
120°
【解析】∠AOE＝90°－∠COE＝60°，
∠AOF＝∠AOD+∠DOF＝90°＋∠EOC＝90°+30°=120°．
10.【答案】垂直，AB⊥CD，
O，∠BOD，∠BOC，∠AOC．
【解析】垂直的定义．
11.【答案】＞，
3，
2，垂线段．
【解析】点到直线的距离的定义
12.【答案】72°；
【解析】解：设∠EOB=x，则∠EOC=2x，
则∠BOD=（180°﹣3x），
则∠BOE+∠BOD=∠DOE，
即x+（180°﹣3x）=72°，
解得x=36°，
故∠EOC=2x=72°．
故答案为：72°．
三、解答题
13.【解析】
解：∵OC⊥AB于点O，
∴∠BOC=90°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD=45°．
14.【解析】
解：
(1)∠AOC＝∠BOD．
理由：∵
OA⊥OB，OC⊥OD(已知)．
∴∠AOB＝90°，∠COD＝90°．
即∠AOC+∠BOC＝90°，∠BOD+∠BOC＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD(同角的余角相等)．
(2)∵∠AOB＝90°，∠BOD＝32°，
∴∠AOE＝180°－∠AOB－∠BOD＝180°－90°－32°＝58°．
15.【解析】
解：小明到小红家问作业最近，所以小明至少要走15米．
(
2
)
