8.5.3　平面与平面平行-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册练习Word含解析

8.5.3　平面与平面平行
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列命题正确的有(　　)
①如果两个平面(不重合)不相交，那么它们平行；②如果一个平面内有无数条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行；③空间两个相等的角所在的平面平行．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．下列命题：
①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；
②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；
③夹在两个平行平面间的平行线段相等．
其中正确的命题的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．0
3．平面α∥平面β，点A、C在平面α内，点B、D在平面β内，若AB＝CD，则AB，CD的位置关系是(　　)
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上都有可能
4．设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C(　　)
A．
不共面
B．
不论A，B如何移动，都共面
C．
当且仅当A，B分别在两直线上移动时才共面
D．
当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
5．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.
若PA′∶AA′＝2∶5，则△A′B′C′与△ABC的面积比为(　　)
A．
2∶5
B．
2∶7
C．
4∶49
D．
9∶25
二、填空题
6．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a?α，b，c?β，则α与β的关系是________．
7．如图，四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．
8．已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则a与β的位置关系为________．
三、解答题
9．如图，在四棱锥P?ABCD中，点E为PA的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.
求证：平面EFO∥平面PCD．
10．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.
求证：N为AC的中点．
11．棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积为(　　)
A．2
B．4
C．
D．5
12．(多选题)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，
下列命题中，正确的有(　　)
A．BM∥平面DE
B．CN∥平面AF
C．平面BDM∥平面AFN
D．平面BDE∥平面NCF
13．如图，四棱锥P?ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E、F分别是AB、CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则GH＝________.
14.如图，四边形ABCD为矩形，A，E，B，F四点共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，∠BAE＝∠AFB＝90°.
求证：平面BCE∥平面ADF.
15．如图①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P?ABCD，如图②.
图①　　　　　　　　　图②
求证：在四棱锥P?ABCD中，AP∥平面EFG.
参考答案
1.B　[对①，由两个平面平行的定义知正确；对②，若这无数条直线都平行，则这两个平面可能相交，②错误；对③，这两个角可能在同一平面内，故③错误．]
2.C　[根据面面平行的性质知①②③正确，故选C．]
3.D　[夹在两个平行平面间的平行线段相等，但夹在两个平行平面间的相等线段可以平行、相交或异面．]
4.B　[如图，不论点A，B如何移动，点C都共面，且所在平面与平面α、
平面β平行．]
5.C　[因为平面α∥平面ABC，A′B′?α，AB?平面ABC，
所以A′B′∥AB．
所以A′B′∶AB＝PA′∶PA．
又PA′∶AA′＝2∶5，所以A′B′∶AB＝2∶7.
同理B′C′∶BC＝2∶7，A′C′∶AC＝2∶7，
所以△A′B′C′∽△ABC，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶49.]
6.相交或平行　[b，c?β，a?α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行．]
7.平行四边形　[因为平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，所以AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1.
又A1B1∥C1D1，所以AB∥CD．同理可证AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形．]
8.a?β或a∥β　[若a?β，则显然满足题目条件．若a?β，过直线a作平面γ，γ∩α＝b，γ∩β＝c，于是由直线a∥平面α得a∥b，由α∥β得b∥c，所以a∥c，又a?β，c?β，所以a∥β.]
9.[证明]　因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，
所以点O为BD的中点．
又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD．
又OF?平面PCD，CD?平面PCD，
所以OF∥平面PCD，
因为点O，E分别是AC，PA的中点，
所以OE∥PC，
又OE?平面PCD，PC?平面PCD，
所以OE∥平面PCD．
又OE?平面EFO，OF?平面EFO，且OE∩OF＝O，
所以平面EFO∥平面PCD．
10.[证明]　∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四边形ANC1M为平行四边形，
∵M是A1C1的中点，
∴AN＝C1M＝A1C1＝AC，∴N为AC的中点．
11.C　[如图，由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求MN＝，CD1＝2，MD1＝NC＝，
所以此截面的面积
S＝×(＋2)×eq
\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2)－\r(2),2))))＝.]
12.ABCD　[展开图可以折成如图①所示的正方体．
图①　　　　　　　　图②
在正方体中，连接AN，如图②所示．
∵AB∥MN，且AB＝MN，
∴四边形ABMN是平行四边形．
∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF，∴AB正确；
图③
如图③所示，连接NF，BE，BD，DM，CF，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，则平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以CD正确．]
13.　[因为ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，
AB＝CD，因为E、F分别是AB、CD的中点，
所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，
∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，
所以EH＝DH.
因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，
平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，
所以G是PD的中点，因为PA＝PB＝AB＝2，
所以PE＝2×sin
60°＝.所以GH＝PE＝.]
14.[证明]　∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，
又BC?平面ADF，AD?平面ADF，
∴BC∥平面ADF.
∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，
且∠BAE＝∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝∠ABE＝45°，∴AF∥BE，
又BE?平面ADF，AF?平面ADF，
∴BE∥平面ADF.
又BC?平面BCE，BE?平面BCE，
BC∩BE＝B，
∴平面BCE∥平面ADF.
15.[证明]　在四棱锥P?ABCD中，E，
F分别为PC，PD的中点，
∴EF∥CD．
∵AB∥CD，∴EF∥AB．
∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
同理EG∥平面PAB．
又EF∩EG＝E，EF?平面EFG，
EG?平面EFG，
∴平面EFG∥平面PAB．
∵AP?平面PAB，
∴AP∥平面EFG.