10.4 线段的垂直平分线同步练习（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
第十章 三角形的有关证明
4 线段的垂直平分线
知识能力全练
知识点一 线段垂直平分线的性质定理
1.如图所示，AC垂直平分BD，若AB＝3cm，CD＝5cm，则四边形ABCD的周长是（ ）
A.11 cm B.13 cm C.16 cm D.18 cm
2.如图所示，在已知的△ABC中，按以下步骤作图:①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（ ）
A.90° B.95° C.100° D.105°
3.如图所示，在△ABC中∠C＝90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E若
∠CAB＝∠B＋30°，求∠AEB的度数.
知识点二 线段垂直平分线的判定定理
4.如图所示，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB
5.如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AC、BD相交于点E，求证:直线AC是线段BD的垂直平分线.
6.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的延长线上一点，EH所在直线是BD的垂直平分线，DE交AC于F，求证:点E在AF的垂直平分线上.
知识点三 三角形三条边的垂直平分线的性质
7.在新农村建设中，为解决村民饮用水问题，政府和村民共同兴建了一批蓄水池.如图所示，有A、B、C三个村庄成三角形形状，现决定在三个村庄之间建一个蓄水池，使蓄水池到三个村庄的距离相等，则蓄水池应建在（ ）
A.AC、BC两边高线的交点处 B.AC、BC两边垂直平分线的交点处
C.AC、BC两边中线的交点处 D.∠A、∠B两内角平分线的交点处
巩固提高全练
8.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D，若AD＝5，CD＝3，则BC的长是（ ）
A.7 B.8 C.12 D.13
9.如图所示，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，则AB，AC，CE的长度关系为（ ）
A.AB＞AC＝CE B.AB＝AC＞CE C.AB＞AC＞CE D.AB＝AC＝CE
10.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，垂足为D.若∠F＝30°，BE＝4，则DE的长等于__________.
11.如图所示，已知△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E，F，若∠EAF＝90°，AF＝3，AE＝4.
（1）求边BC的长；
（2）求∠BAC的度数.
12.如图所示，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（ ）
A.8 B.11 C.16 D.17
13.如图所示，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线为线段FG的垂直平分线.下列说法正确的是（ ）
A.是线段EH的垂直平分线 B.是线段EQ的垂直平分线
C.是线段FH的垂直平分线 D.EH是的垂直平分线
14.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A.三条高的交点 B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点
15.如图所示，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点DE分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F.
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由.
（2）求证；过点A、F的直线垂直平分线段BC.
16.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，连接AM，AN，求证:BM＝MN＝NC.
参考答案
1.C 2.D
3.解析 ∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA.
∵∠CAB＝∠B＋30°，∠CAB＝∠CAE＋∠EAB，∴∠CAE＝30°.
∵∠C＝90°，∴∠AEC＝60°，∴∠AEB＝120°.
4.A
5.证明 在△ADC和△ABC中，∴△ADC≌△ABC（ASA），
∴AD＝AB，CD＝CB.
∴直线AC是线段BD的垂直平分线.
6.证明 ∵EH垂直平分BD，∴BE＝DE，EH⊥BD，∴∠BEH＝∠DEH，
∵∠ACB＝90°，∴EH∥AC，∴∠BEH＝∠BAC，∠DEH＝∠AFE，
∴∠EAF＝∠AFE，∴AE＝EF，
∴点E在AF的垂直平分线上.
7.B 8.B 9.D 10. 2
11.解析 （1）由勾股定理，得EF＝＝5，
∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴EA＝EB，FA＝FC,
∴BC＝BE＋EF＋FC＝AE＋EF＋AF＝4＋5＋3＝12.
（2）∵EA＝EB，FA＝FC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
由三角形内角和定理，得∠EAB＋∠B＋∠EAF＋∠FAC＋∠C＝180°，
即2（∠B＋∠C）＋90°＝180°，∴∠B＋∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°-∠B-∠C＝135°.
12.B 13.A 14.D
15.解析 （1）∠ABE＝∠ACD .
理由:在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ACD.
（2）证明:连接AF，如图，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
由（1）可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC
∵AB＝AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
∴过点A、F的直线垂直平分线段BC.
16.证明
∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM＝AM，CN＝AN，∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠AMN＝∠ANM＝∠MAN＝60°，
∴△AMN是等边三角形，∴AM＝AN＝MN，
∴BM＝MN＝NC.
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_