4.2提公因式法第2课时同步课件（28张）

2 提公因式法第2课时
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立：
(a-b) =___(b-a); (2) (a-b)2 =___(b-a)2;
(3) (a-b)3 =___(b-a)3;
(4) (a-b)4 =___(b-a)4;
(5) (a+b)5 =___(b+a)5;
(6) (a+b)6 =___(b+a)6.
+
－
－
+
+
+
(7) (a+b) =___(-b-a);
_
(8) (a+b)2 =___(-a-b)2.
+
做一做
由此可知规律：
(1)a-b 与 -a+b（b-a) 互为相反数（每项都互为相反数）.
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）
(2)a+b 与 -a-b 互为相反数.
(-a-b) n = (a+b)n (n是偶数）
(-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数）
2.判断下列各式是否正确?
(1) (y-x)2 = -(x-y)2
(2) (3+2x)3 = -(2x+3)3
(3) a-2b = -(-2b+a)
(4) -a+b = -(a+b)
(5) (a-b)(x-2y) = (b-a)(2y-x)
否
否
否
否
对
【例3】把(1) a（x－3）＋2b（x－3）
(2) y(x+1)+y2 (x+1)2分解因式.
解析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3），因此可以把（x－3）作为公因式提出来.
解：(1)a（x－3）＋2b（x－3）
＝（x－3）（a＋2b）
(2) y(x+1)+y2 (x+1)2
=y(x+1) [1+y(x+1)]
=y(x+1) (xy+y+1)
把(x+1)看作一个字母
【例4】把下列各式分解因式：
（1）a（x－y）＋b（y－x）；（2）6（m－n）3－12（n－m）2.
解析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x＝－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此.
解：
（1）a（x－y）＋b（y－x）
＝a（x－y）－b（x－y）
＝（x－y）（a－b）

（2）6（m－n）3－12（n－m）2
＝6（m－n）3－12［－（m－n）］2
＝6（m－n）3－12（m－n）2
＝6（m－n）2（m－n－2）
【例5】把下列各式分解因式：
（1）6（p＋q）2－12（q＋p）；
（2）2（y－x）2＋3（x－y）；
（3）mn（m－n）－m（n－m）2；
（4）（b－a）2＋a（a－b）＋b（b－a）.
（1）6（p＋q）2－12（q＋p）
＝6（p＋q）2－12（p＋q）
＝6（p＋q）（p＋q－2）
（2）2（y－x）2＋3（x－y）
＝2［－（x－y）］2＋3（x－y）
＝2（x－y）2＋3（x－y）
＝（x－y）（2x－2y＋3）
解：
（3）mn（m－n）－m（n－m）2
＝mn（m－n）－m（m－n）2
＝m（m－n）［n－（m－n）］
＝m（m－n）（2n－m）
（4）（b－a）2＋a（a－b）＋b（b－a）
＝（b－a）2－a（b－a）＋b（b－a）
＝（b－a）［（b－a）－a＋b］
＝（b－a）（b－a－a＋b）
＝（b－a）（2b－2a）
＝2（b－a）（b－a）＝2（b－a）2
方法小结
两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:
(1)当相同字母前的符号相同时, 则两个多项式相等.
如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a
(2)当相同字母前的符号均相反时,
则两个多项式互为相反数.
如: a-b 和 b-a 即 a-b = -（a-b）
【例6】利用因式分解进行计算：
解：（1）121×0.13＋12.1×0.9－12×1.21
＝12.1×1.3＋12.1×0.9－1.2×12.1
＝12.1×（1.3＋0.9－1.2）
＝12.1×1＝12.1
（2）2.34×13.2＋0.66×13.2－26.4
＝13.2×（2.34＋0.66－2）
＝13.2×1＝13.2
（3）当R1＝20，R2＝16，R3＝12，π＝3.14时，πR12＋πR22＋πR32
＝π（R12＋R22＋R32）
＝3.14×（202＋162＋122）
＝2512
C
D
练习
B
C
A
(x－y)(a－2b)
(a－b)(3m－2n)
D
(a-2b)(x-y)
(3m-2n)(a-b)
9. 已知（19x-31）（13x-17）-（17-13x）（11x-23）可因式分解成（ax+b）（30x+c），其中a，b，c均为整数，求a+b+c的值.
解：（19x-31）（13x-17）-（17-13x）（11x-23）
=（19x-31）（13x-17）+（13x-17）（11x-23）
=（13x-17）（30x-54）.
依题意，得a=13，b=-17，c=-54.
∴a+b+c=-58.
∴2a2－4a＋5＝2(a2－2a)＋5＝2×4＋5＝13.
∴a2－2a＝4，
解：∵a2－2a－4＝0，
10．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝
(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.
(1)上述分解因式的方法是__________，共应用了____次；
(2)若分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2020，
则需应用上述方法_______次，结果是__________；
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋
1)n.(n为正整数)
解：(3)(1＋x)n＋1
提公因式法
两
2020
(1＋x)2021
11. 已知2x+y=a，x-3y=b，用含a，b的式子表示7x（x-3y）2-2（3y-x）3的值.
解：7x（x-3y）2-2（3y-x）3
=7x（x-3y）2+2（x-3y）3
=（x-3y）2（7x+2x-6y）
=3（x-3y）2（3x-2y）.
∵2x+y=a，x-3y=b，
∴两式相加，得3x-2y=a+b.
则原式=3b2（a+b）.
(2) 5x(a-b)2+10y(b-a)2
)
3
(
2
3
)
(
6
)
(
12
m
n
n
m
-
-
-
)
1
(
(
(
)
x
y
b
-
-
)
y
x
a
-
分解因式：
(4)a(a+b)(a-b)-a(a+b)2
=a(x-y)+b(x-y)
=(x-y)(a+b)　　　　　　　　　　　
=5x(a+b)2+10y(a-b) 2 　　　　　　　　　　　
=12(m-n)3- 6(m-n)2　　　　　　　　　　　
=a(a+b)[(a-b)-(a+b)]　　　　　　　　
=6(m-n)2[2(m-n)-1]　　　　　　　　　　　
=6(m-n)2(2m-2n-1)　　　　　　　　　　　
=-2ab(a+b)　　　　　　　　
=5(a+b) 2(x+2y) 　　　　　　　　　　　
备用习题
分解因式：
(5)mn(m+n)-m(n+m)2
(6) 2(a-3)2-a+3
(7)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)
练习二
)
8
(
3
2
)
(
6
)
(
2
a
b
b
a
-
-
-
=mn(m+n)-m(m+n)2 　　　　　　　　
=2(a-3)2-(a-3) 　　　　　　　　
=a(x-a)-b(x-a)-c(x-a)　　　　　　　　
=2(a-b)2(1+3a-3b)　　　　　　　　
=-m(m+n)[n-(m+n)]
=2(a-3)[2(a-3)-1]
=(a-3)(2a-7) 　　　　　　　　
=(x-a)(a-b-c)　　　　　　　　
=2(a-b)2+6(a-b)3　　　　　　　　　　　
=2(a-b)2[1-3(a-b)]　　　　　　　　　　　
=-m2(m+n)
课堂小结
多项式各项都含有的相同的因式叫做多项式的公因式。
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
1.系数：公因式的系数是多项式各项系数的
2.字母：字母取多项式各项中都含有的
3.指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，
　　　　即：
4.多项式各项的公因式可以是　　　，也可以是　　　
最大公约数
相同的字母
字母最低次幂
单项式
多项式
如何确定公因式　　
用提公因式法分解因式时，
可先找出公因式，然后用多项式的每一项去除以公因式
课后作业1
2. 先化简，再求值：
（1）2（a2b-ab2）-3（a2b-1）+2ab2+1，其中a=1，b=2;
（2）2a（a+b）-（a+b）2，其中a=3，b=5.
解：（1）2（a2b-ab2）-3（a2b-1）+2ab2+1
=2a2b-2ab2-3a2b+3+2ab2+1
=-a2b+4.
当a=1，b=2时，原式=-12×2+4=2.
2. 先化简，再求值：
（1）2（a2b-ab2）-3（a2b-1）+2ab2+1，其中a=1，b=2;
（2）2a（a+b）-（a+b）2，其中a=3，b=5.
（2）2a（a+b）-（a+b）2
=（a+b）（2a-a-b）
=（a+b）（a-b）
=a2-b2.
当a=3，b=5时，原式=32-52=-16.
3、分解因式：
①4xmynb－6xm＋1yn＋2＋2xm＋2yn＋1
②a(x＋y－z) －b(z－x－y) －c(x－z＋y)
③(5x－2y)2 ＋(2x＋5y)2
解：原式＝2xmyn
(2b－3xy2＋x2y)
解：原式＝(x＋y－z)
(a＋b－c)
解：原式＝25x2－20xy＋4y2＋4x2＋20xy＋25y2
＝29x2＋29y2
＝29(x2＋y2)
4.已知1＋x＋x2＋x3=0.
求x＋x2＋x3＋x4＋……＋x2000的值.
解：原式＝x(1＋x＋x2＋x3) ＋x5(1＋x＋x2＋x3) ＋……＋ x1997(1＋x＋x2＋x3)
＝ 0
5.试说明:817－279－913能被45整除.
解：∵原式＝(34)7－ (33)9－ (32)13
=328－327－326
=326(32－3－1)
=326×5
=325×45
∴817－279－913能被45整除.
6.不解方程组 求多项式
7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值
2x+y=6
x-3y=1