8.6.2　直线与平面垂直-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册练习Word含解析

8.6.2　直线与平面垂直
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　　)
A．相交
B．平行
C．异面
D．相交或平行
2．已知直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则b与α所成的角等于(　　)
A．40°
B．50°
C．90°
D．150°
3．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是(　　)
A．l和平面α相互平行
B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内
D．不能确定
4.如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　)
A．异面
B．平行
C．垂直
D．不确定
5．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的(　　)
A．内心
B．重心
C．外心
D．垂心
二、填空题
6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.
7．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此图形中有________个直角三角形．
8．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________．
三、解答题
9．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
求证：AE⊥BE.
10．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，E，F分别是PA和AB的中点，求PA与平面PBC所成角的正弦值．
11．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(　　)
A．垂直且相交
B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交
D．不垂直也不相交
12.
(多选题)如图，ABCD?A1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是(　　)
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
13．(一题两空)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________，直线PC与平面ABC所成的角为________．
14.如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC?A1B1C1中，D是BC的中点．
(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；
(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．
15.已知四棱锥P?ABCD，PA⊥PB，PA＝PB＝，AD⊥平面PAB，BC∥AD，BC＝3AD，直线CD与平面PAB所成角的大小为，M是线段AB的中点．
(1)求证：CD⊥平面PDM；
(2)求点M到平面PCD的距离．
参考答案
1.B　[由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．]
2.B　[根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.]
3.D　[如图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D．
]
4.C　[∵BA⊥α，α∩β＝l，l?α，∴BA⊥l.
同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC．
∵AC?平面ABC，∴l⊥AC．]
5.C　[如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC．
∵三棱锥的三条侧棱两两相等，
∴PA＝PB＝PC．
∵PO⊥底面ABC，
∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，
∴OA＝OB＝OC，
故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．]
6.6　[因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以AFED是平行四边形，
所以EF＝AD＝6.]
7.4　[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC．
综上知：
△ABC，△PAC，△PAB，△PBC都是直角三角形，共有4个．]
8.2　[因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在△ABC中，AC＝AB＝PA，所以tan∠PCA＝＝2.]
9.
[证明]　∵AD⊥平面ABE，
AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.
又AE?平面ABE，∴AE⊥BC．
∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴AE⊥BF.
又∵BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC＝B，
∴AE⊥平面BCE.又BE?平面BCE，∴AE⊥BE.
10.[解]　过A作AH⊥BC于H，连接PH，
∵PC⊥平面ABCD，AH?平面ABCD，
∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，∴AH⊥平面PBC．
∴∠APH为PA与平面PBC所成的角，
在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，又AH⊥BC，
∴H为BC中点，
AH＝，
∵PC＝AC＝2，∴PA＝2，
∴sin∠APH＝＝.
故PA与平面PBC所成角的正弦值为.
11.C　[取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选C．]
12.ABC　[由于BD∥B1D1，BD?平面CB1D1，B1D1?平面CB1D1，则BD∥平面CB1D1，所以A正确；
因为BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，
所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD．所以B正确；
可以证明AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，
所以AC1⊥平面CB1D1，所以C正确；
由于AD∥BC，则∠BCB1＝45°是异面直线AD与CB1所成的角，所以D错误．]
13.　　[作PD，PE分别垂直于AC，BC，PO⊥平面ABC．连接CO，OD，知CD⊥PD，CD⊥PO，PD∩PO＝P，
∴CD⊥平面PDO，OD?平面PDO，∴CD⊥OD．
∵PD＝PE＝，PC＝2，
∴sin∠PCE＝sin∠PCD＝，
∴∠PCB＝∠PCA＝60°.
∴PO⊥CO，CO为∠ACB平分线，
∴∠OCD＝45°，∴OD＝CD＝1，OC＝.
又PC＝2，∴PO＝＝.
∴sin∠PCO＝，∴∠PCO＝.]
14.[解]　(1)证明：直三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
∴BB1⊥AD．
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC．又BC∩BB1＝B，
∴AD⊥平面BCC1B1.
(2)连接C1D．由(1)AD⊥平面BCC1B1，
则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角．
在Rt△AC1D中，AD＝，
AC1＝，sin∠AC1D＝＝，
即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.
15.[解]　(1)证明：∵AD⊥平面PAB，PM?平面PAB，
∴AD⊥PM.
∵PA＝PB＝，M是线段AB的中点，∴PM⊥AB，
又AD∩AB＝A，AD?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PM⊥平面ABCD，
又CD?平面ABCD，∴PM⊥CD．
取CB上点E，使得CE＝CB，连接AE，
∴AD∥CE且AD＝CE，
∴四边形AECD为平行四边形，∴CD∥AE，
∴直线CD与平面PAB所成角的大小等于直线AE与平面PAB所成角的大小，
又AD⊥平面PAB，BC∥AD，
∴BC⊥平面PAB，∴∠EAB为直线AE与平面PAB所成的角，∴∠EAB＝，∴BE＝AB．
∵PA＝PB＝，PA⊥PB，∴AB＝2＝BE，∴AD＝1，BC＝3，CD＝2，∴DM＝，CM＝，
∴DM2＋DC2＝CM2，∴CD⊥DM.
∵DM∩PM＝M，DM，PM?平面PDM，
∴CD⊥平面PDM.
(2)由(1)可知CD⊥平面PDM，
∴△CDM和△CDP均为直角三角形，
又PD＝，设点M到平面PCD的距离为d，
则VP?CDM＝VM?PCD，即CD·DM·PM＝CD·DP·d，化简得DM·PM＝DP·d，解得d＝，
∴点M到平面PCD的距离为.