9.4矩形、菱形、正方形同步练习（Word版 含答案）

9.4矩形、菱形、正方形同步练习
一、选择题
1．下列说法正确的是　　）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．有一组邻边相等的菱形是正方形 D．各边都相等的四边形是正方形
2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（　　）
①当AB＝BC时，它是矩形②AC⊥BD时，它是菱形
③当∠ABC＝90°时，它是菱形④当AC＝BD时，它是正方形
A．①② B．② C．②④ D．③④
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，则四边形BFDE的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，EB平分∠AEC，∠DCE＝45°，则AE长（　　）
A． B．2﹣2 C．2﹣ D．2
5．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（　　）
A．对角线相等 B．对角线垂直 C．邻边垂直 D．邻角互补
6．如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的周长为（　　）
A．20 B．22 C．24 D．26
7．如图，长方形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（　　）
A．2或8 B．或18 C．或2 D．2或18
8．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠AOD＝120°．过点A作AE⊥BD于点E，则BE：ED等于（　　）
A．1：3 B．1：4 C．2：3 D．2：5
9．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（　　）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　）
A．4 B．2 C． D．2
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥CA，交BD的延长线于点E，若AB＝2，BC＝4，则DE的长为　 　．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，以AB为边作正方形ABDE，连接CE，则∠AEC＝　 　．
13．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，H分别为AB，BC的中点，G，F分别为线段HD，CE的中点．若线段FG的长为2?，则AB的长为　 　．
14．在长方形ABCD中，AB＝，BC＝4，CE＝CF，延长AB至点E，连接CE，CF平分∠ECD，则BE＝　 　．
15．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE＝　 　．
16．为了迎接2021年春节，李师傅计划改造一个长为6m，宽为4m的矩形花池ABCD，如图，他将画线工具固定在一根4m木棍EF的中点P处．画线时，使点E，F都在花池边的轨道上按逆时针方向滑动一周．若将点P所画出的封闭图形围成的区域全部种植年花，则种植年花的区域的面积是　 　m2．
17．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝5，BE＝12，则阴影部分的面积是　 　．
18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E，F分别在CD，BC上移动，CF＝DE，AE和DF交于点P，则线段CP的最小值是　 　．
19．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若CD＝2，则AB＝　 　．
20．如图，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，则∠ACD的度数是　 　．
三、解答题
21．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别过A、D两点作AO、DO的垂线，两垂线交于点E．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若四边形AODE的面积为12，AD＝5，求四边形AODE的周长．
22．在矩形纸片ABCD中，AB＝2，BC＝6，点M是边BC上的一点．
（1）如图1，在边CD上取一点N，将纸片沿直线MN折叠，使点C落在边AD上，记为点P．若DP＝1，求CN的长；
（2）如图2，在边AD上取一点N，将纸片沿直线MN折叠，当点C′与点A重合时，求DN的长．
23．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．
24．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．
（1）求证：CE＝DE．
（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．
25．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．
26．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．
（1）求证：
①OC＝BC；
②四边形ABCD是矩形；
（2）若BC＝3，求DE的长．
27．如图，正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB，边作PE⊥PB交AD边于于点E，且点E不与点A，D重合，作PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N．
（1）求证：PM＝PN；
（2）求证：EM＝BN．
28．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
参考答案
1．解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，此选项错误，不符合题意；
B、对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确，符合题意；
C、有一组邻边相等的菱形还是菱形，此选项错误，不符合题意；
D、四条边都相等的四边形是菱形，此选项错误，不符合题意．
故选：B．
2．解：①若AB＝BC，则?ABCD是菱形，选项说法错误；
②若AC⊥BD，则?ABCD是菱形，选项说法正确；
③若∠ABC＝90°，则?ABCD是矩形，选项说法错误；
④若AC＝BD，则?ABCD是矩形，选项说法错误；
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEO＝∠BFO，∠EDO＝∠FBO，
∵对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，
∴BO＝DO，EF⊥BD，
∴△DEO≌△BFO（AAS），
∴EO＝FO，
∵BO＝DO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF是菱形，
∴BE＝DE，
∵AB＝5，AD＝12，∠A＝90°，
∴BD＝13，
设DE＝x，则AE＝12﹣x，
在Rt△AEB中，AB2+AE2＝BE2，
即52+（12﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴BE＝DE＝，
在Rt△BEO中，OE＝，
∴EF＝2EO＝，
∴菱形BEDF的面积＝，
故选：A．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，∠A＝∠D＝∠DCB＝90°，
∵∠DCE＝45°，
∴DE＝DC＝2，
∴EC＝2，
∵∠DCE＝45°，
∴∠DEC＝45°，
∵EB平分∠AEC，
∴∠AEC＝∠AEC＝，
∴∠BEC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AEB＝∠BEC，
∴BC＝CE＝2，
∴AD＝BC＝2，
∴AE＝AD﹣DE＝2﹣2，
故选：B．
5．解：∵菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，
∴菱形具有而矩形不一定具有的是对角线垂直，
故选：B．
6．解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，
∵ED＝5，EC＝3，
∴DC＝＝＝4，
则AB＝4，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝4，
∴长方形的周长为：2×（4+4+3）＝22．
故选：B．
7．解：分两种情况讨论：
①当E点在线段DC上时，
∵△AD'E≌△ADE，
∴∠AD'E＝∠D＝90°，
∵∠AD'B＝90°，
∴∠AD'B+∠AD'E＝180°，
∴B、D'、E三点共线，
∵，AD'＝AD，
∴BE＝AB＝10，
∵，
∴DE＝D'E＝10﹣8＝2；
②当E点在线段DC的延长线上时，如下图，
∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，
∴∠CBE＝∠BAD″，
在△ABD″和△BEC中，
∵，
∴△ABD″≌△BEC（ASA），
∴BE＝AB＝10，
∵，
∴DE＝D″E＝BD''+BE＝8+10＝18．
综上所知，DE＝2或18．
故选：D．
8．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OD，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∵AE⊥BD，
∴BE＝OE＝OB，
∴ED＝3BE，
∴＝，
故选：A．
9．解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP＝EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，
∴CM＝＝＝2.4，
∴CP＝EF＝CM＝1.2，
故选：A．
10．解：在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝AE，
∴PE+PF＝AE+OE＝OA，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OA＝AC＝＝．
故选：C．
11．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵AB＝2，BC＝4，
∴AC＝＝＝2，
∴OD＝OC＝，
∵S△ADC＝×AD×DC＝×AC×DH，
∴2×4＝2×DH，
∴DH＝，
∴OH＝＝＝，
∴HC＝﹣＝，
∵CE⊥CA，DH⊥CA，
∴CE∥DH，
∴DE＝．
12．解：如图1，当正方形ABDE在AB的右侧时，
∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴AC＝AE，∠CAE＝50°，
∴∠AEC＝65°；
如图2，当正方形ABDE在AB的左侧时，
∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴AC＝AE，∠CAE＝130°，
∴∠AEC＝25°，
综上所述：∠AEC＝25°或65°，
故答案为：25°或65°．
13．解：如图，连接CG并延长，交AD于点M，连接EM，
∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，
∴AD∥BC，
∴∠A＝120°，∠MGD＝∠CGH，
∵点G为HD的中点，
∴HG＝DG，
∵∠MGD＝∠CGH，
∴△MGD≌△CGH（ASA），
∴MG＝CG，MD＝CH＝BC＝AD，
∴点G为MC的中点，点M为AD的中点，
∵F，G分别为CE和CM的中点，
∴FG是△CEM的中位线，
∴FG＝EM，
∴EM＝2FG＝4，
∵E，M分别为AB和AD的中点，
∴AE＝AM，
∵∠A＝120°，
∴EM＝AE＝4，
∴AE＝4，
∴AB＝2AE＝8．
故答案为：8．
14．解：如图，延长CF，BA交于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于H，过点E作EM⊥CF于M，
∵四边形ABCD是矩形，且AB＝，BC＝4，
∴AB∥CD，AB＝CD＝，∠D＝∠ABC＝∠CBE＝90°，
∴∠DCF＝∠G，
∵CF平分∠ECD，
∴∠DCF＝∠FCE，FH＝DF，
∴∠G＝∠ECF，
∴EC＝EG，
∴∠ECG是等腰三角形，
∴CM＝MG，
∵CE＝CF，
∴△ECF是等腰三角形，
∵EM⊥CF，FH⊥CE，
∴EM和FH是等腰三角形腰上的高，
∴EM＝FH＝DF，
∴Rt△CDF≌Rt△CME（HL），
∴CM＝CD＝，
∴CG＝5，
Rt△CBG中，BG＝＝＝3，
设BE＝x，则EC＝EG＝3+x，
Rt△CBE中，（3+x）2＝x2+42，
解得：x＝，
∴BE＝．
故答案为：．
15．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，AD∥BC，
∵AC＝EC，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，
∴∠E＝∠ACB＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E＝22.5°．
故答案为：22.5°．
16．解：连接BP，如图，由题意可知BP为Rt△BEF的斜边中线，
∵EF＝4m，
∴BP＝2m，
∵AB＝DC＝4m，BC＝AD＝6m，
∴点P的运动轨迹为四个圆心分别在点A，B，C，D，半径为2m的四分之一圆，以及BC和AD上的一段线段．
长为6m，宽为4m的矩形花池ABCD的面积为6×4＝24（m2）．
∴种植年花的区域的面积是：24﹣π×22＝（24﹣4π）（m2）．
故答案为：（24﹣4π）．
17．解：在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝5，BE＝12，
由勾股定理得：AB＝＝13，
∴正方形的面积是13×13＝169，
∵△AEB的面积是AE×BE＝×5×12＝30，
∴阴影部分的面积是169﹣30＝139，
故答案为：139．
18．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°．
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS）．
∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF＝90°，
∴∠DAE+∠ADF＝90°．
∴AE⊥DF，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
如图，
设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△QDC中，QC＝＝＝2，
∴CP＝QC﹣QP＝2﹣2，
故答案为2﹣2．
19．解：在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，CD＝2，
∴AB＝2CD＝2×2＝4，
故答案为：4．
20．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DCB＝90°，
∴∠F＝∠ECB＝20°，
∴∠GAF＝∠F＝20°，
∴∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，
∴∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30°．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵EA⊥AO，DE⊥DO，
∴∠EAO＝∠DOA＝90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）解：由（1）知，四边形AODE是矩形，
∴∠AED＝90°，OA＝DE，OD＝AE，
∵四边形AODE的面积为12，
∴OA?OD＝12，
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得OA2+OD2＝AD2＝25，
∴（OA+OD）2＝OA2+2OA?OD+OD2＝25+24＝49，
∴OA+OD＝7，
∴四边形AODE的周长为2（OA+OD）＝14．
22．解：（1）矩形ABCD中，AB＝DC＝2，AD＝BC＝6，∠BAC＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，
设CN＝x，则DN＝CD﹣CN＝2﹣x，
由折叠可得，PN＝CN＝x，
在Rt△PDN中，DP2+DN2＝PN2，
即12+（2﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴CN＝；
（2）当点C'与点A重合时，
设DN＝y，则AN＝AD﹣DN＝6﹣y，
由折叠可得，D'N＝DN＝y，AD'＝CD＝2，∠AD'N＝∠CDA＝90°，
在Rt△AD'N中，AD'2+D'N2＝AN2，
即22+y2＝（6﹣y）2，
解得：y＝，
∴DN＝．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M为AD中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DCM，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS）；
（2）解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
理由：当四边形MENF是正方形时，则∠EMF＝90°，
∵△ABM≌△DCM，
∴∠AMB＝∠DMC＝45°，
∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形，
∴AM＝DM＝AB，
∴AD＝2AB，
即当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
∵AE＝DE，
∴CE＝DE；
（2）解：如图，连接AC交BD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，
∵CE＝DE＝AE＝1，
∴BD＝BE+DE＝2+1＝3，
∴BH＝BD＝，EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝＝＝，
在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
∴菱形的边长为．
25．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，
，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，
∴x2+32＝（9﹣x）2，
解得：x＝4，
∴AQ的长是4．
设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．
在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．
26．（1）证明：①∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE＝∠BCE，
∵BO⊥CE，
∴∠CFO＝∠CFB＝90°，
在△OCF与△BCF中，
，
∴△OCF≌△BCF（ASA），
∴OC＝BC；
②∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，
在△OAD与△OCB中，
，
∴△OAD≌△OCB（ASA），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OE⊥AC，
∴∠EOC＝90°，
在△OCE与△BCE中，
，
∴△OCE≌△BCE（SAS），
∴∠EBC＝∠EOC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，
∴OB＝OC，
∵OC＝BC，
∴OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°，
∴∠ECB＝OCB＝30°，
∵∠EBC＝90°，
∴EB＝EC，
∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，
∴EB＝，EC＝2，
∵OE⊥AC，OA＝OC，
∴EC＝EA＝2，
在Rt△ADE中，∠DAB＝90°，
∴DE＝＝＝．
27．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AC平分∠BAD，
又∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM＝PN．
（2）∵PM⊥AD，PN⊥AB，∠MAN＝90°，PM＝PN，
∴四边形PMAN为正方形，
∴∠MPN＝90°，即∠MPE+∠EPN＝90°．
∵PE⊥PB，
∴∠EPN+∠NPB＝90°，
∴∠MPE＝∠NPB．
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴∠PME＝∠PNB＝90°．
在△PME和△PNB中，，
∴△PME≌△PNB（ASA），
∴EM＝BN．
28．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形，
（2）CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，
∴CE+CG＝8是定值．