等比数列习题课
(45分钟 80分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.在等比数列{an}中,如果a1+a4=18,a2+a3=12,那么这个数列的公比为
( )
A.2
B.
C.2或
D.-2或
【解题指南】设公比为q,将a1+a4=18,a2+a3=12用首项和公比q表示,联立即可解出q.
【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q,
因为a1+a4=18,a2+a3=12,
所以a1=18,a1=12,
两式相除化简得(2q2-5q+2)(1+q)=0,则2q2-5q+2=0或q=-1,因为a1(1+q3)=18,得q≠-1,
所以解得q=2或.
2.(2019·石家庄高一检测)设数列的前n项和为Sn,且a1=2,an+an+1=2n(n∈N
),则S13=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由题S13=a1++…+=2+22+24+…+212
=2+=
.
3.在等比数列{an}中,已知其前n项和Sn=2n+1+a,则a的值为
( )
A.-1
B.1
C.-2
D.2
【解析】选C.当n=1时,a1=S1=22+a=4+a,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1+a)-(2n+a)=2n,因为{an}为等比数列,所以a1也应该符合an=2n,从而可得4+a=2?a=-2.
4.已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an(n∈N
),则数列{an}的前2
018项的和S2
018等于
( )
A.2(31
008-1)
B.2(31
009-1)
C.2(32
018-1)
D.2(32
017-1)
【解析】选B.由an+2=3an(n∈N
),即=3,当n为奇数时,可得a1,a3……a2n-1成等比数列,首项为1,公比为3.
当n为偶数时,可得a2,a4……a2n成等比,首项为3,公比为3.那么:S奇=,S偶=,
前2
018项中,奇数项和偶数项分别有1
009项.
故得S2
018=S奇+S偶==2×31
009-2=2(31
009-1).
5.已知等比数列{an}的首项为8,Sn是其前n项的和,某同学经计算得S1=8,S2=20,
S3=36,S4=65,后来该同学发现其中一个数算错了,则该数为
( )
A.S1
B.S2
C.S3
D.S4
【解析】选C.由已知S1正确.若S4错误,则S2,S3正确,于是a1=8,a2=S2-S1=12,
a3=S3-S2=16,与{an}为等比数列矛盾,故S4=65.若S3错误,则S2正确,此时,
a1=8,a2=12,得q=,a3=18,a4=27,S4=65,满足题设.
6.等差数列的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则前6项的和为
( )
A.8
B.-3
C.3
D.-24
【解题指南】利用等差数列的通项公式,等比数列的性质列出方程,求出公差,由此能求出数列的前6项和.
【解析】选D.因为等差数列{an}的首项为1,公差不为0,且a2,a3,a6成等比数列,
所以=a2·a6,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),
所以(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,
所以数列{an}的前6项和为S6=6a1+d=6×1+×(-2)=-24.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2019·吉林实验中学高一检测)已知数列的前n项和为Sn,a1=1,2Sn=an+1-1,则Sn=__________.?
【解析】当n=1时,则有2S1=a2-1,所以a2=2S1+1=2a1+1=3;
当n≥2时,由2Sn=an+1-1得出2Sn-1=an-1,
上述两式相减得2an=an+1-an,所以an+1=3an,得=3且=3,
所以,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列,则an=1×3n-1=3n-1,an+1=3n,
那么2Sn=an+1-1=3n-1,因此,Sn=,故答案为:.
答案:
8.++++…+-2=________.?
【解析】设Sn=+++…+,
则Sn=++…++,
两式相减得Sn=++…+-
=-=1--,
所以Sn=2--,
所以原式=--=-.
答案:-
三、解答题(每小题10分,共40分)
9.已知数列是公差不为0的等差数列,a4=3,a2,a3,a5成等比数列.
(1)求an;
(2)设bn=3n-1+,数列的前n项和为Tn,求Tn.
【解析】
(1)设数列的首项为a1,公差为d,则an=a1+d.
因为a2,a3,a5成等比数列,所以=,
化简得a1d=0,又因为d≠0,所以a1=0,又因为a4=a1+3d=3,
所以d=1.所以an=n-1.
(2)根据(1)可知an=n-1,bn=3n-1+2n-1,
Tn=+=n2+n-1+2n.
10.已知等差数列{an}的公差d≠0,它的前n项和为Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设数列的前n项和为Tn,求证:Tn<.
【解析】(1)由已知
解得或(舍去),
所以an=4n+2.
(2)由(1)及已知知,
==,
所以Tn=+++…+
=+++…+
=
=-,
所以Tn<.
11.已知数列{an}的前n项和Sn=k(3n-1),且a3=27.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)若bn=log3an,求数列{}的前n项和Tn.
【解析】(1)因为Sn=k(3n-1),a3=27.
当n=3时,a3=S3-S2=k(33-32),
解得k=,
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=3n,
又因为a1=S1=3也满足上式,
所以an=3n.
(2)由(1)及已知知,bn=log33n=n,
所以=-,
所以Tn=1-+-+…+-=1-=.
12.已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通项公式.
(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,{bn}的公比为q,
由 得
所以{bn}的通项公式bn=b1qn-1=3n-1,
又a1=b1=1,a14=b4=34-1=27,
所以1+(14-1)d=27,解得d=2.
所以{an}的通项公式an=a1+(n-1)d
=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)设数列{cn}的前n项和为Sn.
因为cn=an+bn=2n-1+3n-1,
所以Sn=c1+c2+c3+…+cn
=2×1-1+30+2×2-1+31+2×3-1+32+…+2n-1+3n-1
=2(1+2+…+n)-n+
=2×-n+=n2+.
即数列{cn}的前n项和为n2+.
(45分钟 85分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.数列{an}为正项递增等比数列,满足a2+a4=10,=16,则loa1+loa2+…+loa10等于
( )
A.-45
B.45
C.-90
D.90
【解析】选D.因为{an}为正项递增等比数列,
所以an>an-1>0,公比q>1,
因为a2+a4=10
,=16=a3·a3=a2·a4,
所以a2=2,a4=8.又因为a4=a2·q2,
所以q=2或q=-2(舍),
所以a5=16,a6=32,
loa1+loa2+…+loa10
=lo(a1·a2…·a10)=5lo(a5·a6)
=5lo(16×32)=5×9lo2
=45×2lo=90.
2.数列1,2,3,4,…,n+的前n项和为
( )
A.(n2+n+2)-
B.n(n+1)+1-
C.(n2-n+2)-
D.n(n+1)+2
【解析】选A.1+2+3+…+=(1+2+…+n)+
=+=(n2+n)+1-=(n2+n+2)-.
3.设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选B.已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,两式作差可得3a3=a4-a3,所以4a3=a4,
所以q==4.
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=
( )
A.2
B.
C.
D.3
【解析】选B.设数列的公比为q(q≠0),
由题意知q≠1,根据等比数列前n项和的性质,得==1+q3=3,即q3=2.于是===.
5.已知等比数列{an}满足a3=4,且=9,则a1++a3++a5++…+a19+=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为=9,所以=9?1+q3=9?q=2,
因为a3=4,所以a1q2=4,a1=1,
因此a1++a3++a5++…+a19+
=a1+a3+a5+…+a19++++…+
=+×=.
【补偿训练】
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=
( )
A.2n-1
B.
C.
D.
【解析】选B.由Sn=2an+1,可得S1=a1=2a2,
所以a2=,
当n≥2时,有Sn-1=2an,
两式作差可得=,
故数列{an}是从第2项起构成首项a2=,
公比q=的等比数列.
所以Sn=a1+=1+=.
二、填空题(每小题5分,共20分)
6.(2019·临沂高一检测)若数列满足:2a1+22a2+23a3+…+2nan=2n,则数列的前n项和Sn为__________.?
【解析】由2a1+22a2+23a3+…+2nan=2n得:2a1+22a2+23a3+…+2n-1an-1=2,且,
两式作差可得:2nan=2,即an=且
由已知等式可得,2a1=2,解得:a1=1,适合上式,
所以an=,
又==,
所以数列是以1为首项,以为公比的等比数列,
则Sn==2-.
答案:2-
7.设数列{an}满足a1=1,且an+1=2,则数列{2nan}的前n项的和Sn=________.?
【解析】由题意得-4an+1an+4(an)2=0,
所以(an+1-2an)2=0,
故an+1=2an,所以{an}为等比数列,an=2n-1,
则2nan=n·2n,
Sn=1·2+2·22+…+n·2n,2Sn=1·22+2·23+…+(n-1)2n+n·2n+1,
两式作差得-Sn=-n·2n+1,
即Sn=(n-1)2n+1+2.
答案:(n-1)2n+1+2
8.已知cn=(2n-1)2n-1,则数列{cn}的前n项和Sn=________.?
【解析】Sn=1·1+3·2+5·22+…+(2n-1)2n-1,
2Sn=1·2+3·22+5·23+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)2n,
上述两式作差得
-Sn=1+2·2+2·22+2·23+…+2·2n-1-(2n-1)2n=1+2-(2n-1)2n,
所以Sn=3-2n(3-2n).
答案:3-2n(3-2n)
9.设数列{an}满足a1=2,an+1=3an-2n+1,n∈N
,则数列{an}的前n项和为________.?
【解析】因为an+1=3an-2n+1,
所以an+1-(n+1)=3(an-n),
所以=3,所以数列{an-n}是以1为首项,3为公比的等比数列,所以an-n=3n-1,
所以an=3n-1+n,
Sn=(30+1)+(31+2)+…+(3n-1+n)=(30+31+…+3n-1)+(1+2+…+n)=+
=+=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共40分)
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,n∈N
且Sn=an-.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)若{bn}=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)当n=1时,a1=a1-,得a1=1,当n≥2时,Sn-Sn-1=an=(an-an-1),得an=3an-1,
所以数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=3n-1.
(2)由(1)得:bn=,
又Tn=++…+①
所以Tn=++…+②
①-②得:Tn=++
…+-,
故Tn=-,所以Tn=-.
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,向量a=(Sn,2),b=(1,1-2n)满足条件a⊥b.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
【解析】(1)因为a⊥b,
所以a·b=Sn+2-=0,得Sn=-2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,
当n=1时,a1=S1=2满足上式,
所以an=2n.
(2)因为cn==,
所以Tn=++…++,
两边同乘,得
Tn=++…++
两式相减得
Tn=++…+-=1-,
所以Tn=2-(n∈N
).
12.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2an(n∈N
).
(1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式.
(2)若bn=nan+n,数列{bn}的前n项和为Tn,求满足不等式>2018的n的最小值.
【解析】(1)①当n=1时,a1+1=S1+1=2a1,
所以a1=1,
②当n≥2时,Sn+n=2an,n∈N
,
Sn-1+n-1=2an-1,
两式相减得an+1=2an-2an-1,即an=2an-1+1,
所以an+1=2(an-1+1),即=2,
所以{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,
则an+1=2n,
所以an=2n-1,n∈N
.
(2)因为bn=nan+n=n(2n-1)+n=n·2n,
所以Tn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n,
2Tn=1·22+2·23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,
两式相减得-Tn=21+22+23+…+2n-n·2n+1,
所以Tn=(n-1)·2n+1+2,
由>2
018得·2n>1
009,
设cn=·2n,
因为cn+1-cn=·2n>0,
所以数列{cn}为递增数列,
因为c10=·210<1
009,c11=·211>1
009,
所以满足不等式>2
018的n的最小值为11.
13.设数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2n-1an=n.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)求数列{an+log2an}的前n项和.
【解析】(1)由已知知,
当n≥2时,a1+2a2+4a3+…+2n-2an-1=n-1,
所以2n-1an=1,即an=,
当n=1时,a1=1满足上式an=,
所以{an}的通项公式为an=.
(2)由(1)知,an+log2an=+1-n,
所以(a1+log2a1)+(a2+log2a2)+(a3+log2a3)+…+(an+log2an)
=(1-0)+++…+
=-[1+2+3+…+(n-1)]
=2--+.
PAGE等比数列的前n项和
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.已知等比数列{an}满足a3=4,a6=32,则其前6项的和为
( )
A.31
B.63
C.127
D.128
【解析】选B.由题意,等比数列{an}满足a3=4,a6=32,
则q3==8,所以q=2,所以a1==1,
所以S6==63.
2.在等比数列{an}中,公比q=-2,S5=44,则a1=
( )
A.4
B.-4
C.2
D.-2
【解析】选A.由S5===44,
所以a1=4.
3.(2019·深圳高一检测)在等比数列中,若a1-a5=-,前四项的和S4=-5,则a4=
( )
A.1
B.-1
C.
D.-
【解析】选A.根据题意,设等比数列的公比为q,
若a1-a5=-,即a1=-,
若其前四项的和S4=-5,则有S4==-5,解可得q=-,
又由a1=-,则a1=-8,
则a4=a1×q3=(-8)×=1.
4.已知数列{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=4,S3=,则S5=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由等比数列性质可得:a2a4==4,
又{an}是由正数组成的等比数列,所以a3=a1q2=2且q>0,S3==a1(1+q+q2)=.
所以a1=,q=2,
所以S5==.
5.(2019·铜仁高一检测)已知{an}是正项等比数列,a1+a2=3,a3+a4=12,则该数列的前5项和等于
( )
A.15
B.31
C.63
D.127
【解析】选B.设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),
因为a1+a2=3,a3+a4=12,即,
解得a1=1,q=2,
所以数列{an}的前5项和为S5==31.
6.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且<1,若a3+a5=20,a3a5=64,则S4等于
( )
A.63或120
B.256
C.120
D.63
【解析】选C.由已知
解得或又因为<1,
所以{an}为递减数列,则
设等比数列{an}的公比为q,则q2==,
因为数列为正项数列,故q=,从而a1=64,
所以S4==120.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和,已知a2a4=1,S3=7,则S5=________.?
【解析】因为{an}是由正数组成的等比数列,且a2a4=1,所以设{an}的公比为q,则q>0,且a2a4==1,
即a3=1.
因为S3=7,所以a1+a2+a3=++1=7,
即6q2-q-1=0.
故q=或q=-(舍去),所以a1==4.
所以S5==8×=.
答案:
8.等比数列{an}的前5项和S5=10,前10项和S10=50,则它的前15项和S15=________.?
【解析】由S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,
得(S10-S5)2=S5(S15-S10),
即402=10(S15-50),
得S15=210.
答案:210
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N
),若bn=an+1-2an,求证:{bn}是等比数列.
【证明】因为an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2
=4an+1-4an,
所以==
==2,
因为S2=a1+a2=4a1+2,
所以a2=5,b1=a2-2a1=3,
所以数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.
10.已知数列{an}的首项a1=,an+1=,n∈N
.
(1)求证:数列为等比数列.
(2)记Sn=++…+,若Sn<100,求最大正整数n.
【解析】(1)因为=+,
所以-1=-=.
又因为-1≠0,所以-1≠0(n∈N
).
所以数列为等比数列.
(2)由(1)得-1=·,
所以=2·+1,
Sn=++…+=n+2=n+2·=n+1-,
若Sn<100,则n+1-<100,
因为函数y=
n+1-单调递增,
所以最大正整数n的值为99.
(45分钟 75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且9S3=S6,a2=1,则a1=
( )
A.
B.
C.
D.2
【解析】选A.设等比数列{an}的公比为q,q≠1,
因为9S3=S6,a2=1,
所以=,a1q=1.
解得q=2,a1=.
2.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选C.由题意可知,a1+a2+a3=a2+10a1,
a3=9a1,解得q2=9,又因为a5=a1q4=9,则a1×81=9,求得a1=.
3.设等比数列{bn}前n项和为Sn,若=7,则=
( )
A.2
B.
C.
D.
【解析】选B.由等比数列前n项和性质可知:S3,S6-S3,S9-S6成等比数列.
设S3=k,则S6=7k,所以==6,
所以=6,即S9-S6=36k,
所以S9=43k,所以==.
4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”.其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为
( )
A.6里
B.12里
C.24里
D.48里
【解析】选B.记每天走的路程里数为{an},
由已知{an}是公比为的等比数列,
由S6==378,解得a1=192,
所以a5=192×=12(里).
【补偿训练】(2017·全国卷Ⅰ)我国古代数学
名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯
( )
A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏
【解析】选B.塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,
由=381,得x=3.
5.设等比数列{an}的前n项和为Sn,满足an>0,q>1,且a3+a5=20,a2a6=64,则S6=
( )
A.63
B.48
C.42
D.36
【解析】选A.由题意可知,有
化简得2q2-5q+2=0,
解得或(舍)
因此a1=1,
S6===26-1=63.
【一题多解】选A.由a2·a6=a3·a5=64,且a3+a5=20,
所以a3,a5是一元二次方程x2-20x+64=0的两根.
因为q>1,所以a5>a3,
得a3=4,a5=16,q2==4,q=2,a1==1.
所以S6==63.
二、填空题(每小题5分,共20分)
6.等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=-,若=,则a2·a4=________.?
【解析】设等比数列的公比为q,若q=1,则=2,不合题意;故q≠1.
又==1+q3=,
所以q=-,所以a2a4=q4=×=.
答案:
7.在数列中,a1=2,an+1=2an,Sn为的前n项和,若Sn=126,则n=____________.?
【解析】因为=2,所以数列{an}是首项a1=2,公比q=2的等比数列,
Sn==126,即2n+1=128,解得n=6.
答案:6
8.已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项的和,若a2·a7=128,a4=8,则Sn=________.?
【解析】由a2·a7=128,a4=8,则数列各项均为正.得:即
解得:
则Sn==2n-1.
答案:
2n-1
9.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=,=a6,则S5=__________.?
【解析】设等比数列的公比为q,由已知a1=,a42=a6,所以=q5,又q≠0,
所以q=3,所以S5===.
答案:
三、解答题(每小题10分,共30分)
10.已知数列{an}满足an+1=3an+2(n∈N
),且a1=2.
(1)求证:数列{an+1}是等比数列.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】(1)因为==3,a1+1=3,
所以{an+1}是首项为3,公比为3的等比数列.
(2)由(1)可得an+1=3n,所以an=3n-1.
Sn=-n=-n.
【补偿训练】
在数列{an}中,Sn=1+kan(k≠0,且k≠1).
(1)证明:数列{an}为等比数列.
(2)求通项an.
(3)当k=-1时,求++…+.
【解析】(1)因为Sn=1+kan,①
Sn-1=1+kan-1,②
①-②得Sn-Sn-1=kan-kan-1(n≥2).
所以(k-1)an=kan-1,=为常数,n≥2.
所以{an}是公比为的等比数列.
(2)因为S1=a1=1+ka1,所以a1=.
所以an=·=-.
(3)因为{an}中a1=,q=,
所以{}是首项为,公比为的等比数列.
当k=-1时,等比数列{}的首项为,公比为,
所以++…+==.
11.(2019·南昌高一检测)已知等差数列{an}满足a7=4,a11=6.
(1)求{an}的通项公式an.
(2)设等比数列{bn}满足b1=a3,b4=a31,求{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)由题意,设等差数列的公差为d,可得,解得,
故{an}的通项公式an=1+=.
(2)由(1)得b1=a3=2,b4=a31=16.
设{bn}的公比为q,则q3==8,所以q=2,
所以数列{bn}的前n项和为Tn==2n+1-2.
12.在数列{an}中,a1=1,当n>1时,2an+anan-1-an-1=0,数列{an}的前n项和为Sn.求证:
(1)数列{+1}
是等比数列.
(2)Sn<2.
【证明】(1)方法一(定义法):因为a1=1,
当n>1时,2an+anan-1-an-1=0,易知an≠0,
所以an(2+an-1)=an-1,an=,=
+1=+1=,
所以===2,
又因为+1=2,
所以是首项为2,公比为2的等比数列.
方法二(构造新数列):因为a1=1,
当n>1时,2an+anan-1-an-1=0,易知an≠0,
两边同时除以anan-1得+1-=0,
整理得-2=1,所以+1=2,即=2(常数),又因为+1=2,所以{+1}是首项为2,公比为2的等比数列.
方法三(换元法):因为a1=1,
当n>1时,2an+anan-1-an-1=0,易知an≠0,
两边同时除以anan-1得+1-=0,
令bn=,则2bn-1+1-bn=0,
所以bn+1=2(bn-1+1),即=2,
又因为b1+1=+1=2,
所以{bn+1}是首项为2,公比为2的等比数列,
即{+1}是首项为2,公比为2的等比数列.
(2)由(1)及已知得,+1=2n,
所以an=(n=1符合),Sn=1+++…+<1+++…+
=1+=2-<2.
PAGE等比数列的性质
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.在等比数列{an}中,若a1=1,a5=16,则a3=
( )
A.2
B.-4
C.4或-4
D.4
【解析】选D.由已知=16,又a3与a1同号,
所以a3=4.
2.已知等比数列{an}中,a3a13=16,则a8的值等于
( )
A.4
B.8
C.±4
D.±8
【解析】选C.因为=a3a13=16,
所以a8=±4.
3.已知等比数列满足a5+a8=2,a6·a7=-8,则q3=
( )
A.-
B.-2
C.-或-2
D.2
【解析】选C.由等比数列的性质可知,a5·a8=a6·a7=-8,
因为a5+a8=2,所以a5=4,a8=-2,或a5=-2,a8=4,
所以q3==-2或-.
4.已知在等比数列{an}中,a1=1,a3+a5=6,则a5+a7=
( )
A.12
B.10
C.12
D.6
【解析】选A.因为a1=1,a3+a5=6,
所以a3+a5=q2+q4=6,即q4+q2-6=0,
即(q2-2)(q2+3)=0,解得q2=2,
所以a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12.
5.若数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8,则其公比q为
( )
A.
B.
C.2
D.3
【解析】选C.因为数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8=a1a4,可得a1,a4为一元二次方程x2-9x+8=0的两个实数根,所以a1+a4=9,a1a4=a2a3=8,
解得a1=1,a4=8或a1=8,a4=1(舍去),
所以q3=8,解得q=2.
6.已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于
( )
A.6
B.-6
C.±6
D.±12
【解析】选C.因为a==,b2=(-1)(-16)=16,则b=±4,所以ab=±6.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________.?
【解析】设插入的三个数为a2,a3,a4
令a1=,a5=,
则=a2a4=a1·a5=36.
又a3,a1同号,故a3=6,
因此a2a3a4=216.
答案:216
8.已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5=________.?
【解析】因为{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,
所以+2a3a5+=25,
即(a3+a5)2=25,则a3+a5=5.
答案:5
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.在等比数列{an}中,各项都是正数,a6a10+a3a5=41,a4a8=4,求a4+a8.
【解析】因为a6a10=,a3a5=,
故+=41,
所以(a4+a8)2=++2a4a8=41+8=49,
又数列{an}各项均为正数,所以a4+a8=7.
10.已知数列{an}前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(n∈N
).证明:{an+2}是等比数列,并求{an}的通项公式.
【解析】由已知,Sn=2an-2n(n∈N
),
Sn-1=2an-1-2(n-1)(n≥2),
两式相减得an=2an-1+2,
即an+2=2(an-1+2),=2,
又因为S1=2a1-2=a1,得a1=2,所以a1+2=4,
所以{an+2}是首项为4,公比为2的等比数列,
an+2=4×2n-1,
an=4×2n-1-2=2n+1-2(n≥2),
又因为a1=2,
所以an=2n+1-2(n∈N
).
(45分钟 75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知等比数列{an},a1=1,a3=,则a2等于
( )
A.-
B.
C.
D.±
【解析】选D.由等比数列的性质,a1a3=,
所以a2=±.
2.在正项等比数列{an}中,lg
a3+lg
a6+lg
a9=6,则a1a11的值是
( )
A.10
000
B.1
000
C.100
D.10
【解析】选A.因为lg
a3+lg
a6+lg
a9=6,
所以lg(a3·a6·a9)=6,
即=106,故a6=100,
因此a1a11==10
000.
3.已知等比数列{an}满足a5+a8=2,a6·a7=-8则a2+a11=
( )
A.5
B.-5
C.7
D.-7
【解析】选D.等比数列{an}有a5·a8=a6·a7=-8,而a5+a8=2,
联立组成方程组,?或,设公比为q.
当时,解得,a2+a11=a1q+a1q10=-8+1=-7;
当时,解得,a2+a11=a1q+a1q10=1-8=-7.
4.已知a,b,c,d成等比数列,且曲线y=x2-2x+3的顶点是(b,c),则ad等于
( )
A.3
B.2
C.1
D.-2
【解析】选B.因为y=(x-1)2+2,所以b=1,c=2,
又因为a,b,c,d成等比数列,所以ad=bc=2.
5.等比数列{an}的各项均为正数,已知向量a=(a4,a5),b=(a7,a6),且a·b=4,则log2a1+log2a2+…+log2a10=
( )
A.12
B.10
C.5
D.2+log25
【解析】选C.向量a=(a4,a5),b=(a7,a6),且a·b=4,所以a4a7+a5a6=4,
由等比数列的性质可得:a1a10=……=a4a7=a5a6=2,
则log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2·a10)=log2(a1a10)5=log225=5.
二、填空题(每小题5分,共20分)
6.(2019·湖南五市十校高二检测)已知数列是递增的等比数列,
a1+a4=6,a2a3=5,则a7=__________.?
【解析】由等比数列的性质知道,因为a2a3=5,所以a1a4=5,
因为a1+a4=6,解得或,由于数列是递增的等比数列,故
因为a42=a1·a7,所以a7=25.
答案:25
7.已知数列{an}的首项为3,等比数列{bn}满足bn=,且b1
009=1,则a2
018的值为________.?
【解析】因为bn=,且a1=3,
所以b1=,b2=,…bn-1=,
相乘可得=b1b2…bn-1,==b1b2…b2
017=(b1b2
017)·(b2b2
016)…(b1
008b1
010),
因为b1
009=1,b1b2
017=b2b2
016=…=b1
008b1
010=(b1
009)2=1,所以=1,a2
018=3.
答案:3
8.数列{an}的首项为1,数列{bn}为等比数列且bn=,若b10·b11=2,则a21=
__________.?
【解题指南】解答本题首先要注意b1·b2·b3·…·b20=···…·==a21,另外要注意根据b10·b11=2用等比数列性质求b1·b2·b3·…·b20.
【解析】因为bn=,所以b1=,b2=,b3=,…,b20=.
以上各式相乘,得b1·b2·b3·…·b20=···…·==a21,
因为数列{bn}为等比数列,所以b1·b20=b2·b19=b3·b18=…=b10·b11=2,
所以a21=b1·b2·b3·…·b20=210=1
024.
答案:1
024
9.在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=,a8a9=-,则+++=________.?
【解析】因为a7+a8+a9+a10=,
a8·a9=a7·a10=-,
所以+++
=
=
=
==-.
答案:-
【一题多解】因为a7+a8+a9+a10=,a8a9=-,
所以=-,
即+++=-.
又a7a10=a8a9,
所以+++=-.
所以+++=-.
答案:-
三、解答题(每小题10分,共30分)
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N
).
(1)求a1,a2,a3的值.
(2)设bn=an+3,证明数列{bn}为等比数列,并求通项公式an.
【解析】(1)由已知,
当n=1时,a1=S1=2a1-3×1,解得a1=3,
当n=2时,S2=2a2-3×2=a1+a2,解得a2=9,
当n=3时,S3=2a3-3×3=a1+a2+a3,解得a3=21.
(2)因为Sn=2an-3×n,
所以=2-3×(n+1),
两式相减得=2an+3,
所以===2,
又因为b1=a1+3=6,
所以{bn}是首项为6,公比为2的等比数列,
bn=6×,
所以an=bn-3=6×-3=3(2n-1).
11.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=,且S1,S2,S4成等比数列,求{an}的通项公式.
【解析】设{an}的公差为d.
由S3=,得3a2=,故a2=0或a2=3.
由S1,S2,S4成等比数列,得=S1S4.
又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d,
故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d).
若a2=0,则d2=-2d2,
所以d=0,此时Sn=0,不符合题意;
若a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),
解得d=0,或d=2.
因此{an}的通项公式为an=3或an=2n-1.
12.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+5n,数列{bn}中,b1=8,64bn+1-bn=0,问是否存在常数c,使得对任意的正整数n(n∈N
),an+logc
bn恒为常数m?若存在,求出常数c和m的值;若不存在,请说明理由.
【解题指南】先求出an与bn,假设存在c与m,利用n的任意性建立c,m的方程,判断解是否存在.
【解析】因为Sn=3n2+5n,
所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+2,
而a1=S1=8适合上式.所以an=6n+2,
由64bn+1-bn=0得=,
所以{bn}是首项为8,公比为8-2的等比数列.
所以bn=8×(8-2)n-1=83-2n.
假设存在常数c和m,使an+logc
bn=m恒成立,
则6n+2+logc
83-2n=m,即(6-2logc
8)n+(2+3logc
8)=m,对任意n∈N
恒成立.
所以解得
所以存在常数c=2,使得对任意n∈N
,恒有an+logcbn=11.
【补偿训练】
设关于x的二次方程anx2-x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试用an表示.
(2)求证:是等比数列.
(3)当a1=时,求数列{an}的通项公式及项的最值.
【解析】(1)由根与系数的关系得
代入6(α+β)-2αβ=3得-=3,
所以=an+.
(2)因为=an+,
所以-=.
若an=,则方程anx2-x+1=0可化为
x2-x+1=0,即2x2-2x+3=0,
此时Δ=(-2)2-4×2×3<0,
所以an≠,即an-≠0,
所以是公比为的等比数列.
(3)当a1=时,a1-=,
所以是首项为,公比为的等比数列,所以an-=×=,
所以{an}的通项公式为an=+,
n=1,2,3,….
由函数y=在(0,+∞)上单调递减知
当n=1时,an的值最大,最大值为a1=.
PAGE 等
比
数
列
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则a3等于
( )
A.16
B.16或-16
C.32
D.32或-32
【解析】选C.由a4=a1q3得q3=8,即q=2,所以a3==32.
2.已知等比数列的公比q=-,则=
( )
A.
B.
C.2
D.4
【解析】选D.由题意可=====4.
3.(2019·哈尔滨高一检测)数列{an}满足:an+1=λan-1(n∈N
,λ≠0,λ∈R),若数列{an-1}是等比数列,则λ的值是
( )
A.1
B.2
C.
D.-1
【解析】选B.数列{an-1}为等比数列?==q,
即:λan-2=qan-q,恒成立,可知:?λ=2.
4.在等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6等于
( )
A.4
B.8
C.16
D.32
【解析】选C.因为=a2·a6,所以a2·a6=16.
5.(2019·新乡高二检测)在正项等比数列{an}中,a4,a46为方程x2-100x+9=0的两根,则a10·a25·a40=
( )
A.9
B.27
C.64
D.81
【解析】选B.由已知得a4·a46=9=,
因为{an}是正项等比数列,所以
a25=3,
所以a10·a25·a40==27.
6.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an,n∈N
,则an=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为an+1=an,所以q==.所以an=a1qn-1=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.在等比数列{an}中,a2=2,a4=4,则a6=________.?
【解析】设公比为q,由条件知
解得q2=2,
故a6=a1q5=a1q·q4=2×22=8.
答案:8
8.若a1,a2,a3,a4成等比数列,公比为2,则的值为________.?
【解析】由题意q=2,
所以====.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2.
求证:{an}是等比数列.
【证明】当n=1时,S1=a1=22-2=2,
当n≥2时,Sn-1=2n-2,
所以Sn-Sn-1=an=2n+1-2n=2n,n=1时满足an=2n.
又==2,所以{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
10.已知{an}是递增的等比数列,a2+a3=4,a1a4=3.
求数列{an}的通项公式.
【解析】方法一:设等比数列{an}的公比为q,
因为a2+a3=4,a1a4=3,
所以
解得或
因为{an}是递增的等比数列,
所以a1=,q=3.
所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.
方法二:设等比数列{an}的公比为q,
因为a2+a3=4,a1a4=a2a3=3,
所以a2,a3是方程x2-4x+3=0的两个根.
解得或
因为{an}是递增的等比数列,
所以a2=1,a3=3,则q=3.
所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.
(45分钟 75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-,则公比q=
( )
A.2
B.-2
C.
D.-
【解题指南】根据已知条件,找出等比数列的首项a1和公比q所满足的等量关系式,两式相除,消元求公比q的值.
【解析】选C.显然q≠1,由已知,
a1+a2=a1+a1q=-1,
a1-a3=a1-a1q2=-,两式相除得
===2,
解得q=.
2.各项不为零的等差数列{an}中,4a3-+4a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=
( )
A.4
B.8
C.16
D.64
【解析】选D.由等差数列性质可得:4a3-+4a11=4(a3+a11)-=8a7-=0.
又{an}各项不为零,所以a7=8,即b7=8.
由等比数列性质可得:b6b8==64.
3.已知为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=
( )
A.7
B.5
C.-5
D.-7
【解析】选D.由题意得
所以或
所以a1+a10=a1(1+q9)=-7.
4.已知数列是等比数列,a1=1,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a2+a3+a4=
( )
A.7
B.12
C.14
D.64
【解题指南】先根据已知条件解出公比,再根据等比数列通项公式求结果.
【解析】选C.因为4a1,2a2,a3成等差数列,所以4a2=4a1+a3又因为a1=1所以4q=4+q2,解得q=2,
所以a2+a3+a4=2+22+23=14.
5.已知数列{an}的前n项和Sn=an-1(a≠0,a∈R),那么数列{an}
( )
A.一定是等差数列
B.一定是等比数列
C.要么是等差数列,要么是等比数列
D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列
【解析】选C.当a=1时,该数列的各项为0,此时为等差数列,但不是等比数列;
当a≠1时,由Sn=an-1得,
an=Sn-Sn-1=an-1-an-1+1=(a-1)an-1(n≥2),此式对n=1也成立,
所以==a(n≥2),此时{an}是等比数列,但不是等差数列.
二、填空题(每小题5分,共20分)
6.(2019·成都高二检测)已知数列{an}的前n项和Sn=2an-1,则该数列的通项公式an=________.?
【解析】由Sn=2an-1得:Sn+1=2an+1-1,
所以an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an,即an+1=2an又S1=2a1-1,则a1=1.
由此可得,数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列则an=2n-1.
答案:2n-1
7.在等比数列{an}中,a4=2,a5=4,则数列{lg
an}的通项公式为________.?
【解析】因为a5=a4q,所以q=2,a1==,
所以an=·=,lg
an=(n-3)lg2.
答案:lgan=(n-3)lg2
8.在正项等比数列{an}中,若3a1,a3,2a2成等差数列,则=
________.?
【解析】设正项等比数列{an}的公比为q>0,
因为3a1,a3,2a2成等差数列,
所以2×a3=3a1+2a2,即a1q2=3a1+2a1q,
所以q2-2q-3=0,又因为q>0,解得q=3,
所以==.
答案:
9.某计算机病毒开机时占据2M内存,然后每3秒自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机________秒,该病毒占据64
G内存
(1
G=210
M).?
【解析】由已知,每3秒病毒占据的内存容量构成一个等比数列,设病毒占据64G内存时共复制了n次,则2×2n=64×210=216,所以n=15,即开机45秒,该病毒占据64
G内存.
答案:45
三、解答题(每小题10分,共30分)
10.设{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=4,a3=9.
(1)求{an}的通项公式.
(2)lg
a1+lg
a2+…+lg
an.
【解析】(1)数列{an}是各项均为正数的等比等列,且a1+a2=4,a3=9.
设首项为a1,公比为q,则:,
整理得:4q2-9q-9=0,
解得:q=3或-(负值舍去),
故:a1=1,所以:an=1·3n-1=3n-1.
(2)由于an=3n-1,则:lg
a1+lg
a2+…+lg
an=lg(1·31·32…·3n-1)=lg
31+2+…+(n-1)=lg
3.
11.已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,S5=35,a1,a4,a13成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)求数列的前n项和Tn.
【解析】(1)因为S5=5a3=35,
所以a3=7,
设{an}公差为d,
因为a1,a4,a13成等比数列,
所以=a1a13,即(7+d)2=(7-2d)(7+10d),
解得d=0(舍)或2,
因为a3=a1+2d=7,
所以a1=3,
所以an=2n+1.
(2)由(1)知Sn==n(n+2),
所以==,
所以Tn=(-+-+-+…+-+-)
==-.
12.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=,n∈N
.
(1)若数列{an+t}是等比数列,求t的值.
(2)求数列{an}的通项公式.
(3)记bn=+,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)①当n=1时,
由a1==,得a1=1;
②当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),
即an=2an-1+1,所以a2=3,a3=7,
由已知a1+t,a2+t,a3+t成等比数列,
所以(3+t)2=(1+t)(7+t),解得t=1,
当t=1时,an+1=2(an-1+1),n≥2,
即{an+1}为等比数列成立,
所以实数t的值为1.
(2)由(1)知,当n≥2时,an+1=2(an-1+1),
又因为a1+1=2,
所以{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,
an+1=2×2n-1=2n,
所以an=2n-1.
(3)由(2)知bn=+===-,
所以Tn=-+-+-+…+-+-=1-.
PAGE等差数列习题课
(45分钟 75分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.若数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,且a2=3a4-6,则S9等于
( )
A.54
B.50
C.27
D.25
【解析】选C.设{an}公差为d,则a4=a2+2d,
所以a2=3(a2+2d)-6,2a2+6d-6=0,a2+3d=3,即a5=3,所以S9==9×a5=27.
2.已知等差数列{an}的公差d≠0,Sn是其前n项和,若a1+a3+a5=-15,a2+a4+a6=-21,则S3的值是
( )
A.-5
B.-
C.-
D.-
【解析】选C.由等差数列性质知3a3=-15,3a4=-21,
故a3=-5,a4=-7,则a2=-3.
则S3=×==-.
3.设{an}(n∈N
)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5
S8,则下列结论错误的是
( )
A.d<0
B.a7=0
C.S9>S5
D.S6和S7均为Sn的最大值
【解析】选C.因为S5S8,所以a7=0且S6与S7均是Sn的最大值,因此d<0.
4.若数列{an}的通项an=2n-6,设bn=|an|,则数列{bn}的前7项和为
( )
A.14
B.24
C.26
D.28
【解析】选C.当n≤3时,an≤0,bn=|an|=-an=6-2n,
即b1=4,b2=2,b3=0.
当n>3时,an>0,bn=|an|=an=2n-6,
即b4=2,b5=4,b6=6,b7=8.
所以数列{bn}的前7项和为4+2+0+2+4+6+8=26.
5.在数列{an}中,an=,其前n项和为,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0在y轴上的截距为
( )
A.-10
B.-9
C.10
D.9
【解析】选B.{an}的前n项和为++…+=1-+-+…+-=1-==,所以n=9,直线(n+1)x+y+n=0即为10x+y+9=0,所以其在y轴上的截距为-9.
6.数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n2+3n+2,则{bn}的前10项和为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由已知,bn====-,所以{bn}的前10项和为S10=+++…+=-=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
7.(2019·北京高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=-3,S5=-10,则a5=________,Sn的最小值为________.?
【解析】设公差为d,a2=a1+d=-3,S5=5a1+d=-10,即a1+2d=-2,解得a1=-4,d=1,所以a5=a1+4d=0,Sn=na1+d=,当n=4或5时,Sn最小,为-10.
答案:0 -10
8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为________.?
【解析】S奇=a1+a3+a5+a7+a9=15,
S偶=a2+a4+a6+a8+a10=30,
所以S偶-S奇=5d=15,d=3.
答案:3
9.已知数列{an}满足an=11-2n则,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=________.?
【解析】原式=(a1+a2+a3+a4+a5)-(a6+a7+a8)
=(9+7+5+3+1)-(-1-3-5)
=34.
答案:34
三、解答题(每小题10分,共30分)
10.已知数列{bn}满足bn=,求{bn}的前n项和Sn.
【解析】因为bn==-
所以Sn=b1+b2+…+bn
=1-+-+…+-
=1-=
11.(2019·杭州高一检测)已知数列{an}中,a7=6,a10=-3,Sn为等差数列{an}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式及Sn的最大值.
(2)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a19|+|a20|.
【解析】(1)因为a7=6,a10=-3,
故:,解得a1=24,d=-3,
则an=-3n+27,
数列的前n项和公式为:
Sn=n×24+×(-3)=-n2+n,
注意到数列{an}单调递减,且a8>0,a9=0,
所以Sn的最大值=S8=S9=108.
(2)因为|a1|+|a2|+|a3|+…+|a19|+|a20|=a1+a2+a3+…+a9-(a10+a11+…+a20),
所以a1+a2+a3+…+a9-(a10+a11+…+a20)=2S9-S20,
由于S9=108,S20=-90,即|a1|+|a2|+|a3|+…+|a19|+|a20|=306.
12.已知Sn为各项均为正数的数列{an}的前n项和,a1∈(0,2),+3an+2=6Sn.
(1)求{an}的通项公式.
(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,若对任意n∈N
,t≤4Tn恒成立,求实数t的最大值.
【解析】(1)①当n=1时,+3a1+2=6S1=6a1,
即-3a1+2=0,又因为a1∈(0,2),解得a1=1.
②对任意n∈N
,由+3an+2=6Sn知
+3an+1+2=6Sn+1,两式相减,得
-+3(an+1-an)=6an+1,
即(an+1+an)(an+1-an-3)=0,
由an>0得an+1-an-3=0,即an+1-an=3,
所以{an}是首项为1,公差为3的等差数列,
所以an=1+3(n-1)=3n-2.
(2)由an=3n-2得
bn===,
所以Tn=b1+b2+…+bn=
==.
因为Tn+1-Tn=-=>0,
所以Tn+1>Tn,即数列{Tn}是递增数列,
所以t≤4Tn,≤Tn,≤T1=,t≤1,
所以实数t的最大值是1.
(45分钟 85分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是
( )
A.5
B.6
C.7
D.8
【解析】选C.方法一:由S3=S11得a4+a5+…+a11=0,由等差数列性质得a7+a8=0,由首项等于13可知数列递减,所以a7>0,a8<0,所以n=7时Sn最大.
方法二:由S3=S11得3a1+3d=11a1+55d,
把a1=13代入,得d=-2,
所以Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n,由二次函数的性质知当n=7时Sn最大.
2.(2019·大庆高一检测)已知数列{an}是等差数列,a1<0,a8+a9>0,a8·a9<0.则使Sn>0的n的最小值为
( )
A.8
B.9
C.15
D.16
【解析】选D.因为等差数列{an},首项a1<0,a8+a9>0,a8·a9<0,
所以a8<0,a9>0,
由Sn=n(a1+an),可得S15=15a8<0,S16==8(a8+a9)>0,
所以使前n项和Sn>0成立的最小自然数n的值为16.
3.已知在数列{an}中,an=,若{an}的前n项和为,则项数n为
( )
A.2
015
B.2
016
C.2
017
D.2
018
【解析】选D.设Sn为{an}的前n项和,
因为an==-,故Sn=a1+a2+…+an=++…+=
1-=,令Sn==,
故n=2
018.
4.已知函数f(x)是(-1,+∞)上的单调函数,且函数y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,若数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则数列{an}的前100项的和为
( )
A.-200
B.-100
C.0
D.-50
【解析】选B.因为函数y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,又因为函数f(x)是(-1,+∞)上的单调函数,{an}是公差不为0的等差数列,f(a50)=f(a51),
所以a50+a51=-2,S100==50(a50+a51)=-100.
5.在等差数列{an}中,a100<0,a101>0,且|a100|<|a101|,Sn为其前n项和,则使Sn<0的最大正整数n为
( )
A.202
B.201
C.200
D.199
【解析】选D.由条件得,等差数列{an}的公差d>0,
因为a100<0,a101>0,且|a100|<|a101|,
所以-a1000.
所以S200==>0,
S199===199a100<0,
所以使Sn<0的最大正整数n为199.
二、填空题(每小题5分,共20分)
6.若Sn是等差数列{an}的前n项和,且=,则=________.?
【解析】由=,=,2a1=5d,
而===.
答案:
7.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,满足a2+a8=6,S5=-5,则a6=________,Sn的最小值为________.?
【解析】依题意得:
解得所以a6=-5+10=5,
Sn=-5n+×2=n2-6n,
当n=3时,Sn的最小值为-9.
答案:5 -9
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前99项和为________.?
【解析】由题意得解得
所以an=a1+(n-1)d=n.
所以==-
故数列的前99项和为S99=1-+-+…+-=1-=
答案:
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若1≤a1≤3,3≤a1+S3≤6,则的取值范围是________.?
【解析】在等差数列{an}中,a1+a3=2a2,所以S3=a1+a2+a3=3a2,
又3≤a1+S3≤6,所以3≤a1+3a2≤6.
由1≤a1≤3得≤≤1.
所以1≤≤6,即1≤1+≤6,
所以0≤≤.
即的取值范围是.
答案:
三、解答题(每小题10分,共40分)
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=8,a4=4.
(1)求a9.
(2)求Sn的最大值.
【解析】(1)因为解得
所以a9=a1+8d=-6.
(2)Sn=10n-n(n-1)=-n2+11n=-+,
由二次函数的性质,当n=5或6时,Sn取最大值为30.
11.数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N
.
(1)证明:数列是等差数列.
(2)若Tn=a1-a2+a3-a4+…+(-1)n+1·an,求Tn.
【解析】(1)由已知可得=+1,
即-=1,
所以是以=1为首项,1为公差的等差数列.
(2)由(1)得=1+(n-1)·1=n,所以an=n2,
因为Tn=a1-a2+a3-a4+…+(-1)n+1·an,
所以Tn=12-22+32-42+…+(-1)n(n-1)2+(-1)n+1·n2.
当n为偶数时,Tn=-(3+7+…+2n-1)=-;
当n为奇数时,Tn=-(3+7+…+2n-3)+n2=.
综上,Tn=(-1)n+1·.
12.已知公差大于零的等差数列的前n项和为Sn,且满足a3·a4=117,a2+a5=22.
(1)求数列的通项公式.
(2)求Sn的最小值.
(3)若数列是等差数列,且bn=,求非零常数c.
【解析】(1)因为a2+a5=22,为等差数列,故a3+a4=22,
由可得或,
因为d>0,所以a3=9,a4=13,
所以d=4,a1=1,所以an=4n-3.
(2)由(1)知Sn=na1+=2n2-n=
2-,
所以当n=1时,Sn最小,最小值为S1=a1=1.
(3)由(1)知Sn=na1+d=2n2-n,
所以bn=.
因为为等差数列,所以b1+b3=2b2,
所以+=2×,
所以2c2+c=0,所以c=0
(舍)或c=-.
当c=-时,bn==2n,此时bn-bn-1=2,
故为等差数列,
故c=-.
13.数列{an}满足a1=,an+1=(n∈N
).
(1)求证:为等差数列,并求出{an}的通项公式.
(2)设bn=-1,数列{bn}的前n项和为Bn,对任意n≥2都有B3n-Bn>成立,求正整数m的最大值.
【解析】(1)因为an+1=,
所以===-1+,
即-=-1,
所以是首项为-2,公差为-1的等差数列,
=-2+(n-1)×(-1)=-(n+1),
所以an=.
(2)bn=-1=,
令Cn=B3n-Bn=++…+,
所以Cn+1-Cn=++…+-
-…-=-+++
=-+>-=0,
所以Cn+1-Cn>0,
{Cn}为单调递增数列,又因为n≥2,
所以(B3n-Bn)min=B6-B2=+++=,
<,m<19.
又因为m∈N
,
所以m的最大值为18.
PAGE 等差数列的前n项和
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.已知等差数列{an}的前10项和为30,a6=8,则a100=
( )
A.100
B.958
C.948
D.18
【解析】选C.设等差数列{an}的公差为d,
由已知解得
所以a100=-42+99×10=948.
2.已知等差数列{an}的公差为3,且a1+a3=8,则数列{an}的前4项的和S4的值为
( )
A.10
B.16
C.22
D.35
【解析】选C.因为等差数列{an}的公差为3,且a1+a3=8,
所以2a1+2×3=8,所以a1=1,
所以S4=4×1+×3=22.
3.(2019·玉溪高二检测)已知等差数列的前n项和Sn,且S3=S5=15,则S7=
( )
A.4
B.7
C.14
D.
【解析】选B.等差数列的前n项和为Sn,且S3=S5=15,
所以a4+a5=0,所以2a1+7d=0.
再根据S3=3a1+3d=15,可得a1=7,d=-2,
则S7=7a1+d=49+21×(-2)=7.
4.(2019·大庆高一检测)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,则S9=
( )
A.45
B.162
C.81
D.
【解析】选C.因为在等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,
所以a5=9.所以S9==9a5=81.
5.等差数列{an}的前n项和为Sn,若=,则下列结论中正确的是
( )
A.=2
B.=
C.=
D.=
【解析】选C.由已知Sn=an,
Sn-1=an-1(n≥2),两式相减可得
an=an-an-1(n≥2),化简得
=(n≥2),当n=3时,=.
6.数列{an}的前n项和Sn=2n2+n(n∈N
),则an=
( )
A.2n-1
B.2n+1
C.4n-1
D.3n+2
【解析】选C.因为数列{an}的前n项和Sn=2n2+n,
所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2+n-[2(n-1)2+(n-1)]=4n-1,
当n=1时,a1=S1=3,符合上式,
所以综上an=4n-1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=6,S4=12,则S6=________.?
【解析】方法一:设数列{an}的首项为a1,公差为d,由S3=6,S4=12,得解得
所以S6=6a1+15d=30.
方法二:因为{an}为等差数列,可设前n项和Sn=An2+Bn,由S3=6,S4=12得
解得
即Sn=n2-n,所以S6=36-6=30.
答案:30
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8=32,则a2+2a5+a6=__________.?
【解析】因为S8=32,所以=32.
可得a4+a5=a1+a8=8,则a2+2a5+a6=2(a4+a5)=2×8=16.
答案:16
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.在各项为正的等差数列{an}中,已知公差d=2,an=11,Sn=35,求a1和n.
【解析】由题意得
即
解得或(舍去)
故
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.
(1)证明:an+2-an=λ.
(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.
【解析】(1)由anan+1=λSn-1知,
an+1an+2=λSn+1-1,
两式相减得,an+1(an+2-an)=λan+1,
又因为an+1≠0,
所以an+2-an=λ.
(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,得a2=λ-1,
由(1)知,a3=λ+1.
令2a2=a1+a3,解得λ=4.
所以an+2-an=4,由此可得,{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3;
{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,
a2n=3+(n-1)·4=4n-1.
所以an=2n-1,an+1-an=2.
因此存在λ=4,使得{an}为等差数列.
(45分钟 75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知等差数列{1-3n},则公差d等于
( )
A.1
B.3
C.-3
D.n
【解析】选C.因为an=1-3n,
所以a1=-2,a2=-5,
所以d=a2-a1=-3.
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S17=255,a10=20,则数列{an}的公差为
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选C.根据等差数列的求和公式,可得S17=×17=17a9=255,可得a9=15,
又a10=20,所以d=a10-a9=20-15=5.
3.等差数列中,Sn是前n项和,若a3+a8=5,S9=45,则S11=
( )
A.0
B.10
C.20
D.25
【解析】选A.设等差数列的首项为a1,公差为d,因为,所以,
即,解得,则S11=25×11-×5=0.故选A.
4.已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数列{bn}的前5项和等于
( )
A.30
B.45
C.90
D.186
【解析】选C.因为
所以故
所以an=a1+(n-1)d=3n,故bn=a2n=6n,
则
因此{bn}的前5项和为S5=5×6+×6=90.
5.(2019·定州高一检测)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=3,S13=91,则S11=
( )
A.36
B.72
C.55
D.110
【解析】选C.因为S13==13a7=91,
所以a7=7,因为a5=3,所以a5+a7=10,
因为a1+a11=a5+a7=10,
所以S11==55.
二、填空题(每小题5分,共20分)
6.(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,a1≠0,a2=3a1,则=
________.?
【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,
所以a1+d=3a1,故d=2a1(a1≠0,d≠0),
所以====4.
答案:4
7.若数列{an}的前n项和Sn=n2-8n,n=1,2,3,…,则满足an>0的n的最小值为________.?
【解析】(1)当n=1时,a1=S1=12-8=-7.
(2)当n>1时,由Sn=n2-8n得:
Sn-1=(n-1)2-8(n-1)=n2-10n+9,
两式相减,得:an=2n-9,n=1也符合,由an=2n-9>0,得:n>4.5,
所以,满足an>0的n的最小值为5.
答案:5
8.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n+3,则an=________.?
【解析】当n=1时,a1=S1=2,
当n≥2,an=Sn-Sn-1=n2-2n-(n-1)2+2(n-1)=2n-3,故an=
答案:
9.我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示),最高一层是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则前9圈的石板总数是________.
?
【解析】因为最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则每圈的石板数构成一个以9为首项,以9为公差的等差数列,所以an=9n,当n=9时,第9圈共有81块石板,
所以前9圈的石板总数S9=(9+81)=405.
答案:405
三、解答题(每小题10分,共30分)
10.等差数列{an}的前n项和记为Sn,已知a10=30,a20=50.
(1)求通项an.
(2)令Sn=242,求n.
【解析】(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,
得方程组解得
所以an=2n+10.
(2)由Sn=na1+·d,Sn=242,
得方程12n+×2=242,
解得n=11或n=-22(舍去),即n=11.
11.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.
(1)若S5=5,求S6及a1.
(2)求d的取值范围.
【解析】(1)由题意知S6=-=-3,a6=S6-S5=-8,所以解得a1=7.
综上,S6=-3,a1=7.
(2)因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
即2+9da1+10d2+1=0,
所以(4a1+9d)2=d2-8,所以d2≥8.
故d的取值范围为d≤-2或d≥2.
12.(2017·江苏高考)对于给定的正整数k,若数列{an}满足an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.
(1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列”.
(2)若数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{an}是等差数列.
【证明】(1)因为是等差数列,设其公差为d,则an=a1+(n-1)d,
从而,当n≥4时,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d
=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,
所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,
因此等差数列是“P数列”.
(2)数列既是“P数列”,又是“P数列”,
因此,当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,①
当n≥4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.②
由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),③
an+2+an+3=4an+1-(an-1+an),④
将③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4,
所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d′.
在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2+a3+a3+2d′+a3+3d′=4(a3+d′),
即a2=a3-d′,
在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,因为a3=a2+d′,所以a1+a2+a2+2d′+a2+3d′=4(a2+d′),
即a1=a2-d′,所以数列{an}是等差数列.
PAGE等差数列的性质
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6=
( )
A.-1
B.0
C.1
D.6
【解析】选B.由等差数列的性质得a6=2a4-a2=2×2-4=0.
2.等差数列{an}中a2=5,a6=33,则a3+a5=
( )
A.35
B.38
C.45
D.48
【解析】选B.由等差数列的性质知a3+a5=a2+a6=38.
3.在等差数列{an}中,a2
000=log27,a2
022=log2,则a2
011=
( )
A.0
B.7
C.1
D.49
【解析】选A.因为数列{an}是等差数列,所以由等差数列的性质可知2a2
011=
a2
000+a2
022=log27+log2=log21=0,故a2
011=0.
4.等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d=
( )
A.3
B.-6
C.4
D.-3
【解析】选B.由等差数列的性质,得a8-a3=(8-3)d=5d,所以d==-6.
5.已知等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0
( )
A.无实根
B.有两个相等实根
C.有两个不等实根
D.不能确定有无实根
【解析】选A.因为a4+a6=a2+a8=2a5,a2+a5+a8=3a5=9,
所以a5=3,则方程为x2+6x+10=0,
因为Δ=62-4×10=-4<0,所以方程无实根.
6.设数列{an},{bn}都是等差数列.若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=
( )
A.15
B.25
C.35
D.45
【解析】选C.方法一:设{an},{bn}的公差分别为d1,d2,因为a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,所以d1+d2=7,
a5+b5=(a3+b3)+2(d1+d2)=21+2×7=35.
方法二:因为数列{an},{bn}都是等差数列,
所以{an+bn}也构成等差数列,
所以2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5),
所以2×21=7+a5+b5,所以a5+b5=35.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.在等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12=________.?
【解析】因为数列{an}为等差数列,
所以a7+a9=a4+a12,a12=16-1=15.
答案:15
8.(2019·大庆高一检测)在等差数列中,若a2+a8=10.则-2a5=__________.?
【解析】因为数列为等差数列,a2+a8=a4+a6=2a5=10,
所以-2a5=102-10=90.
答案:90
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.在等差数列{an}中,a3+a12=60,a6+a7+a8=75,求an.
【解析】由a6+a7+a8=3a7=75得a7=25,
因为得
故an=a1+(n-1)d=-35+10(n-1)=10n-45.
10.在等差数列{an}中,若a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.
【解析】方法一:由等差数列的性质得
a1+a11=2a6,a2+a12=2a7,…,a5+a15=2a10.
所以(a1+a2+…+a5)+(a11+a12+…+a15)
=2(a6+a7+…+a10).
所以a11+a12+…+a15=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)=2×80-30=130.
方法二:因为数列{an}是等差数列,
所以a1+a2+…+a5,a6+a7+…+a10,a11+a12+…+a15也成等差数列,即30,80,a11+a12+…+a15成等差数列,所以30+(a11+a12+…+a15)=2×80,
a11+a12+…+a15=130.
(45分钟 75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.数列{an}满足3+an=且a2+a4+a6=9,则log6(a5+a7+a9)的值是
( )
A.-2
B.-
C.2
D.
【解析】选C.因为-an=3,所以{an}为等差数列,且d=3.
a2+a4+a6=9=3a4,所以a4=3,a5+a7+a9=3a7=3(a4+3d)=3(3+3×3)=36,
所以log6(a5+a7+a9)=log636=2.
2.(2017·全国卷Ⅱ改编)已知等差数列{an}满足a4+a5=24,a1+a2+a3+a4+a5+a6=48,则{an}的公差为
( )
A.1
B.2
C.4
D.8
【解析】选C.因为a1+a2+a3+a4+a5+a6=48,
所以3(a3+a4)=48,即a3+a4=16 ①,
又因为a4+a5=24 ②,
②-①得a5-a3=8,故d==4.
3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为
( )
A.1升
B.升
C.升
D.升
【解析】选B.设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则有
即解得
所以a5=a1+4d=,即第5节的容积为升.
4.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为
( )
A.
B.±
C.-
D.-
【解析】选D.由等差数列性质知a1+a13=2a7,即3a7=4π,所以a7=,所以a2+a12=2a7=,
即tan(a2+a12)=-.
【补偿训练】在等差数列{an}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6的值为
( )
A.14 B.18 C.21 D.27
【解析】选A.因为a2=3,a3+a4=9,所以a2+a3+a4=12,即3a3=12,故a3=4,a4=5,所以an=n+1,所以a1a6=2×7=14.
5.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种计量单位).这个问题中,甲所得为
( )
A.钱
B.钱
C.钱
D.钱
【解析】选B.依据题意,设甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,
则由题意可知a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即a=-6d.
又因为a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,
解得a=1.
则a-2d=a-2×=a=,故选B.
二、填空题(每小题5分,共20分)
6.已知数列{an}是等差数列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77,且ak=13,则k=________.?
【解析】因为a4+a7+a10=3a7=17,所以a7=.
因为a4+…+a14=11a9=77,
所以a9=7,d=,
所以ak-a9=(k-9)d.
即13-7=(k-9)×,解得k=18.
答案:18
7.已知在等差数列{an}中,a3,a15是方程x2-6x-1=0的两根,则a7+a8+a9+a10+a11=
________.?
【解析】由题意知a3+a15=6,即2a9=6,所以a9=3,根据等差数列的性质知a7+a11=a8+a10=2a9,所以a7+a8+a9+a10+a11=5a9=15.
答案:15
【延伸探究】本题条件不变,则a1+a2+…+a17=________.?
【解析】a1+a2+…+a17=17a9=17×3=51.
答案:51
8.在等差数列{an}中,a5+a6=4,则log2(··…·)=________.?
【解析】在等差数列{an}中,a5+a6=4,所以a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4,所以a1+a2+…+a10=(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=5(a5+a6)=20,
则log2(··…·)=log2=a1+a2+…+a10=20.
答案:20
9.已知(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的4个根组成首项为的等差数列,则|m-n|=________.?
【解析】因为y=x2-2x+m与y=x2-2x+n有相同的对称轴,设四个根分别为x1,x2,x3,x4,不妨设x1,x4为x2-2x+m=0的两根,x2,x3为x2-2x+n=0的两根,则
不妨令x1=,所以x4=,x2=,x3=,
所以m=,n=,所以|m-n|=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共30分)
10.某产品按质量分10个档次,生产最低档次的产品的利润是8元/件,每提高一个档次,利润每件增加2元,同时每提高一个档次,产量减少3件,在相同的时间内,最低档次的产品可生产60件.试问:在相同的时间内,应选择生产第几档次的产品可获得最大利润?(设最低档次为第一档次)
【解析】设在相同的时间内,从低到高每档产品的产量分别为a1,a2,…,a10,利润分别为b1,b2,…,b10,
则{an},{bn}均为等差数列,且a1=60,d1=-3,b1=8,d2=2,
所以an=60-3(n-1)=-3n+63,bn=8+2(n-1)=2n+6,
所以利润f(n)=anbn=(-3n+63)(2n+6)=-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864.
所以当n=9时,f(n)max=f(9)=864.
所以在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.
11.四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.
【解析】设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),
依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,
所以d2=1,所以d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列,所以d>0,
所以d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.
【补偿训练】已知单调递增等差数列{an}的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列{an}的通项公式.
【解析】方法一: 考虑从a1和d出发来确定an.由题意可得
则
解得a1=3,d=4或a1=11,d=-4.注意到数列为单调递增数列,因此舍去a1=11,d=-4.从而等差数列{an}的通项公式为an=4n-1.
方法二: 由于数列为等差数列,因此可设等差数列前三项为a-d,a,a+d,于是可得
即
即a=7,d2=16,由于数列为单调递增数列,因此d=4,从而an=4n-1.
12.已知等差数列{an}中,公差d>0,a2·a3=45,a1+a4=14.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)令bn=(n∈N
),是否存在一个非零常数c,使数列{bn}也为等差数列?若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)因为等差数列{an}中,公差d>0,a2·a3=45,a1+a4=14,
所以(a1+d)(a1+2d)=45,a1+a1+3d=14,
解得a1=1,d=4,或a1=13,d=-4(舍),
所以an=a1+(n-1)d=1+4(n-1)=4n-3.
(2)bn==2n-,
因为数列{bn}为等差数列,所以=0,
即n(1+2c)=0,所以1+2c=0,所以c=-.
PAGE等
差
数
列
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差d为
( )
A.2
B.3
C.-2
D.-3
【解析】选C.由等差数列的定义,得d=a2-a1=-1-1=-2.
2.(2019·嘉兴高一检测)等差数列{an}中,已知a3=7,a5=13,则a7=
( )
A.16
B.17
C.18
D.19
【解析】选D.由等差数列的性质可得2a5=a3+a7,
所以a7=2a5-a3=19.
3.已知数列{an}是等差数列,a4=25,a7=13,则过点P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率为
( )
A.4
B.
C.-4
D.-
【解析】选C.由已知数列{an}是等差数列,所以an是关于n的“一次函数”,其图象是一条直线上的等间隔的点(n,an),所以过点P(3,
a3),Q(5,a5)的直线,即过点(4,25),(7,13)的直线,所以直线斜率k==-4.
4.等差数列{an}中,若a4=3,则a2+a3+a7=
( )
A.6
B.9
C.12
D.15
【解析】选B.因为a4=3,所以a2+a3+a7=a4-2d+a4-d+a4+3d=3a4=3×3=9.
5.(2019·上海高一检测)已知数列是等差数列,数列分别满足下列各式,其中数列必为等差数列的是
( )
A.bn=|an|
B.bn=
C.bn=
D.bn=-
【解析】选D.设数列的公差为d,
选项A,B,C,都不满足bn-bn-1=同一常数,所以三个选项都是错误的;
对于选项D,bn-bn-1=-+==-,
所以数列必为等差数列.
6.在数列{an}中,a1=2,2an+1-2an=1,则a101的值为
( )
A.49
B.50
C.51
D.52
【解析】选D.因为an+1-an=,
所以数列{an}是首项为2,公差为的等差数列,
所以an=a1+(n-1)·=2+,
所以a101=2+=52.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.设等差数列{an}满足:a1+a2=7,a1-a3=-6,则a5=________.?
【解析】因为等差数列{an}满足:a1+a2=7,a1-a3=-6.
所以,
解得a1=2,d=3,
所以a5=a1+4d=2+4×3=14.
答案:14
8.等差数列1,-1,-3,-5,…,-89的项数为________.?
【解析】因为a1=1,d=-1-1=-2,
所以an=a1+(n-1)d=-2n+3.
由-2n+3=-89,得n=46.
答案:46
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2019·临沂高二检测)已知等差数列满足a1+a2=10,a4-a3=2.
(1)求首项及公差;
(2)求的通项公式.
【解析】(1)设等差数列的公差为d.
因为a4-a3=2,所以d=2.
又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.
(2)由(1)可知an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).
10.(1)若{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18,前三项的乘积为66.求数列的通项公式,并判断-34是该数列的项吗?
【解析】(1)设{an}的公差为d.
由已知得
解得
所以a75=a1+74d=+74×=24.
(2)由已知
所以
解得或
因为数列{an}是递减等差数列,所以d<0,a1=11,d=-5,
所以an=11+(n-1)·(-5)=-5n+16,
即等差数列{an}的通项公式为an=-5n+16.
令an=-34,即-5n+16=-34,得n=10,
所以-34是数列{an}的第10项.
(45分钟 75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2019·蚌埠高一检测)已知等差数列{an}的前三项依次为-1,1,3,则此数列的通项公式为
( )
A.an=2n-5
B.an=2n-3
C.an=2n-1
D.an=2n+1
【解析】选B.等差数列{an}中,a1=-1,a2=1,可得d=a2-a1=2,
由通项公式可得an=a1+(n-1)×d=-1+2(n-1)=2n-3.
2.(2019·乌鲁木齐高一检测)若三角形的三个内角成等差数列,则第二大的角度数为
( )
A.30度
B.45度
C.60度
D.75度
【解析】选C.设三个角依次为A、B、C且A3.在等差数列{an}中,a2,a14是方程x2+6x+2=0的两个实根,则=
( )
A.-
B.-3
C.-6
D.2
【解析】选A.由于a2,a14是方程x2+6x+2=0的两个实根,所以a2+a14=2a8=-6,a8=-3,a2·a14=2,
所以==-.
4.在等差数列{an}中,已知a1=,a2+a5=4,an=33,则n等于
( )
A.48
B.49
C.50
D.51
【解析】选C.因为a1+d+a1+4d=4,且a1=,
所以d=,
又因为an=a1+(n-1)d=+(n-1)×=33,
即n=50.
5.设{an}是等差数列,下列结论中正确的是
( )
A.若a1+a2>0,则a2+a3>0
B.若a1+a3<0,则a1+a2<0
C.若0D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0
【解析】选C.对a1=2,a2=-1,a3=-4,选项A,B不成立.选项C,由等差中项的定义知,a2=,故C正确.选项D,(a2-a1)(a2-a3)=-d2≤0,不正确.
二、填空题(每小题5分,共20分)
6.已知{an}为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a3=________.?
【解析】因为{an}为等差数列,a2=2a3+1,a4=2a3+7,
所以,
解得a1=-10,d=3,
所以a3=a1+2d=-10+6=-4.
答案:-4
7.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列为等差数列,则a5=________.?
【解析】由数列为等差数列,
则有+=,可解得a5=.
答案:
8.数列满足:log2an+1=1+log2an,若a3=10,则a8=________.?
【解析】log2an+1=1+log2an,
所以log2an+1-log2an=1,
所以为等差数列,公差为1,第三项为log210,
所以log2a8=log210+5,
所以a8=320.
答案:320
9.在等差数列{an}中,若a1+a2=3,a3+a4=5,则a7+a8等于________.?
【解析】设公差为d,则因为a1+a2=3,a3+a4=5,
所以2a1+d=3,2a1+5d=5,
所以d=,即得a1=,
所以a7+a8=2a1+13d=2×+13×=9.
答案:9
三、解答题(每小题10分,共30分)
10.已知数列{an}中,a1=-1,an+1·an=an+1-an且Cn=,证明{Cn}是等差数列.
【证明】因为an+1·an=an+1-an,
所以-=1,
即-=-1,
故Cn+1-Cn=-1,
因此{Cn}是等差数列.
11.已知等差数列{an}中,a15=33,a61=217,试判断153是不是这个数列的项,如果是,是第几项?
【解析】设首项为a1,公差为d,
由已知得,
解得,
所以an=-23+(n-1)×4=4n-27,
令an=153,即4n-27=153,
解得n=45,
所以153是该数列的第45项.
12.已知数列{an}满足a1=3,an·an-1=2an-1-1.
(1)求a2,a3,
a4;
(2)求证:数列{}是等差数列,并求出{an}的通项公式.
【解析】(1)因为an·an-1=2an-1-1,a1=3,
所以a2=,a3=,a4=.
(2)证明:易知an-1≠0,an=2-.
当n≥2时,
-=-=-=-=1,
所以{}是以=为首项,以1为公差的等差数列,
=+(n-1)·1=n-,
所以an=+1=.
【补偿训练】
已知数列{an}满足:a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N
).求数列{an}的通项公式.
【解析】因为a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N
),
所以数列{an}的奇数项、偶数项均是以-2为公差的等差数列.
当n为奇数时,an=a1+×(-2)=11-n,
当n为偶数时,an=a2+×(-2)=7-n,
所以an=
PAGE 数列的通项公式与递推公式
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.已知数列{an}中,a1=1,=2,则此数列是
( )
A.递增数列
B.递减数列
C.摆动数列
D.常数列
【解析】选B.由=2可知该数列的前一项是后一项的2倍,又a1=1>0,所以数列{an}的项依次减小为其前一项的一半,所以为递减数列.
2.符合递推关系式an=an-1(n≥2)的数列是
( )
A.1,2,3,4,…
B.1,,2,2,…
C.,2,,2,…
D.0,,2,2,…
【解析】选B.由题意知从第2项开始每一项是前一项的倍,只有B项符合.
3.已知数列{an}满足a1>0,且an+1=an,则数列{an}最大项是
( )
A.a1
B.a9
C.a10
D.不存在
【解析】选A.因为a1>0,且an+1=an,所以an>0,
又因为=<1,所以an+1所以此数列为递减数列,最大项为a1.
4.已知数列{an}中,a1=1,=,则数列{an}的通项公式是
( )
A.an=2n
B.an=
C.an=
D.an=
【解析】选C.a1=1,a2=,a3=,a4=,
观察得an=.
5.(2019·吉林实验中学高一检测)已知数列满足a1=2,an+1=,则a2
020的值为
( )
A.2
B.-3
C.-
D.
【解析】选D.由题得a2==-3,a3==-,a4==,a5==2,
所以数列的周期为4,所以a2
020=a4=.
6.已知数列{an}满足a1=1,=-2an+1(n∈N
),则a2
017等于
( )
A.1
B.0
C.2
017
D.-2
017
【解析】选A.因为a1=1,an+1=(an-1)2,所以a2=(a1-1)2=0,a3=(a2-1)2=1,
a4=(a3-1)2=0,…,可知数列{an}是以2为周期的数列,所以a2
017=a1=1.
【补偿训练】
设数列{an}满足:a1=2,an+1=1-,记数列{an}的前n项之积为Πn,则Π2
018的值为
( )
A.- B.1 C. D.2
【解析】选B.由a2=,a3=-1,a4=2可知,数列{an}是周期为3的周期数列,从而
Π2
018=(-1)672×2×=1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知数列{an},a1=-1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3),则a7=________.?
【解析】a3=a2+a1=1,a4=a3+a2=3,a5=a4+a3=4,a6=a5+a4=7,a7=a6+a5=11.
答案:11
8.(2019·孝感高一检测)数列满足a1=1,an-an-1=(n≥2且n∈N
),则数列的通项公式为an=__________.?
【解析】an-an-1==-,
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1,
an=-+-+…+-+1=2-,
当n=1时满足.
答案:2-
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.在数列{an}中,a1=1,an+1=an.
(1)写出数列的前5项.
(2)猜想数列的一个通项公式.
【解析】(1)a1=1,a2=a1=,a3=a2=×=,
a4=a3=×=,a5=a4=×=.
(2)由(1)知an=(n∈N
).
10.已知数列2,,2,…的通项公式为an=,求a4,a5.
【解析】将a1=2,a2=代入通项公式得
解得
所以an=,
所以a4==,a5==.
PAGE 数列的概念与简单表示法
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.下列四个命题:
①如果已知一个数列的递推公式及其首项,那么可以写出这个数列的任何一项;
②数列,,,,…的通项公式是an=;
③数列的图象是一群孤立的点;
④数列1,-1,1,-1,…与数列-1,1,-1,1,…是同一数列.
其中真命题的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选A.只有③正确.①中,如已知an+2=an+1+an,a1=1,无法写出除首项外的其他项.②中an=,④中-1和1排列的顺序不同,即二者不是同一数列.
2.下列数列的关系是
( )
(1)1,4,9,16,25 (2)25,16,9,4,1 (3)9,4,1,16,25
A.都是同一个数列
B.都不相同
C.(1)、(2)是同一数列
D.(2)、(3)是同一数列
【解析】选B.三个数列中的数字相同,但排列的顺序不同,故三个数列均不相同.
3.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n,则下列各数中不是数列中的项的是
( )
A.2
B.40
C.56
D.90
【解析】选B.由题意令an=n2-n=2,可得n=2为正整数,即2是{an}的项;
同理令an=n2-n=40,可得n不为正整数,即40不是{an}的项;
令an=n2-n=56,可得n=8为正整数,即56是{an}的项;
令an=n2-n=90,可得n=10是正整数,即90是{an}的项.
4.已知数列,,,,…,,则0.96是该数列的
( )
A.第22项
B.第24项
C.第26项
D.第28项
【解析】选B.令=0.96,解得n=24.
5.若an=,则an与an+1的大小关系是
( )
A.an>an+1
B.anC.an=an+1
D.不能确定
【解析】选B.因为数列{an}的通项公式是an===1-(n∈N
),显然当n增大时an
的值也随之增大,
故数列{an}是递增数列,故有an6.数列的通项公式为an=则a2·a3等于
( )
A.70
B.28
C.20
D.8
【解析】选C.因为a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,
所以a2·a3=20.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.设数列{an}的通项公式为an=,-3是数列的第________项.?
【解析】an====-,
令-3=-,所以n=9.
答案:9
8.若数列{an}的通项公式是an=3-2n,则=________,=________.?
【解析】因为an=3-2n,
所以=3-=3-4n,==.
答案:3-4n
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知数列{an}中,an=5n-3,求a5,并判断97是否为数列{an}中的项.
【解析】由已知,a5=5×5-3=22,
令5n-3=97,解得n=20,
故97是数列{an}的第20项.
10.已知函数f(x)=log2x-logx2(0(1)求数列{an}的通项公式.
(2)证明数列{an}是递增数列.
【解析】(1)因为f()=log2-lo2=2n,
所以an-=2n,
即-2nan-1=0,故an=n±,
又0<<1,所以an<0,故an=n-,
(2)因为=
=<1,
而an<0,所以an+1>an,
所以数列{an}是递增数列.
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