综合测试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中有且只有一个正确答案，请将答案序号填入题后的括号中)
1．“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．不等式|x－2|＞x－2的解集是( )
A．(0,2)
B．(－∞，2)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
3．已知a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式不正确的是( )
A．|a＋b|＞a－b
B．|a＋b|＜|a|＋|b|
C．2≤|a＋b|
D．＋≥2
4．不等式|x|(1－3x)＞0的解集是( )
A．
B．(－∞，0)∪
C．
D．
5．(2017年铜陵期末)设a＞0，b＞0，若2是4a和2b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．
B．4
C．
D．5
6．已知m2＋n2＝a，x2＋y2＝b，则mx＋ny的最大值是( )
A．
B．2
C．
D．ab
7．设点G是△ABC的重心，若∠A＝120°，·＝－1，则|AG|的最小值是( )
A．
B．
C．
D．
8．已知实数x，y，z满足2x－y－2z－6＝0，x2＋y2＋z2≤4，则2x＋y＋z＝( )
A．
B．
C．
D．2
9．若x＋4y＝40，x＞0，y＞0，则lg
x＋lg
y的最大值为( )
A．40
B．10
C．4
D．2
10．(2017年信阳校级月考)对任意实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|＞k恒成立，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－3)
B．(－∞，－3]
C．(－3，＋∞)
D．[－3，＋∞)
11．(2017年郑州三模)若实数a，b，c＞0且(a＋c)·(a＋b)＝6－2，则2a＋b＋c的最小值为( )
A．－1
B．＋1
C．2＋2
D．2－2
12.(2018年杭州模拟)已知x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为( )
A.[－1,1]
B.[－1,2]
C.
[0,1]
D.[0,2]
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填入题中的横线上)
13．(2017年天津)若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为__________．
14．函数y＝3＋4的最大值为________．
15.(2018年延边模拟)下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.其中能使＋≥2成立的条件的序号是 .
16．不等式≥|a－2|＋sin
y对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为________．
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
17．(本小题满分10分)已知：x∈R，a＝x2－1，b＝4x＋5.
求证：a，b中至少有一个不小于0.
18．(本小题满分12分)用放缩法证明：2(－1)＜1＋＋＋…＋＜2(n∈N
)．
19．(本小题满分12分)已知长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大？求出这个最大值．
20.(本小题满分12分)(2018年黄山模拟)已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定义域为[－1,1]，且|f(x)|的最大值为M.求证：
(1)|1＋b|≤M；
(2)M≥.
21．(本小题满分12分)已知数列是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145.
(1)求数列的通项公式bn；
(2)设数列的通项an＝loga(其中a＞0且a≠1)，记Sn是数列的前n项和，试比较Sn与logabn＋1的大小，并证明你的结论．
22．(本小题满分12分)已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N
)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，B∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数．
(1)写出f(6)的值；
(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．
PAGE综合测试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中有且只有一个正确答案，请将答案序号填入题后的括号中)
1．“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
2．不等式|x－2|＞x－2的解集是( )
A．(0,2)
B．(－∞，2)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
【答案】B
3．已知a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式不正确的是( )
A．|a＋b|＞a－b
B．|a＋b|＜|a|＋|b|
C．2≤|a＋b|
D．＋≥2
【答案】B
4．不等式|x|(1－3x)＞0的解集是( )
A．
B．(－∞，0)∪
C．
D．
【答案】B
5．(2017年铜陵期末)设a＞0，b＞0，若2是4a和2b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．
B．4
C．
D．5
【答案】C
6．已知m2＋n2＝a，x2＋y2＝b，则mx＋ny的最大值是( )
A．
B．2
C．
D．ab
【答案】C
7．设点G是△ABC的重心，若∠A＝120°，·＝－1，则|AG|的最小值是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】∵∠A＝120°，·＝－1，∴||||·cos
120°＝－1，即||||＝2.∵G是△ABC的重心，∴＝(＋)，∴||＝＝≥＝.故选B．
8．已知实数x，y，z满足2x－y－2z－6＝0，x2＋y2＋z2≤4，则2x＋y＋z＝( )
A．
B．
C．
D．2
【答案】B 【解析】∵实数x，y，z满足2x－y－2z－6＝0，∴2x－y－2z＝6，由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)[22＋(－1)2＋(－2)2]≥(2x－y－2z)2＝36，∴x2＋y2＋z2≥4，又x2＋y2＋z2≤4，∴当＝＝时，x2＋y2＋z2＝4，此时x＝－z＝－2y，代入2x－y－2z－6＝0，解得y＝－，x＝，z＝－，∴2x＋y＋z＝.
9．若x＋4y＝40，x＞0，y＞0，则lg
x＋lg
y的最大值为( )
A．40
B．10
C．4
D．2
【答案】D 【解析】∵x＋4y＝40，x＞0，y＞0，
∴lg
x＋lg
y＝lg(xy)＝lg(x·4y)≤lg2＝lg
100＝2，当且仅当即x＝20，y＝5时，等号成立．
∴lg
x＋lg
y的最大值为2.
10．(2017年信阳校级月考)对任意实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|＞k恒成立，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－3)
B．(－∞，－3]
C．(－3，＋∞)
D．[－3，＋∞)
【答案】A 【解析】|x＋1|－|x－2|表示数轴上的点x到－1,2两点的距离之差，易得－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，则k<－3.故选A．
11．(2017年郑州三模)若实数a，b，c＞0且(a＋c)·(a＋b)＝6－2，则2a＋b＋c的最小值为( )
A．－1
B．＋1
C．2＋2
D．2－2
【答案】A 【解析】根据题意，2a＋b＋c＝(a＋c)＋(a＋b)，由a，b，c＞0，可得a＋c＞0，a＋b＞0，则2a＋b＋c＝(a＋c)＋(a＋b)≥2＝2＝2(－1)＝2－2，即2a＋b＋c的最小值为2－2.故选D．
12.(2018年杭州模拟)已知x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为( )
A.[－1,1]
B.[－1,2]
C.
[0,1]
D.[0,2]
【答案】D 【解析】|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1，|y|＋|y－1|≥|y－(y－1)|＝1，∴|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2，当且仅当x∈[0,1]，y∈[0,1]时，|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|取得最小值2.而已知|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，∴|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2，此时x∈[0,1]，y∈[0,1]，∴x＋y∈[0,2].
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填入题中的横线上)
13．(2017年天津)若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为__________．
【答案】4 【解析】≥＝4ab＋≥2＝4，前一个等号成立的条件是a2＝2b2，后一个等号成立的条件是ab＝，两个等号可以同时成立，当且仅当a2＝，b2＝时取等号．
14．函数y＝3＋4的最大值为________．
【答案】10 【解析】根据柯西不等式，得
y2＝(3＋4)2≤(32＋42)[()2＋()2]＝25×4＝100，
当且仅当3＝4即x＝时取等号．
15.(2018年延边模拟)下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.其中能使＋≥2成立的条件的序号是 .
【答案】①③④ 【解析】要使＋≥2，只要>0且>0，即a，b不为0且同号即可，故①③④均能使＋≥2成立.
16．不等式≥|a－2|＋sin
y对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为________．
【答案】[1,3] 【解析】∵x＋∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴∈[2，＋∞)，其最小值为2.又∵sin
y的最大值为1.故不等式≥|a－2|＋sin
y恒成立时，有|a－2|≤－sin
y恒成立，即|a－2|≤1恒成立，解得a∈[1,3]．
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
17．(本小题满分10分)已知：x∈R，a＝x2－1，b＝4x＋5.
求证：a，b中至少有一个不小于0.
【证明】假设a，b都小于0，即a＜0，b＜0，则a＋b＜0.
又a＋b＝x2－1＋4x＋5＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，
这与假设所得a＋b＜0矛盾，故假设不成立．
∴a，b中至少有一个不小于0.
18．(本小题满分12分)用放缩法证明：2(－1)＜1＋＋＋…＋＜2(n∈N
)．
【证明】1＋＋＋…＋＜1＋＋＋…＋＝1＋2(－1)＋2(－)＋…＋2(－)＝1＋2(－1)＝2－1＜2.
又因为1＞＝2(－1)，＞＝2(－)，…，＞＝2(－)，
所以2(－1)＜1＋＋＋…＋.
综上所述：2(－1)＜1＋＋＋…＋＜2成立．
19．(本小题满分12分)已知长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大？求出这个最大值．
【解析】设长方体的体积为V，长、宽、高分别是a，b，c，
则V＝abc，S＝2ab＋2bc＋2ac.
V2＝(abc)2＝(ab)(bc)(ac)≤3＝3＝.
当且仅当ab＝bc＝ac，即a＝b＝c时，上式取“＝”，
V2有最大值.
由解得a＝b＝c＝.
答：当长方体的长、宽、高都为时，体积最大为.
20.(本小题满分12分)(2018年黄山模拟)已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定义域为[－1,1]，且|f(x)|的最大值为M.求证：
(1)|1＋b|≤M；
(2)M≥.
【证明】(1)∵M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，M≥|f(1)|＝|1＋a＋b|，
∴2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝2|1＋b|，
∴M≥|1＋b|.
(2)依题意，M≥|f(－1)|，M≥|f(0)|，M≥|f(1)|.
又|f(－1)|＝|1－a＋b|，|f(1)|＝|1＋a＋b|，|f(0)|＝|b|，
∴4M≥|f(－1)|＋2|f(0)|＋|f(1)|
＝|1－a＋b|＋2|b|＋|1＋a＋b|
≥|(1－a＋b)－2b＋(1＋a＋b)|＝2.
∴M≥.
21．(本小题满分12分)已知数列是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145.
(1)求数列的通项公式bn；
(2)设数列的通项an＝loga(其中a＞0且a≠1)，记Sn是数列的前n项和，试比较Sn与logabn＋1的大小，并证明你的结论．
【解析】(1)设数列的公差为d，由题意得
?∴bn＝3n－2.
(2)证明：由bn＝3n－2知
Sn＝loga(1＋1)＋loga＋…＋loga
＝loga，
而logabn＋1＝loga，于是，比较Sn与logabn＋1的大小?比较(1＋1)…与的大小．
取n＝1，有(1＋1)＝＞＝，
取n＝2，有(1＋1)＞＞＝，
推测：(1＋1)…＞(
)．
①当n＝1时，已验证(
)式成立．
②假设n＝k(k≥1且k∈N
)时(
)式成立，
即(1＋1)…＞，
则当n＝k＋1时，
(1＋1)…＞
＝，
∵3－()3
＝＝＞0.
∴(3k＋2)＞＝.
从而(1＋1)…＞，即当n＝k＋1时，(
)式也成立．
由①②知，(
)式对任意正整数n都成立．
22．(本小题满分12分)已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N
)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，B∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数．
(1)写出f(6)的值；
(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．
【解析】(1)Sn＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,6)}，
所以f(6)＝13.
(2)当n≥6时，
f(n)＝(t∈N
)．
下面用数学归纳法证明：
①n＝6时，f(6)＝6＋2＋＋＝13，结论成立；
②假设n＝k(k≥6)时，结论成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：
i．若k＋1＝6t，则k＝6(t－1)＋5，此时有f(k＋1)＝f(k)＋3＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
ii.若k＋1＝6t＋1，则k＝6t，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
iii.若k＋1＝6t＋2，则k＝6t＋1，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
iv.若k＋1＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
v．若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；
vi.若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立．
综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．
PAGE
