★2021年3月
三台中学实验学校2020级高一下期第一次月考
数学试题
选择题(本大题共12个小题,每题5分,共60分)
1.已知点,向量=
A. B. C. D.
2.在中,内角的对边分别为,且,则边的大小是
A. B. C. D.
3.已知,在上的投影为,则
A. B. C. D.
4.下列结论正确的是
A.向量与向量是共线向量,则四点在同一条直线上
B.若,则或
C.单位向量都相等
D.零向量不可作为基底中的向量
5.若D为△ABC的边AB的中点,则等于
A.2- B.2-
C.2+ D.2+
6.符合下列条件的三角形有且只有一解的是
A. B.
C. D.
7.在△ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则cos B等于
A. B. C. D.
8.已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,若<cosA,则△ABC的形状为
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
9.已知的内角、、的对边分别为、、,且,若,则的外接圆面积为
A. B. C. D.
10.如图,在中,,,,点为的
中点,,则的值为
A. B.
C. D.
11.在中分别是的对边,,若且
,则的面积为
A. B. C. D.
12.已知的外接圆的圆心为M,AB=4,AC=6,D是BC的中点,则=
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)
13.设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=________.
14.角所对的边分别为,若,则______.
15.若向量与的夹角为钝角,则的取值范围是_________.
16.在锐角中,,则的取值范围是______________.
三.解答题:(本大题共6小题,满分70分。解答应写文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知平面向量.
(1)若,求x的值;
(2)若,求与的夹角的余弦值.
18.(本小题满分12分)已知a,b,c分别为锐角三个内角A,B,C的对边,,,且.
(1)求A;
(2)若,的周长为6,求的面积.
19.(本小题满分12分)如图,在梯形中,,,,记,试以为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题:
(1)若,求实数的值;
(2)若,求数量积的值.
20.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=150°.
(1)若a=c,b=2,求△ABC的面积;
(2)若sin A+sin C=,求C.
21.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.
(1)求A的大小;
(2)若D为BC边上一点,且CD=2DB,b=3,AD=,求a.
22.(本小题满分12分)如图,在平面四边形ABCD中,.
(1)若,求四边形ABCD的面积S;
(2)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线BD的长.
三台中学实验学校2020级高一下期3月月考数学答案
选择题
1-6 A D C D A C 7-12 A C D B B A
填空题
13. 14. 15. 16.
17.(1)平面向量,
若,则,解得;…………………4分
若,则,
即,解得,
∴,…………………7分
∴与的夹角的余弦值为.…………………10分
18解 (1)在由题意得:,由正弦定理边化角得:
在锐角△ABC中,
上式变为,即,
在锐角△ABC中,,
.………………5分
在△ABC中,由余弦定理得:
变形得:
因为△ABC的周长为6,所以,代入上式得:
.………………10分
故△ABC的面积为.…………………12分
19解:(1),
因为,得,
因此,………………6分
(2)因为,且ADBC,
所以,得,
则
………………12分
20解 (1)由余弦定理可得
b2=28=a2+c2-2ac·cos 150°=7c2,
∴c=2,a=2,
∴△ABC的面积S=acsin B=.………………5分
(2)∵A+C=30°,
∴sin A+sin C=sin(30°-C)+sin C
=cos C+sin C=sin(C+30°)=,………………10分
∵0°∴C+30°=45°,∴C=15°.………………12分
解:解:(1)由已知,
由正弦定理有:,
整理的,即,
又,所以,
;.………………5分
(2)过作交于,,,
由余弦定理,,得,
则,
又,,
则三角形为直角三角形,
..………………12分