三台中学实验学校2018级高三下周考（四）
数
学
试
卷（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合,集合,则
A.
B.
C.
D.
2.已知复数,
是的共轭复数，若,其中均为实数，则的值为
A.
B.
C.
D.
3.已知,则
A
B.
C.
D.
4.如图是某公司年月到月的销售额(单位：万元)的折线图，销售额在万元以下为亏损，超过万元为盈利，则下列说法错误的是
A．这个月中销售额最低的是月份
B．从月到月销售额逐渐增加
C．这个月中有个月是亏损的
D．这个月销售额的中位数是万元
5.函数的图象大致为
6.
过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，，弦中点的横坐标，则该抛物线的方程为
A.
B.
C.
D.
7.
设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则“”是“”的
A.
充分不必要条件
B
.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
8.圆上任意一点到直线的距离大于的概率为
A.
B．
C．
D．
9.设等差数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是
A.
B.
C.
D.
10.已知函数.,则
A.
B.
C.
D
11．在中，角所对的边分别为，且点D满足，若，则的最大值为
A．
B．
C．
D．
12.正方体中，是棱的中点，在侧面上运动，且满足以下命题正确的有
①.
侧面上存在点，使得
②.
直线与直线所成角可能为
③.
平面与平面所成锐二面角的正切值为
④.
设正方体棱长为，则过点的平面截正方体所得的截面面积最大为
A.
B.②③
C.③④
D.①③
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设各项均为正数的等比数列的前n项和为，,则=
_______
.
14.已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,且|a|=|b|,则a和a+b的夹角为
.
15.在四棱锥中，底面为矩形，平面,
,若和的面积分别为和,则四棱锥的外接球的表面积为_______
.
16.已知为双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线l交双曲线右支于两点（在轴上方），则的内切圆半径与的内切圆半径之比为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.在我国抗疫期间，素有“南抖音，北快手”之说的小视频除了给人们带来生活中的快乐外，更在于传递了一种正能量，为抗疫起到了积极的作用，但一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，某同学学习利用“快影”软件将已拍摄的素材进行制作，每次制作分三个环节来进行，其中每个环节制作合格的概率分别为只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作，该小视频视为合格作品.
（1）求该同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率；
（2）若该同学制作10次，其中合格作品数为，求的数学期望.
18.
已知中角所对的边分别为，满足
(1)求；
(2)若点为上一点，，平分交于点，，求
19.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，M为线段PC的中点，PD=AD，N为线段BC上的动点．
(1)证明：平面MND平面PBC；
(2)当点在线段的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°,指出点的位置，并说明理由．
20.(12分)已知椭圆C：经过一点(1，)，左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一动点，当PF2垂直于x轴时，|PF2|＝.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F1，斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，且∠AOB为钝角(O为坐标原点)，求k的取值范围.
21.(12分）已知函数，其中.
(1)若在区间上单调递减，求的取值范围；
(2)若不等式对恒成立，证明：.。
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程］（10分）
在平面直角坐标系中，曲线，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）射线分别交曲线于两点，求的最大值．
23.[选修4-5:不等式选讲］（10分）
设函数，．
（1）求不等式的解集；
（2）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．台中学实验学校2018级高三下周考(四
(Ⅱ1)∵S△ADE=3
AD
DEsin∠ADE,
数学试卷(理)
△CDE=
CD.
DEsin∠CDE,CD=2
在△ACD中,设AC=x
由余弦定理得x2+4-4x
v3
即x2-23x-24=0,解得x=43(舍负).(8分)
解答题
△ABC中,sin∠BAC=sin4+
17.(1)由题意知:制作一次视频成功的概率为
由正弦定理得
BcsIn∠BAC
AC=6+
作,恰有一次合格作品的概率
∴BD=423(12分)
(2)根据题意
5
19.解:(1)因为PD⊥底面ABCD,BCc面ABCD
PD⊥BC,又CD⊥BC,PD∩CD=D
以BC⊥平面PCD
1分
18.解:(I)∵sin(A-B)=V2sinA-sinC
又DMc平面PCD
所以DM⊥BC
2分
因为在△PDC中,PD=AD,M为PC的中点
sinAcosB-cosAsinB=v2sinA-(sinAcosBtcosAsinB),
以DM⊥PC,
3分
又PC∩B
2
esinacosB=y2sinA3分)
所以DM⊥平面PBC
∵B∈(0,T),∴B=4(6分)
又DMc平面DMN,所以平面MND⊥平面PBC:…
5分
有(1+4k
k2-4=0
(2)设PD=1,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DF方向为x,y,z轴的正方向,建
立空间直角坐标系D-x2,设N(λ,0),则AP=(-1,0,1),AB=(0,1,0),
√3)=k2(x1
分
∠AOB为钝角,则O
<0.9分
DN=(A,1,0,DM=(0,,-)
设m=(x,y1,1)为平面PAB的一个法向量,
且k≠0.11分
m·AP=0
则有
x1+=0
即
分
mAB=0
0,令x=1,可得m=(0.1),
的取值范围是(
(0√4)12分
设n=(x2,y2,二2)为平面MND的一个法向量,
21.解:(I)函数f(x)=lnx+mx2+(2m+1)x,其中m<0,x>0
n
DN=0
Ax2+y2=0
(2mx+1)(x+1)
则有
令x2=1,可得n=(1-,4)
10分
f′(x)=二+2mx+2m+1
(2分)
nDM=0
令f’(x)<0得x
因为平面MND与平面PAB夹角为30,所以m√
令-n≤2,解得m≤-(4分)
I)证明:函数f(x)=lnx+mx2+(2m+1)x,其中m<0,x>0
,解得λ=
11分
(x+1)(2mx+1
故N为线段BC的中点
12分
令f′(x)=0得x
解
题意有
分
解得
分
当00,f(x)是增函数
椭圆方程为
4分
当x>-2m时,f(x)0,f(x)是减函数
线斜率k=0时,显然∠AOB=1800
分
所以当x=-2m时,f(x)既是极大值也是最大值,
k
设直线
2m+1
41
联立直线l与椭圆
6分
