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人教A版 选修2—2 精讲细练
1.1.2导数的概念
一、知识精讲
导数
（1）定义：从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
我们称它为函数在处的导数，
记作或。
（2）表达式：
（3）注意点：
①Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0,但永远不会为0；
②若存在,则称f(x)在x=x0处可导；
③“瞬时变化率”和“导数”是同一概念的两个不同名称。
（4）求“导数”的步骤
①求函数的增量：Δy=； —— 一减
②计算平均变化率：。—— 二除
③求平均变化率的极限：—— 三极限
（5）导数的物理意义：物体运动时的瞬时速度。
二、典例细练
【题型一】：基本概念的理解
例题1：函数在某一点的导数是指( )
A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B．一个函数
C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
【答案】 C
【解析】 由定义，A选项指的是函数的平均变化率；f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数，故应选C.
【点评】注意平均变化率和导数的定义上的区别。
变式训练：已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是( )
A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量
B.＝叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率
C．f(x)在x0处的导数记为y′
D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0)
【答案】 C
【题型二】：导数的求法
例题2：函数y＝2x＋4x
（1）求函数在x＝3处的导数；
（2）若函数在x＝x0处的导数是8，求x0的值．
【解析】（1）Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx
＝2(Δx)2＋16Δx，
∴＝＝2Δx＋16.
∴y′|x＝3＝ ＝ (2Δx＋16)＝16.
（2）根据导数的定义
f′(x)＝li ＝li
＝li ＝li
＝li (4x＋2Δx＋4)＝4x＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝8.
解得x0＝1.
【点评】严格按照“一差二除三极限”的步骤来求函数的导数。
变式训练1：设f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)．
【解析】: 由导数定义有f′(x0)＝li
＝li ＝li ＝2x0，
变式训练2：已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，则a等于______．
【答案】 2
【解析】 ∵＝＝a，
∴f′(1)＝li ＝a.∴a＝2.
【点评】变式2为导数的逆向应用，注意思维的转化。
【题型三】：导数的物理意义
例题3：若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)；s＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
【解析】 (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为
＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近的平均变化率为
＝＝＝3Δt－18，
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为
li ＝li (3Δt－18)＝－1
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近的平均变化率为
＝＝＝3Δt－12，
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为
li＝＝li (3Δt－12)＝－12，
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
【点评】求物体的初速度，即求物体在t＝0时刻的速度，很容易误认为v0＝0，有些函数表达式刻画的直线运动并不一定是由静止开始的直线运动．出错原因是受思维定势的影响．
变式训练：一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的瞬时速度为( )
A．37 B．38
C．39 D．40
【答案】 D
【解析】 ∵＝＝40＋4Δt，
∴s′(5)＝li ＝li (40＋4Δt)＝40.故应选D.
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1.1.1 变化率问题
一、知识精讲
平均变化率
（1） 定义：变化率可用式子表示, 我们把这个式子称为函数从 到的平均变化率。
（2） 表达式：平均变化率为
【注】其中, (这里看作是对于的一个“增量”可用+代替,同样)。
（3） 几何意义：直线的斜率。
（4） 求“平均变化率”步骤：
①求函数的增量：Δy=； —— 一减
②计算平均变化率：。—— 二除
（5） 注意点：
①可正可负，也可以是0；可正可负，但一定不为0.
②在式子，与共同影响着平均变化率的取值
二、典例细练
【题型一】：平均变化率概念的理解
例题1：在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx( )
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不等于零
【答案】 D
【解析】 Δx可正，可负，但不为0；可正可负，也可以是0。故应选D.
变式训练：设函数y＝f(x)，当自变量x由x0变化到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
【答案】 D
【解析】根据定义，函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故应选D.
【题型二】：平均变化率的求法
例题2：求y＝f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
【解析】函数f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为：
＝＝4x0＋2Δx.
当x0＝1，Δx＝时，平均变化率为4×1＋2×＝5.
【点评】求“平均变化率”步骤：
①求函数的增量：Δy=； —— 一减
②计算平均变化率：。—— 二除
变式训练1：已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率．
【解析】函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为
＝＝2.
函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为＝2.
函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为＝－2.
函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为＝－2.
变式训练2：求在附近的平均变化率。
【解析】，
所以
所以在附近的平均变化率为
【题型三】：平均变化率的应用
例题3：过曲线f(x)＝的图象上两点A(1,2)，B(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线AB，求出当Δx＝时割线的斜率．
【解析】联系平均变化率的几何意义进行作答，
故割线AB的斜率k＝＝＝＝＝－.
【点评】平均变化率的几何意义为割线的斜率。
变式训练1： 一质点的运动方程是s=4-2,则在时间段[1,1+Δt]内相应的
平均速度为( ).
A.2Δt+4 B.-2Δt+4 C.2Δt-4 D.-2Δt-4
【答案】 D
【解析】
【点评】平均变化率的物理意义为物体的平均速度。
变式训练2：已知正弦函数y=sin x,求该函数在x=0和x=附近的平均变化率,比较平均变化率的大小,并说明其含义.
【解析】解:当自变量从0变到Δx时,函数的平均变化率为：
=；
当自变量从变到Δx+时,函数的平均变化率为：
。
由于是在x=0和x=附近的平均变化率,可知|Δx|较小,
但Δx既可为正,又可为负.
当Δx>0时,k1>0,k2<0,此时有k1>k2;
当Δx<0时,k1-k2=
因为，所以，所以；
所以；所以。
所以k1-k2>0,即k1>k2.
综上可知,正弦函数y=sin x在x=0附近的平均变化率大于在x=附近
的平均变化率.
以上数据说明:正弦函数y=sin x在x=0处附近的平均变化率较大,图
象比较陡峭;而在x=附近变化率较小,图象比较平缓.
【点评】平均变化率大小类似于函数的单调性，可以说明图像的陡峭程度。
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1.4 生活中的优化问题举例
一、知识精讲
利用导数解决生活中优化问题的一般步骤如下
二、典例细练
【题型一】面积容积的最值问题
例题1：(江苏卷17)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
P
【解析】（1）由题意知, 包装盒的底面边长为,高为,所以包装盒侧面积为S==,
当且仅当,即时,等号成立,所以若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，此时应15cm.
（2），所以，
当时，，所以，当x=20时，V最大。
此时，包装盒的高与底面边长的比值为
【点评】本题中的第1小题应用均值不等式作为解答方法时，需注意均值不等式等号成立的条件；第2小题中应用导数法去求体积的最大值，充分体现了三次函数求最值时应用求导的优越性。
变式训练：（福州市高二期末模块测试）如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？
【解析】：设小正方形的边长为厘米，则盒子底面长为（）cm,宽为()cm,
，（0（舍去）
∴，在定义域内仅有一个极大值，
立方厘米。
【题型二】利润最大问题
例题2：(福建卷理科18)（本小题满分13分）
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3（I）求a的值
（II）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
【解析】：本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分13分。
解：（I）因为x=5时，y=11，所以
（II）由（I）可知，该商品每日的销售量
所以商场每日销售该商品所获得的利润
从而，
于是，当x变化时，的变化情况如下表：
（3，4） 4 （4，6）
+ 0 -
单调递增 极大值42 单调递减
由上表可得，x=4是函数在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点；
所以，当x=4时，函数取得最大值，且最大值等于42。
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。
变式训练：（福州市高二期末模块测试）
【解析】（Ⅰ）改进工艺后，每件产品的销售价为元，月销售量为件，则月利润为，
所以与的函数关系式为．
（Ⅱ）由，得，（舍去），
∵，当时，当时
函数在处取到极大，也是最大.
故改进工艺后，纪念品的销售价为元时，该公司销售该纪念品的月利润最大．
【题型三】费用最省问题
例题3：(山东卷理科21)（本小题满分12分）
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.
（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.
【解析】（I）设容器的容积为V，
由题意知
故
由于
因此
所以建造费用
因此
（II）由（I）得
由于
当
令
所以
（1）当时，
所以是函数y的极小值点，也是最小值点。
（2）当即时，
当函数单调递减，
所以r=2是函数y的最小值点，
综上所述，当时，建造费用最小时
当时，建造费用最小时
变式训练：(湖北卷)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
【解析】(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x
＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当00.故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
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1.7.2 定积分在物理中的应用
一、知识精讲
1.做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝v(t)dt。
2.一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所作的功为W＝Fs；而若是变力所做的功W，等于其力函数F(x)在位移区间[a，b]上的定积分，即W＝F(x)dx。
二、典例细练
【题型一】：求变速直线运动的路程、位移
例题1：有一动点P沿x轴运动，在时间t的速度为v(t)＝8t－2t (速度的正方向与x轴正方向一致)．求
(1)P从原点出发，当t＝3时，离开原点的路程；
(2)当t＝5时，P点的位置；
(3)从t＝0到t＝5时，点P经过的路程；
(4)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．
【解析】 (1)由v(t)＝8t－2t2≥0，得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，t>4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝3时，点P离开原点的路程s1＝(8t－2t2)dt＝(4t2－t3)|＝18.
(2)当t＝5时，点P离开原点的位移s2＝(8t－2t2)dt＝(4t2－t3)|＝.
∴点P在x轴正方向上距离原点处．
(3)从t＝0到t＝5时，点P经过的路程
s3＝(8t－2t2)dt－(8t－2t2)dt＝(4t2－t3)|－(4t2－t3)|＝26.
(4)依题意(8t－2t2)dt＝0，
即4t2－t3＝0，解得t＝0或t＝6，t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，
t＝6是所求的值．
变式训练：A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点的速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：
(1)A、C间的距离；(2)B、D间的距离；(3)电车从A站到B站所需的时间．
【解析】 (1)设A到C经过t1s，由1.2t＝24得t1＝20(s)，所以AC＝∫1.2tdt＝0.6t2＝240(m)．
(2)设从D→B经过t2s，由24－1.2t2＝0得t2＝20(s)，所以DB＝∫(24－1.2t)dt＝240(m)．
(3)CD＝7200－2×240＝6720(m)．从C到D的时间为t3＝＝280(s)．于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．
【题型二】：求变力做的功
例题2：设有一根长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．
【解析】设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在弹簧上的力(单位：N)．
由题意F(x)＝kx，且当x＝0.05 m时，F(0.05)＝100 N，即0.05k＝100，
∴k＝2000，∴F(x)＝2000x.∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为
W＝2000xdx＝1000x2|＝22.5(J)．
变式训练：一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为( )
A．8J B．10J C．12J D．14J
【答案】D
【解析】由变力做功公式有：W＝(4x－1)dx＝(2x2－x)＝14(J)，故应选D.
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1.7.1 定积分在几何中的应用
一、知识精讲
用定积分求“曲边图形”面积的步骤：
(1)先作出草图，确定所求阴影部分面积；
(2)解方程组得到交点的坐标，确定被积函数以及积分的上、下限；
(3)把所求的面积用定积分表示；
(4)根据微积分基本定理求出面积．
二、典例细练
【题型一】：不分割型图形面积的求解
例题1：求下列曲线所围成的图形的面积；y＝8－x2，y＝x2。
【解析】：作出曲线y＝8－x2，y＝x2的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．
解方程组得交点的横坐标为x＝－2及x＝2.
因此，所求图形的面积为S＝(8－x2)dx－x2dx
＝(8x－x3)|－x3|＝.
变式训练1：如图所示，阴影部分的面积是( )
A．2 B．2－ C. D.
【答案】 C
【解析】 S＝－3(3－x2－2x)dx即F(x)＝3x－x3－x2，
则F(1)＝3－1－＝，F(－3)＝－9－9＋9＝－9.
∴ S＝F(1)－F(－3)＝＋9＝.故应选C.
变式训练2：(山东理，7)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 由得交点为(0,0)，(1,1)．
∴S＝(x2－x3)dx＝＝.
变式训练3：（全国Ⅰ理9）由曲线，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为
（A） （B）4 （C） （D）6
【答案】C
【题型二】：分割型图形面积的求解
例题2：求下列曲线所围成的图形的面积；y＝6－x，y＝，x＝0。
作出直线y＝6－x，曲线y＝的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．
解方程得直线y＝6－x与曲线y＝交点的坐标为(2,4)，直线y＝6－x与x轴的交点坐标为(6,0)．
因此，所求图形的面积S＝S1＋S2＝dx＋(6－x)dx
＝×x|＋(6x－x2)|＝＋[(6×6－×62)－(6×2－×22)]＝＋8＝.
变式训练1：由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )
A.(x2－1)dx B．|(x2－1)dx|
C.|x2－1|dx D.(x2－1)dx＋(x2－1)dx
【答案】C
【解析】y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.
变式训练2：由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是________．
【答案】 18
【解析】 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．
因此所求图形的面积S＝ (y＋4－)dy
取F(y)＝y2＋4y－，则F′(y)＝y＋4－，从而S＝F(4)－F(－2)＝18.
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1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 汽车行驶的路程
一、知识精讲
1．连续函数
如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．
2．曲边梯形
①定义：曲边梯形—由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线所围成的图形称为曲边梯形(如下图)．
②求法：分割、近似替代、求和、取极限。
3．求作变速直线运动物体的位移(路程)
如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似替代、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内的位移s.
二、典例细练
【题型一】：连续函数的判断
例题1：下列函数中,在其定义域内不是连续函数的是( ).
A.f(x)=|x| B.f(x)=sin x
C.f(x)=lg x-1 D.f(x)=
【答案】:D
【解析】:作出各个函数的图象,可知应选D.
【点评】判断一个函数在某个区间上是否为连续函数就是看此函数的图像在该区间上是否间断；若间断，则不为连续函数。
【题型二】：求曲边梯形的面积
例题1：求直线和曲线所围成的图形（曲边三角形）的面积．
【解析】1．分割
把区间等分成个小区间，，…，，…，
每个区间的长度为.过各区间端点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，它们的面积分别记作，，…，，…，．即．
2．近似替代
对区间上的小曲边梯形，以区间左端点对应的函数值为一边的长，以为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，即．
3．求和
因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形的面积之和就是所求曲边三角形面积的近似值，其中
]．
4、取极限
当分割无限变细，即（亦即）时，.
的求法包括：
方法1、计算机计算（一个大致结果）．
方法2、体积构造法:
.
将单位正方体每条棱等分，得到个长方体，其体积之和即为；当时，该几何体无限逼近四棱锥，又，从而．
方法3、公式法:
由（公式推导见教材第二章推理与证明P72）有
，
当时，，从而．
【点评】求曲边梯形面积的思想是“以直代曲”，分割的越细，曲边题型的面积越精确。
变式训练：求由直线x＝0，x＝1，y＝0与曲线y＝x＋2x＋1围成曲边梯形的面积．
【解析】将区间[0,1]等分成n个小区间，则第i个小区间为[，]，第i个小区间的面积为
ΔSi＝f()·＝[()2＋2()＋1]·，
所以Sn＝Si
＝()2＋2()＋1]·
＝(12＋22＋32＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)＋1
＝·＋·＋1
＝＋＋2，
S＝liSn＝li[＋＋2]＝，
所以所求的曲边梯形的面积为.
【题型三】：求作变速直线运动物体的路程
例题3：已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．
【解析】(1)分割：将时间区间[0，t]分成n等份．把时间[0，t]分成n个小区间，则第i个小区间为[t，](i＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间段
Δt＝－t＝，
在各个小区间物体下落的距离记作Δsi(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．
在[t，]上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)，
可取ξi使v(ξi)＝g·t近似代替第i个小区间上的速度，
因此在每个小区间上自由落体Δt＝内所经过的距离可近似表示为
Δsi≈gt·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：
sn＝si＝·()t·＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝gt2(1－)．
(4)取极限：s＝li gt2(1－)＝gt2.即在时间区间[0，t]内物体下落的距离为gt2.
【点评】把变速直线运动的路程问题,化归为求匀速直线运动的问题,采用方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限,求变换直线运动的路程和曲边梯形的面积,虽然它们的意义不同,但都可以归纳为求一个特定形式和的极限,通过这样的背景问题,能更好体会后面所要学习的定积分的概念.
变式训练：汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？
【解析】 将区间[1,2]等分成n个小区间，第i个小区间为.
∴Δsi＝f·.
sn＝·＝＝
＝3n＋[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋[0＋2＋4＋6＋…＋2(n－1)]
＝3＋＋.
s＝sn＝ ＝.∴这段时间行驶的路程为km.
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1.3.1 函数的单调性与导数
一、知识精讲
单调性的基本判定方法
（1）图像法——在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
（2）定义法——一般地，设函数 f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数；当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．
【注】如果函数 y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 y＝f(x) 的单调区间．
（3）导数法——设函数y＝f(x)在区间（a,b）内可导
①如果f '(x)＞0 ，则函数f(x)在这个区间内单调递增；
②如果f '(x)＜0 ，则函数f(x)在这个区间内单调递减.
【注1】利用导数确定函数的单调性的步骤：
①确定函数f(x)的定义域；
②求出函数的导数；
③解不等式f (x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f (x)＜0，得函数的单调递减区间．
【注2】一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
【注3】“在区间(a，b)内，f′(x)＞0”是“y＝f(x)在某个区间上递增”的充分不必要条件．（比如y＝x在R上为增函数，但其在0处的导数等于零。）
二、典例细练
【题型一】：利用导数信息判断函数的大致图象
已知函数y=f(x)的导数f'(x)满足如下条件:
①当x<-1或x>时,f'(x)>0;②当-1【解析】①当x<-1或x>时,f'(x)>0,可知函数y=f(x)在区间(-∞,-1)和(,+∞)内单调递增;
②当-1③当x=-1或x=时,f'(x)=0.综上可知,函数的图象的大致形状如图所示.
变式训练：(山东卷理科9)函数的图象大致是
【答案】C
【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C正确.
【题型二】：求函数的单调区间
例题2：求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x－x；(2)f(x)＝3x－2lnx.
【解析】(1)f′(x)＝1－3x2.
令1－3x2>0，解得－令1－3x2<0，解得x<－或x>.因此函数f(x)的单调递减区间为
(－∞，－)和(，＋∞)．
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝2·.
令f′(x)>0，即2·>0，解得－.
又∵x>0，∴x>.
令f′(x)<0，即2·<0，解得x<－或0又∵x>0，∴0∴f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．
变式训练1： (江西卷理科4改编)若，则的单调增区间为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,原函数的定义域为,所以由可得,解得,故选C.
变式训练2：(四川卷理科22（1）)已知函数f(x)= x + , h(x)= ．(I)设函数F(x)=f(x)一h(x)，求F(x)的单调区间
【解析】，
令
，
所以的单调增区间为，单调递减区间为
【题型三】：含参问题中导数法的应用
例题3：已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．
【解析】：f′(x)＝2x－＝.
要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．
∵x2>0，∴2x3－a≥0，
∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．∴a≤(2x3)min.
∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞)有且只有f′(2)＝0)，
∴a的取值范围是a≤16.
变式训练1: (辽宁卷理科21（1）)
已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x,讨论f（x）的单调性；
【解析】 （I）
（i）若单调增加.
（ii）若
且当
所以单调增加，在单调减少.
变式训练2：(安徽卷理科16（2）) 设，其中为正实数（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。
【解析】
因为为上的单调函数，而为正实数，故为上的单调递增函数
恒成立，即在上恒成立，因此
，结合解得
变式训练3：(江西卷理科19（1）) 设；若在上存在单调递增区间，求的取值范围．
【解析】（1），因为函数在上存在单调递增区间，所以的解集与集合有公共部分，所以不等式解集的右端点落在内，即，解得．
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1.3.3 函数的最值与导数
一、知识精讲
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
【注1】函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念；
【注2】闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值；
【注3】函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).
二、典例细练
【题型一】：导数法求函数的最值
例题1：求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝－x＋2x＋3，x∈[－3,2]；
(2)f(x)＝e－e，x∈[0，a]，a为正常数．
【解析】(1)f′(x)＝－4x＋4x，
令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1或x＝0或x＝1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x －3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 －
f(x) －60 ↗? 极大值4 ↘ 极 小值 3 ↗ 极大值 4 ↘ －5
∴当x＝－3时，f(x)取得最小值－60；
当x＝－1或x＝1时，f(x)取得最大值4.
(2)f′(x)＝()′－(ex)′＝－－ex＝－.
当x∈[0，a]时，f′(x)<0恒成立，即f(x)在[0，a]上是减函数．
故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；
当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.
变式训练1：(湖北卷理科21)已知函数，求函数f(x)的最大值.
【解析】f(x)的定义域为，令，解得，
当时，，在（0，1）内是增函数；
当时，，在内是减函数；
故函数f(x)在处取得最大值f(1)=0
变式训练2：(江西卷理科19) (本小题满分12分)
设
（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围．
（2）当时，在的最小值为，求在该区间上的最大值．
解析：（1），因为函数在上存在单调递增区间，所以的解集与集合有公共部分，所以不等式解集的右端点落在内，即，解得．
（2）由得，又，所以，，所以函数在上单调增，在上单调减，又，，
因为，所以，所以，所以．
最大值为．
【题型二】：含参的最值问题
例题2：若f(x)＝ax－6ax＋b(a>0)，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a、b的值．
【解析】 f′(x)＝3ax－12ax＝3a(x－4x)．
令f′(x)＝0，得x＝0，x＝4，
∵x∈[－1,2]，∴x＝0.
∵a>0，
∴f(x)，f′(x)随x变化情况如下表：
x (－1,0) 0 (0,2)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ?↗ 最大值3 ↘?
∴当x＝0时，f(x)取最大值，∴b＝3.
又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，
f(－1)＝－7a＋3>f(2)，
∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29，
∴a＝2，∴a＝2，b＝3.
变式训练：（高考安徽卷理科16)
设，其中为正实数；若为上的单调函数，求的取值范围。
【解析】：
因为为上的单调函数，而为正实数，故为上的单调递增函数
恒成立，即在上恒成立，因此
，结合解得
【题型三】：导数法在解不等式中的应用
例题3：(辽宁卷理科21)
已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x.
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（-x）
【解析】（I）
（i）若单调增加.
（ii）若
且当
所以单调增加，在单调减少.
（II）设函数则
当.
故当，
变式训练1： (全国新课标卷理科21)（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
【解析】（Ⅰ），由题意知：即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，
设则，
⑴如果，由知，当时， ，而
故，由当得：
从而，当时，即
⑵如果，则当，时，
而；得：与题设矛盾；
⑶如果，那么，因为而，时，由得：与题设矛盾；
综合以上情况可得：
变式训练2：(全国卷理科22)设函数，证明：当时，；
【解析】：
故
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1.1.3导数的几何意义
一、知识精讲
1.曲线的切线:
当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线。
2.导数的几何意义：
函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,即。
【注】：函数在该点处的切线方程为
3.导函数
由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当变化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数。记作:或,即。
【注】: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
4. 函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系
(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量
之比的极限,它是一个常数,不是变数；
(2)函数的导数,是指某一区间内任意点而言的,就是函数的导函数；
(3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也
是求函数在点处的导数的方法之一。
二、典例细练
【题型一】：导数的几何意义
例题1：(2010·福州高二期末)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为( )
A．[－1，－] B．[－1,0] C．[0,1] D．[，1]
【答案】 A
【解析】 考查导数的几何意义．∵y′＝2x＋2，且切线倾斜角θ∈[0，]，
∴切线的斜率tanθ满足0≤tanθ≤1，即0≤2x＋2≤1，∴－1≤x≤－.
【点评】抓住导数与斜率的关系是解题的一大利器。
变式训练1:设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
【答案】B
变式训练2：已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为( )
A．3,3 B．3，－1 C．－1,3 D．－1，－1
【答案】 B
【解析】 由题意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故应选B.
【题型二】：几类常见的求切线问题
类型一：已知切点，求切线方程
例题2（1）：求曲线y＝x＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程．
【解析】 易证得点P(1,2)在曲线上，
由y＝x3＋2x－1得
Δy＝(x＋Δx) ＋2(x＋Δx)－1－x－2x＋1
＝(3x＋2)Δx＋3x·(Δx) ＋(Δx) .
＝3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2.
当Δx无限趋近于0时，
3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2无限趋近于3x2＋2.
即f′(x)＝3x2＋2，所以f′(1)＝5.
故点P处的切线斜率为k＝5.
所以点P处的切线方程为y－2＝5(x－1)．
即5x－y－3＝0.
【点评】解决这类题，先求出函数y＝f(x)在x0处的导数即曲线在该点处切线的斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程。
变式训练：曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5
【答案】 B
【解析】 y′＝3x2－6x，∴y′|x＝1＝－3.
由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.
类型二：已知曲线外一点，求切线方程
例题2（2）：求经过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程．
【解析】可以验证点(2,0)不在曲线上，
设切点为P(x0，y0)．
则y′|x＝x0＝ ＝ ＝ ＝－，
故所求直线方程为y－y0＝－(x－x0)．
由点(2,0)在所求的直线上，得xy0＝2－x0.
再由P(x0，y0)在曲线y＝上，得x0y0＝1，
联立可解得x0＝1，y0＝1，
所以所求直线方程为x＋y－2＝0.
【点评】本题在解答过程中易出现的错误是误认为过(2,0)处的切线斜率为
y′|x＝2＝－而导致结果错误，故应对所给的点进行位置判断。
变式训练：求过曲线外一点（1,0）的曲线的切线方程
【解析】y=0或8x-y-8=0
类型三：已知斜率或倾斜角，求切点或切线方程
例题2（3）：已知抛物线y＝2x＋1，求：
(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？
(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0 并求出该点的切线方程。
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan45°＝1.
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，该点为(，)．
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴斜率为4.
即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．
故切线方程为4x－y－1＝0
【点评】 解此类问题的步骤为：
(1)先设切点坐标(x0，y0)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)求切线的斜率f′(x0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标；
(6)用点斜式求出切线的方程。
变式训练：在曲线y＝x2上切线的倾斜角为的点是( )
A．(0,0) B．(2,4) C. D.
【答案】 D
【解析】 易求y′＝2x，设在点P(x0，x)处切线的倾斜角为，则2x0＝1，∴x0＝，∴P.
【题型三】：导数几何意义的综合应用
例题3：已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；
(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程y＝g(x)．
【解析】 (1)y′＝li ＝3x2－3.
则过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率
k1＝f′(1)＝0，∴所求直线方程为y＝－2.
(2)设切点坐标为(x0，x－3x0)，
则直线l的斜率k2＝f′(x0)＝3x－3，
∴直线l的方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)
又直线l过点P(1，－2)，∴－2－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，
∴x－3x0＋2＝(3x－3)(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－.
故所求直线斜率k＝3x－3＝－，于是：y－(－2)＝－(x－1)，即y＝－x＋.
变式训练：已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．
【解析】 (1)y′|x＝1
＝li ＝3，
所以l1的方程为：y＝3(x－1)，即y＝3x－3.
设l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，
y′|x＝b＝li ＝2b＋1，
所以l2的方程为：y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)·(x－b)，
即y＝(2b＋1)x－b2－2.
因为l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－，所以l2的方程为：y＝－x－.
(2)由得
即l1与l2的交点坐标为.
又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，.
所以所求三角形面积S＝××＝.
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1.6 微积分基本定理
一、知识精讲
1.微积分基本定理
（1）定理内容:一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F'(x)=f(x),那么=F(b)-F(a)；这个结论叫做微积分基本定理,又叫牛顿—莱布尼茨公式；
（2）表达式=F(b)-F(a)；
【注】：利用微积分基本定理求定积分f(x)dx的关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)．通常我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F(x).
（3）作用：将积分与导数联系起来,并提供了计算定积分的有效方法.
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则
(1) 当曲边梯形在x轴上方时，如图①，则f(x)dx＝S上
(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图②，则f(x)dx＝-S下
(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③，则f(x)dx＝S上－S下
若S上＝S下，则f(x)dx＝0
二、典例细练
【题型一】：利用微积分基本定理计算定积分
例题1：计算下列定积分：
(1)(x2＋2x＋3)dx；(2)(sinx－cosx)dx；(3)(cosx－ex)dx.
【解析】(1)(x2＋2x＋3)dx＝x2dx＋2xdx＋3dx＝|＋x2|＋3x|＝.
(2)(sinx－cosx)dx＝sinxdx－cosxdx＝(－cosx)|－sinx|＝2.
(3)(cosx－ex)dx＝cosxdx－exdx＝sinx|－ex|＝－1.
【点评】微积分计算中常用的一些公式
变式训练：计算下列定积分：
(1)2xdx；(2)(x2－2x)dx；(3)(4－2x)(4－x2)dx；(4)dx.
【解析】(1)2xdx＝x2＝25－0＝25.
(2)(x2－2x)dx＝x2dx－2xdx＝x3－x2＝－1＝－.
(3)(4－2x)(4－x2)dx＝(16－8x－4x2＋2x3)dx
＝＝32－16－＋8＝.
(4)dx＝dx＝＝－3ln2.
【题型二】：分段函数的定积分运算
例题2：设f(x)＝，则f(x)dx等于( )
A. B. C. D．不存在
【答案】 C
【解析】 f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
取F1(x)＝x3，F2(x)＝2x－x2，则F′1(x)＝x2，F′2(x)＝2－x
∴f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1) ＝－0＋2×2－×22－＝.故应选C.
【点评】求分段函数的定积分时,可利用定积分的性质将其表示为几段定积分和的形式;对于带绝对值的解析式,先根据绝对值的意义找到分界点,去掉绝对值号,化为分段函数再求解.
变式训练1：|x2－4|dx＝( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 |x2－4|dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx
＝＋＝.
变式训练2：设f(x)＝
(1)求f(x)dx；(2)求dx(a>0)．
【解析】(1)f(x)dx＝x2dx＋(cosx－1)dx＝x3|＋(sinx－x)|＝sin1－.
(2) 由＝得
dx＝xdx＋(－x)dx＝x2|－x2|＝a2.
【题型三】：运用定积分求曲边梯形面积
例题3： (2010陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
【答案】
【解析】 长方形的面积为S1＝3，
S阴＝3x2dx＝x3＝1，则P＝＝.
【点评】运用定积分进行曲边梯形的面积计算时，需正确理解定积分的含义，以免计算时候产生错误.
变式训练：求曲线y=sin x与直线x=,x=,y=0所围成图形的面积.
【解析】S=
【题型四】：定积分的综合应用
例题4：已知f(a)＝(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值．
【解析】∵(ax3－a2x2)′＝2ax2－a2x，
∴(2ax2－a2x)dx＝(ax3－a2x2)|＝a－a2，
即f(a)＝a－a2＝－(a2－a＋)＋＝－(a－)2＋，
∴当a＝时，f(a)有最大值.
变式训练：已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a，b，c的值．
【解析】∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2①又∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0②
而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx，取F(x)＝ax3＋bx2＋cx，则F′(x)＝ax2＋bx＋c
∴f(x)dx＝F(1)－F(0)＝a＋b＋c＝－2③，解①②③得a＝6，b＝0，c＝－4.
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人教A版 选修2—2 精讲细练
1.2 导数的计算
一、知识精讲
1.几个常用函数的导数
①(C )＝0 (C为常数)；② (x)＝1， ( x2 )＝2x；
③； ④。
【注】：常用的几个函数的求导公式应当牢记于心。
2.基本初等函数的求导公式
函数 导数
【注】：用基本公式求导时，区别好与这两个函数；前者为幂函数，后者为指数函数，两者对应不同的求导法公式。
3.导数的运算法则
①两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即；
②两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即；
【注】：常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即。
③两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,即：。
4.复合函数的求导法则
①复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作；例如。
②复合函数的导数：复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积；即若，则[]
二、典例细练
【题型一】：利用求导公式求函数的导数
例题1：(1)y＝5x；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝log3x.
【解析】(1) y′＝(5x)′＝5xln5；(2)y′＝()＝(x－3)′＝－3x－4；
(3)y′＝()′＝(x)′＝x－＝；(4)y′＝(log3x)′＝.
【点评】求简单函数的导函数的两种基本方法，一是用导数的定义求导；二是用导数的公式求导。其中方法二较为简便。（2）（3）两个小问题中，属于指数函数的求导问题，应当注意先调整函数的形式，再利用求导公式进行计算。
变式训练：求下列函数的导数:
(1)y=10;(2)y=x;(3)y=; (4)y=3x;(5)y=log3x。
【解析】 (1)y'=10'=0；(2)y'=(x)'=10x；（3）y'=；
(4)y'=(3x)'=3xln 3；(5)y'=(log3x)'=。
【题型二】：利用求导法则求函数的导数
例题2: (1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；
(3)y＝；(4)y＝x·tan x；(5)y＝.
【解析】 (1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′
＝5x4－9x2－10x.
(2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9.
法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)法一：y′＝()′＝＝＝.
法二：∵y＝＝＝1－，
∴y′＝(1－)′＝(－)′＝－
＝.
(4)y′＝(x·tan x)′＝()′
＝＝
＝.
(5) y′＝()′＝＝
＝.
【点评】
变式训练1：设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′＝，则a＝_____，b＝________.
【答案】 0 －1
【解析】 f′(x)＝2ax－bcosx，由条件知
，∴
变式训练2：求下列函数的导数：
(1)y＝x(x2＋＋)；(2)y＝(＋1)(－1)；
(3)y＝sin4＋cos4；(4)y＝＋ .
【解析】 (1)∵y＝x＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－；
(3)∵y＝sin4＋cos4
＝2－2sin2cos2
＝1－sin2＝1－·＝＋cosx，
∴y′＝－sinx；
(4)∵y＝＋＝＋＝＝－2，
∴y′＝′＝＝.
【题型三】：复合函数求导
例题3：求下列函数的导数．
(1)y＝；(2)y＝sinx3；(3)y＝cos(2x－)；(4)y＝ .
【解析】 (1)令u＝1－3x，则y＝u－4.
y′＝y′u·u′x＝－4u－5(1－3x)′＝12u－5＝.
(2)令u＝x3，则y＝sinu.
y′＝y′u·u′x＝cosu·(x3)′＝3x2cosu＝3x2cosx3.
(3)令u＝3x－，则y＝cosu.
y′＝y′u·u′x＝－sinu·(2x－)′＝－2sinu
＝－2sin(2x－)．
(4)令u＝1＋x2，
则y＝＝u；y′＝y′u·u′x＝u－(1＋x2)′＝x·u－＝ .
【点评】利用复合函数求导法则求复合函数的导数的步骤：
(1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量u、v；
(2)求每一层基本初等函数的导数；
(3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数。
变式训练1：5．函数y＝(2＋x3)2的导数为( )
A．6x5＋12x2 B．4＋2x3
C．2(2＋x3)2 D．2(2＋x3)·3x
【答案】 A
【解析】 ∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，
∴y′＝6x5＋12x2.
变式训练2：若f(x)＝，φ(x)＝1＋sin2x，则f[φ(x)]＝_______，φ[f(x)]＝________.
【答案】 ，1＋sin2
【解析】 f[φ(x)]＝＝
＝|sinx＋cosx|＝.
φ[f(x)]＝1＋sin2.
变式训练3：求y＝xloga(x2＋x－1)的导数
【解析】y′＝loga(x2＋x－1)＋x·logae(x2＋x－1)′
＝loga(x2＋x－1)＋logae.
【题型四】：求切线方程的三类问题（切线方程已知）
类型一：已知切点，求切线方程。
例题4（1）：求曲线在点M（3，）处的切线方程。
【解析】易知点M落在曲线上；
因为，
所以在点M出的切线方程为，即x+9y-6=0
【点评】解决这类题，先求出函数y＝f(x)在x0处的导数即曲线在该点处切线的斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程。
类型二：已知切线斜率，求切线方程
例题4（2）：已知曲线y＝。求：曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程。
【解析】设切点为(x0，y0)，由y＝，得y′|x＝x0＝ .
∵切线与y＝2x－4平行，
∴＝2，∴x0＝，∴y0＝.
则所求切线方程为y－＝2(x－)，
即16x－8y＋1＝0.
【点评】 解此类问题的步骤为：
(1)先设切点坐标(x0，y0)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)求切线的斜率f′(x0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标；
(6)用点斜式求出切线的方程。
类型三：已知切线过曲线外一点，求切线方程
例题4（3）：已知曲线y＝。求：求过点P(0,1)且与曲线相切的切线方程。
【解析】∵点P(0,1)不在曲线y＝上，
故需设切点坐标为M(t，u)，则切线斜率为 .
又∵切线斜率为，∴＝＝，
∴2t－2＝t，得t＝4或t＝0(舍去)，
∴切点为M(4,2)，斜率为，
∴切线方程为y－2＝(x－4)，
即x－4y＋4＝0.
【点评】：如果已知点不在曲线上，则切线方程不是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，即要区分“在”与“过”某点处的切线．
【题型五】：导数的综合应用
例题5：已知直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于A,B两点,O是坐
标原点,试在抛物线的弧AOB上求一点P,使△ABP的面积最大.
【解析】因为|AB|为定值,所以要使△PAB的面积最大,只要点P到
AB的距离最大,只要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点即可,设
P(x,y).由图知,点P在x轴下方的图象上.
所以y=-2,所以y'=.因为kAB=,所以=,x=4.由y=4x(y<0),
得y=-4,所以点P的坐标为(4,-4).
变式训练：已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2.直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程．
【解析】设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2)2)．
对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x.①
对于C2：y′＝－2(x－2)，与C2相切于点Q的切线方程为y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，
即y＝－2(x2－2)x＋x－4. ②
∵两切线重合，∴2x1＝－2(x2－2)且－x＝x－4，
解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.
∴直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.
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人教A版 选修2—2 精讲细练
1.5.3 定积分的概念
一、知识精讲
1．定积分的概念
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x02．定积分的几何意义
如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．
3．定积分的性质
(1) ＝ (k为常数)；
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
(3) ＝)＋ (其中a二、典例细练
【题型一】：结合定积分定义和几何意义计算定积分
例题1：计算dx
【解析】
在平面上y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图(1)所示，其面积为S＝·π·32＝π.
由定积分的几何意义知dx＝π.
【点评】解答本题易出现y＝表示的图形为以(0,0)为圆心以3为半径的圆的错误，导致该错误的原因是忽视了y≥0.
变式训练1：定积分(－3)dx等于( )
A．－6 B．6 C．－3 D．3
【答案】 A
【解析】 由积分的几何意义可知(－3)dx表示由x＝1，x＝3，y＝0及y＝－3所围成的矩形面积的相反数，故(－3)dx＝－6.
变式训练2：(新课标全国理，13)设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分f(x)dx的近似值为________．
【答案】
【解析】 因为0≤f(x)≤1且由积分的定义知：f(x)dx是由直线x＝0，x＝1及曲线y＝f(x)与x轴所围成的面积，又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足yi≤f(xi)的有N1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N1个点，所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x＝0到x＝1上与x轴围成的面积为×1＝，即f(x)dx＝.
【题型二】：利用定积分性质计算定积分
例题2: 已知f(x)＝求f(x)在区间[0,5]上的定积分．
【解析】如图，由定积分的几何意义，得 xdx＝×2×2＝2，
(4－x)dx＝×(1＋2)×1＝，(－)dx＝×2×1＝1，
∴f(x)dx＝xdx＋(4－x)dx＋(－)dx＝2＋＋1＝.
【点评】 奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分：
(1)若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则 f(x)dx＝0.
(2)若偶函数y＝g(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则 g(x)dx＝2g(x)dx.
变式训练1：已知f(x)dx＝6，则6f(x)dx等于( )
A．6 B．6(b－a) C．36 D．不确定
【答案】 C
【解析】 ∵f(x)dx＝6，
∴在6f(x)dx中曲边梯形上、下底长变为原来的6倍，由梯形面积公式，知6f(x)dx＝6f(x)dx＝36.故应选C.
变式训练2：利用定积分的有关性质和几何意义可以得出定积分－1[(tanx)11＋(cosx)21]dx＝（ ）
A．2[(tanx)11＋(cosx)21]dx B．0
C．2(cosx)21dx D．2
【答案】 C
【解析】 ∵y＝tanx为[－1,1]上的奇函数，
∴y＝(tanx)11仍为奇函数，而y＝(cosx)21是偶函数，
∴原式＝－1(cosx)21dx＝2(cosx)21dx.故应选C.
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1.3.2 函数的极值与导数
一、知识精讲
1．极小值点与极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)<0，
右侧f′(x)>0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)>0，
右侧f′(x)<0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
【注1】极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值；
【注2】函数的极大值不一定大于极小值；
【注3】在区间内可导函数的极大值和极小值不唯一；
【注4】是函数取得极值的必要不充分条件；
【注5】函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.
3．极值的求法
二、典例细练
【题型一】根据函数图像判断的极值点
例题1：函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】 A
【解析】 由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．
【题型二】求函数的极值
例题2：求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；
(2)f(x)＝.
【解析】(1)f′(x)＝3x－6x－9.
解方程3x－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增?↗ 10 单调递减↘? －22 单调递增?↗
因此，当x＝－1时函数取得极大值，且极大值为f(－1)＝10；当x＝3时函数取得极小值，且极小值为f(3)＝－22.
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表
x (0，e) e (e，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增↗ 单调递减↘
故当x＝e时函数取得极大值，且极大值为f(e)＝.
【点评】判断函数的单调性遵循如下步骤：
求f(x)的定义域→求f'(x)→解方程f'(x)=0→列表分析→结论。
变式训练1： (四川卷理科22（1）) 已知函数f(x)= x + , h(x)= ．设函数F(x)=f(x)一h(x)，求F(x)的单调区间与极值；
【解析】：，
令
，
所以是其极小值点，极小值为.
变式训练2: (安徽卷理科16（1）)
设，其中为正实数；当时，求的极值点。
【解析】：
当时，，由得解得
由得，由得，当x变化时与相应变化如下表：
x
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以，是函数的极大值点，是函数的极小值点。
【题型三】导数极值的逆向使用
例题3：设f(x)＝x＋ax＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．
【解析】(1)因为f(x)＝x＋ax＋bx＋1，故f′(x)＝3x＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，由已知f′(1)＝2a，
因此3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.
又令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，由已知f′(2)＝－b，
因此12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
因此f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.
又因为f′(1)＝2×(－)＝－3，
故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－)＝－3(x－1)，
即6x＋2y－1＝0.
(2)由(1)知g(x)＝(3x－3x－3)e－x，
从而有g′(x)＝(－3x＋9x)e－x.
令g′(x)＝0，得－3x＋9x＝0，解得x1＝0，x2＝3.
当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，故g(x)在(－∞，0)上为减函数；
当x∈(0,3)时，g′(x)>0，故g(x)在(0,3)上为增函数；
当x∈(3，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(3，＋∞)上为减函数．
从而函数g(x)在x1＝0处取得极小值g(0)＝－3，在x2＝3处取得极大值g(3)＝15e－3.
变式训练：已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是( )
A．极大值为，极小值为0 B．极大值为0，极小值为
C．极大值为0，极小值为－ D．极大值为－，极小值为0
【答案】 A
【解析】 由题意得，f(1)＝0，∴p＋q＝1①
f′(1)＝0，∴2p＋q＝3②
由①②得p＝2，q＝－1.
∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1
＝(3x－1)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，极大值f＝，极小值f(1)＝0.
【题型四】导数极值的综合应用
例题4：设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
【解析】(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
因为当x＞或x＜－时，f′(x)＞0；
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；单调递减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；
当x＝时，f(x)有极小值5－4.
(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－4＜a＜5＋4时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)＝a有三个不同的解．
变式徐
变式训练1：(北京文，18)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.
(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
【解析】本题考查了函数与导函数的综合应用．
由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c
∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.
(1)当a＝3时，由(*)式得，
解得b＝－3，c＝12.
又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”
由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)
解得a∈[1,9]，
即a的取值范围[1,9]．
变式训练2：(重庆卷理科18)
设的导数满足其中常数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程。
（Ⅱ）设求函数的极值。
【解析】：（Ⅰ）因，故，
令，得，由已知，解得
又令，得，由已知，解得
因此，从而
又因为，故曲线在点处的切线方程为，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，从而有，
令，解得。
当时，，故在为减函数，
当时，，故在为增函数，
当时，，故在为减函数，
从而函数在处取得极小值，在出取得极大值
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