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8.4.2
空间点、直线、平面之间的位置关系
随堂同步进阶练习
一、单选题
1．若点Q在直线b上,b在平面内,则之间的关系可记作(
)
A．
B．
C．
D．
2．如图所示两个相交平面，其中画法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图所示，用符号语言可表达为（
）
A．，，
B．，，
C．，，，
D．，，，
4．下列命题正确的是(
)
A．一条直线和一点确定一个平面
B．两条相交直线确定一个平面
C．四点确定一个平面
D．三条平行直线确定一个平面
5．如果直线a?平面α，直线b?平面α，，且，那么(
)
A．
B．
C．
D．
6．在三棱锥的边、、、上分别取、、、四点，如果，则点（
）
A．一定在直线上
B．一定在直线上
C．在直线或上
D．不在直线上，也不在直线上
7．下列命题中，正确的是
( )
A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面
B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面
C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面
D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面
8．一条直线和直线外三个点最多能确定的平面个数是（
）
A．4
B．6
C．7
D．10
9．正方体中，分别是棱和上的点，，那么正方体中过的截面图形是（
）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
10．下列说法中正确的是（
）
A．相交直线上的三个点可以确定一个平面
B．空间两两相交的三条直线确定一个平面
C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形
D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
二、填空题
11．如图,已知是的边上的点,平面经过两点,若直线与平面的交点是P,则点P与直线的位置关系是_____.
12．已知表示不同的点,l表示直线,表示不同的平面,则下列推理错误的是______(填序号).
①,,,;
②,,,;
③,.
13．已知平面，点且，过三点所确定的平面记为，则等于_________.
三、解答题
14．用符号语言表示下列语句.
（1）三个平面交于一点，且平面与平面交于直线，平面与平面交于直线，平面与平面交于直线；
（2）平面与平面相交于直线，平面与平面相交于直线.
15．如图，正方体中，，分别是，的中点．求证：
（1），，，四点共面；
（2），，三线共点．
16．如图,在底面是平行四边形的四棱锥中,O为,的交点,分别为,的重心.求证:四点共面.
17．如图所示,,,点与点分别在平面的两侧,,.求证:三点共线.
18．如图所示,与不在同一个平面内,如果三条直线两两相交,求证:三条直线交于一点.
答案解析
1．B
【详解】
因为点Q(元素)在直线b(集合)上,所以.
又因为直线b(集合)在平面(集合)内,
所以.所以.
故选：B
2．D
【详解】
对A，图中没有画出平面与平面的交线，另外图中的虚、实线也没有按照画法原则去画，因此A的画法不正确，同理B，C的画法也不正确，D的画法正确.
3．A
【详解】
结合图形可以得出平面相交于一条直线，直线在平面内，直线相交于点，
结合选项可得A正确；
故选：A.
4．B
【详解】
根据一条直线和直线外一点确定一个平面,知A不正确;
B显然正确;
C中四点不一定共面,或当四点在一条直线上时,不能确定一个平面,故C不正确;
三条平行直线可以确定一个平面或三个平面,故D不正确.
故选：B.
5．A
【详解】
：∵直线a?平面α，直线b?平面α，M∈a，N∈b，
∴M∈平面α，N∈平面α，
∵M∈l，N∈l，
∴l?α．
故选A．
6．B
【详解】
由题意知平面.
因为交于一点，
所以平面.
又因为平面，
所以平面.
又因为平面平面，
所以点一定在直线上.
又平面，平面,
但不同时在
平面和平面中，
所以.
故选：B.
7．B
【解析】
因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B．
8．A
【详解】
当直线外的三个点能确定一个平面，且这个平面不经过已知直线时，它们确定的平面个数最多，此时这条直线和每一个点分别确定一个平面，故最多可确定4个平面.
9．C
【详解】
先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点.设直线相交于点E，直线相交于点F，连接交直线于点P，交直线于点Q，则五边形为所求截面图形.
10．D
【详解】
A错误，当三点共线时，过三点的平面有无数个.B错误，空间两两相交的三条直线（不在同一平面内）交于同一点时，无法确定一个平面.C错误，空间中四个点不一定共面，有三个角为直角的四边形可能是空间图形.
11．直线
【详解】
因为,平面,所以平面.
又,平面平面,所以直线.
故答案为：直线.
12．③
【详解】
解:
①为判断直线在平面内的依据,故正确;
②为判断两个平面相交的依据,故正确;
③中,,则,即为经过点A的一条直线而不是点A,故错误.
故答案为：③
13．直线
【详解】
如图所示，.
又.
.
14．
【详解】
（1）.
（2）平面平面直线，平面平面直线.
15．
【详解】
证明：（1）连接，，，
，分别是，的中点，
，，
，
由两条平行线确定一个平面，得到，，，四点共面．
（2）分别延长，，交于点，
，面，
面．
是的中点，，
是的中点，
连接，，
，
，，三线共点于．
16．
【详解】
证明:如图,连接并延长,分别交于点,连接.
因为分别为,的重心,
所以分别为的中点,
所以.
由棱锥的性质,可知不共线,
所以确定一个平面,
所以平面,所以平面.
又,,平面,平面,
所以平面,平面,
所以四点共面.
17．
【详解】
证明
,,,
可确定一个平面,设为.
,,,,
,,,,
,.
,
,.
同理,且,且.
在与的交线上,故三点共线.
18．
【详解】
证明:设与,与,与分别确定平面,
与的交点为P,因为,,,,所以,,
即.又,所以,所以三条直线,,交于一点.
【点睛】
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8.4.2
空间点、直线、平面之间的位置关系
随堂同步练习
一、单选题
1．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条( )
A．相交
B．异面
C．相交或异面
D．平行
2．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（
）
A．2对
B．3对
C．6对
D．12对
3．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是（
）
A．相交
B．平行
C．直线在平面内
D．平行或直线在平面内
4．若是异面直线，且//平面，那么与平面的位置关系是（
）
A．
B．与相交
C．
D．以上三种情况都有可能
5．如果平面
外有两点
，它们到平面
的距离都是，则直线和平面
的位置
关系一定是(
)．
A．平行
B．相交
C．AB
D．平行或相交
6．已知为异面直线，为两个不同的平面，，，，则（
）
A．l与都相交
B．l与中至少一条相交
C．l与都不相交
D．l与中的一条相交
7．在长方体的六个表面与六个对角面（平面，平面，平面，平面，平面及平面）所在的平面中，与棱平行的平面共有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
8．若两个平面平行，则分别在这两个平行平面内的直线（
）
A．平行异面
B．异面
C．相交
D．平行或异面
9．若点平面，点平面，则与的位置关系是（
）
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
10．下列说法中正确的个数是（
）
①平面与平面都相交，则这三个平面有2条或3条交线
②两个平面平行，各任取两平面内的一条直线，它们不相交；
③直线a不平行于平面，则a不平行于内的任何条直线；
④如果，，那么.
A．0
B．1
C．2
D．3
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A．相交
B．异面
C．平行
D．垂直
12．若直线是异面直线，，则b与平面的位置关系是（
）
A．平行
B．相交
C．
D．平行或相交
13．与同一个平面都相交的两条直线的位置关系是（
）
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上都有可能
14．已知，为三条不重合的直线，为两个不重合的平面.
①，；②，；③，，.
其中正确命题的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
15．下列四个命题:
(1)存在与两条异面直线都平行的平面;(2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行;(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行;(4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.其中正确的命题的个数是
A．
B．
C．
D．
二、填空题
16．在长方体中，
（1）直线与直线的位置关系是___________；
（2）直线与直线的位置关系是_______________；
（3）直线与直线的位置关系是______________；
（4）直线与直线的位置关系是______________.
17．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中判断下列位置关系：
(1)AD1所在的直线与平面BCC1B1的位置关系是________；
(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是_________.
18．正方体中，点是棱上的动点，则过三点的截面的形状为_______________.
19．不在同一条直线上的三点到平面的距离相等，且，给出以下三个命题：①中至少有一条边平行于；②中至多有两条边平行于；③中只可能有一条边与相交.其中真命题的序号是____________.
三、双空题
20．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有______组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有______个.
四、解答题
21．三个平面，如果，，，且直线，
（1）判断c与的位置关系，并说明理由；
（2）判断c与a的位置关系，并说明理由.
22．在直三棱柱中，分别为的中点.求证：平面与平面相交.
23．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.
（1）画出直线l的位置；
（2）设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长．
答案解析
1．C
【详解】
如下图所示,三条直线平行,与异面,而与异面,与相交,故选C.
2．C
【解析】
如图所示，在长方体AC1中，与对角线AC1成异面直线位置关系的是A1D1、BC、BB1、DD1、A1B1、DC，所以组成6对异面直线.
3．A
【详解】
由延长各侧棱恢复成棱锥的形状可知，三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.
故选A.
4．D
【解析】
若a、b是异面直线，且a∥平面α，则根据空间中线面的位置关系可得：b∥a或者b?α或者b与α相交．
故选：D．
5．D
【详解】
由题意可得两点在面的异侧和同侧两种情况，结合图形可知直线与平面相交或平行，故选D
6．C
【详解】
因为，所以m与平面没有公共点，所以m与l无公共点
同理，由知，n与l无公共点，故l与都没有公共点，即l与都不相交.
故选：C
7．B
【详解】
有平面，平面，平面，共3个.
8．D
【详解】
两直线分别在两个平行平面内，则两直线没有公共点，所以分别在这两个平行平面内的直线平行或异面.
故选：D
9．B
【详解】
平面，平面，与相交于过点M的一条直线.
故选：B
10．B
【详解】
①错误，平面与平面，都相交，则这三个平面有可能有2条或3条交线，还有可能只有1条交线.
②正确，两平行平面无公共点，任取的直线也无公共点，即不相交.
③错误，直线a不平行于平面，则a有可能在平面内，此时可以与平面内无数条直线平行.
④错误，如果，，那么或
故选B.
11．A
【解析】
直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF?平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.
12．D
【详解】
是异面直线，且，，∴与平行或相交.
故选：D
13．D
【详解】
如图所示，
则直线的位置关系是相交、平行或异面.
故选：D
14．B
【详解】
对于①，可能，也可能，故不正确；
对于②，与可能平行，也可能相交，故不正确；
对于③，，或与相交.，，与不可能相交，.故③正确.
故选：B
15．C
【解析】
(1)将一个平面内的两条相交直线平移到平面外,且平移后不相交,则这两条直线异面且与该平面平行,故正确;(2)当过该点的平面过其中一条直线时,这个平面与两条异面直线都平行是错误的,故不正确;(3)显然正确;(4)显然正确.故答案为C.
16．平行.
异面.
相交.
异面.
【详解】
（1）在长方体中，，四边形为平行四边形.
.
（2）直线与直线不同在任何一个平面内，所以直线与直线的位置关系是异面.
（3）直线与直线相交于点，所以直线与直线的位置关系是相交.
（4）直线直线不同在任何一个平面内，所以直线与直线的位置关系是异面.
故答案为：(1)平行；(2)异面；(3)相交；(4)异面
17．(1)平行
(2)相交
【解析】
(1)AD1所在的直线与平面BCC1
B1没有公共点，所以平行.
(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交.
18．等边三角形或矩形或等腰梯形
【详解】
点在棱上移动，当点与点重合时，截面为等边三角形，如图（1）所示；当点与点重合时，截面为矩形，如图（2）所示；当点不与点，重合时，截面为等腰梯形，如图（3）所示.
19．①
【解析】
如图，三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.
20．4.
6.
【详解】
六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面.六棱柱共由8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系.
故答案为：；
21．
【详解】
（1）.
因为，所以与没有公共点.又，所以c与无公共点，则.
（2）.
因为，所以与没有公共点.又，，则，，且，没有公共点.由于都在平面内，因此，又，所以.
22．
【详解】
证明
∵在矩形中，E为的中点，
与不平行，则与的延长线相交于一点，设此点为G，则，.
又平面，平面，
平面，平面，
∴平面平面相交.
23．
【详解】
(1)延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置．
(2)∵M为AA1的中点，AD∥ED1，
∴AD＝A1E＝A1D1＝a.
∵A1P∥D1N，且D1N＝a，
∴A1P＝D1N＝a，
于是PB1=A1B1-A1P=a-a=a.
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