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8.5.3
平面与平面平行
随堂同步练习
一、单选题
1．下列命题正确的是
( )
①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．
A．①③
B．②④
C．②③④
D．③④
2．给出下列结论：
（1）平行于同一条直线的两条直线平行；
（2）平行于同一条直线的两个平面平行；
（3）平行于同一平面的两条直线平行；
（4）平行于同一个平面的两个平面平行.
其中正确的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．如图，设分别是长方体的棱的中点，则平面与平面的位置关系是（
）
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直
D．不确定
4．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是（
）
A．两两相互平行
B．两两相交于一点
C．两两相交但不一定交于同一点
D．两两相互平行或交于同一点
5．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线（
）
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行或异面
6．
设，，，是线段的中点，当、分别在平面、内运动时，得到无数个点，那么所有的动点（
）
A．不共面
B．当且仅当、分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当、分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．都共面
7．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且，则线段长度的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知是平面外的一条直线，过作平面使，这样的（
）
A．只有一个
B．至少有一个
C．不存在
D．至多有一个
9．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )
A．l∥β，l?α?α∥β
B．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥β
C．l∥m，l?α，m?β?α∥β
D．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β
10．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系是（
）
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上都不对
11．如图，在多面体中，平面平面
，且，则
( )
A．平面
B．平面
C．
D．平面平面
12．平面截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面必定和这个三棱锥的（
）
A．一个侧面平行
B．底面平行
C．仅一条棱平行
D．某两条相对的棱都平行
13．四棱柱的底面是平行四边形，过此四棱柱任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（
）
A．4条
B．6条
C．8条
D．12条
二、填空题
14．已知和是异面直线，且平面，平面，，，则平面与的位置关系是_______.
15．已知点是等边三角形所在平面外一点，点分别是的中点，则平面与平面的位置关系是_______.
16．设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则
④若，则
其中正确结论的编号为__________．（请写出所有正确的编号）
17．如图所示，是所在平面外一点，平面∥平面，分别交线段于，若，则________.
18．如果三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系可以是_______.（填序号）①三个平面两两平行；②三个平面两两相交，且交于同一条直线；③三个平面两两相交，且有三条交线；④两个平面平行，且都与第三个平面相交
19．如图，一张矩形白纸，，分别为的中点，现分别将沿折起，且点，在平面同侧，则下列命题正确的是______（写出所有正确命题的序号）
①当平面//平面时，//平面；
②当平面//平面时，//；
③当，重合于点时，；
④当，重合于点时，三棱锥的外接球的表面积为.
20．如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形为截面，则四边形的形状为________.
三、解答题
21．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点，，分别在，，上（不与端点重合），且.求证：平面平面.
22．如图，在三棱柱中，点分别是棱上的点，点是线段上的动点，.若平面，试判断点的位置.
23．已知分别是底面为平行四边形的四棱锥的棱的中点，平面与平面交于，求证:
（1）平面；
（2）.
24．如图①所示，在直角梯形中，，，为的中点，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②所示.
求证：在四棱锥中，平面.
25．如图，在正方体中，分别是，的中点.
求证：
（1）平面；
（2）平面平面.
26．如图所示，在三棱柱中，分别是的中点，
求证：（1）四点共面；
（2）平面平面．
答案解析
1．D
【详解】
如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线．
对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在．
对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，同①.
对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义．
对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理．
所以只有③④正确，故选D．
2．B
【解析】
由线面平行的判定与性质可知：①平行与同一条直线的两条直线是平行是正确的；②平行与同一条直线的两个平面平行或相交，所以不正确；③平行与同一平面的两条直线，可能平行、相交或异面，所以不正确；④平行于同一平面的两个平面是相互平行的，所以是正确，故选B．
3．A
【详解】
∵和分别是和的中点，∴.
又∵平面，平面，
∴平面.
又∵和分别是和的中点，∴，且，
∴四边形是平行四边形，∴.
又∵平面，平面，∴平面.
∵平面，平面，，
∴平面平面.
故选A
4．A
【详解】
根据题意，作图如下：，，，
根据平面平行的性质可得，
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
∴.
同理可得其它几条交线相互平行，
故两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线两两平行.
故选A.
5．D
【详解】
因为两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线无交点，
因此两直线平行或异面.
故选D
6．D
【详解】
如图所示，设、分别是、在、上运动后的两点，此时的中点为，
连接，取的中点，连接、、、、.
则，，，，，.
又，，.
，平面平面，
不论、如何移动，所有的动点都在过点且与、平行的平面上.
故选：D.
7．B
【详解】
取的中点，的中点，的中点，则，，
∴平面平面，
∴平面，线段扫过的图形是
∵，∴，
∴，∴是直角，
∴线段长度的取值范围是.
故选B.
8．D
【详解】
∵是平面外的一条直线，∴或与相交.
当时，平面只有一个；当与相交时，平面不存在.
故选D
9．D
【解析】
如右图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB∥CD，则直线AB∥平面DC1，直线AB?平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.又EF?平面BC1，B1C1?平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；直线AD∥B1C1，AD?平面AC，B1C1?平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理，所以选项D正确．
10．A
【详解】
设平面平面，平面平面，则平面平面．证明如下：
作平面分别与平面、、相交于直线、、，
再作与平面相交的平面，分别与平面、、相交于直线、、，如图所示．
∵平面平面，平面平面，平面平面，
∴，同理可得，
∴，
∵，，∴；
同理可得，结合，，可得，
∵、是平面内的相交直线，
∴平面平面，即平面平面．
综上所述，如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
故选A
11．A
【详解】
如图所示，取DG的中点M，连AM、FM，．
则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形，
∴且．
∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，
∴AB∥DE，
∴AB∥FM．
又AB＝DE，
∴AB＝FM，
∴四边形ABFM是平行四边形，
∴BF∥AM．
又BF平面ACGD，AM平面ACGD，
∴BF∥平面ACGD．选A．
12．C
【详解】
当平面时，截面是四边形，又平面，
平面平面，，同理，.
同理，当平面时，.
如果截面是梯形，∴四边形中仅有一组对边平行，故平面仅与一条棱平行.
A选项，当截面与一个侧面平行，例截面面，由面面平行的性质定理得
截面与棱分别交于一点，则截面是三角形，不符合题意，舍；
B选项，当截面与底面平行，由面面平行的性质定理得
截面与棱分别交于一点，则截面是三角形，不符合题意，舍.
故选C
13．D
【详解】
如图，因为分别是，所以.
因为平面，平面，所以平面.
同理可证平面.
因为四边形是平行四边形，分别是，的中点，
所以四边形是平行四边形，所以.
又因为平面，平面，所以平面，
同理可证平面.
又因为，所以平面平面.
因为平面，平面，所以平面，平面；
同理可证也与平面平行，共有12条直线.
故选D
14．平行
【详解】
在上任取一点，则直线与点确定一个平面.
设，则.
∵，∴，∴.
又∵，
∴根据面面平行的判定定理可得.
故答案为平行
15．平行
【详解】
∵分别是的中点，∴是的中位线，∴.
又∵平面，平面，所以平面.
同理平面.
∵，
所以平面平面.
16．①③④
【解析】
①由平行的传递性可知：若，则正确；
②由面面平行的判定定理知，还需要为两条相交直线，不然无法得到面面平行，不正确；
③由面面平行的性质可知，正确；
④若，
则由知,
?且
?,由
?及∥，∩=，
得∥,同理∥,故∥，故命题④正确．
答案为①③④.
17．
【详解】
由图知，∵平面α∥平面ABC，平面PAB平面α=AB，平面PAB平面ABC=AB，
得AB∥AB；同理得BC∥BC，AC∥AC.从而.
∵PA：AA＝2：3，即PA：PA＝2：5，∴AB：AB＝2：5，
由于相似三角形得到面积比为相似比的平方，所以S△A′B′C′：S△ABC＝4：25．
故答案为．
18．②④
【详解】
①三个平面两两平行，可把空间分成4个部分；
②三个平面两两相交，且交于同一条直线，可把空间分成6个部分；
③三个平面两两相交，且有三条交线，可把空间分成7个部分或8个部分；
④两个平面平行，且都与第三个平面相交，可把空间分成6个部分.
故答案为②④
19．①④
【详解】
①正确
将，沿折起，
且在平面同侧，
此时四点在同一平面内，如图
平面平面，
平面平面，
当平面//平面时，得到//，
又，所以四边形是平行四边形，
所以//，
又平面，平面
进而得到//平面，
②错误，如上图
作//，则可知四边形为平行四边形
所以可知，又//且
所以//且
所以四边形为平行四边形，故//
而与相交，所以与不平行
③错误，如图
可得，
而，则，
所以和不垂直
④正确
当重合于点时，在三棱锥中，
和均为直角三角形，
所以为外接球的直径，即，
则三棱锥的外接球的表面积
为
综上，所有正确命题的序号为①④.
故答案为：①④
20．平行四边形
【解析】
∵平面ABFE∥平面CDHG，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
21．
【详解】
证明
.
平面平面，
平面.
∵底面为平行四边形，
.
平面平面，
平面.
又，
根据平面与平面平行的判定定理，
所以面平面
22．是的中点
【详解】
由题意知平面，过作平面交于，连接.
因为平面平面，平面平面，所以.
因为平面平面，
平面平面，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以.
而，
所以，
故是的中位线.
所以是的中点时，平面.
23．
【详解】
（1）如图，取的中点，连接.
∴是△的中位线，∴.
∵平面平面，
∴平面
∵是的中点，四边形是平行四边形，∴.
∵平面平面，∴平面
∵，∴平面平面
∵平面，∴平面
（2）由（1）可得：平面平面，
又平面平面，平面平面，
∴.
24．
【详解】
∵G为BC的中点，E为PC的中点，∴GE∥BP
∵GE?平面PAB，BP?平面PAB，∴GE∥平面PAB，
由F为PD的中点，得EF∥DC，∵AB∥DC，∴EF∥AB
∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB，∵EF∩GE＝E
∴平面EFG∥平面PAB，∵PA?平面PAB，∴AP∥平面EFG．
25．
【详解】
（1）如图，连接.
∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.
又∵是的中点，∴.
∵平面，平面，
∴平面.
（2）连接，，
∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.
又∵是中点，∴.
∵平面平面，
∴平面.
由（1）知平面，且，
∴平面平面.
26．
【详解】
(1)分别是的中点，
是的中位线，
则，
又，
四点共面．
(2)分别为的中点，，
平面平面，
平面，
又分别是的中点，，
，
四边形是平行四边形，，
平面平面，
平面，
又，
平面平面，
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精品试卷·第
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8.5.3
平面与平面平行
随堂同步进阶练习
一、单选题
1．在正方体中，下列四对平面彼此平行的一对是（
）
A．平面与平面
B．平面与平面
C．平面与平面
D．平面与平面
2．已知、、为三条不重合的直线，、、为三个不重合的平面，现给出下列四个命题：
①；②；③；④.
其中正确的命题是（
）
A．①②③
B．②④
C．②
D．③
3．如图，在正方体中，O为底面ABCD的中心，P是的中点，设Q是上的点，当点Q在（
）位置时，平面平面PAO.
A．Q与C重合
B．Q与重合
C．Q为的三等分点
D．Q为的中点
4．
设，，，是线段的中点，当、分别在平面、内运动时，得到无数个点，那么所有的动点（
）
A．不共面
B．当且仅当、分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当、分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．都共面
二、填空题
5．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形，则截面周长为________．
6．过两平行平面α、β外的点P两条直线AB与CD，它们分别交α于A、C两点，交β于B、D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则ＢD的长为_______．
7．如图，过正方体的顶点、与棱的中点的平面与底面所在平面的交线记为，则与的位置关系为_________.
8．如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形为截面，则四边形的形状为________.
9．
如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
10．已知棱长为的正方体，为棱中点，现有一只蚂蚁从点出发，在正方体表面上行走一周后再回到点，这只蚂蚁在行走过程中与平面的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为__________．
三、解答题
11．如图所示，在直四棱柱中，底面是梯形，，，、分别是、的中点，求证：平面平面.
12．如图，四边形为平行四边形，四边形是正方形，是、的交点，、分别是、的中点.求证：平面平面.
13．如图甲，在直角梯形中，，，，、、分别为、、的中点，现将沿折起，如图乙.求证：平面平面.
14．如图，在三棱柱中，E，F，G分别为，，AB的中点．
求证：平面平面BEF；
若平面，求证：H为BC的中点．
15．在如图所示的五面体中，四边形为平行四边形，平面，，为的中点.求证：平面.
16．如图，在三棱柱中，、、、分别是、、、的中点.
（1）求证：、、、四点共面；
（2）求证：平面平面；
（3）若、分别为、的中点，求证：平面平面.
17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点在上，，.
（1）证明：平面；
（2）若是中点，点在上，平面，求线段的长.
18．已知点P是所在平面外一点，点，，分别是，，的重心.
（1）求证：平面平面ABC；
（2）求的值.
19．如图，多面体中，、、两两垂直，平面平面，平面平面，，.
（1）证明：四边形是正方形；
（2）判断点、、、是否共面，并说明理由.
答案解析
1．A
【详解】
如图，正方体，
所以四边形是平行四边形，平面，
面，所以平面，同理平面.
因为平面，
所以平面平面.
故选:A
2．C
【详解】
对于命题①，，，则与平行或相交，命题①错误；
对于命题②，，，由面面平行的性质知，命题②正确；
对于命题③，，，则或，命题③错误；
对于命题④，，，则或，命题④错误.
故选：C.
3．D
【详解】
在正方体中，
因为为底面的中心，是的中点，，
所以，
设是上的点，当点在的中点位置时，，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为，
平面平面，
所以平面平面，
故选：D.
4．D
【详解】
如图所示，设、分别是、在、上运动后的两点，此时的中点为，
连接，取的中点，连接、、、、.
则，，，，，.
又，，.
，平面平面，
不论、如何移动，所有的动点都在过点且与、平行的平面上.
故选：D.
5．12
【详解】
如图，取的中点的中点的中点，
连接，则，，
所以有平面，平面.
又，所以平面平面，
即平面为过点且与平面平行的截面,
易得此截面的周长为.
6．12
【详解】
当两个平面在点P的同侧时如图（1）所示，当点P在两个面的中间时如图（2）所示由面面平行的性质定理可得AC与BD平行，,所以．
7．
【详解】
如图所示，连接、，
在正方体中，平面平面，且平面平面，平面平面，所以.
故答案为：.
8．平行四边形
【解析】
∵平面ABFE∥平面CDHG，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
9．①②③④
【详解】
展开图可以折成如图（1）所示的正方体．
在正方体中，连接AN，如图（2）所示，因为AB∥MN，且AB＝MN，所以四边形ABMN是平行四边形．所以BM∥AN．因为AN平面DE，BM平面DE，所以BM∥平面DE．同理可证CN∥平面AF，所以①②正确；如图（3）所示，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，进而得到平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以③④正确．
故答案为①②③④
10．
【解析】
由题可知，蚂蚁在正方体表面上行走一周的路线构成与平面平行的平面，
设、分别为、中点，连接，，和，
则为蚂蚁的行走轨迹.
正方体的棱长为2，
易得，，，
四边形为菱形，
故答案为.
11．
【详解】
在直四棱柱中，，，则四边形为平行四边形，，，
，，即，
为的中点，，四边形为平行四边形，
，平面，平面，平面.
、分别为、的中点，，
平面，平面，平面，
，平面平面.
12．
【详解】
是、的交点，四边形是正方形，是、的中点，
又是的中点，，
四边形为平行四边形，，则，
又平面，平面，平面.
又为的中点，.
又平面，平面，平面，
，平面，平面，平面平面.
13．
【详解】
翻折前，在图甲中，，，，
翻折后，在图乙中，仍有，
、、分别为、、的中点，，，，
平面，平面，平面.
平面，平面，平面.
又，平面平面.
14．
【详解】
如图，
，F分别为，的中点，，
平面，平面，平面，
又F，G分别为，AB的中点，，
又，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面，
又，
平面平面BEF；
平面平面，平面平面，
平面与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交，
则，得，
为AB的中点，为BC的中点．
15．
【详解】
取的中点，连接、.
因为、分别为、的中点，所以.
又平面，且平面，所以平面，
因为平面，平面，平面平面，所以.
又，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以.
又平面，且平面，以平面.
又，所以平面平面.
又平面，所以平面.
16．
【详解】
（1）是的中位线，.
在三棱柱中，且，则四边形为平行四边形，
，，因此，、、、四点共面；
（2）、分别为、的中点，.
平面，平面，平面.
在三棱柱中，且，则四边形为平行四边形，
且，
、分别为、的中点，且，
四边形是平行四边形，则，
平面，平面，平面.
，且平面，平面，平面平面；
（3）如图所示，连接，设与的交点为，连接，
四边形是平行四边形，是的中点，
为的中点，.
平面，平面，平面.
由（1）知，四边形为平行四边形，则且，
、分别为、的中点，所以，且，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面.
又，平面，平面，
平面平面.
17．
【详解】
（1）∵底面是平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴平面；
（2）∵平面，∴可设过与平面平行的平面与交于点，
与交于点，则，，
又是平行四边形，，∴，∴平面，∴，
∵是中点，∴是中点，∵，∴，∴.
18．
【详解】
（1）证明：如图,连接,并延长交BC于点M,连接,并延长交AC于点N,连接,并延长交AB于点Q,连接MN,NQ.,,分别是,,的重心,,N,Q分别是BC,AC,AB的中点,且,.同理,可得.
平面ABC,平面ABC,平面ABC.
同理,可证平面ABC.
又,
平面,平面,
平面平面ABC.
（2）由（1）知,且,即.,N分别是BC,AC的中点,.,,
即的值为.
19．
【详解】
（1）因为平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质定理，得，同理.
所以四边形为平行四边形.
又，，所以平行四边形是正方形；
（2）如图，取的中点，连接、.
因为平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质定理，得，同理，
在梯形中，，且为的中点，，，
，，则四边形为平行四边形，且.
又，，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以.
为的中点，，
又，四边形为平行四边形，，.
故、、、四点共面.
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