7.2 正弦、余弦同步训练（含解析）

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初中数学苏科版九年级下册7.2
正弦、余弦
同步训练
一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1.在ΔABC中，∠C＝90?，AB＝5，BC＝3，则
的值是（??
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
2.在
中，
，
，那么
的值等于（??
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
3.在
中，
，
，若
，则
的长为（??
）．
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
4.Rt△ABC中，如果各边长度都扩大
倍，则锐角A的各个三角函数值（?
）
A.?不变化??????????????????????????????B.?扩大2倍??????????????????????????????C.?缩小
??????????????????????????????D.?不能确定
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（??
）
A.?sinA＝
????????????????????B.?cosA＝
????????????????????C.?tanA＝
????????????????????D.?cosB＝
6.如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB，垂足为E，DE与AC交于点F，则sin∠DFC的值为（?
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
7.如图，△ABC中AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（?
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
8.如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则sin∠BOD的值等于（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
9.如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝
，则MN可用
表示为（??
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
10.如图，在ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝8，AD＝6.⊙O分别切边AB，AD于点E，F，且圆心O好落在DE上.现将⊙O沿AB方向滚动到与BC边相切（点O在ABCD的内部），则圆心O移动的路径长为（　　）
A.?2?????????????????????????????????????B.?4?????????????????????????????????????C.?5﹣
?????????????????????????????????????D.?8﹣2
二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分）
11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是________.
12.已知
中，
则边
的长度为________．
13.如图，点
在钝角
的边
上，连接
，
，
，
，则
的余弦值为________．
14.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，将△ABC折叠，使点B落在AC边上的点D处，EF为折痕，若sin∠CFD的值为
，则BE＝________.
15.如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB=AC=5，cos∠C=
，那么GE=________．
16.如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，若点M、N分别是线段AB、AC上的两个动点，则CM＋MN的最小值为________.
17.如图，在
中，
，
，
，用含
和
的代数式表示
的值为：________.
18.数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是________.
三、解答题（本大题共10题，共84分）
19.如图，在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，求sinA，cosA，tanA.
20.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，求cos∠EFC的值．
21.如图，CB是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PB＝2，PA切⊙O于A点，PA＝4，求cosP．
22.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，sinC=
，点G是△ABC的重心，线段BG的延长线交边AC于点D，求∠CBD的余弦值．
23.如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα=
=
，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°=________；
（2）如图，已知tanA=
，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
24.如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
（1）求BD的长；
（2）求tanC的值.
25.如图，己知
，以
为直径的
交
于点
，点
为弧
的中点，连接
交
于点
．且
．
（1）求证：
是
的切线；
（2）若
的半径为4，
，求
的长．
26.如图，AB是
的直径，D是
的中点，
于E，交CB于点
过点D作BC的平行线DM，连接AC并延长与DM相交于点G．
（1）求证：GD是
的切线；
（2）求证：
；
（3）若
，
，求
的值．
27.如图，在锐角三角形ABC中，
，
是
的外接圆，连结AO，BO，延长BO交AC于点D.
（1）求证：AO平分
；
（2）若
的半径为5，
，设
的面积为
，
的面积为
，求
的值；
（3）若
，求
的值（用含m的代数表示）.
28.如图，钝角
内接于?O中，AB=AC，连结AO,BO,延长AC,BO交于点D.
（1）求证：AO是∠BAD的角平分线；
（2）若AO=5，AD=
,求
；
（3）若
，求
(用含
的代数式表示).
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=
=4，
∴cosA=
=
.
故答案为：D.
2.【答案】
B
解：∵
，
∴
∴sinA=
.
故答案为：B.
3.【答案】
A
解：∵
，
，
∴
∴
故答案为：A．
4.【答案】
A
解：如下图，设BC=a，AC=b，AB=c，
∴sinA=
，
cosA=
，
tanA=
，
当各边长度都扩大2倍，即：BC=2a，AC=2b，AB=2c时，
sinA==
，
cosA==
，
tanA==
，
∴锐角A的各个三角函数值不变化.
故答案为：A.
5.【答案】
A
解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠DCA＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴sinA＝sin∠BCD＝
；
cosA＝cos∠BCD=
;
tanA＝
；
cosB＝
；
所以B、C、D均不符合题意
故答案为：A．
6.【答案】
D
解：设AC与BD相较于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，AD＝AB，
∴AC⊥OD，AO＝
AC＝4，DO＝BO＝
BD＝3，
由勾股定理得到：AD＝AB＝
＝5，
又∵DE⊥AB，
∴S菱形ABCD＝
AC?BD＝AB?DE.
∴DE＝
＝
＝
，
∴AE＝
＝
，
∵∠AOB＝∠AEF＝90°，∠EAF＝∠OAB，
∴△AEF∽△AOB，
∴
＝
＝
，
即
＝
，
解得：EF＝
，
∴DF＝DE﹣EF＝
﹣
＝
，
∴sin∠DFC＝
＝
＝
，
故答案为：D.
7.【答案】
C
解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，
∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=36°，
∠BEC=180°-∠EBC-∠C=72°，
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BE=BC，
∴AE=BE=BC.
设AE=x，则BE=BC=x，EC=4-x.
在△BCE与△ABC中，
∴△BCE∽△ABC，
∴
，即
，
解得x=-2+2
（负值舍去），
∴AE=-2+2
，
在△ADE中，∵∠ADE=90°，
∴cosA=
，
故答案为：C.
8.【答案】
B
解：连接AE、EF，如图所示，
则AE∥CD，
∴∠FAE=∠BOD，
∵每个小正方形的边长为1，
则
∴△FAE是直角三角形，∠FEA=90°，
∴
∴
故答案为：B．
9.【答案】
A
解：如图，连接OC交MN，延长OM、ON交于一点D，
∵
∵∠CMD=∠DNO=90°，
∴∠D=∠D，
∴△CMD∽△OND，
∴
，
即,
∵∠D=∠D，
∴△DMN∽△DCO，
∴
，
∵sin∠AON=,
∴sin∠AON=,
即sin=,
∴MN=
，
故答案为：A.
10.【答案】
B
解：连接OE，OA、BO.
∵AB，AD分别与⊙O相切于点E、F，
∴OE⊥AB，OF⊥AD，
∴∠OAE＝∠OAD＝30°，
在Rt△ADE中，AD＝6，∠ADE＝30°，
∴AE＝
AD＝3，
∴OE＝
AE＝
，
∵AD∥BC，∠DAB＝60°，
∴∠ABC＝120°.
设当运动停止时，⊙O′与BC，AB分别相切于点M，N，连接O′N，O′M.
同理可得，∠BO′N为30°，且O′N为
，
∴BN＝O′N?tan30°＝1cm，
EN＝AB﹣AE﹣BN＝8﹣3﹣1＝4.
∴⊙O滚过的路程为4.
故答案为：B.
二、填空题
11.【答案】
解：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴AB＝
＝13，
∴sinB＝
＝
.
故答案为
:.
12.【答案】
4
解：如图，过A作AD⊥BC于点D，则由已知可得△ABC为等腰三角形，BD=DC=
，
∴由
cosB=
得
，BC=2BD=4，
故答案为:4
．
13.【答案】
解：如图作AH⊥BC于H，
∵
，
，
设AC═CD=5k，BC=7k，
∵∠B=45°，∠AHB=90°，
∴AH=BH，设AH=BH=x，
在Rt△ACH中，
∵AH2+HC2=AC2
，
∴x2+（7k-x）2=（5k）2
，
解得x=3k或4k，
当x=4k时，即AH=4k，HC=7k-4k=3k，
AH>HC，此时根据大边对大角，∠HAC<∠HCA，
又∠HAC+∠HCA=90°，
∴∠HAC<45°，
∴∠BAC<90°，与△ABC为钝角三角形矛盾，故x=4k舍去，
当x=3k时，
∴BH=AH=3k，HC=7k-3k=4k，DH=k，
∴
,
∴
．
故答案为：
．
14.【答案】
3
解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，
∴∠B=∠C，
设BE=x，∵AB=5
∴AE=AB-BE=5-x，
∵将△ABC折叠，使点B落在AC边上的点D处，
∴△BEF≌△DEF
∴BE=DE=5-x，∠B=∠EDF=∠C
∵∠ADE+∠EDF=∠C+∠DFC
∴∠ADE=∠DFC
∴sin∠CFD=sin∠ADE=
，
解得，x=3，
即，BE=3
故答案为：3
.
15.【答案】
解：过点E作EF⊥BC交BC于点F.
∵AB=AC，
AD为BC的中线?
∴AD⊥BC
∴EF为△ADC的中位线.
又∵cos∠C=
，AB=AC=5，∴AD=3，BD=CD=4，EF=
，DF=2
∴BF=6
∴在Rt△BEF中BE=
=
，
又∵△BGD∽△BEF
∴
，即BG=
.
GE=BE-BG=
故答案为
.
16.【答案】
解：由题意可得：作点C关于AB的对称点D，然后过点D作DN⊥AC，交AB、AC与点M、N，根据轴对称的性质及垂线段可得DN即为CM＋MN的最小值，如图所示：
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
AB=10，∠B=∠ACD，
，
，
，
即
的最小值为
；
故答案为
.
17.【答案】
解：在Rt△ABC中，∵
，∴
，
在Rt△ADC中，∵
，∴
，
∴
.
故答案为：
.
18.【答案】
解：
解：
如图，连接AD．
∵OD是直径，
∴∠OAD＝90°，
∵∠AOB＋∠AOD＝90°，∠AOD＋∠ADO＝90°，
∴∠AOB＝∠ADO，
∴sin∠AOB＝sin∠ADO＝
.
三、解答题
19.【答案】
解：∵在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，∴AC＝12，sinA＝
＝
，cosA＝
＝
，
tanA＝
＝
.
20.【答案】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，∵BF＝
＝
＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2
，
∴x2+12＝（3﹣x）2
，
解得x＝
，
∴EF＝3﹣x＝
，
∴cos∠EFC＝
＝
．
21.【答案】
解：解：连接OA，设圆的半径为r．
由切割弦定理可得PA2＝PB×PC，
即42＝2×（2+2r），
解得，r＝3，
所以cosP＝
＝
＝
．
【答案】
解：如图连接AG延长AG交BC于H．
∵G是重心，∴BH=CH=6，AG=2GH，
∵AB=AC，∴AH⊥BC，∵sin∠C=
，
设AH=4k，AC=5k，在Rt△AHC中，
∵AH2+CH2=AC2
，
∴（4k）2+62=（5k）2
，
解得k=2，
∴AH=8，AC=10，∴GH=
，在Rt△BGH中，BG=
，
∴cos∠CBD=
.
23.【答案】
（1）
（2）解：∵tanA=
，
∴设BC=3，AC=4，
∴ctanA=
=
解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，
∴BC=
AB，
∴AC=
=
=
AB，
∴ctan30°=
=
．
故答案为：
；
24.【答案】
（1）解：∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
∴
，
即
，
解得：BD＝12；
（2）解：∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，
∴AD＝5，
∴DC＝8，
∴tan∠C＝
25.【答案】
（1）证明：连接
，
∵
是
的直径，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
∴
．
∵
为弧
中点，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
为直径，
∴
是
的切线．
（2）解：∵
的半为4，
∴
．
∵
，
,
∴
，
，
∴
，
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
设
，
，
由勾股定理得：
，
解得
（负数舍去），
∴
．
26.【答案】
（1）证明：连接OD，如图所示：
是
的中点，
，OD平分BC，
是
的直径，
，即
，
，
，
是
的切线；
（2）解：
是
的切线，AG是
的割线，
；
（3）解：
是
的中点，
，
，
，
，
，
∽
，
，
是
的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
27.【答案】
（1）证明：如图，过点O作
于点M，作
于点N.
?
∴AM=
AB，AN=
AC，
，
∴AM=AN,
∵OA=OA，
∴Rt△AOM≌Rt△AON，
，
平分
（2）解：过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接OC，
由（1）可知，
，
，
∴∠OBA=∠OAB，
AO平分
，
∴∠OAD=∠OAB，
∴∠OAD=∠OBA，
∵∠ADO=∠BDA
∴
，
，
解得
，
∵
，
∴
，
，
，
CD=1.5，
∵ON∥BH，
∴
，BH=
ON，
，
，
.
（3）解：延长BD交圆于点E，连接CE,
设
，
，
，
，
∵∠ACE=∠ABO,
由（2）得，∠OAD=∠OBA，
∴∠ACE=∠DAO,
∴OA∥CE，
∴
，
，
CE=
，
∵∠BAC=∠BEC，
∴
，
∴
.
28.【答案】
（1）证明：连结OC，
∵AB=AC，AO=AO，BO=CO，
∴
≌
∴∠BAO=∠CAO，
∴AO为∠BAC的角平分线
（2）解：作AE⊥AD于点E，CF⊥BD于点F，
设OD=
，
∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAO=∠OAC，
又∵∠ADO=∠BDA，
∴
∽
,
∴
，即
，
∴
解得
，
(舍)，即OD=10，
∴BD=OB+OD=15，
，
即
，∴
，
∴AB=AC=
AD=CD,
又∵AE//CF，
∴CF=
AE，
∴
（3）解：设OB=r，
∵
，∴OD=kr，
由（2）可知
∽
,
∴
，即
，
∴
∵设OE=x，BE=r-x，在
和
中，
，即
解得
，∴
=
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