7.3 特殊角的三角函数同步训练（含解析）

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初中数学苏科版九年级下册7.3
特殊角的三角函数
同步训练
一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1.计算：sin60°?tan30°＝（??
）
A.?1??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?2
2.下列各式中正确的是（?
）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则cosA的值是(
???)
A.?????????????????????????????????????????B.?2????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
4.Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
，则tanB的值是(??
)
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
5.若sin（75°-θ）的值是
，则θ=（????
）
A.?15°???????????????????????????????????????B.?30°???????????????????????????????????????C.?45°???????????????????????????????????????D.?60°
6.点
关于x轴对称的点的坐标是（??
）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
7.如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为（??
）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
8.在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣
|+（sinB﹣
）2=0，则∠C=（??
）
A.?45°??????????????????????????????????????B.?60°??????????????????????????????????????C.?75°??????????????????????????????????????D.?105°
9.α为锐角，当
无意义时，sin（α+15°）+cos（α﹣15°）的值为（?
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
10.关于三角函数有如下公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）=
（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°=sin（30°+60°）=sin30°cos60°+cos30°sin60°=
=1
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°=
，②tan105°=﹣2﹣
，③sin15°=
，④cos90°=0
其中正确的个数有（
??）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分）
11.计算：
=________
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=
，那么cosB=________．
13.在
中，∠A，∠B为锐角，sinA
=
，tanB
=
，则
的形状为________
14.半径为3cm的⊙O中有长为
的弦AB，则弦AB所对的圆周角为________
15.反比例函数
的图象经过点（tan45°，cos60°），则k＝________.
16.一般地，当a，β为任意角时，sin(a+β)与sin(a-β)的值可以用下面的公式求得：
sin(a+β)=sina·cosβ+cosa·sinβ:sin(a-β)=sina·cosβ-cosa·sinβ.例如sin90°=sin(60°+30°）=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°=
=1,类似地，可以求得sin15°的值是________?.
17.已知⊙O的直径CD为4，
的度数为80°，点B是
的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP的最小值为________．
18.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则
的最小值等于________.
三、解答题（本大题共9题，共84分）
19.计算：
（1）
（2）
（3）
20.先化简，再求代数式的值：
，其中a=tan60°﹣2sin30°．
21.先化简，再求值：
﹣
÷
，其中a=cos30°﹣2tan45°．
22.先化简，再求代数式（
﹣
）÷
的值，其中x=2sin60°﹣1，y=tan45°．
23.先化简，再求代数式
÷
的值，其中m=tan60°﹣2sin30°．
24.先化简，再求代数式
的值，其中a=tan60°
．
25.先化简，再求代数式（
﹣
）÷
的值，其中a=2sin60°+tan45°．
26.请先阅读这段内容.再解答问题
三角函数中常用公式
.求
的值，
即
.
试用公式
，求出
的值.
27.小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
sin245°+sin245°=（
）2+（
）2=1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．
（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
解：sin60°?tan30°＝
×
＝
.
故答案为：B.
2.【答案】
C
解：A
、∵tan45?=1，∴A选项错误；
B、∵
cos45?=
，∴
B
选项错误；
C
、∵sin30?=
，∴C选项正确；
D
、∵tan60?=
；∴D选项错误.
故答案为：C.
3.【答案】
D
解：∵
，
∴∠A=30°，
∴.
故答案为：D.
4.【答案】
D
解：sinA=
，
则∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠B=60°，
∴tanB=tan60°=
，
故选：D．
5.【答案】
C
解：∵sin30°=
∴75°-
θ=30°
∴
θ=45°
故答案为：C.
6.【答案】
D
解：因为
，
所以
，
所以点
所以关于x轴的对称点为
故答案为：D.
7.【答案】
D
解：连接AC，如图所示：
由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5，
∴AC2+BC2＝AB2
，
AC＝BC，
∴∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，
∴sin∠ABC＝
；
故答案为：D．
8.【答案】
C
解：∵|cosA﹣
|+（sinB﹣
）2=0，∴cosA=
，sinB=
，则∠A=60°，∠B=45°，故∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°．
故答案为：C．
9.【答案】
A
解：根据题意得1-tanα=0
∴α=45°
∴sin（α+15°）+cos（α﹣15°）=
=sin60°+cos30°=+=
故答案为：A
10.【答案】
D
解：①sin105°=sin（45°+60°）
=sin60°cos45°+cos60°sin45°
=
×
+
×
=
，故正确；
②tan105°=tan（60°+45°）
=
=
=
=﹣2﹣
，故正确；
③sin15°=sin（60°﹣45°）
=sin60°cos45°﹣cos60°sin45°
=
×
﹣
×
=
，故正确；
④cos90°=cos（45°+45°）
=cos45°cos45°﹣sin45°sin45°
=
×
﹣
×
=0，故正确；
故正确的有4个．
故答案为：D．
二、填空题
11.【答案】
解：
．
故答案是：
.
12.【答案】
解：∵tanA=
，
∴∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠B=180°﹣30°﹣90°=60°，
∴cosB=
．
故答案为：
．
13.【答案】
等腰三角形
解：
在
中，
为锐角，
，
，
，
是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
14.【答案】
60°或120°
解：如图所示，
连接OA、OB，过O作OF⊥AB，则
，
，
∵OA=3，AB=
，
∴
，
∴
，
∴∠AOF=60°，
∴∠AOB=2∠AOF=120°，
∴
，
∴∠AEB=180°-60°=120°.
故答案为：60°或120°.
15.【答案】
解：点在函数图象上，把点带入函数，就可以求出k值.
y=
的图象经过点（tan45°,cos60°），所以cos60°=
，
k=
16.【答案】
解：sin15°=sin（60°-45°）
=sin60°·cos45°-cos60°·sin45°，
=
=
故答案为：
17.【答案】
解：过点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交圆O与点E，连接B′E．
∵点B与点B′关于CD对称，
∴PB=PB′.
．
∴当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．
∵点B是
的中点，
∴
=120°．
∴∠B′EA=60°．
∴AB′=AE?sin60°=4×
=2
．
18.【答案】
解：解:过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，
∴∠QDP=∠DAB=60°，
∴PQ=PD?sin∠QDP=
PD，
∴
=BP+PQ，
∴当点B、P、Q三点共线时
有最小值，
∴
的最小值为
。
故答案为：3
。
三、解答题
19.【答案】
（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
．
20.【答案】
解：原式=
．
当a=tan60°﹣2sin30°=
﹣2×
=
时，
原式=
．
21.【答案】解：原式=
﹣
?
=
﹣
=
，
当a=cos30°﹣2tan45°=
﹣2时，原式=
=
．
22.【答案】解：原式=[
﹣
]?
=
?
=﹣
=﹣
，
∵x=2sin60°﹣1=2×
﹣1=
﹣1，y=tan45°=1，
∴原式=﹣
=﹣
=﹣
．
23.【答案】解：∵m=tan60°﹣2sin30°=
﹣2×
=
﹣1，
∴
÷
=
×
=
=
=
24.【答案】解：原式=
÷
=
?
=
，
当a=tan60°﹣
sin45°=
﹣1时，原式=
=3﹣
25.【答案】
解：原式=[
﹣
]?（a+1）
=
?（a+1）
=
?（a+1）
=
?（a+1）
=
，
当a=2sin60°+tan45°=2×
+1=
+1时，原式=
=
．
26.【答案】
解：
，
27.【答案】
解1：（Ⅰ）当α=30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
=sin230°+sin260°
=（
）2+（
）2
=
+
=1；
（Ⅱ）小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C=90°，
设∠A=α，则∠B=90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
=（
）2+（
）2
=
=
=1
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