7.5 解直角三角形同步训练（含解析）

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初中数学苏科版九年级下册7.5
解直角三角形
同步训练
一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1.关于直角三角形，下列说法正确的是（??
）
A.?所有的直角三角形一定相似
B.?如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长一定是5
C.?如果已知直角三角形两个元素（直角除外），那么这个直角三角形一定可解
D.?如果已知直角三角形一锐角的三角函数值，那么这个直角三角形的三边之比一定确定
2.如图，为测量河两岸相对两电线杆
、
间的距离，在距
点
的
处
，测得
，则
、
之间的距离应为（??
）
A.?16sin52°
m??????????????????????B.?16cos52°
m??????????????????????C.?16tan52°
m??????????????????????D.?
m
3.如图，AC是旗杆AB的一根拉线，拉直AC时，測得BC＝3米，∠ACB＝50°，则AB的高为（　　）
A.?3cos50°米????????????????????????B.?3tan50°米????????????????????????C.?
米????????????????????????D.?
米
4.在
中，
，
，若
，则AB的长为（??
）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
5.如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长l为（?????
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
6.有一副三角板，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，如图，将这副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，则AF的长为（??
）
A.?2??????????????????????????????B.?2
﹣2??????????????????????????????C.?4﹣2
??????????????????????????????D.?2
﹣
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cosA＝
，则BC的长为（?
）
A.?8?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?13?????????????????????????????????????????D.?18
8.西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表.如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a.已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为（
???）
A.?asin26.5°??????????????????????????B.???????????????????????????C.?acos26.5°??????????????????????????D.?
9.如图，在
中，
，
，
，若
是
边上的动点，则
的最小值（??
）
A.??????????????????????????????????????B.?6?????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?4
10.如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点D恰好与AF的中点重合，AE交CD于点H，若BC=2
?，则HC的长为（　　）
A.?4????????????????????????????????????????B.?2
????????????????????????????????????????C.?3
????????????????????????????????????????D.?6
二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分）
11.在Rt△ABC中，∠
C=90°，sinA=
，AC=24，则AB=________.
12.在
中，
，则
的面积为________.
13.如图，点
在线段
上，
，
，
，如果
，
，
，那么
的长是
________
．
14.如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝
，则点F的坐标是________.
15.如图，
△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°
，AD为⊙O的直径，AD=6，那么BD=________
16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AC=6，现将Rt△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AB'C’，则图中阴影部分面积为________．
17.新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形
中，
，
，
，
，那么边
的长为________．
18.如图，在菱形
中，
,
,点P,Q,K分别为线段
，
，
上的任意一点，则
的最小值为________.
三、解答题（本大题共8题，共84分）
19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90?，tanA
，BC＝6，求AC的长和sinA的值．
20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900
，
CD⊥AB于D，tan∠ABC=
，且BC=9cm，求AC，AB及CD的长.
21.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=
，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6
cm，求AB、AD的长.
22.我们把底角为51°的等腰三角形称为最稳定三角形.
如图，已知△ABC是最稳定三角形，
AB=AC，BC=232.8m.求BC边上的高AD的长.
（sin51°≈0.8，cos51°≈0.6，tan51°≈1.2，精确到1m）
23.如图，在
中，
是BC边上的高，
，
，
.
（1）求线段
的长度：
（2）求
的值.
24.如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON．
（1）求∠ACD度数；
（2）当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）
25.如图，
，以
为直径的
交
于点D，点E为弧
的中点，连结
交
于点F，且
.
（1）判断直线
与
的位置关系，并说明理由；
（2）若
的半径为2，
，求
的长.
26.阅读理解题：下面利用45°角的正切，求tan22.5°的值，方法如下：
解：构造Rt△ABC，其中∠C=90°，∠B=45°，如图．
延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则∠D=
∠ABC=22.5°．
设AC=a，则BC=a，AB=BD=
a．
又∵CD=BD+CB=（1+
）atan22.5°=tan∠D=
﹣1
请你仿照此法求tan15°的值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
解：∵因为等腰直角三角形和一般直角三角形是不相似的，
∴选项A错误；
若斜边长为4，则第三边长为
，
∴选项B错误；
已知两个角分别为45°，45°，这个直角三角形是无法求解的，
缺少解直角三角形需要的边元素，
∴选项C错误；
∵已知直角三角形的一个锐角的三角函数值，
∴就能确定斜边与直角边的比或两直角边的比，
根据勾股定理可以确定第三边的量比，
∴直角三角形的三边之比一定确定，
故答案为：D.
2.【答案】
C
解：因为
AC=16
米，∠C=52°，在直角△ABC
中
tan52°=
，所以AB=16?tan52°米.
故答案为：C.
3.【答案】
B
解：∵BC＝3米，∠ACB＝50°，tan∠ACB＝
，
∴旗杆AB的高度为AB＝BC×tan∠ACB＝3tan50°（米），
故答案为：B．
4.【答案】
A
解：如图，
∵cos53°=
,
∴AB=
故答案为：A
5.【答案】
B
解：由已知得：
，
，
故答案为：B.
6.【答案】
D
解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，
AC＝
＝2
，
则EF＝AC＝2
，
∵∠E＝45°，
∴FC＝EF?sinE＝
，
∴AF＝AC﹣FC＝2
﹣
，
故答案为：D.
7.【答案】
B
解：cosA=
＝
，
∴AB=13，
∴BC=
.
故答案为：B.
8.【答案】
B
解：在
中，
?
?
故答案为：B.
9.【答案】
B
解：如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA',
A'D,过D作DE⊥AC于E
∵∠BAC
=
90°，∠B
=
60°，AB=
2
∴BH=1,AH=
,AA'=2
，∠C=
30°
∴DE
=
CD,即2DE
=
CD
∵A与A'关于BC对称
∴AD=
A'D
∴AD+
DE
=
A'D+
DE
∴当A'，D,
E在同一直线上时
AD
+
DE的最小值等于A'
E的长,
在Rt△AA'
E中：A'
E=
sin60°×AA'=
×2
=
3
∴AD十DE的最小值为3
∴2AD十CD的最小值为6
故答案为：B.
10.【答案】
A
解：∵将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点D恰好与AF的中点重合，
∴AC=AF，AD=AC，
∵矩形ABCD
∴∠ADC=90°，BC=AD=
∴∠ACD=∠EAF=∠EAC=30°，
∴AH=CH，
∴DH=AH=CH，
∴CH=2DH
在Rt△ADC中，
∴.
故答案为：A.
二、填空题
11.【答案】
26
解：∵∠C=90°，sinA=
，
∴设BC=5x，则AB=13x，
∴AC=
=12x，
∵AC=24，
∴x=2，
∴AB=13x=26.
故答案为：26.
12.【答案】
30
解：在Rt△ABC中，
∵
，
∴
，
∴BC＝12，
由勾股定理可得：
∴S△ABC＝
故答案为30.
13.【答案】
解：∵
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
设
的长是x，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
解得
或
（舍去负值），
故答案为：
．
14.【答案】
（8，12）
解：过点F作直线FA∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥FA于点H，则∠FAE＝90°，
∵FA∥OG，
∴∠FGO＝∠HFG.
∵∠EFG＝90°，
∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，
∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，
∵cos∠FGO＝
，
∴cos∠FEA＝
，
在Rt△AEF中，EF＝10，
∴AE＝EFcos∠FEA＝10×
＝6，
∴根据勾股定理得，AF＝8，
∵∠FAE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°
∴四边形OGHA为矩形，
∴AH＝OG，
∵OG＝17，
∴AH＝17，
∴FH＝17﹣8＝9，
∵在Rt△FGH中，
＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝
，
∴FG＝9÷
＝15，
∴由勾股定理得：HG＝
＝12，
∴F（8，12）.
故答案为：（8，12）.
15.【答案】
解：∵
AB=BC
，∠ABC=120°
∴∠C=∠CAB=（180°-120°）÷2=30°
∵
∴∠C=∠D=30°
∵AD是直径
∴∠ABD=90°
∴cos∠D=
∴BD=6×cos30°=
故答案为：
16.【答案】
解：∵∠ABC=90°，∠ACB=30°
∴AB=AC=×6=3，∠BAC=60°
∵
将Rt△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AB'C’
∴∠CAC=30°=∠ACB，
∴∠BAD=60°-30°=30°，AD=DC
∴cos30°=
解之：AD=
∴DC=
∴S△ADC=
S扇形CAC=
∴S阴影部分=S扇形CAC-S△ADC=
故答案为：
17.【答案】
9
解：如图，连接AC，作
交BC于E点，
?
，
，
，设AE=3x，BE=4x，
，则
，
解得x=2，则AE=6，BE=8，
又
，
CE=BC-BE=4，
，
作
交AD于F点，
，
，
，
=
=
，
又
，
同理可得DF=3，CF=4，
，
AD=AF+DF=9．
故答案为：9．
18.【答案】
解：根据菱形的对称性，在AB上找到点P关于BD的对称点
，过点
作
Q⊥CD于Q，交BD于点K，连接PK，过点A作AE⊥CD于E
根据对称性可知：PK=
K，
∴此时
=
，根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，
∴此时
最小，且最小值为
的长，
∵在菱形
中，
,
∴
，∠ADE=180°－∠A=60°
在Rt△ADE中，AE=AD·sin∠ADE=
∴
即
的最小值为
故答案为：
.
三、解答题
19.【答案】
解：∵△ABC中，tanA
，BC＝6，∴
，∴AC＝8，
∴AB
10，∴sinA
20.【答案】
解：∵tanB=
设：
，则
，即
综上：
，
，
21.【答案】
解：如题图，在Rt△BCD中，∠BDC＝45°,
∴BC＝DC＝6.在Rt△ABC中，sinA=
,
∴
=
.
∴AB=10.
∴AC=
=8.
∴AD=AC-CD=8-6=2.
22.【答案】
解：∵
△ABC是最稳定三角形，
∴∠B=∠C=51°,且AB=AC
∵
AD
BC，
∴BD=
BC=116.4m
∴
AD=
tan51°=139.68
≈140m
∴BC边上的高AD的长是140米.
23.【答案】
（1）解：∵AD是BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵sinB=
，AD=12，
∴AB=15，
∴BD=
，
∵BC=14，
∴DC=BC-BD=14-9=5
（2）解：由（1）知，CD=5，AD=12，
∴AC=
，
∴cosC=
24.【答案】
（1）解：延长AC交ON于点E，如图，
∵AC⊥ON，
∴∠OEC=90°，
在Rt△OEC中，
∵∠O=25°，
∴∠OCE=65°，
∴∠ACB=∠OCE=65°，
∴∠ACD=90°﹣∠ACB=25°
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，
在Rt△ABC中，∵cos∠ACB=
，
∴BC=AC?cos65°=5×0.42=2.1，
∴AD=BC=2.1
25.【答案】
（1）解：AC与⊙O相切，
证明：连接BE，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠E=90°，
∴∠EBD+∠BFE=90°，
∵AF=AC，
∴∠ACE=∠AFC，
∵E为弧BD中点，
∴∠EBD=∠BCE，
∴∠ACE+∠BCE=90°，
∴AC⊥BC，
∵BC为直径，
∴AC是⊙O的切线.
（2）解：∵⊙O的半为2，
∴BC=4，
在Rt△ABC中，
，
∴AB=5，
∴AC=
=3，
∵AF=AC，
∴AF=3，BF=5-3=2，
∵∠EBD=∠BCE，∠E=∠E，
∴△BEF∽△CEB，
∴
，
∴EC=2EB，
设EB=x，EC=2x，
由勾股定理得：x2+4x2=16，
∴x=
（负数舍去），
即CE=
.
26.【答案】
解：构造Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°，
延长CB到D，使BD=AB，连接AD，
则∠D=
∠ABC=15°，
设AC=a，则由构造的三角形得：
AB=2a，BC=
a，BD=2a，
则CD=2a+
a=（2+
）a，
∴tan15°=tanC=
=
=2﹣
．
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精品试卷·第
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